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第四單元正比例和反比例(知識(shí)梳理+典例精講+培優(yōu)必刷)-北師大版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(單元講義)

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第四單元正比例和反比例(知識(shí)梳理+典例精講+培優(yōu)必刷)-北師大版2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(單元講義)

資源簡介

2024-2025學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)典例
第四單元 正比例和反比例
(知識(shí)梳理+典例精講+培優(yōu)必刷)
【知識(shí)點(diǎn)一】變化的量
1、生活中存在著大量互相依存的量,如:速度、時(shí)間和路程;單價(jià)、數(shù)量和總價(jià);工作效率、工作時(shí)間和工作總量.....當(dāng)其中某一個(gè)量發(fā)生變化時(shí),另外一個(gè)量也會(huì)隨之變化,這樣的兩個(gè)變量就叫作相關(guān)聯(lián)的量。
【知識(shí)點(diǎn)二】正比例
1、正比例的意義:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用字母k表示它們的比值(一定),正比例關(guān)系可以表示為=k(一定)。
2、應(yīng)用正比例的意義判斷兩種量是否成正比例:有些相關(guān)聯(lián)的量,雖然也是一種量隨著另一種量的變化而變化,但它們相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值不一定,就不成正比例。
【知識(shí)點(diǎn)三】正比例的圖像
1、成正比例關(guān)系的兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的量表示的各點(diǎn)在同一條直線上,即成正比例關(guān)系的圖象是一條直線。
2、從圖象中可以直觀地看到兩種量的變化情況,同時(shí)根據(jù)圖象還可以由一個(gè)量的值直接找到與其對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量的值。
【知識(shí)點(diǎn)四】反比例
1、反比例的意義。
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關(guān)系叫作反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的積(一定),反比例關(guān)系可以表示為x·y=k(一定)。
2、判斷兩個(gè)量是不是成反比例。
要先想這兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的量;再運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行判斷,看這兩個(gè)量的積是否一定;最后作出結(jié)論。
【考點(diǎn)一】變化的量
【典例一】單價(jià)一定,總價(jià)和( )是相關(guān)聯(lián)的量。
A.速度 B.邊長 C.?dāng)?shù)量
【分析】根據(jù)總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量,解答即可。
【解答】由“總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”可知:單價(jià)一定,總價(jià)和數(shù)量是相關(guān)聯(lián)的量。
故答案為:C
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道基礎(chǔ)題,主要考查對(duì)相關(guān)聯(lián)量的認(rèn)識(shí)。
【典例二】修路隊(duì)修一條長800米的路,已修的米數(shù)和剩下的米數(shù)如下表.
已修米數(shù)(米) 50 100 150 200 250 300 ...
剩下米數(shù)(米) 750 700 650 600 550 500 ...
(1)表中反映了( )和( )這兩個(gè)量的變化情況.
(2)如果修路隊(duì)已修400米,剩下的米數(shù)應(yīng)該是( )米.已修米數(shù)和剩下米數(shù)的( )一定,也就是( )一定.
【答案】已修米數(shù) 剩下米數(shù) 400 和 這條路的總長度
【典例三】“浪漫一身”服裝廠制作一批新款女式短裙,每條用布料1.2米,制作100條、200條、300條這樣的短裙各需用布料多少米?將相應(yīng)的米數(shù)填在表中。
短裙數(shù)量(條) ... 100 200 300 400 500 ...
所需布料(米) ... ...
(1)服裝廠制作450條這種短裙,一共需要布料多少米?
(2)用660米布料可以制作多少條這種短裙?
【解答】(1)1.2×450=540(米)
答:一共需要布料540米。
(2)660÷1.2=550(條)
答:可以制作550條這樣的短裙。
【考點(diǎn)二】正比例及圖像
【典例一】一列火車從甲地開往乙地,10小時(shí)行駛了800千米,離乙地還有160千米,照這樣行完全程還需要幾小時(shí)?
解答此題時(shí),同學(xué)們有以下幾種方法,其中解答錯(cuò)誤的是( )。
A.設(shè)還需要x小時(shí)。= B.設(shè)還需要x小時(shí)。10∶800=160∶x
C.160÷(800÷10) D.10÷(800÷160)
【分析】根據(jù)速度=路程÷時(shí)間,用800÷10即可求出火車的速度,然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度,用160÷(800÷10)即可求出行完全程還需要多少小時(shí);
如果列方程解決問題,則設(shè)完全程還需要x小時(shí),速度不變,路程和時(shí)間成正比例,列比例為:800∶10=160∶x;
也可以用800÷160求出800千米里面有幾個(gè)160千米,也就是5個(gè),5個(gè)160千米需要花10小時(shí),則用10÷5即可求出160千米需要花多少小時(shí);據(jù)此解答。
【解答】根據(jù)分析可知,用列算式解答可以是160÷(800÷10)和10÷(800÷160);
如果用列方程解決問題,設(shè)還需要x小時(shí)。列方程為:10∶800=160∶x,也就是=。
其中解答錯(cuò)誤的是:設(shè)還需要x小時(shí)。10∶800=160∶x。
故答案為:B
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了靈活解應(yīng)用題的方法,掌握正比例的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵。
【典例二】一輛汽車行駛的速度為90千米/時(shí),汽車行駛的時(shí)間和路程如下,把下表填完整。從表中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6 7 8
路程/千米 90 180 270 360 ( ) ( ) ( ) ( )
