資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
1．1 集合
【題型歸納目錄】
題型一：集合的含義與表示
題型二：元素與集合的基本關(guān)系
題型三：集合元素的特征
題型四：集合間的基本關(guān)系
題型五：集合的基本運(yùn)算
題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用
題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
題型八：容斥問題
題型九：集合中的創(chuàng)新問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和．
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）．
（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號
數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
符號 或
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．給定集合，可知，在該集合中，，不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．
集合應(yīng)滿足．
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分．集合和是同一個集合．
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．
具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．讀作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．
【典型例題】
題型一：集合的含義與表示
【例1】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知，則可能的取值的個數(shù)為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【答案】D
【解析】當(dāng)時，由，可得，所以為或；當(dāng)時，由，可得，
所以為或或；
當(dāng)時，由知，，
所以為或；
當(dāng)，則，所以為綜上，共有8種取值．
故選：D．
【方法技巧與總結(jié)】
1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
【變式1-1】已知集合有且僅有1個真子集，則實(shí)數(shù)的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由集合有且僅有1個真子集，可得集合中有且只有一個元素，
所以方程有2個相等的實(shí)數(shù)解，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為，
故選：B.
【變式1-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）方程組的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由方程組，解得，所以該方程組的解集為，
而.
故選：D.
【變式1-3】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，則的元素個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】集合，則，
所以集合C的元素個數(shù)為3個.
故選：C
題型二：元素與集合的基本關(guān)系
【例2】（2025·高三·陜西西安·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得但
∴．
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
明確元素與集合的“屬于”或“不屬于”關(guān)系。判斷時，看元素是否滿足集合定義條件。若滿足，則元素屬于該集合；若不滿足，則不屬于。此關(guān)系用于界定元素與集合的歸屬，是集合論的基礎(chǔ)。
【變式2-1】設(shè)集合，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以，時，，
解得或，即．
故選：D．
【變式2-2】設(shè)全集，集合滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵全集，，
∴，
∴，，，．
故選：D．
【變式2-3】（2025·高三·云南楚雄·期末）已知集合，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得，則.
因?yàn)椋裕獾茫实娜≈捣秶鸀?
故選：A.
題型三：集合元素的特征
【例3】（2025·甘肅慶陽·二模）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】3
【解析】因?yàn)椋苑譃橐韵聝煞N情況：
①或，當(dāng)時，集合滿足題意；
當(dāng)時，集合，違反了集合的互異性，故舍去；
②，此時集合，違反了集合的互異性，故舍去；
綜上所述，.
故答案為：3.
【方法技巧與總結(jié)】
1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性．
2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系．
【變式3-1】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，若，則 .
【答案】/0.5
【解析】在中，，則且，
而，，顯然，因此，解得，
所以.
故答案為：
【變式3-2】已知集合，則 .
【答案】-1
【解析】由題意得，，解得或，
當(dāng)時，集合為，不滿足集合中元素的互異性，舍去，
當(dāng)時，集合為，滿足題意，
故答案為：-1.
【變式3-3】已知，若，則 ．
【答案】1
【解析】由已知得，則，所以，
于是，即或，
又由集合中元素的互異性知應(yīng)舍去，故，
所以．
故答案為：1.
題型四：集合間的基本關(guān)系
【例4】（2025·四川·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，則.
故選：B.
【方法技巧與總結(jié)】
1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別．
2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：
（1）定義法進(jìn)行判斷
（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷
【變式4-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】①當(dāng)時，解得，此時，滿足題意，
②當(dāng)時，解得，此時，滿足題意，
故選：C.
【變式4-2】（2025·河北·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，因?yàn)椋瑒t.
故選：A.
【變式4-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，即，解得或，
所以或，因?yàn)榍遥?br/>若時，若時，不符合題意，所以，
則或，所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D
題型五：集合的基本運(yùn)算
【例5】（多選題）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（ ）
A．的取值有個 B．
C． D．所有子集的個數(shù)為
【答案】BCD
【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋遥?br/>則或，且，，解得，故的取值只有個，故A錯誤；
對于B選項(xiàng)，，，所以，故B正確；
對于C選項(xiàng)，，，故C正確；
對于D選項(xiàng)，，
所以，，則，
其的子集的個數(shù)為，故D正確．
故選：BCD.
