資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3　等式性質與不等式性質
【題型歸納目錄】
題型一：數(式)的大小比較
題型二：不等式的性質
題型三：證明不等式
題型四：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
題型五：不等式的綜合問題
題型六：糖水不等式
【考點預測】
1、比較大小基本方法
關系 方法
做差法 與0比較 做商法 與1比較
或
或
2、不等式的性質
（1）基本性質
性質 性質內容
對稱性
傳遞性
可加性
可乘性
同向 可加性
同向同正 可乘性
可乘方性
【方法技巧與總結】
1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.
2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調性.
比較法又分為作差比較法和作商比較法.
作差法比較大小的步驟是：
（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.
作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：
（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.
其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.
作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.
【典型例題】
題型一：數(式)的大小比較
【例1】（2025·上海長寧·二模）已知非零實數，則下列命題中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
比較大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.
【變式1-1】（2025·重慶·模擬預測）設 為均不為零的實數，且 ，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2025·北京房山·一模）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2025·北京豐臺·一模）已知，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：不等式的性質
【例2】（2025·上海浦東新·三模），，請從以下選項中選出“”的充分條件（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．
2、構造函數，利用函數的單調性．
3、利用特殊值法排除錯誤選項.
【變式2-1】（多選題）已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（多選題）下列命題中，正確的有（ ）
A．若，則 B．若， 則
C．若，則 D． 則
【變式2-3】（多選題）設，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型三：證明不等式
【例3】（1）已知，，，求證：．
（2）已知，，，，求證：．
【方法技巧與總結】
證明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【變式3-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知的內角，，的對邊分別為，，，且，.
(1)證明：；
(2)證明：；
(3)證明：.
【變式3-2】（1）比較與的大小；
（2）已知，求證：．
題型四：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
【例4】（2025·河北滄州·模擬預測）已知，，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
在利用不等式的性質求代數式的取值范圍時，需注意以下關鍵要點：
首先，必須嚴格遵循不等式的性質。不等式的性質是求解取值范圍的基礎，任何違反性質的操作都可能導致結果錯誤。其次，需警惕多次運用不等式性質時可能導致的變量取值范圍擴大。在復雜問題中，若分步處理不等式，每一步的運算都可能引入額外誤差，最終導致所求范圍超出實際解集。例如，對不等式進行多次平方或開方操作時，可能引入非原解集的解。
【變式4-1】（2025·山西臨汾·二模）若，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-4】已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型五：不等式的綜合問題
【例5】已知，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
綜合利用等式與不等式的性質進行求解.
【變式5-1】已知等差數列滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】已知的三邊長分別為，，，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：糖水不等式
【例6】求證：．
【方法技巧與總結】
濃度不等式定理：若，，則一定有
【變式6-1】克糖水中含有克糖，糖的質量與糖水的質量比為，這個質量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設全部溶解），生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據糖水不等式，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．當時，．
【變式6-3】（多選題）生活經驗告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（ ）
A．若，，則
B．
C．若，，為三條邊長，則
D．若，，為三條邊長，則
【過關測試】
1．（2024年北京高考數學真題）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年高考全國甲卷數學（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2017年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
4．（多選題）（2022年新高考全國II卷數學真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·河北滄州·模擬預測）已知，，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知圓柱和圓臺的高和體積都相等，若圓柱的底面圓半徑為，圓臺的上、下底面圓半徑分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·遼寧葫蘆島·一模）已知函數的定義域為，且當時，，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·福建福州·模擬預測）設集合，若，，且，，則（ ）
A． B．，
C． D．，
12．（2025·高三·江西·期中）已知為實數，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
13．（2025·安徽黃山·二模）設實數，滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（多選題）（2025·山東臨沂·二模）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
15．（多選題）（2025·湖南郴州·三模）設正實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
16．（多選題）（2025·河北廊坊·模擬預測）若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2025·四川自貢·二模）已知實數a，b，c滿足，，則的取值范圍是 .