分析與解答:隨著時(shí)間的增加,路程也在( ),路程與時(shí)間的比值(也就是速度)相同,就是比值一定,所以路程和時(shí)間( )。
【分析】根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可填寫表格;接下來根據(jù)若兩個(gè)量的比值一定,則這兩個(gè)量成正比例即可得到答案。
【解答】90×5=450(千米)
90×6=540(千米)
90×7=630(千米)
90×8=720(千米)
從表中我發(fā)現(xiàn):隨著時(shí)間的增加,路程也增加,路程與時(shí)間的比值相同,就是比值一定,所以路程和時(shí)間成正比例。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正比例的知識(shí),解題關(guān)鍵要掌握正比例的定義。
【典例三】隨著科技的發(fā)展和人們網(wǎng)絡(luò)購物次數(shù)的增長,越來越多的購物平臺(tái)用智能機(jī)器人來處理客戶訂單,已知1臺(tái)智能機(jī)器人30分鐘能處理40個(gè)訂單,照這樣的速度,1臺(tái)智能機(jī)器人12小時(shí)能處理多少個(gè)訂單?(用比例解答)
【分析】設(shè)1臺(tái)智能機(jī)器人12小時(shí)能處理x份訂單,工作效率一定,工作總量和工作時(shí)間成正比例,據(jù)此列比例解答即可。
【解答】30分鐘小時(shí)
解:設(shè)1臺(tái)智能機(jī)器人12小時(shí)能處理x個(gè)訂單。
0.5x=40×12
0.5x=480
0.5x÷0.5=480÷0.5
答:1臺(tái)智能機(jī)器人12小時(shí)能處理960個(gè)訂單。
【典例四】購買哈密瓜的質(zhì)量與應(yīng)付金額如下表。
質(zhì)量/kg 0 1 2 3 4 …
應(yīng)付金額/元 0 12 24 36 48 …
(1)購買哈密瓜的質(zhì)量和應(yīng)付金額成正比例關(guān)系嗎?說明理由。
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),在圖中描出質(zhì)量和應(yīng)付金額對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再把各點(diǎn)順次連起來。
(3)購買3.5千克哈密瓜需要( )元。
【分析】(1)如果相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量x和y的比值一定,即x÷y=k(定值),那么這兩個(gè)量叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。看哈密瓜的質(zhì)量和應(yīng)付金額的比值是否一定,即可判斷是否成正比例關(guān)系;
(2)在圖中描出質(zhì)量和應(yīng)付金額對(duì)應(yīng)的點(diǎn),縱軸表示應(yīng)付金額,橫軸表示質(zhì)量,再把各點(diǎn)順次連起來即可;
(3)因?yàn)橘徺I哈密瓜的質(zhì)量和應(yīng)付金額成正比例關(guān)系,即購買1千克哈密瓜需要12元,購買3.5千克的話就用3.5×12即可。
【解答】(1)成正比例關(guān)系,理由如下:
因?yàn)?∶12=2∶24=3∶36=4∶48=(定值),所以購買哈密瓜的質(zhì)量和應(yīng)付金額成正比例關(guān)系。
(2)
(3)3.5×12=42(元)
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正比例關(guān)系的應(yīng)用,作圖時(shí)描點(diǎn)應(yīng)認(rèn)真、仔細(xì)。
【考點(diǎn)三】反比例
【典例一】下面說法正確的有( )。
①一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)的和一定是奇數(shù);
②分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù),分?jǐn)?shù)的大小不變;
③圓的周長一定,圓的半徑和圓周率成反比例。
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【分析】只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù);一個(gè)數(shù)如果除了1和它本身還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù);整數(shù)中,不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):分子和分母同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)大小不變。
圓的周長.兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定,這兩種量就成反比例關(guān)系。
【解答】①×,,6是偶數(shù)不是奇數(shù)。
②×,分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)大小不變。
③×,,周長一定,半徑和圓周率都不變,不成比例。
所以說法正確的個(gè)數(shù)為0個(gè)。
故答案為:A
【點(diǎn)評(píng)】考查了質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)的含義;分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及圓的周長公式、反比例的辨別,熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵。
【典例二】有20粒糖果,平均分給一些同學(xué),請(qǐng)把表填寫完整。
每人分到的糖果數(shù)粒 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
人數(shù)人 1 2 4 5 10 20
將20粒糖果平均分,人數(shù)越多,每人分得糖果的粒數(shù)越( )。
【分析】由題意知:每人分到的糖果數(shù)乘人數(shù)等于糖果總數(shù)20粒(一定),每人分到的糖果數(shù)與人數(shù)成反比例。用糖果總數(shù)除以人數(shù)得每人分得的糖果數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】(粒)
(粒)
(粒)
(粒)
(粒)
填表如下:
每人分到的糖果數(shù)粒 20 10 5 4 2 1
人數(shù)人 1 2 4 5 10 20
將20粒糖果平均分,人數(shù)越多,每人分得糖果的粒數(shù)越少。
【點(diǎn)評(píng)】明確每人分到的糖果與人數(shù)成反比例,再利用反比例中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答。
【典例三】亮亮看一本故事書,平均每天看的頁數(shù)和所用的時(shí)間如表。
平均每天看的頁數(shù)/頁 8 10 15 20 30
所用的時(shí)間/天 30 24 8
(1)將上表補(bǔ)充完整。
(2)平均每天看的頁數(shù)與所用的時(shí)間是不是成反比例?說明理由。
(3)如果亮亮用40天看完了這本故事書,平均每天看多少頁?