【方法技巧與總結(jié)】
1、注意交集與并集之間的關(guān)系
2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個概念
【變式5-1】（多選題）（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知全集，集合，且滿足：，則下列說法正確的為（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【答案】BCD
【解析】由題意知
所以，
對于 A，因?yàn)椋遥裕珹 選項(xiàng)錯誤；
對于B，由于，所以，B 選項(xiàng)正確；
對于C，已知，這意味著既屬于A又屬于B，
若，當(dāng)時，
此時滿足所有已知條件，故C選項(xiàng)正確；
對于D，因?yàn)椋郑裕珼選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
【變式5-2】（多選題）（多選）已知全集，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對于選項(xiàng)A：由，得4，所以，則，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：，故B正確；
對于選項(xiàng)C：由于，故，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由于，故，故D錯誤
故選：BC
【變式5-3】（多選題）已知集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由可得
得，
故,A錯誤，
,B正確，
，C正確，
，D正確，
故選：BCD
題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用
【例6】已知集合，且，則集合，，所有可能的情況種數(shù)為（ ）
A．216 B．200 C．27 D．25
【答案】B
【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，
現(xiàn)將放入三個集合，
有兩種放法，放在集合或不放集合；
同，有兩種放法；
對于，分兩種情況：放在集合或不放集合；
當(dāng)放在集合，可以不放集合與集合中，也可以放在其中一個集合，但不能同時放在集合中，共3種放法；
當(dāng)不放在集合，必須放在集合或集合中，共2種放法；
故對于，共有5種放法；
同，共有5種放法；
由分步乖法計數(shù)原理得，共有種.
故選：B.
【方法技巧與總結(jié)】
利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法
【變式6-1】從集合的非空子集中隨機(jī)選擇兩個不同的集合，則的種數(shù)為（ ）
A．8 B．3 C．6 D．7
【答案】A
【解析】集合的非空子集有共7個，
從7個中選兩個不同的集合A，B，共有種選法，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時，則可為共3種，
當(dāng)時，共1種，
同理當(dāng)時，則可為共3種，
當(dāng)時，共1種，
則符合的共有種，
故選：A.
【變式6-2】設(shè)集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（ ）
A．232 B．144 C．184 D．252
【答案】A
【解析】若，
則中有個為，個為或，
此時共有種；
若，
則中有個為，個為或，
此時共有種；
若，
則中有個為，個為或，
此時共有種；
即共有種不同排列，
即集合中滿足的元素的個數(shù)為.
故選：A.
【變式6-3】（2025·高三·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，則集合的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即從集合中8個元素任選4個組成集合，共有個，
設(shè)，使得，則這樣的集合有，，，共計5個，
∴若集合存在，使得時的個數(shù)有個.
故選：B.
題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
【例7】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】陰影部分對應(yīng)的集合為，
∵全集，集合，
∴.
故選：D.
【方法技巧與總結(jié)】
Venn 圖是一種借助平面幾何圖形來直觀表示集合的工具，通常以封閉曲線（多為矩形等）的內(nèi)部區(qū)域來代表集合。這種圖形化表達(dá)方式生動形象，能將抽象的集合問題具象化。借助 Venn 圖的直觀特性，可深入領(lǐng)會集合概念與運(yùn)算公式，清晰呈現(xiàn)集合間的關(guān)聯(lián)。
【變式7-1】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，且，
則，
陰影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，
則陰影部分表示的集合為.
故選：D
【變式7-2】（2025·山東棗莊·二模）已知全集為，集合是的兩個子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作出Venn圖，如圖，
對于A，，故A錯誤；
對于B，與集合交集是空集，
若，則不是的子集，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，與集合交集是空集，
若，則不是的子集，故D錯誤；
故選：C.