18．（2025·福建莆田·模擬預測）已知．若，求的最大值為 ；若且，求的最大值為 .
19．（2025·湖南·三模）已知，，是公差為的等差數列，，，，是公比為的等比數列，如果，且，那么的最小值是 .
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1.3　等式性質與不等式性質
【題型歸納目錄】
題型一：數(式)的大小比較
題型二：不等式的性質
題型三：證明不等式
題型四：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
題型五：不等式的綜合問題
題型六：糖水不等式
【考點預測】
1、比較大小基本方法
關系 方法
做差法 與0比較 做商法 與1比較
或
或
2、不等式的性質
（1）基本性質
性質 性質內容
對稱性
傳遞性
可加性
可乘性
同向 可加性
同向同正 可乘性
可乘方性
【方法技巧與總結】
1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.
2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調性.
比較法又分為作差比較法和作商比較法.
作差法比較大小的步驟是：
（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.
作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：
（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.
其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.
作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.
【典型例題】
題型一：數(式)的大小比較
【例1】（2025·上海長寧·二模）已知非零實數，則下列命題中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知當，，所以，故錯誤；
因為，當時，所以，故錯誤；
當非零實數，一正一負時，無意義，故錯誤；
因為在上單調遞增，且，
所以，故正確.
故選：.
【方法技巧與總結】
比較大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.
【變式1-1】（2025·重慶·模擬預測）設 為均不為零的實數，且 ，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為為均不為零的實數，且，
所以，
對于A，由，當時，得，故A錯誤；
對于B，由，當時，得，故B錯誤；
對于C，因為，所以，即，故C正確；
對于D，舉反例，如，滿足條件，但，故D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（2025·北京房山·一模）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A選項：舉反例可知不成立；
對于B選項： 舉反例可知不成立；
對于C選項：，
因為，所以，而且不同時為0，
故，即，正確；
對于D選項： 舉反例可知不成立；
故選：C．
【變式1-3】（2025·北京豐臺·一模）已知，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】選項A：
舉反例：取，，，，則 ，，顯然 不成立，因此A不恒成立；
選項B：
舉反例：取 ，，，，則 ，，顯然 不成立，故B不恒成立；
選項C：
由于指數函數 是嚴格遞增函數， 和 分別推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立；
選項D：
舉反例：取，，，，則 ，，顯然 不成立，因此D不恒成立.
故選：C.
題型二：不等式的性質
【例2】（2025·上海浦東新·三模），，請從以下選項中選出“”的充分條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.若，滿足，不滿足，故A不是充分條件；
B.當滿足，不滿足，所以B不是充分條件；
C.若，又因為，所以，所以C是充分條件；
D.，，滿足，不滿足，故D不是充分條件.
故選：C
【方法技巧與總結】
1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．
2、構造函數，利用函數的單調性．
3、利用特殊值法排除錯誤選項.
【變式2-1】（多選題）已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】選項A：因為，所以，故A正確.
選項B： 因為，所以，，則，所以，故B錯誤.
選項C：因為，所以，，
所以，又，所以，故C正確.
選項D： ，
當等號成立，但是，故等號不成立，故D正確.
故選：ACD
【變式2-2】（多選題）下列命題中，正確的有（ ）
A．若，則 B．若， 則
C．若，則 D． 則
【答案】ABD
【解析】對于A：在上是增函數，故A正確；
對于B：若，則，當且僅當時，等號成立，故B正確；
對于C：當時，，故C錯誤；
對于D：若，則，所以，故D正確.
故選：ABD.
【變式2-3】（多選題）設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因為，，故，所以，故A正確；
不妨取，，則，故B錯誤；
因為，，所以，即，即，故C正確；
不妨取，，則，故D錯誤．
故選：AC.
題型三：證明不等式
【例3】（1）已知，，，求證：．
（2）已知，，，，求證：．
【解析】（1）證明：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
（2）證明：∵，，，且，
∴
，當且僅當時取等號．
.