【分析】(1)根據(jù)“平均每天看的頁數(shù)×所用的時(shí)間=這本故事書的總頁數(shù)”直接解題即可。
(2)兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
(3)用總頁數(shù)÷看的天數(shù)即可。
【解答】(1)總頁數(shù):8×30=240(頁)
240÷15=16(天)
240÷20=12(天)
填表如下:
平均每天看的頁數(shù)/頁 8 10 15 20 30
所用的時(shí)間/天 30 24 16 12 8
(2)因?yàn)槊刻炜吹捻摂?shù)和所用天數(shù)的乘積相等,所以符合反比例的意義。故平均每天看的頁數(shù)與所用的時(shí)間成反比例;
(3)240÷40=6(頁)
答:如果亮亮用40天看完了這本故事書,平均每天看6頁。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例的意義,明確平均每天看的頁數(shù)×所用的時(shí)間=這本故事書的總頁數(shù)是解題的關(guān)鍵。
一、填空題(滿分20分)
1.(2分)一輛汽車,行駛1千米的耗油量一定,第一次行駛60千米,耗油5L;第二次行駛162千米,耗油xL,列比例為( ),x的值為( )。
【答案】5∶60=x∶162 13.5
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值一定,就成正比例;如果是乘積一定,則成反比例。耗油總量÷行駛的距離=汽車行駛時(shí)每千米的耗油量(一定),耗油量與所行路程的商一定,它們成正比例關(guān)系。據(jù)此寫出關(guān)系式;求得x的值即可。
【解答】5∶60=x∶162
則60x=162×5
x=810÷60
x=13.5
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了成正比例關(guān)系的判斷及根據(jù)成正比例關(guān)系解決問題,需靈活使用合適的解題方法。
2.(2分)如表中,如果x與y兩個(gè)量成正比例關(guān)系,那么m的值是( );如果x與y兩個(gè)量成反比例關(guān)系,那么m的值是( )。
x 5 m
y 80 64
【答案】4 6.25
【分析】兩個(gè)相關(guān)的量,若成正比例,則其比值一定;若成反比例關(guān)系,則其乘積一定,據(jù)此解答。
【解答】若x與y成正比例,則:
5∶80=m∶64
80m=5×64
80m=320
m=320÷80
m=4
若x與y成反比例,則:
5×80=64m
64m=400
m=400÷64
m=6.25
如表中,如果x與y兩個(gè)量成正比例關(guān)系,那么m的值是4;如果x與y兩個(gè)量成反比例關(guān)系,那么m的值是6.25。
x 5 m
y 80 64
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根據(jù)成哪種比例關(guān)系列比例式并解比例,解比例時(shí)要根據(jù)等式的性質(zhì)解答。
3.(2分)如果(X,Y均不為0),那么X與Y成( )比例。(填“正”或“反”)
【答案】反
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值一定,就成正比例;如果是乘積一定,則成反比例;據(jù)此解答。
【解答】X÷0.4=
X÷0.4×0.4=×0.4
XY=6×0.4
XY=2.4(一定),X與Y成反比例。
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)正比例意義和辨別,反比例意義和辨別進(jìn)行解答。
4.(2分)下表中,如果x和y成正比例,“?”處應(yīng)填( );如果x和y成反比例,“?”處應(yīng)填( )。
x 9 ?
y 40 80
【答案】18 4.5
【分析】比值一定的兩個(gè)量成正比例關(guān)系;乘積一定的兩個(gè)量成反比例關(guān)系。根據(jù)比例關(guān)系列出比例方程,再解比例即可。
【解答】如果x和y成正比例,則
9∶40=x∶80
40x=9×80
40x=720
x=720÷40
x=18
如果x和y成反比例,則
9×40=x×80
80x=360
x=360÷80
x=4.5
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩種比例關(guān)系的意義。根據(jù)比例關(guān)系列出正確的比例方程是解答此題的關(guān)鍵。
5.(2分)下圖是兩個(gè)相互咬合的齒輪,大齒輪的半徑是3dm,小齒輪的半徑是3cm,如果大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)100周,小齒輪要轉(zhuǎn)動(dòng)( )周。
【答案】1000
【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)是相互交合的齒輪,即轉(zhuǎn)動(dòng)齒數(shù)相等,所以轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)和每周齒數(shù)成反比,由此列出比例解決問題。
【解答】3dm=30cm
解:設(shè)小齒輪要轉(zhuǎn)動(dòng)x周。
100×3.14×2×30=3.14×2×3×x
100×2×30=2×3×x
100×30=3×x
3000=3x
x=1000
【點(diǎn)評(píng)】答此題的關(guān)鍵是,根據(jù)題意,先判斷哪兩種相關(guān)聯(lián)的量成何比例,即兩個(gè)量的乘積一定則成反比例,兩個(gè)量的比值一定則成正比例,另外還要注意單位的統(tǒng)一。
6.(2分)一列火車進(jìn)隧道,從車頭進(jìn)入到車尾進(jìn)入,共用A分鐘,又經(jīng)過B分鐘,車尾出隧道。已知A∶B=3∶5,隧道長360米,火車長( )米。
【答案】216
【分析】從車頭進(jìn)入到車尾進(jìn)入,列車所行駛的長度為列車的長度,從車尾進(jìn)入隧道到車尾出遂道列車所行駛的長度是遂道的長度,又在速度相同的條件下,所用時(shí)間比等于所行路程比,由于A∶B=3∶5,所以列車長為360×=216(米)。
【解答】由分析可知:時(shí)間比等于所行路程比。
時(shí)間比:A∶B=3∶5
則火車長度是隧道的3÷5=
360×=216(米)
【點(diǎn)評(píng)】明確速度相同的條件下,所用時(shí)間比等于所行路程比是完成本題的關(guān)鍵。
7.(2分)已知(a和b都是不為0的數(shù)),則a和b成( )(填“正”或“反”)比例,( )。
【答案】反 8
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定,如果是比值一定,就成正比例,如果是乘積一定,就成反比例;求出ab的值,把a(bǔ)b的值代入,計(jì)算即可解答。
【解答】由分析可知,(a和b都是不為0的數(shù)),
所以ab=4.2(一定),乘積一定,所以a和b成反比例;
把a(bǔ)b=4.2代入,得:
(4.2-2.2)×4
=2×4
=8
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例的方法以及代入求值法。
8.(2分)某工廠生產(chǎn)一批零件,每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)如下表。
每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)/個(gè) 200 300 400 500
需要的天數(shù)/天 30 20 15 12
(1)每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)成( )比例。(填“正”或“反”)
(2)如果該工廠每天生產(chǎn)250個(gè)零件,需要( )天。
