資源簡介

2024-2025學年六年級下冊數學易錯典例
第二單元 比例
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】比例的認識
1、表示兩個比相等的式子叫作比例。組成比例的四個數，叫作比例的項。兩端的兩項叫作比
例的外項，中間的兩項叫作比例的內項。
2、在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積，這叫做比例的基本性質。
【知識點二】比例的應用
1、求比例中的未知項的過程，叫作解比例。
2、解比例的方法：根據比例的基本性質，先把比例轉化成外項的積與內項的積相等的形式（即方程），再通過解方程求出未知項的值。
3、當已知兩個量的比或兩個量的比不變時，可以設要求的一個量為x，然后根據比例的意義列出比例，再求出x的值。
4、對于一些具體的實際問題可以列算式求解，也可以根據比例的意義，列出比例（方程），然后解比例，求出實際問題的答案，其關鍵是理解題意，正確地列出比例。
【知識點三】比例尺
1、意義。
將實際圖形畫在紙上，為了讓圖形的形狀不變，畫在紙上的距離和對應的實際距離的比要組成比例，即按統一的比進行繪圖。
圖上距離和實際距離的比，叫作這幅圖的比例尺，即：=比例尺。
比例尺是一個簡單的整數比，它表示圖上距離和實際距離的倍比關系，因此不能帶有計量單位。
2、比例尺的應用。
（1）應用比例尺畫圖時，要先根據比例尺求出圖上距離，再根據圖上距離畫圖；
（2）圖上距離：實際距離=比例尺。
（3）實際距離=圖上距離÷比例尺。
（4）圖上距離=實際距離×比例尺。
3、兩種常見的比例尺。
（1）數值比例尺：一幅圖的比例尺是1：1000，像這樣用數字形式表示的比例尺叫數值比例尺。
（2）線段比例尺：比例尺1：1000還可以這樣表示：，這種用線段表示的比例尺叫線段比例尺。
拓展：比例尺的分類。
【知識點四】圖形的放大和縮小
1、圖形的放大。
（1）保持物體的圖形或圖象原來的形狀不變而使物體的圖形或圖象變大，叫作放大。
（2）圖形（或圖象）放大后得到的圖形（或圖象）與原圖形（或圖象）相比，形狀相同圖形（或圖象）變大。
2、圖形的縮小。
（1）保持物體的圖形或圖象原來的形狀不變而使物體的圖形或圖象變小，叫作縮小。
（2）圖形（或圖象）縮小后得到的圖形（或圖象）與原圖形（或圖象）相比，形狀相同圖形（或圖象）變小。
3、圖形放大或縮小的方格。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小，分為三步；
一看：看原圖形每邊各占幾格；
二算：計算按給定的比將圖形的各邊長放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；
三畫：按計算出的邊長畫出原圖形的放大圖或縮小圖。
【考點一】比例的認識
【典例一】下面（ ）組中四個數不能組成比例。
A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20
C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3
【分析】表示兩個比相等的式子叫作比例，據此分別求出選項A、B、D中各比的比值，C選項根據比例的基本性質：兩個內項積等于外項積，據此判斷。
【規范解答】A．15∶18＝，30∶36＝，所以15∶18和30∶36能組成比例；
B．4∶8＝0.5，5∶20＝0.25，0.5≠0.25，所以4∶8和5∶20不能組成比例；
C．3×8＝24，4×6＝24，24＝24，所以3、4、8和6能組成比例；
D．∶＝，4∶3＝，所以∶和4∶3能組成比例。
所以不能組成比例的是4∶8和5∶20。
故答案為：B
【典例二】從18的因數中選出四個數組成一個比例是( )。
【分析】先找出18的因數，再根據比例的意義寫出比例。比例的意義：表示兩個比相等的式子，叫做比例。
【規范解答】18的因數有：1，2，3，6，9，18。
組成比例：（答案不唯一）
從18的因數中選出四個數組成一個比例是。
【典例三】麗麗為了布置教室墻報，剪了兩張大小不同的長方形剪紙。經測量第一張剪紙長與寬的比是21∶14，第二張剪紙長與寬的比是9∶6，麗麗認為21∶14和9∶6能組成比例，你覺得呢？請寫出理由。
理由1：
理由2：
理由1：21∶14和9∶6的比值相等；
理由2：兩個內項的積等于兩個外項的積。
【解題思路】比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例；比例的基本性質：在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積。
21∶14＝，9∶6＝，因為21∶14和9∶6的比值相等，所以21∶14和9∶6能組成比例；
14×9＝126，21×6＝126，因為兩個內項的積等于兩個外項的積，所以21∶14和9∶6能組成比例。
【規范解答】由分析可知：
能組成比例；
理由1：21∶14和9∶6的比值相等，所以21∶14和9∶6能組成比例；
理由2：兩個內項的積等于兩個外項的積，所以21∶14和9∶6能組成比例。