【方法技巧與總結】
證明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【變式3-1】（2025·高三·河南周口·期末）已知的內角，，的對邊分別為，，，且，.
(1)證明：；
(2)證明：；
(3)證明：.
【解析】（1）因為，
由余弦定理可得，
化簡得，
整理得；
（2）由（1）得，
當且僅當時取得等號，與題意不符.
故，即.
（3）由（1）知，
又，
則，
解得，
故
解得，
所以.
【變式3-2】（1）比較與的大小；
（2）已知，求證：．
【解析】（1）
.
（2）證明：因為，可得，
則，又，可得．
題型四：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
【例4】（2025·河北滄州·模擬預測）已知，，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，得，，所以．
故選：B．
【方法技巧與總結】
在利用不等式的性質求代數式的取值范圍時，需注意以下關鍵要點：
首先，必須嚴格遵循不等式的性質。不等式的性質是求解取值范圍的基礎，任何違反性質的操作都可能導致結果錯誤。其次，需警惕多次運用不等式性質時可能導致的變量取值范圍擴大。在復雜問題中，若分步處理不等式，每一步的運算都可能引入額外誤差，最終導致所求范圍超出實際解集。例如，對不等式進行多次平方或開方操作時，可能引入非原解集的解。
【變式4-1】（2025·山西臨汾·二模）若，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
故，
故選：D
【變式4-2】若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，故且，
所以，故，
由于，，所以，即，
故最小值為，此時，
故選：B.
【變式4-3】已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A：由，得，又，所以，A錯誤；
B：由，，所以，B錯誤；
C：由，則，又，所以，C正確；
D：因為，又，所以，∴D錯誤.
故選：C.
【變式4-4】已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，
所以，解得，即可得，
因為，，
所以，
故選：A．
題型五：不等式的綜合問題
【例5】已知，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，且
因此，
令，則；
又；
當且僅當時，即時，等號成立；
此時的最小值為.
故選：C
【方法技巧與總結】
綜合利用等式與不等式的性質進行求解.
【變式5-1】已知等差數列滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，且，可設，
因為等差數列，所以，
所以，
又因為，可得，所以，
所以的取值范圍為．
故選：A.
【變式5-2】已知的三邊長分別為，，，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知及三角形三邊關系得，
所以，則，兩式相加得，
所以.
故選：C
【變式5-3】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題設，則，又，所以.
故選：C
題型六：糖水不等式
【例6】求證：．
【解析】 由濃度不等式，可得，
則有，
于是，
，
因此．
證明濃度不等式：，其中，
證明：，
所以.
【方法技巧與總結】
濃度不等式定理：若，，則一定有
【變式6-1】克糖水中含有克糖，糖的質量與糖水的質量比為，這個質量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設全部溶解），生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據糖水不等式，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，，，A錯誤；
對于B，，，則，B錯誤.
對于C，由，得，C正確；
對于D，，D錯誤；
故選：C
【變式6-2】（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．當時，．
【答案】ABC
【解析】由，則，
若，
若，則，故；
若，則，故；
由題設，結合不等式性質顯然有；
故選：ABC
【變式6-3】（多選題）生活經驗告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（ ）
A．若，，則
B．
C．若，，為三條邊長，則
D．若，，為三條邊長，則
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：，時，，故A錯誤.
B.，故B正確.
C.，故C正確.
D.，，故D正確.
故選：BCD
【過關測試】
1．（2024年北京高考數學真題）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設，因為函數是增函數，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據函數是增函數，所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
2．（2022年高考全國甲卷數學（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
3．（2017年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，且，所以
設，則，所以單調遞增，
所以 ，所以選B.
4．（多選題）（2022年新高考全國II卷數學真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
5．（2025·河北滄州·模擬預測）已知，，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，得，，所以．
故選：B．
6．（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且可得，即，
則，
又，即，化簡可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
綜上所述，.
