資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1．2　常用邏輯用語
【題型歸納目錄】
題型一：充分、必要條件的判定
題型二：利用充分條件與必要條件關系求參
題型三：含量詞的命題的否定
題型四：含量詞的命題的真假判斷
題型五：利用命題的真假求參
【考點預測】
一、充分條件、必要條件、充要條件
【例1】定義
如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．
【變式1-1】從邏輯推理關系上看
（1）若且，則是的充分不必要條件；
（2）若且，則是的必要不充分條件；
（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價）；
（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．
對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：，則是的充分條件，同時是的必要條件．所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立（即如果不成立，則肯定不成立）．
二．全稱量詞與存在童詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．
（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．
三．含有一個量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定為，．
（2）存在量詞命題的否定為．
注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．
【方法技巧與總結】
【變式1-2】從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
【變式1-3】常見的一些詞語和它的否定詞如下表
原詞語 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一個 至多 有一個
否定詞語 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個 至少有 兩個 一個都 沒有
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每一個元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例．
（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題．
【典型例題】
題型一：充分、必要條件的判定
【例2】（2025·重慶·三模）已知直線，和平面，其中，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，，則可能有，或者與相交，不能推出，
若，，則有，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：C
【方法技巧與總結】
充分、必要條件的三種判定方法
（1）定義法：根據，是否成立進行判斷．
（2）集合法：根據，成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．
（3）等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．
【變式2-1】（2025·上海浦東新·三模），，請從以下選項中選出“”的充分條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.若，滿足，不滿足，故A不是充分條件；
B.當滿足，不滿足，所以B不是充分條件；
C.若，又因為，所以，所以C是充分條件；
D.，，滿足，不滿足，故D不是充分條件.
故選：C
【變式2-2】（2025·湖南長沙·二模）已知兩個不同的平面，和兩條不同的直線，滿足，，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當，，則，又，則，即充分性成立；
若，，，則或，則，異面，相交均有可能，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要條件，
故選：B
【變式2-3】（2025·廣西桂林·一模）“，使”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】當時，有解；
當時，二次函數開口向上，所以有解；
當時，有解，則，解得；
綜上可得；
因為真包含于，
所以“，使”的一個充分不必要條件是.
故選：C.
題型二：利用充分條件與必要條件關系求參
【例3】（2025·河北·模擬預測）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由解得，故，
因為“”是“”成立的充分不必要條件，
所以 ，所以有，解得，
故選：A.
【方法技巧與總結】
求參數問題的解題方法：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式（或不等式組）求解．
【變式3-1】“，”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，在上能成立，
即在上能成立，
因為時，；
所以為使在上能成立，只需；
因此，A選項，是“，”成立的既不充分又不必要條件；
B選項，是“，”成立的充分不必要條件；
C選項，是“，”成立的充要條件；
D選項，是“，”成立的必要不充分條件；
故選：D
【變式3-2】已知，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是的必要不充分條件，則是的子集，
又因為，或，所以.
故選：C.
【變式3-3】“函數在區間上單調遞增”的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，定義域為，
，
令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在區間上單調遞增”的充要條件是，
故選：C.
題型三：含量詞的命題的否定
【例4】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命題“，”為全稱量詞命題，
其否定為：，.
故選：C
【方法技巧與總結】
含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結論．
【變式4-1】（2025·湖南婁底·模擬預測）已知命題，，則命題的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命題，是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以的否定為，．
故選：C．
【變式4-2】（2025·四川·模擬預測）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由全稱命題的否定是特稱命題，故原命題的否定為.
故選：D
【變式4-3】（2025·陜西漢中·模擬預測）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由全稱命題的否定是特稱命題，原命題的否定是.
故選：C
題型四：含量詞的命題的真假判斷
【例5】（2025·吉林·模擬預測）已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】C
【解析】對于命題，時，，
所以，為假命題，為真命題，
對于命題，，解得，或，
所以，，為真命題，為假命題，
所以和都是真命題.
故選：C
【方法技巧與總結】
判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．
【變式5-1】（2025·高三·山東菏澤·期末）已知命題，；命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】取易得命題為假命題，故命題為真命題；
構造函數，其中，
因為函數、在上均為增函數，
所以，函數在上為增函數，
因為，，則，
所以，函數在上有且只有一個零點，命題為真命題.
因此，和都是真命題.
故選：B.
【變式5-2】（2025·陜西西安·模擬預測）已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】因為，所以，恒成立，
所以命題為假命題，則為真命題；
令，，則，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以對任意的恒成立，所以在上單調遞增，
所以，即對任意的恒成立，故命題為真命題，則為假命題；
所以和都是真命題.