【變式7-3】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以如圖所示的陰影部分表示的集合為.
故選：C
題型八：容斥問題
【例8】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合和集合滿足：有2個元素，有6個元素，且集合的元素個數(shù)比集合的元素個數(shù)多2個，則集合的所有子集個數(shù)比集合的所有子集個數(shù)多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【解析】設(shè)集合和集合的元素個數(shù)分別為，
則由有2個元素，有6個元素可知，．
即①．
又因?yàn)榧系脑貍€數(shù)比集合的元素個數(shù)多2個，
所以②．
聯(lián)立①②可得，，即集合和集合的元素個數(shù)分別為5和3，
所以集合的所有子集個數(shù)和集合的所有子集個數(shù)分別為，，
所以，
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
容斥原理
．
【變式8-1】某班有學(xué)生56人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人，同時參加了英語小組和語文小組的學(xué)生有22人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人．已知該班學(xué)生每人至少參加了1個小組，則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數(shù)最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【解析】
如圖，設(shè)該班學(xué)生中同時參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組的人數(shù)為，只參加其中一個小組的人數(shù)為，
則，即．
因?yàn)椋裕?br/>故選：B.
【變式8-2】《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》被稱為中國古典小說四大名著．學(xué)校讀書社共有100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90，閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60，則這100名學(xué)生中，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】B
【解析】如圖所示，
因?yàn)殚喿x過《紅樓夢》的人數(shù)為80，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60，
所以只閱讀過紅樓夢的人數(shù)為20，
又其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90，
故只閱讀過西游記的人數(shù)為10，
所以這100名學(xué)生中，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為.
故選：B
【變式8-3】某校向5班50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余 17人不贊成B；且對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】D
【解析】設(shè)對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為，則對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為，
作出韋恩圖如下：
故，
解得，
故對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為21.
故選：D
題型九：集合中的創(chuàng)新問題
【例9】（多選題）（2025·河南開封·二模）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．若存在實(shí)數(shù)，使得，同時成立，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．的最大值是4
D．的最大值是5
【答案】AC
【解析】對A： ， 則 ；
， 則， 即；
， 則， 即；
， 則， 即；
，則 ，即 ，故 A 正確；
對 B：當(dāng)時， 顯然錯誤，故 B 錯誤；
對 CD：設(shè)，根據(jù)題意，
① ，即，
② ，則 ，即，
③，，
令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合②可得是所有區(qū)間左端點(diǎn)中的最大值，從而，
故使得 同時成立的的最大值是4.
故 C 正確，D錯誤，
故選：AC.
【方法技巧與總結(jié)】
1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意．讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化．
2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解．
【變式9-1】（2025·山東青島·二模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定已知且 ，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為 .
【答案】
【解析】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有675個偶數(shù)，1350個奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B，可看成，顯然集合E共有個，集合F共有個，
所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個，
又集合A的非空子集共有個，
所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.
故答案為：.
【變式9-2】（2025·高三·上海虹口·期中）記為有限集合中的元素個數(shù).設(shè)，能被整除}，若對于任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由于，
所以，被除余數(shù)為，
因此，集合中的元素只需滿足能被整除即可，
設(shè)，從而可得,
即需取以為間隔的等間隔分布的實(shí)數(shù)，
不論實(shí)數(shù)和正整數(shù)如何選取，區(qū)間中最多只能找到三個值，
考慮到任意性，考慮區(qū)間長度最長的情況，即求的最大值，
設(shè)，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，，
因此，問題的要求是在任意一段長度不超過的區(qū)間里最多只能找到三個值，
而的取值是以為間隔的，故臨界情況是：長度為的區(qū)間剛好對應(yīng)個間隔，
因此，只需，解得.
故答案為：.