【考察方向】本題考查如何判斷兩個比是否能組成比例，方法一：用比例的意義來判斷，方法二：用比例的基本性質來判斷。
【考點二】比例的應用
【典例一】解方程。

【解題思路】（1）先把方程左邊化簡為x，再根據等式的性質2，把方程兩邊同時乘即可解答；
（2）根據比例的基本性質可得：x＝60%×5，再根據等式的性質2，把方程兩邊同時乘即可解出方程。
【規范解答】
解：
x＝55
x×＝55×
x＝60
解：x＝60%×5
x＝3
x×＝3×
x＝
【典例二】相同質量的水和冰的體積比約是9∶10。若一塊冰融化成水后是81立方分米，則這塊冰的體積是多少立方分米？（用比例知識解決）
【解題思路】設這塊冰的體積是多少立方分米，已知相同質量的水和冰的體積比約是9∶10，據此可列出比例：81∶＝9∶10，再根據比例的基本性質解出比例即可。
【規范解答】解：設這塊冰的體積是多少立方分米
81∶＝9∶10
9＝81×10
＝81×10÷9
＝90
答：這塊冰的體積是90立方分米。
【典例三】一個人的血液與體重比約為2∶25，肌肉與體重比約為2∶3，骨頭與體重比約為1∶4。
（1）體重是7千克的幼兒，他體內的血液約有多少千克？（列方程解答）
（2）體重是多少千克的人，他體內的肌肉約有28千克？（列方程解答）
【解題思路】（1）根據血液與體重的比是2∶25，假設體重7kg的幼兒血液約有x千克。則可以列出比例x∶7＝2∶25，再根據比例的基本性質兩個內項的積等于兩個外項的積，將比例轉化成方程，最后根據等式的性質“等式兩邊同時除以一個數（0除外）等式不變”解比例。
（2）根據肌肉與體重的比是2∶3，體內的肌肉約有28千克，設體重為x千克，則28∶x＝2∶3。根據比例的基本性質兩個內項的積等于兩個外項的積，將比例轉化成方程，最后根據等式的性質等式兩邊同時除以一個數（0除外）等式不變解比例。
【規范解答】（1）解：設他體內的血液約有x千克。
x∶7＝2∶25
25x＝2×7
25x＝14
25x÷25＝14÷25
x＝0.56
答：他體內的血液約有0.56千克。
（2）解：設他的體重是x千克。
28∶x＝2∶3
2x＝28×3
2x＝84
2x÷2＝84÷2
x＝42
答：他的體重是42千克。
【考點三】比例尺
【典例一】線段比例尺 化成數值比例尺是（ ）。
A．1∶30 B．30∶1 C．1∶3000000 D．3000000∶1
【解題思路】從線段比例尺可知，圖上1厘米的距離相當于實際距離30千米，根據“圖上距離∶實際距離＝比例尺”，以及進率“1千米＝100000厘米”，將線段比例尺化成數值比例尺。
【規范解答】1厘米∶30千米
＝1厘米∶（30×100000）厘米
＝1∶3000000
線段比例尺 化成數值比例尺是1∶3000000。
故答案為：C
【典例二】青白江區城市森林和諧廣場位于青白江區華金大道二段，是青白江百姓休閑、娛樂的重要場所。把它繪制在比例尺為1∶5000的地圖上，該廣場平面圖是一個長約是5厘米，寬約是3厘米的長方形。請問該廣場實際面積約是多少平方米？
【解題思路】由題可知該廣場的長和寬的圖上距離分別是5厘米和3厘米，根據公式：實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據進行計算，可以求出該廣場的長和寬的實際距離，再根據1米＝100厘米進行單位換算，最后根據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算，即可求出該廣場實際面積，據此解答。
【規范解答】（厘米）
（厘米）
25000厘米＝250米
15000厘米＝150米
250×150＝37500（平方米）
答：該廣場實際面積約是37500平方米。
【典例三】如圖是小英家附近幾個建筑物的位置。
(1)小英家到學校的實際距離書店是900米，則這幅圖的比例尺是( )。（測量時取整厘米）
(2)書店距離小英家的實際距離是( )米。
(3)體育場在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的實際距離是( )米。
【解題思路】（1）量出小英家到學校的圖上距離，再根據比例尺＝圖上距離∶實際距離，代入數據計算出比例尺；
（2）量出書店距離小英家的圖上距離，再根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據計算出實際距離；
（3）觀察圖可知，此題是按“上北下南，左西右東”來規定方向的，以小英家為觀測點，根據方向、角度確定體育場的位置即可。再量出體育場距離小英家的圖上距離，再根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據計算出實際距離；
【規范解答】（1）量出小英家到學校的圖上距離為3厘米，900米＝90000厘米
3∶90000＝1∶30000
所以，這幅圖的比例尺是1∶30000。
（2）量出書店距離小英家的圖上距離是2厘米
2÷＝2×30000＝60000（厘米）
60000厘米＝600米
書店距離小英家的實際距離是600米。
（3）體育場距離小英家的圖上距離為4厘米，