故選：B
【變式5-3】（2025·四川·模擬預測）已知命題p：，，命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】D
【解析】對于p，取，則有，故p是假命題，是真命題；
對于q，，則，故q是假命題，是真命題.
綜上，和都是真命題.
故選：D.
題型五：利用命題的真假求參
【例6】（2025·河南南陽·模擬預測）已知，若“，”為假命題，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命題“，”是存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，
其否定為：，，而函數的值域為，
由“，”為假命題，得“，”為真命題，則，
所以的取值范圍是.
故選：C
【方法技巧與總結】
由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范圍．
【變式6-1】（2025·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知命題“，”為假命題，
則命題“，”為真命題，
故當時，，即為，符合題意；
當時，需滿足解得.
綜上，實數的取值范圍是.
故選：D.
【變式6-2】（2025·高三·湖南長沙·期末）已知命題，為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，，令，則，
作出函數的圖象如圖所示，
若，則直線與函數的圖象沒有公共點，數形結合可知,
所以的取值范圍為.
故選：D.
【變式6-3】（2025·高三·浙江·期中）若命題“，成立”是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，成立，
所以，解得，
故選：B
【過關測試】
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選：B.
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
3．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.故選：C
5．（2025·全國·模擬預測）已知數列為首項為1的正項等比數列，其前n項和為，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】當等比數列的公比時，，若，則，此時，
充分性不成立，
當等比數列的公比時，，則，此時，必要性也不成立，
綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
6．（2025·上海·模擬預測）有一袋子中裝有大小、質地相同的白球k個，黑球甲、乙兩人約定一種游戲規則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負者先摸球．若第一局中甲先摸球，記第n局甲獲勝的概率為，則關于以下兩個命題判斷正確的是（ ）
①；
②．
A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題
【答案】A
【解析】第一局：摸一次甲獲勝概率為，摸3次甲獲勝概率為，
摸5次甲獲勝概率為，…,
摸甲獲勝概率為，
所以，
所以，①正確；
第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，
則，②正確；
故選：A.
7．（2025·天津濱海新·三模）已知、，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由可得且，
因為“”“且”，“”“且”，
因此，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
8．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若曲線表示橢圓，則，解得或，
則“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B.
9．（2025·河南·二模）設甲：；乙：，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】由可得，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由也推不出，即必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要條件.
故選:D.
10．（2025·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】對于函數在R上單調遞增，由，，知，
由函數在上單調遞增，則，故充分性成立；
由上，有，進而有，故必要性也成立；
所以“”是“”的充要條件.
故選：A
11．（2025·湖北黃岡·模擬預測）若“”是真命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，
解得：，
所以實數的取值范圍為，
故選：A
12．（2025·江西·模擬預測）已知及其導函數的定義域均為，且不是常函數，則命題“是周期函數”是“是周期函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若是周期函數，設周期為，則，
兩邊求導，有：，所以也是周期為的周期函數；
若為周期函數，但不一定為周期函數，
例如，，不具有周期性，而，周期為，
所以“是周期函數”是“是周期函數”的充分不必要條件，
故選：A
13．（多選題）（2025·貴州安順·模擬預測）已知集合，若“”是“”的充分條件，則實數的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】由題意得，解得，則BC符合題意.
故選：BC.
14．（多選題）下列命題是真命題的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【解析】對于A，B，當時，，故A正確，B錯誤；
對于C：由，解得，所以不存在，使得，故C錯誤；
對于D：因為，所以，所以，，故D正確.
故選：AD
15．（多選題）（2025·廣東佛山·一模）已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】BD
【解析】對于A：，，，也可能平行，故錯誤；
對于B：若，，則，正確；
對于C：，，，由線面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故錯誤；
對于D：由，，可得：，再由，可證，故正確.
故選：BD
16．（2025·上海普陀·二模）設，函數的表達式為，則對任意的實數，皆有成立的一個充分條件是 .
【答案】
【解析】因為函數，要使，
則周期，即，
因為，所以一個充分條件是，
故答案為：
17．（2025·甘肅金昌·二模）已知函數，寫出一個“的圖象關于直線對稱，且在上單調”的充分不必要條件： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由題意，得，解得，
又在上單調，所以，
即，解得，
當時，，當時，，此時在上單調遞減，符合題意；
當時，，當時，，此時在上單調遞減，符合題意；
當時，當時，，，此時在上不單調，不符合題意；
同理可繼續驗證，其中符合題意.