【答案】(1)反
(2)24
【分析】(1)判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定,如果是比值一定,就成正比例,如果是乘積一定,則成反比例;
(2)用零件總個(gè)數(shù)÷每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)=需要天數(shù),代入數(shù)據(jù),即可解答。
【解答】(1)200×30=300×20=400×15=500×12=6000(個(gè)),每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)乘積一定,所以每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例。
(2)200×30÷250
=6000÷250
=24(天)
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)正比例意義以及辨別和反比例意義以及辨別進(jìn)行解答。
9.(2分)一份稿件,甲單獨(dú)打需小時(shí),乙單獨(dú)打需小時(shí),甲和乙的工作效率比是( )。
【答案】6∶5
【分析】根據(jù)工作量=工作效率×工作時(shí)間,可得工作量一定時(shí),工作效率和工作時(shí)間成反比例,據(jù)此解答即可。
【解答】因?yàn)楣ぷ髁恳欢ǎ际且环莞寮约缀鸵夜ぷ餍时仁牵骸茫?∶5
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是要明確:工作量一定時(shí),工作效率和工作時(shí)間成反比例。
10.(2分)如圖,描述了一個(gè)游泳池進(jìn)水管打開后的進(jìn)水情況。
(1)這個(gè)進(jìn)水管每分鐘的進(jìn)水量是( )立方米。
(2)這個(gè)進(jìn)水管的進(jìn)水時(shí)間與進(jìn)水量成( )比例。
【答案】(1)10
(2)正
【分析】(1)時(shí)間從0到5小時(shí),共進(jìn)水50立方米,用進(jìn)水量除以時(shí)間即可;
(2)由圖象可以發(fā)現(xiàn),進(jìn)水量除以時(shí)間是一個(gè)定值,符合正比例的判定。
(1)
50÷(5-0)
=50÷5
=10(立方米/分鐘)
這個(gè)進(jìn)水管每分鐘進(jìn)水量是10立方米。
(2)
由圖象可以發(fā)現(xiàn),進(jìn)水量除以時(shí)間是一個(gè)定值,符合正比例的判定;這個(gè)進(jìn)水管的進(jìn)水量與時(shí)間成正比例關(guān)系。
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于辨識(shí)兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例,就看這兩種量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定,再做出判斷。
二、判斷題(滿分10分)
11.(2分)車輪直徑一定,所行駛的路程和車輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比例。( )
【答案】√
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值一定,就成正比例;如果是乘積一定,則成反比例。
【解答】因?yàn)橹睆揭欢ǎ惺嵌ㄖ担驭小林睆剑街荛L,周長一定,即路程÷轉(zhuǎn)數(shù)=周長(一定),所以,所行路程和車輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比例。
故答案為:√
12.(2分)三角形的面積一定,底和對(duì)應(yīng)的高成反比例關(guān)系。( )
【答案】√
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定,如果是比值一定,就成正比例,如果是乘積一定,則成反比例。根據(jù)三角形的面積公式去判斷。
【解答】
因此,底與高的積一定,所以三角形的面積一定,底和對(duì)應(yīng)的高成反比例關(guān)系。原題說法正確。
故答案為:√
13.(2分)已知a,b是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,若(a,b均不為0),則a與b成正比例。( )
【答案】×
【分析】判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值(商)一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值(商)一定,這兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例;如果是乘積一定,這兩種相關(guān)聯(lián)的量成反比例。
【解答】因?yàn)閍∶1=1.5∶b;所以ab=1×1.5=1.5(一定),a與b的乘積一定,所以a和b成反比例。
已知a,b是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,若a∶1=1.5∶b(a,b均不為0),則a和b成反比例。
原題干說法錯(cuò)誤。
故答案為:×
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正反比例的判定,明確正反比例的意義是解答本題的關(guān)鍵。
14.(2分)兩個(gè)互相咬合的齒輪,齒數(shù)比是5∶6,則它們的轉(zhuǎn)數(shù)之比是25∶36。( )
【答案】×
【分析】根據(jù)互相咬合齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)與齒輪的齒數(shù)成反比,即可得出答案。
【解答】因?yàn)榛ハ嘁Ш淆X輪的轉(zhuǎn)數(shù)與齒輪的齒數(shù)成反比,所以齒數(shù)比是5∶6,則它們的轉(zhuǎn)數(shù)之比是6∶5。
故答案為:×
【點(diǎn)評(píng)】解答本題要掌握:齒輪的齒數(shù)×轉(zhuǎn)數(shù)=轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)(一定),所以齒輪的轉(zhuǎn)數(shù)與齒數(shù)成反比例。
15.(2分)下圖可知道時(shí)間和路程成反比。( )
時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6
路程/千米 120 240 360 480 600 720
【答案】×
【分析】據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,速度一定,而速度=路程÷速度,所以這兩個(gè)量成正比例關(guān)系。
【解答】=速度(一定),符合正比例的意義,所以路程與時(shí)間成正比例關(guān)系,題目描述錯(cuò)誤。
故答案為:×。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例和反比例的辨識(shí)。
三、選擇題(滿分10分)
16.(2分)下面幾組相關(guān)聯(lián)的量中,成反比例關(guān)系的是( )。
A.長方形的面積一定,它的長和寬。
B.優(yōu)優(yōu)的年齡和爸爸的年齡。
C.全班人數(shù)一定,男生人數(shù)和女生人數(shù)。
D.正方形的周長和它的邊長。
【答案】A
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值一定,就成正比例;如果是乘積一定,則成反比例;據(jù)此逐項(xiàng)分析,進(jìn)行解答。
【解答】A.長×寬=長方形的面積(一定),即積一定,所以它的長和寬成反比例;
B.爸爸年齡-優(yōu)優(yōu)年齡=年齡差(一定),是差一定,所以他們的年齡不成比例;
