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第十一章　解答題突破
第42課時　與三角形和四邊形有關的計算與證明
1. （2024·德州）如圖11-42-1， ABCD中，對角線AC平分∠BAD.
（1）求證： ABCD是菱形；
圖11-42-1
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC. ∴∠DAC=∠BCA.
又∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC.
∴∠BCA=∠BAC. ∴AB=BC. ∴ ABCD是菱形.
（2）若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的邊長.（參考數據：
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
答圖11-42-1
2. （教材改編）如圖11-42-2，四邊形ABCD為平行四邊形，E為邊BC上一點，連接BD，AE，它們相交于點F，且∠BDA=∠BAE.
（1）求證：BE2=EF·AE；
圖11-42-2
（2）若BE=4，EF=2，DF=8，求AB的長.
圖11-42-2
3. （教材改編）如圖11-42-3，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為CD的中點，連接OE并延長到點F，使EF=EO，連接DF，CF.
（1）求證：四邊形DOCF是矩形；
圖11-42-3
（1）證明：∵E為CD的中點，∴EC=ED.
∵EF=EO，∴四邊形DOCF是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD. ∴∠DOC=90°.
∴四邊形DOCF是矩形.
圖11-42-3
4. （2024·云南）如圖11-42-4，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是各邊的中點，且AB∥CD，AD∥BC，四邊形EFGH是矩形.
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
　圖11-42-4
答圖11-42-2
（2）若矩形EFGH的周長為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長.
答圖11-42-2
5. （2024·青島）如圖11-42-5，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE=DF.
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
　圖11-42-5
（1）證明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（AAS）. ∴AB=CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
　圖11-42-5
6. （2023·煙臺）如圖11-42-6，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在線段EC上取一點F，使EF=AD，連接BF，DE.
（1）如圖11-42-6①，求證：DE=BF；
圖11-42-6
（1）證明：∵△ACD，△BCE分別是以AC，
BC為底邊的等腰三角形，
∴∠A=∠DCA=∠ADC，AD=CD，∠ECB=
∠CBE=∠CEB，CE=BE.
∵∠A=∠CBE，∴∠A=∠ECB，∠ADC=∠CEB. ∴AD∥CE.
∴∠ADC=∠DCE. ∴∠DCE=∠CEB.
∵EF=AD，∴CD=EF.∴△DCE≌△FEB（SAS）. ∴DE=BF.
（2）如圖11-42-6②，若AD=2，BF的延長線恰好經過DE的中點G，求BE的長.
答圖11-42-3

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