【變式9-3】（2025·安徽·一模）設(shè)表示有限集合中元素的個數(shù)，已知函數(shù)，若，其中為常數(shù)，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意得的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的極小值為，而當(dāng)時，，且，
令，則，
當(dāng)時，，
則在上的圖象越來越陡峭，我們作出和的圖象，
結(jié)合圖象可得與在上只有一個交點(diǎn)，
令，則，解得，而，
得到與的圖象在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)椋?br/>所以和，共有兩個交點(diǎn)，
此時的取值范圍為.
故答案為：
【過關(guān)測試】
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)榧希?br/>所以，
故選：B
2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯誤；
，則或，選項(xiàng)C錯誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯誤；
故選：A.
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，
所以.
故選：A
6．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C.
7．（2025·山東·二模）對于非空集合，定義函數(shù)，，若存在，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，，故，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)榧涎a(bǔ)集中一段區(qū)間的長為，
所以當(dāng)時，一定成立，
當(dāng)時，時，有，
解得，所以滿足的范圍是，
綜上所述，，
故選：B．
8．（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕獾茫?br/>故，
所以，
故選：A.
9．（2025·湖北武漢·三模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，所以，所以，
對于集合，因?yàn)椋援?dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
.
故選：B.
10．（2025·廣東深圳·二模）已知集合的子集中含有3個元素的子集記為.記為集合中的最小元素，若，則（ ）
A．55 B．70 C．89 D．630
【答案】A
【解析】最小元素是2的有，共10個；
最小元素是3的有，共6個；
最小元素是4的有，共3個；
最小元素是5的有，共1個，所以.
故選：A
11．（2025·河南·二模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?
故選：C.
12．（2025·廣東揭陽·三模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榛颍?br/>所以，故.
故選：D.
13．（2025·重慶九龍坡·三模）已知集合 ，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是.
故選：A.
14．（多選題）（2025·貴州黔東南·一模）已知集合，，，則（ ）
A．
B．中元素的個數(shù)為8
C．是A的一個真子集
D．從中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有20種
【答案】ABD
【解析】，
由條件可得，正確；
，有8個元素，正確；
，，顯然C錯誤；
由條件可知中有個整數(shù)，其中有6個奇數(shù)，
所以取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有，正確；
故選：ABD
15．（多選題）（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）給定，若集合，且存在，滿足，則稱P為“廣義等差集合”．記P的元素個數(shù)為，則（ ）
A．是“廣義等差集合”
B．是“廣義等差集合”
C．若P不是“廣義等差集合”，當(dāng)時，的最大值為4
D．若P不是“廣義等差集合”，若的最大值為4，則n可以是13
【答案】ABC
【解析】對于A, 取，則符合“廣義等差集合”的定義，故A正確，
對于B，取故B正確，
對于C，當(dāng)時，，如時，設(shè)，
由題意可知兩兩不相同，則矛盾，故，當(dāng)時，取,滿足P不是“廣義等差集合”，故的最大值為4，故C正確，
對于D,當(dāng)時，取，這與矛盾，故D錯誤，
故選：ABC
16．（多選題）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，， 中的每個元素都小于中的每個元素，稱為戴德金分割．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．存在一個戴德金分割，使得有一個最大元素，沒有最小元素
C．存在一個戴德金分割，使得有一個最大元素，有一個最小元素
D．存在一個戴德金分割，使得沒有最大元素，也沒有最小元素
【答案】BD
【解析】對于A，因?yàn)椋訟錯誤．
對于B，設(shè)，滿足戴德金分割，則有一個最大元素1，沒有最小元素，所以B正確．
對于C，若有一個最大元素，有一個最小元素，則不能同時滿足，所以C錯誤．
對于D，設(shè)，滿足戴德金分割，此時中沒有最大元素，中也沒有最小元素，所以D正確．
故選：BD
17．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知集合，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，，
所以．
故答案為：
18．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知集合，則的真子集個數(shù)為 ．
【答案】7
【解析】對于集合，當(dāng)是，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，
則其真子集的個數(shù)為.