C.男生人數(shù)+女生人數(shù)=全班人數(shù)(一定),是和一定,所以全班人數(shù)一定,男生人數(shù)和女生人數(shù)不成比例;
D.正方形的周長÷它的邊長=4(一定),所以正方形的周長和它的邊長成正比例。
故答案為:A
17.(2分)一個(gè)圓柱若高增加2分米,則表面積增加25.12平方分米,體積增加。原來圓柱的表面積為( )平方分米。
A.188.4 B.157 C.150.72 D.125.6
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知,這個(gè)圓柱的高增加2分米,表面積增加25.12平方分米,表面積增加的是高為2分米的圓柱的側(cè)面積,根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式:側(cè)面積=底面周長×高;底面周長=側(cè)面積÷高;再根據(jù)圓的周長公式:周長=π×直徑;直徑=周長÷π;據(jù)此可以求出圓柱的底面直徑,又知高增加2分米,體積增加,因?yàn)閳A柱的底面積不變,所以圓柱的體積與高成正比例,也就是圓柱高的是2分米,據(jù)此可以求出圓柱的高,然后根據(jù)圓柱的表面積側(cè)面積底面積×2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【解答】圓柱的底面直徑:
(分米)
圓柱的高:
(分米)
圓柱的表面積:3.14×4×10+3.14×(4÷2)2×2
=12.56×10+3.14×22×2
=125.6+3.14×4×2
=125.6+12.56×2
=125.6+25.12
=150.72(平方分米)
一個(gè)圓柱若高增加2分米,則表面積增加25.12平方分米,體積增加。原來圓柱的表面積為150.72平方分米。
故答案為:C
18.(2分)小李加工一批零件,工作時(shí)間與加工零件的個(gè)數(shù)的關(guān)系如下圖,下列說法錯(cuò)誤的是( )。
A.加工零件的個(gè)數(shù)與工作時(shí)間成正比例關(guān)系。
B.N表示400個(gè)零件。
C.M表示3.2小時(shí)。
D.如果有一點(diǎn)P表示5小時(shí)做了600個(gè)零件,那么點(diǎn)P一定會(huì)和點(diǎn)E、F、G一樣在射線l上。
【答案】D
【分析】根據(jù)判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量成正反比例的方法,兩種相關(guān)聯(lián)的量比值一定(且不為0),則這兩種量為正比例關(guān)系;兩種相關(guān)聯(lián)的量積一定,則這兩種量為反比例關(guān)系。還可以根據(jù)兩種成正比例的量相交的點(diǎn)在同一條直線上判斷兩種量是否成正比例。再根據(jù)加工零件個(gè)數(shù)工作時(shí)間=工作效率,代入圖中相關(guān)數(shù)據(jù),分別判斷各選項(xiàng)是否符合圖意。
【解答】A.由圖可知,這兩種相關(guān)聯(lián)的量相交的點(diǎn)在同一條直線上,符合正比例關(guān)系的特征。即該說法正確。
加工1.5小時(shí)的零件個(gè)數(shù)是150個(gè),則工作效率為(個(gè)/時(shí))
B.由圖可知,加工1.5小時(shí)的零件個(gè)數(shù)是150個(gè),則工作效率為150÷1.5=100(個(gè)/時(shí)),根據(jù)加工零件個(gè)數(shù)=工作效率工作時(shí)間,則(個(gè)),所以該說法正確。
C.根據(jù)工作時(shí)間=加工零件個(gè)數(shù)工作效率,則(小時(shí)),所以該說法正確。
D.(個(gè)/時(shí))這兩個(gè)量的比值是120,與圖中的兩種相關(guān)聯(lián)的比值是100,比值不同,則點(diǎn)P不會(huì)和點(diǎn)E、F、G一樣在射線l上。所以該說法錯(cuò)誤。
故答案為:D
19.(2分)下面各題中的兩種量,成正比例關(guān)系的有( )組。
①圓柱的體積一定,圓柱的底面積和高。
②張老師的身高和體重。
③圓的面積和半徑。
④看電影所付票費(fèi)與看電影的人數(shù)。
⑤等邊三角形的周長與邊長。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例,就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定,還是對(duì)應(yīng)的乘積一定;如果是比值一定,就成正比例;如果是乘積一定,則成反比例。據(jù)此判斷即可。
【解答】①圓柱的體積=底面積×高,圓柱的體積一定,圓柱的底面積和高成反比例關(guān)系;
②張老師的身高和體重,不成比例;
③圓的面積÷半徑的平方=π,所以圓的面積和半徑不成比例;
④看電影所付票費(fèi)÷看電影的人數(shù)=每張票的價(jià)格,每張票的價(jià)格一定,所以看電影所付票費(fèi)與看電影的人數(shù)成正比例關(guān)系;
⑤等邊三角形的周長÷邊長=3,商一定,所以等邊三角形的周長與邊長成正比例關(guān)系。
則上面各題中的兩種量,成正比例關(guān)系的有2組。
故答案為:B
20.(2分)如圖,如果x和y成正比例,那么“?”處應(yīng)填寫( )。
x 4 ?
y 8 32
A.6 B.8 C.12 D.16
【答案】D
【分析】兩種相關(guān)聯(lián)的量,如果它們的比值或商一定,則這兩種量成正比例關(guān)系。x和y成正比例,則x和y的比值一定。設(shè)“?”處的數(shù)是x,可以列出比例,解出這個(gè)比例即可。
【解答】解:設(shè)“?”處的數(shù)是x。
8x=4×32
8x=128
x=128÷8
x=16
則“?”處應(yīng)填寫16。
故答案為:D
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)正比例的意義列出比例是解題的關(guān)鍵。
四、計(jì)算題(滿分6分)
21.(6分)解方程或比例。

【答案】;;
【分析】(1)在比例中,兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的乘積等于兩個(gè)外項(xiàng)的乘積,把比例轉(zhuǎn)化為方程,再利用等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時(shí)除以;
(2)先利用等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時(shí)減去3.6,再利用等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時(shí)除以0.25;
(3)利用等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時(shí)乘。
【解答】(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:
五、解答題(滿分54分)
22.(6分)工廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)420個(gè)零件,15天可以完成。由于改進(jìn)了技術(shù),實(shí)際比原計(jì)劃提前5天完成。實(shí)際每天生產(chǎn)多少個(gè)零件?(用比例知識(shí)解答)
【答案】630個(gè)
【分析】根據(jù)“工廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)420個(gè)零件,15天可以完成”可知原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)量×?xí)r間=零件的總數(shù)量,零件的總數(shù)量一定,則“原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)量”和“時(shí)間”成反比例關(guān)系,設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)x個(gè)零件,據(jù)此列比例解答。