因此“的圖象關于直線對稱，且在上單調”的充要條件為“”.
故答案為：（答案不唯一）
18．（2025·四川·二模）已知設P：函數在R上單調遞減.Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】函數在R上單調遞減
不等式的解集為R在R上恒大于1.
可知的最小值為所以
即因為P和Q有且僅有一個正確，
所以當P正確，Q錯誤，則所以.
當P錯誤，Q正確，則,則
所以的取值范圍為
故答案為：
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1．2　常用邏輯用語
【題型歸納目錄】
題型一：充分、必要條件的判定
題型二：利用充分條件與必要條件關系求參
題型三：含量詞的命題的否定
題型四：含量詞的命題的真假判斷
題型五：利用命題的真假求參
【考點預測】
一、充分條件、必要條件、充要條件
【例1】定義
如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．
【變式1-1】從邏輯推理關系上看
（1）若且，則是的充分不必要條件；
（2）若且，則是的必要不充分條件；
（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價）；
（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．
對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：，則是的充分條件，同時是的必要條件．所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立（即如果不成立，則肯定不成立）．
二．全稱量詞與存在童詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．
（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．
三．含有一個量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定為，．
（2）存在量詞命題的否定為．
注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．
【方法技巧與總結】
【變式1-2】從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
【變式1-3】常見的一些詞語和它的否定詞如下表
原詞語 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一個 至多 有一個
否定詞語 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個 至少有 兩個 一個都 沒有
（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每一個元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例．
（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題．
【典型例題】
題型一：充分、必要條件的判定
【例2】（2025·重慶·三模）已知直線，和平面，其中，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧與總結】
充分、必要條件的三種判定方法
（1）定義法：根據，是否成立進行判斷．
（2）集合法：根據，成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．
（3）等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．
【變式2-1】（2025·上海浦東新·三模），，請從以下選項中選出“”的充分條件（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2025·湖南長沙·二模）已知兩個不同的平面，和兩條不同的直線，滿足，，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-3】（2025·廣西桂林·一模）“，使”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
題型二：利用充分條件與必要條件關系求參
【例3】（2025·河北·模擬預測）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
求參數問題的解題方法：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式（或不等式組）求解．
【變式3-1】“，”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】“函數在區間上單調遞增”的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
題型三：含量詞的命題的否定
【例4】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧與總結】
含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結論．
【變式4-1】（2025·湖南婁底·模擬預測）已知命題，，則命題的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式4-2】（2025·四川·模擬預測）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2025·陜西漢中·模擬預測）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
題型四：含量詞的命題的真假判斷
【例5】（2025·吉林·模擬預測）已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【方法技巧與總結】
判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．
【變式5-1】（2025·高三·山東菏澤·期末）已知命題，；命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【變式5-2】（2025·陜西西安·模擬預測）已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【變式5-3】（2025·四川·模擬預測）已知命題p：，，命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
題型五：利用命題的真假求參
【例6】（2025·河南南陽·模擬預測）已知，若“，”為假命題，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范圍．
【變式6-1】（2025·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2025·高三·湖南長沙·期末）已知命題，為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2025·高三·浙江·期中）若命題“，成立”是真命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【過關測試】
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
3．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
5．（2025·全國·模擬預測）已知數列為首項為1的正項等比數列，其前n項和為，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．（2025·上海·模擬預測）有一袋子中裝有大小、質地相同的白球k個，黑球甲、乙兩人約定一種游戲規則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負者先摸球．若第一局中甲先摸球，記第n局甲獲勝的概率為，則關于以下兩個命題判斷正確的是（ ）
①；
②．
A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題
7．（2025·天津濱海新·三模）已知、，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2025·河南·二模）設甲：；乙：，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2025·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
11．（2025·湖北黃岡·模擬預測）若“”是真命題，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·江西·模擬預測）已知及其導函數的定義域均為，且不是常函數，則命題“是周期函數”是“是周期函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
13．（多選題）（2025·貴州安順·模擬預測）已知集合，若“”是“”的充分條件，則實數的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
14．（多選題）下列命題是真命題的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（多選題）（2025·廣東佛山·一模）已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
16．（2025·上海普陀·二模）設，函數的表達式為，則對任意的實數，皆有成立的一個充分條件是 .
17．（2025·甘肅金昌·二模）已知函數，寫出一個“的圖象關于直線對稱，且在上單調”的充分不必要條件： .
18．（2025·四川·二模）已知設P：函數在R上單調遞減.Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，則的取值范圍為 .
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