故答案為：
19．（2025·河南·三模）有9張卡片反面朝上一字排開放在桌面上，現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：第一輪選擇其中的任意k張進(jìn)行翻動，使其正面朝上，以后每輪都選擇k張翻動，使其朝上面發(fā)生改變．若使其正面全部朝上的最少翻動輪數(shù)是3，則k的取值集合為 ．
【答案】
【解析】由題意，每張卡片需要翻動奇數(shù)次才能最終正面朝上，
則總翻動的次數(shù)之和為9個奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以總翻動次數(shù)為為奇數(shù)，即為奇數(shù)，
當(dāng)時，可分三組翻動前三張、中間三張、后三張，每張被翻動1次，
此時9張卡片的正面全部朝上，符合題意；
當(dāng)時，合理選擇三輪翻動的5張卡片組合（如：第一輪翻動15，第二輪翻動37，第三輪翻動3、4、5、8、9），此時9張卡片的正面全部朝上，符合題意；
當(dāng)時，合理選擇三輪翻動的5張卡片組合（如：第一輪翻動17，第二輪翻動39，第三輪翻動37），此時9張卡片的正面全部朝上，符合題意；
當(dāng)時，三輪翻動后，此時9張卡片的正面全部朝下，不符合題意，
所以的取值集合為.
故答案為：.
20．（2025·上海普陀·二模）設(shè)為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對中任意的兩個元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個數(shù)為，則 .
【答案】19
【解析】當(dāng)時，
若為二元集：如，共有15種，
若為三元集：如共有4種，
所以總共有：種；
故答案為：19.
21．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）已知集合，集合，求 .
【答案】或
【解析】，
由，
則，或，
或.
故答案為：或
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1．1 集合
【題型歸納目錄】
題型一：集合的含義與表示
題型二：元素與集合的基本關(guān)系
題型三：集合元素的特征
題型四：集合間的基本關(guān)系
題型五：集合的基本運(yùn)算
題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用
題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
題型八：容斥問題
題型九：集合中的創(chuàng)新問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和．
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）．
（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號
數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
符號 或
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．給定集合，可知，在該集合中，，不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．
集合應(yīng)滿足．
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分．集合和是同一個集合．
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．
具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．讀作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．
【典型例題】
題型一：集合的含義與表示
【例1】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知，則可能的取值的個數(shù)為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【方法技巧與總結(jié)】
1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
【變式1-1】已知集合有且僅有1個真子集，則實(shí)數(shù)的取值集合為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）方程組的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【變式1-3】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，則的元素個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二：元素與集合的基本關(guān)系
【例2】（2025·高三·陜西西安·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
明確元素與集合的“屬于”或“不屬于”關(guān)系。判斷時，看元素是否滿足集合定義條件。若滿足，則元素屬于該集合；若不滿足，則不屬于。此關(guān)系用于界定元素與集合的歸屬，是集合論的基礎(chǔ)。
【變式2-1】設(shè)集合，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】設(shè)全集，集合滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2025·高三·云南楚雄·期末）已知集合，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型三：集合元素的特征
【例3】（2025·甘肅慶陽·二模）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性．
2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系．
【變式3-1】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，若，則 .
【變式3-2】已知集合，則 .