【解答】解:設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)x個(gè)零件
答:實(shí)際每天生產(chǎn)630個(gè)零件。
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是:先判斷題中的兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例,并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量。
23.(6分)端午節(jié)前,某工廠加工了一批粽子,原計(jì)劃每箱裝8包,可以裝450箱,實(shí)際每箱比原來多裝50%,實(shí)際可以裝多少箱?(用比例解答)
【答案】300箱
【分析】根據(jù)題意,每箱裝的包數(shù)與裝的箱數(shù)成反比例,設(shè)實(shí)際可以裝x箱,再列比例解答。
【解答】解:設(shè)實(shí)際可以裝x箱
8×(1+50%)x=8×450
8×(1+50%)x=3600
8x+4x=3600
12x=3600
12x÷12=3600÷12
x=300
答:實(shí)際可以裝300箱。
【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例。
24.(6分)科學(xué)興趣小組在操場(chǎng)同一時(shí)間觀察實(shí)驗(yàn),當(dāng)竹竿高3米,測(cè)量竿影長1.2米,如果影長3.2米,竹竿的高度應(yīng)該是多少米?(用比例解答)
【答案】應(yīng)該是8米
【分析】根據(jù)題意知道,物體的長度和它的影子的長度的比值一定,即物體的長度和它的影子的長度的成正比例,由此列式解答即可。
【解答】解:設(shè)竹竿的高度是x米
3∶1.2=x∶3.2
1.2x=3×3.2
1.2x=9.6
1.2x÷1.2=9.6÷1.2
x=9.6÷1.2
x=8
答:竹竿的高度應(yīng)該是8米。
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是,先判斷題中的兩種相關(guān)聯(lián)的量成何比例,然后找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量,列式解答即。
25.(12分)購買一種皮球的數(shù)量和總價(jià)如下表。
數(shù)量/個(gè) 0 1 2 3 4 5 6 ……
總價(jià)/元 0 6 12 18 24 30 36 ……
(1)購買皮球的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系嗎?說明理由。
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),描出數(shù)量和總價(jià)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再按順序連接起來。
(3)買12個(gè)皮球需要( )元;108元最多可以買( )個(gè)皮球。
【答案】(1)成正比例關(guān)系,見詳解;
(2)見詳解;
(3)72;18
【分析】(1)觀察表格,發(fā)現(xiàn)表中有總價(jià)和數(shù)量兩種相關(guān)聯(lián)的量,總價(jià)隨著數(shù)量的變化而變化,且總價(jià)與相應(yīng)數(shù)量的比值都是一定的,實(shí)際就是單價(jià)一定,所以購買皮球的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系。
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線即可;
(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算可知:總價(jià)÷數(shù)量=6,即皮球的單價(jià)是6元/個(gè),據(jù)此計(jì)算出買12個(gè)需要的錢數(shù),108元可以買的個(gè)數(shù)。
【解答】(1)購買皮球的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系,理由如下:
因?yàn)?∶1=12∶2=18∶3=24∶4=30∶5=36∶6=定值,所以購買皮球的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系。
(2)如圖:
(3)6÷1×12
=6×12
=72(元)
108÷(6÷1)
=108÷6
=18(個(gè))
所以買12個(gè)皮球需要72元;108元最多可以買18個(gè)皮球。
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正比例的意義以及總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)之間的關(guān)系,正比例的意義是:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系是正比例關(guān)系。
26.(12分)一種花布的長度和總價(jià)如下表。
長度/m 1 2 3 4 5 6 7 …
總價(jià)/元 8 16 24 32 40 48 56 …
(1)表中的總價(jià)和長度成正比例關(guān)系嗎?為什么?
(2)在下圖中描出表示長度和對(duì)應(yīng)總價(jià)的點(diǎn),然后把它們連起來,并說說圖象的特點(diǎn)。
(3)買2.5米花布需要多少元?68元能買多少米花布?
【答案】(1)成正比例關(guān)系;理由:總價(jià)和長度的比值一定。
(2)見詳解
(3)20元;8.5米
【分析】(1)總價(jià)和長度是相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量,如果總價(jià)與長度的比值一定,那么總價(jià)與長度成正比例關(guān)系。
(2)圖中,橫軸代表長度,縱軸代表總價(jià),先找準(zhǔn)橫軸上的點(diǎn),再找準(zhǔn)縱軸上相對(duì)應(yīng)的點(diǎn),過兩點(diǎn)分別做橫軸、縱軸的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)就是所要描的點(diǎn),在交點(diǎn)處點(diǎn)上實(shí)心點(diǎn), 用線段順次連接所有點(diǎn)即可。
(3)求出每米布的單價(jià),根據(jù)數(shù)量×單價(jià)=總價(jià),總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量,即可解答。
【解答】(1)8÷1=16÷2=24÷8=32÷4=40÷5=48÷6=56÷7=8(一定)
答:總價(jià)和長度成正比例關(guān)系,因?yàn)榭們r(jià)與長度的比值一定。
(2)
圖像是一條射線,表示長度和對(duì)應(yīng)總價(jià)的點(diǎn)在這條射線上。(答案不唯一)
(3)8÷1=8(元)
2.5×8=20(元)
68÷8=8.5(米)
答:買2.5米花布需要20元.68元能買8.5米花布。
27.(12分)電腦興趣小組練習(xí)打同一份稿件,下表是每人打字所用的時(shí)間。
小美 小峰 小麗 小明
打字所用的時(shí)間/分 30 40 50 80
速度/(字/分) 80 30
(1)把上表補(bǔ)充完整。
(2)打字的速度和所用的時(shí)間有什么關(guān)系?為什么?
(3)劉老師打這份稿件用了32分,她平均每分鐘打多少個(gè)字?