故選：A
7．已知圓柱和圓臺的高和體積都相等，若圓柱的底面圓半徑為，圓臺的上、下底面圓半徑分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設圓臺和圓柱的高為，則，所以．
因為
，
所以B正確，A錯誤；
又，所以，所以CD錯誤，
故選：B．
8．（2025·遼寧葫蘆島·一模）已知函數的定義域為，且當時，，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為當時，，所以，，
又因為，所以，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故C正確，A錯誤，且無證據表明BD正確.
故選：C.
9．若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，，
對于A選項，，A錯；
對于B選項，不妨取，，，，則，B錯；
對于C選項，取，則，C錯；
對于D選項，由題意可知，，由不等式的基本性質可得，D對.
故選：D.
10．（2025·福建福州·模擬預測）設集合，若，，且，，則（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】D
【解析】由，，則，，
則
又實數，，所以，即，A選項錯誤；
當，，此時，B選項錯誤；
由A選項知，，故當時，，C選項錯誤；
D選項：1.當為奇數，為奇數時，為偶數．又，因為為奇數，所以必為偶數，這與為奇數矛盾．
11．當，為整數，且其中至少有一個為偶數，則必為偶數．又，且為奇數，所以必為偶數，這與為奇數矛盾．故，不可能都為整數，即，，選項D正確．
故選：D.
12．（2025·高三·江西·期中）已知為實數，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【解析】對于A，若，當時，由不等式性質得，故A錯誤；
對于B，若，當時，大小關系無法確定，故B錯誤；
對于C，若，則，所以，不等式兩邊同乘以，可得，故C正確；
對于D，若，則，故D錯誤.
故選：C.
13．（2025·安徽黃山·二模）設實數，滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對A：當，時不成立，故A錯誤；
對B：當，，所以，，即，故B錯誤；
對C：當時不成立，故C錯誤；
對D：因為，所以，又，
所以，
當且僅當時，等號成立，故D正確.
故選：D.
14．（多選題）（2025·山東臨沂·二模）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】對于A，，因為，
所以，即，所以，故A正確；
對于B，取，此時，故B錯誤；
對于C，取，則，故C錯誤，
對于D，若，則顯然成立，
若，則成立，
若，則成立，
綜上所述，只要，就一定有，故D正確.
故選：AD.
15．（多選題）（2025·湖南郴州·三模）設正實數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于選項A：因為正實數滿足，
設，則，
因為，
即，整理可得得，
將其看為關于的一元二次方程，則，解得，
即，故A正確；
對于選項D：因為，且，，
則，當且僅當時，等號成立，
所以，故D正確；
對于選項B：因為，則，
當且僅當時，等號成立，
則，得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為
，
因為，則，，
可得，當且僅當時，等號成立，
即，可得，
即，當且僅當時，等號成立
所以，故C正確；
故選：ACD.
16．（多選題）（2025·河北廊坊·模擬預測）若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因為在為增函數，由有，
對于A：由，因為，所以，故A正確；
對于B：由，當時，，即，故B錯誤；
對于C：令，可知在上單調遞增，由有，故C正確；
對于D：令，則，由有，有，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，
當時，，故D錯誤.
故選：AC.
17．（2025·四川自貢·二模）已知實數a，b，c滿足，，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，所以，因為，所以，
所以，整理得，
因為，
解得，
，
設，則，
令得或，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
因為，，
，，
所以，，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
18．（2025·福建莆田·模擬預測）已知．若，求的最大值為 ；若且，求的最大值為 .
【答案】 3 3
【解析】設，則,
代入得,
即
令,開口向上，則,
要想在上有解，則或,
由,解得,
由，即,,
綜上，，故的最大值為，此時，即.
設,由于且,故,
將代入得,
即,要在上有解，
則
解得,又，故,
當時，，即，解得,此時,符合要求，
故的最大值為.
故答案為：3；3.
19．（2025·湖南·三模）已知，，是公差為的等差數列，，，，是公比為的等比數列，如果，且，那么的最小值是 .
【答案】
【解析】依題意，，
則，即，而，因此，
當時，取，不等式成立，
所以的最小值是.
故答案為：
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