【變式3-3】已知，若，則 ．
題型四：集合間的基本關(guān)系
【例4】（2025·四川·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別．
2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：
（1）定義法進(jìn)行判斷
（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷
【變式4-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式4-2】（2025·河北·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型五：集合的基本運(yùn)算
【例5】（多選題）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（ ）
A．的取值有個 B．
C． D．所有子集的個數(shù)為
【方法技巧與總結(jié)】
1、注意交集與并集之間的關(guān)系
2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個概念
【變式5-1】（多選題）（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知全集，集合，且滿足：，則下列說法正確的為（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【變式5-2】（多選題）（多選）已知全集，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（多選題）已知集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用
【例6】已知集合，且，則集合，，所有可能的情況種數(shù)為（ ）
A．216 B．200 C．27 D．25
【方法技巧與總結(jié)】
利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法
【變式6-1】從集合的非空子集中隨機(jī)選擇兩個不同的集合，則的種數(shù)為（ ）
A．8 B．3 C．6 D．7
【變式6-2】設(shè)集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（ ）
A．232 B．144 C．184 D．252
【變式6-3】（2025·高三·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，則集合的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
【例7】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
Venn 圖是一種借助平面幾何圖形來直觀表示集合的工具，通常以封閉曲線（多為矩形等）的內(nèi)部區(qū)域來代表集合。這種圖形化表達(dá)方式生動形象，能將抽象的集合問題具象化。借助 Venn 圖的直觀特性，可深入領(lǐng)會集合概念與運(yùn)算公式，清晰呈現(xiàn)集合間的關(guān)聯(lián)。
【變式7-1】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2025·山東棗莊·二模）已知全集為，集合是的兩個子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-3】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
題型八：容斥問題
【例8】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合和集合滿足：有2個元素，有6個元素，且集合的元素個數(shù)比集合的元素個數(shù)多2個，則集合的所有子集個數(shù)比集合的所有子集個數(shù)多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【方法技巧與總結(jié)】
容斥原理
．
【變式8-1】某班有學(xué)生56人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人，同時參加了英語小組和語文小組的學(xué)生有22人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人．已知該班學(xué)生每人至少參加了1個小組，則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數(shù)最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【變式8-2】《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》被稱為中國古典小說四大名著．學(xué)校讀書社共有100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90，閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60，則這100名學(xué)生中，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【變式8-3】某校向5班50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余 17人不贊成B；且對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
題型九：集合中的創(chuàng)新問題
【例9】（多選題）（2025·河南開封·二模）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．若存在實(shí)數(shù)，使得，同時成立，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．的最大值是4
D．的最大值是5
【方法技巧與總結(jié)】
1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意．讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化．
2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解．
【變式9-1】（2025·山東青島·二模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定已知且 ，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為 .
【變式9-2】（2025·高三·上海虹口·期中）記為有限集合中的元素個數(shù).設(shè)，能被整除}，若對于任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式9-3】（2025·安徽·一模）設(shè)表示有限集合中元素的個數(shù)，已知函數(shù)，若，其中為常數(shù)，且，則的取值范圍為 .
【過關(guān)測試】
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山東·二模）對于非空集合，定義函數(shù)，，若存在，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖北武漢·三模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·廣東深圳·二模）已知集合的子集中含有3個元素的子集記為.記為集合中的最小元素，若，則（ ）
A．55 B．70 C．89 D．630
11．（2025·河南·二模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·廣東揭陽·三模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·重慶九龍坡·三模）已知集合 ，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（多選題）（2025·貴州黔東南·一模）已知集合，，，則（ ）
A．
B．中元素的個數(shù)為8
C．是A的一個真子集
D．從中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有20種
15．（多選題）（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）給定，若集合，且存在，滿足，則稱P為“廣義等差集合”．記P的元素個數(shù)為，則（ ）
A．是“廣義等差集合”
B．是“廣義等差集合”
C．若P不是“廣義等差集合”，當(dāng)時，的最大值為4
D．若P不是“廣義等差集合”，若的最大值為4，則n可以是13
16．（多選題）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，， 中的每個元素都小于中的每個元素，稱為戴德金分割．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．存在一個戴德金分割，使得有一個最大元素，沒有最小元素
C．存在一個戴德金分割，使得有一個最大元素，有一個最小元素
D．存在一個戴德金分割，使得沒有最大元素，也沒有最小元素
17．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知集合，則 ．
18．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知集合，則的真子集個數(shù)為 ．
19．（2025·河南·三模）有9張卡片反面朝上一字排開放在桌面上，現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：第一輪選擇其中的任意k張進(jìn)行翻動，使其正面朝上，以后每輪都選擇k張翻動，使其朝上面發(fā)生改變．若使其正面全部朝上的最少翻動輪數(shù)是3，則k的取值集合為 ．
20．（2025·上海普陀·二模）設(shè)為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對中任意的兩個元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個數(shù)為，則 .
21．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）已知集合，集合，求 .
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