【答案】(1)見詳解;
(2)反比例,理由見詳解;
(3)75個(gè)
【分析】(1)將小美打字的時(shí)間乘速度,求出這份稿件一共有多少個(gè)字。將字的總數(shù)分別除以小峰和小麗的打字時(shí)間,求出二人的打字速度;
(2)乘積一定的兩個(gè)量成反比例關(guān)系,據(jù)此解題;
(3)用這份稿件的總字?jǐn)?shù)除以32分,求出劉老師平均每分鐘打字多少個(gè)。
【解答】(1)30×80=2400(字)
2400÷40=60(字/分)
2400÷50=48(字/分)
填表如下:
小美 小峰 小麗 小明
打字所用的時(shí)間/分 30 40 50 80
速度/(字/分) 80 60 48 30
(2)答:打字的速度和所用的時(shí)間成反比例,理由如下:
因?yàn)?0×80=40×60=50×48=80×30=定值2400,所以打字的速度和所用的時(shí)間成反比例。
(3)2400÷32=75(個(gè))
答:她平均每分鐘打75個(gè)字。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了工程問題和反比例。工作效率×工作時(shí)間=工作總量,乘積一定的兩個(gè)量成反比例關(guān)系。
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2024-2025學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)典例
第四單元 正比例和反比例
(知識(shí)梳理+典例精講+培優(yōu)必刷)
【知識(shí)點(diǎn)一】變化的量
1、生活中存在著大量互相依存的量,如:速度、時(shí)間和路程;單價(jià)、數(shù)量和總價(jià);工作效率、工作時(shí)間和工作總量.....當(dāng)其中某一個(gè)量發(fā)生變化時(shí),另外一個(gè)量也會(huì)隨之變化,這樣的兩個(gè)變量就叫作相關(guān)聯(lián)的量。
【知識(shí)點(diǎn)二】正比例
1、正比例的意義:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用字母k表示它們的比值(一定),正比例關(guān)系可以表示為=k(一定)。
2、應(yīng)用正比例的意義判斷兩種量是否成正比例:有些相關(guān)聯(lián)的量,雖然也是一種量隨著另一種量的變化而變化,但它們相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值不一定,就不成正比例。
【知識(shí)點(diǎn)三】正比例的圖像
1、成正比例關(guān)系的兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的量表示的各點(diǎn)在同一條直線上,即成正比例關(guān)系的圖象是一條直線。
2、從圖象中可以直觀地看到兩種量的變化情況,同時(shí)根據(jù)圖象還可以由一個(gè)量的值直接找到與其對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量的值。
【知識(shí)點(diǎn)四】反比例
1、反比例的意義。
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關(guān)系叫作反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的積(一定),反比例關(guān)系可以表示為x·y=k(一定)。
2、判斷兩個(gè)量是不是成反比例。
要先想這兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的量;再運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行判斷,看這兩個(gè)量的積是否一定;最后作出結(jié)論。
【考點(diǎn)一】變化的量
【典例一】單價(jià)一定,總價(jià)和( )是相關(guān)聯(lián)的量。
A.速度 B.邊長 C.?dāng)?shù)量
【典例二】修路隊(duì)修一條長800米的路,已修的米數(shù)和剩下的米數(shù)如下表.
已修米數(shù)(米) 50 100 150 200 250 300 ...
剩下米數(shù)(米) 750 700 650 600 550 500 ...
(1)表中反映了( )和( )這兩個(gè)量的變化情況.
(2)如果修路隊(duì)已修400米,剩下的米數(shù)應(yīng)該是( )米.已修米數(shù)和剩下米數(shù)的( )一定,也就是( )一定.
【典例三】“浪漫一身”服裝廠制作一批新款女式短裙,每條用布料1.2米,制作100條、200條、300條這樣的短裙各需用布料多少米?將相應(yīng)的米數(shù)填在表中。
短裙數(shù)量(條) ... 100 200 300 400 500 ...
所需布料(米) ... ...
(1)服裝廠制作450條這種短裙,一共需要布料多少米?
(2)用660米布料可以制作多少條這種短裙?
【考點(diǎn)二】正比例及圖像
【典例一】一列火車從甲地開往乙地,10小時(shí)行駛了800千米,離乙地還有160千米,照這樣行完全程還需要幾小時(shí)?
解答此題時(shí),同學(xué)們有以下幾種方法,其中解答錯(cuò)誤的是( )。
A.設(shè)還需要x小時(shí)。= B.設(shè)還需要x小時(shí)。10∶800=160∶x
C.160÷(800÷10) D.10÷(800÷160)
【典例二】一輛汽車行駛的速度為90千米/時(shí),汽車行駛的時(shí)間和路程如下,把下表填完整。從表中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6 7 8
路程/千米 90 180 270 360 ( ) ( ) ( ) ( )
分析與解答:隨著時(shí)間的增加,路程也在( ),路程與時(shí)間的比值(也就是速度)相同,就是比值一定,所以路程和時(shí)間( )。
【典例三】隨著科技的發(fā)展和人們網(wǎng)絡(luò)購物次數(shù)的增長,越來越多的購物平臺(tái)用智能機(jī)器人來處理客戶訂單,已知1臺(tái)智能機(jī)器人30分鐘能處理40個(gè)訂單,照這樣的速度,1臺(tái)智能機(jī)器人12小時(shí)能處理多少個(gè)訂單?(用比例解答)
【典例四】購買哈密瓜的質(zhì)量與應(yīng)付金額如下表。
質(zhì)量/kg 0 1 2 3 4 …
應(yīng)付金額/元 0 12 24 36 48 …
(1)購買哈密瓜的質(zhì)量和應(yīng)付金額成正比例關(guān)系嗎?說明理由。
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),在圖中描出質(zhì)量和應(yīng)付金額對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再把各點(diǎn)順次連起來。
(3)購買3.5千克哈密瓜需要( )元。
【考點(diǎn)三】反比例
【典例一】下面說法正確的有( )。
①一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)的和一定是奇數(shù);
②分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù),分?jǐn)?shù)的大小不變;
③圓的周長一定,圓的半徑和圓周率成反比例。
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【典例二】有20粒糖果,平均分給一些同學(xué),請(qǐng)把表填寫完整。
每人分到的糖果數(shù)粒 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
人數(shù)人 1 2 4 5 10 20
將20粒糖果平均分,人數(shù)越多,每人分得糖果的粒數(shù)越( )。
【典例三】亮亮看一本故事書,平均每天看的頁數(shù)和所用的時(shí)間如表。
平均每天看的頁數(shù)/頁 8 10 15 20 30
所用的時(shí)間/天 30 24 8
(1)將上表補(bǔ)充完整。
(2)平均每天看的頁數(shù)與所用的時(shí)間是不是成反比例?說明理由。
(3)如果亮亮用40天看完了這本故事書,平均每天看多少頁?
一、填空題(滿分20分)
1.(2分)一輛汽車,行駛1千米的耗油量一定,第一次行駛60千米,耗油5L;第二次行駛162千米,耗油xL,列比例為( ),x的值為( )。
2.(2分)如表中,如果x與y兩個(gè)量成正比例關(guān)系,那么m的值是( );如果x與y兩個(gè)量成反比例關(guān)系,那么m的值是( )。
x 5 m
y 80 64
3.(2分)如果(X,Y均不為0),那么X與Y成( )比例。(填“正”或“反”)
4.(2分)下表中,如果x和y成正比例,“?”處應(yīng)填( );如果x和y成反比例,“?”處應(yīng)填( )。
x 9 ?
y 40 80
5.(2分)下圖是兩個(gè)相互咬合的齒輪,大齒輪的半徑是3dm,小齒輪的半徑是3cm,如果大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)100周,小齒輪要轉(zhuǎn)動(dòng)( )周。
6.(2分)一列火車進(jìn)隧道,從車頭進(jìn)入到車尾進(jìn)入,共用A分鐘,又經(jīng)過B分鐘,車尾出隧道。已知A∶B=3∶5,隧道長360米,火車長( )米。
7.(2分)已知(a和b都是不為0的數(shù)),則a和b成( )(填“正”或“反”)比例,( )。
8.(2分)某工廠生產(chǎn)一批零件,每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)如下表。
每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)/個(gè) 200 300 400 500
需要的天數(shù)/天 30 20 15 12
(1)每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)成( )比例。(填“正”或“反”)
(2)如果該工廠每天生產(chǎn)250個(gè)零件,需要( )天。
9.(2分)一份稿件,甲單獨(dú)打需小時(shí),乙單獨(dú)打需小時(shí),甲和乙的工作效率比是( )。
10.(2分)如圖,描述了一個(gè)游泳池進(jìn)水管打開后的進(jìn)水情況。
(1)這個(gè)進(jìn)水管每分鐘的進(jìn)水量是( )立方米。
(2)這個(gè)進(jìn)水管的進(jìn)水時(shí)間與進(jìn)水量成( )比例。
二、判斷題(滿分10分)
11.(2分)車輪直徑一定,所行駛的路程和車輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比例。( )
12.(2分)三角形的面積一定,底和對(duì)應(yīng)的高成反比例關(guān)系。( )
13.(2分)已知a,b是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,若(a,b均不為0),則a與b成正比例。( )
14.(2分)兩個(gè)互相咬合的齒輪,齒數(shù)比是5∶6,則它們的轉(zhuǎn)數(shù)之比是25∶36。( )
15.(2分)下圖可知道時(shí)間和路程成反比。( )
時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6
路程/千米 120 240 360 480 600 720
三、選擇題(滿分10分)
16.(2分)下面幾組相關(guān)聯(lián)的量中,成反比例關(guān)系的是( )。
A.長方形的面積一定,它的長和寬。
B.優(yōu)優(yōu)的年齡和爸爸的年齡。
C.全班人數(shù)一定,男生人數(shù)和女生人數(shù)。
D.正方形的周長和它的邊長。
17.(2分)一個(gè)圓柱若高增加2分米,則表面積增加25.12平方分米,體積增加。原來圓柱的表面積為( )平方分米。
A.188.4 B.157 C.150.72 D.125.6
18.(2分)小李加工一批零件,工作時(shí)間與加工零件的個(gè)數(shù)的關(guān)系如下圖,下列說法錯(cuò)誤的是( )。
A.加工零件的個(gè)數(shù)與工作時(shí)間成正比例關(guān)系。
B.N表示400個(gè)零件。
C.M表示3.2小時(shí)。
D.如果有一點(diǎn)P表示5小時(shí)做了600個(gè)零件,那么點(diǎn)P一定會(huì)和點(diǎn)E、F、G一樣在射線l上。
19.(2分)下面各題中的兩種量,成正比例關(guān)系的有( )組。
①圓柱的體積一定,圓柱的底面積和高。
②張老師的身高和體重。
③圓的面積和半徑。
④看電影所付票費(fèi)與看電影的人數(shù)。
⑤等邊三角形的周長與邊長。
A.1 B.2 C.3 D.4
20.(2分)如圖,如果x和y成正比例,那么“?”處應(yīng)填寫( )。
x 4 ?
y 8 32
A.6 B.8 C.12 D.16
四、計(jì)算題(滿分6分)
21.(6分)解方程或比例。

五、解答題(滿分54分)
22.(6分)工廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)420個(gè)零件,15天可以完成。由于改進(jìn)了技術(shù),實(shí)際比原計(jì)劃提前5天完成。實(shí)際每天生產(chǎn)多少個(gè)零件?(用比例知識(shí)解答)
23.(6分)端午節(jié)前,某工廠加工了一批粽子,原計(jì)劃每箱裝8包,可以裝450箱,實(shí)際每箱比原來多裝50%,實(shí)際可以裝多少箱?(用比例解答)
24.(6分)科學(xué)興趣小組在操場(chǎng)同一時(shí)間觀察實(shí)驗(yàn),當(dāng)竹竿高3米,測(cè)量竿影長1.2米,如果影長3.2米,竹竿的高度應(yīng)該是多少米?(用比例解答)
25.(12分)購買一種皮球的數(shù)量和總價(jià)如下表。
數(shù)量/個(gè) 0 1 2 3 4 5 6 ……
總價(jià)/元 0 6 12 18 24 30 36 ……
(1)購買皮球的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系嗎?說明理由。
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),描出數(shù)量和總價(jià)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再按順序連接起來。
(3)買12個(gè)皮球需要( )元;108元最多可以買( )個(gè)皮球。
26.(12分)一種花布的長度和總價(jià)如下表。
長度/m 1 2 3 4 5 6 7 …
總價(jià)/元 8 16 24 32 40 48 56 …
(1)表中的總價(jià)和長度成正比例關(guān)系嗎?為什么?
(2)在下圖中描出表示長度和對(duì)應(yīng)總價(jià)的點(diǎn),然后把它們連起來,并說說圖象的特點(diǎn)。
(3)買2.5米花布需要多少元?68元能買多少米花布?
27.(12分)電腦興趣小組練習(xí)打同一份稿件,下表是每人打字所用的時(shí)間。
小美 小峰 小麗 小明
打字所用的時(shí)間/分 30 40 50 80
速度/(字/分) 80 30
(1)把上表補(bǔ)充完整。
(2)打字的速度和所用的時(shí)間有什么關(guān)系?為什么?
(3)劉老師打這份稿件用了32分,她平均每分鐘打多少個(gè)字?
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