4÷＝4×30000＝120000（厘米）
120000厘米＝1200米
所以，體育場在小英家的東偏北30°方向，距小英家的實際距離是1200米。
【考點四】圖形的放大和縮小
【典例一】把一個圖形按4∶1擴大后，周長的變化是（ ）
A．擴大到原來的4倍。 B．擴大到原來的16倍。
C．縮小到原來的。 D．周長不變。
【解題思路】根據比的意義，把原來圖形周長看作1份數，那么放大后的圖形的周長就為4份數，例如邊長為1的正方形周長為4，放大后邊長為4，正方形周長為16，也就是擴大到原來的4倍。
【規范解答】根據分析，把一個圖形按4∶1放大后，周長擴大到原來的4倍。
故答案為：A
【典例二】把一個正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形與原來正方形的面積比是( )；把一個長方形按1∶6的比縮小，縮小后的長方形與原來長方形的周長比是( )。
【解題思路】設原來正方形的邊長是1厘米，放大后的正方形邊長是（1×4）厘米。正方形面積＝邊長×邊長，把數據代入算出原來正方形和放大后的正方形面積，再算出面積比。
設原來長方形的長是12厘米，寬是6厘米，則縮小后的長是（12÷6）厘米，寬是（6÷6）厘米。長方形周長＝（長＋寬）×2，把數據代入算出原來長方形的周長和縮小后的長方形周長，再算出周長比。
【規范解答】1×4＝4（厘米）
（4×4）∶（1×1）
＝16∶1
12÷6＝2（厘米）
6÷6＝1（厘米）
[（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2]
＝[3×2]∶[18×2]
＝6∶36
＝1∶6
把一個正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形與原來正方形的面積比是16∶1；把一個長方形按1∶6的比縮小，縮小后的長方形與原來長方形的周長比是1∶6。
【典例三】想一想，畫一畫。
點A、B、C、D的數對是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。
（1）將圖形①各頂點數對的第一個數乘，第二個數不變，得到圖形③。
（2）將圖形②按2∶1放大，得到圖形④。
【解題思路】（1）將數對中的第一個數乘，求出變化后的數，進而得出圖形③中各點數對，再找出各點連線即可；
（2）將圖形②按2∶1放大，就是把這個平行四邊形各邊擴大到原來的2倍，由此畫出圖形④即可。
【規范解答】（1）62
124
變化后的數對為：A（2，2）、B（2，0）、C（4，0）、D（4，2）
見下圖
（2）畫圖如下：
【考察方向】本題考查圖形的放大與縮小，根據數對表示位置以及分數乘法的計算方法。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）在一個比例中，兩個外項的積是最小的質數，其中一個內項是，另一個內項是（ ）。
【正確答案】
【解題思路】在比例中，兩個內項的乘積等于兩個外項的乘積，另一個內項＝兩個外項的乘積÷其中一個內項，再根據最小的質數為2，即可求得。
【詳細解答】由分析可知：
2÷
＝2×
＝
所以另一個內項是。
【考點點評】掌握比例的基本性質是解答題目的關鍵。
2．（2分）電腦上有一張長3cm、寬2.4cm的圖片，拖動鼠標后，圖片的長變為15cm，寬變為12cm，相當于把這張圖片按（ ）放大了。
【正確答案】5∶1
【解題思路】由題意可知：圖片原來的長（實際距離）是3cm，放大后的長（圖上距離）是15cm；圖片原來的寬（實際距離）是2.4cm，放大后的寬（圖上距離）是12cm。根據圖上距離∶實際距離＝比例尺，用15∶3或者12∶2.4即可求解。
【詳細解答】15∶3＝（15÷3）∶（3÷3）＝5∶1
12∶2.4＝（12×10）∶（2.4×10）＝120∶24＝（120÷24）∶（24÷24）＝5∶1
所以，相當于把這張圖片按5∶1放大了。
3．（2分）把一個長6厘米、寬4厘米的長方形按2∶1放大，得到的圖形的面積是（ ）平方厘米。
【正確答案】96
【解題思路】根據題意，把長、寬按2∶1放大到原來的2倍，先分別求出放大后的長、寬各是多少厘米，再根據長方形的面積＝長×寬，代入數據解答即可。
【詳細解答】放大后的長：6×2＝12 （厘米）
放大后的寬：4×2＝8（厘米）
放大后的面積：12×8＝96（平方厘米）
把一個長6厘米、寬4厘米的長方形按2∶1放大，得到的圖形的面積是96平方厘米。
4．（2分）從雷州到廣州的實際距離大約是480千米，在一幅地圖上量得這兩地間的距離是12厘米。這幅地圖的比例尺是（ ）。
【正確答案】1∶4000000
【解題思路】根據比例尺＝圖上距離∶實際距離，代入數據解答即可。
【詳細解答】480千米＝48000000厘米
12厘米∶480千米
＝12厘米∶48000000厘米
＝12∶48000000
＝（12÷12）∶（48000000÷12）
＝1∶4000000
從雷州到廣州的實際距離大約是480千米，在一幅地圖上量得這兩地間的距離是12厘米。這幅地圖的比例尺是1∶4000000。
【考點點評】解答此題的關鍵是掌握比例尺的意義和相關公式。
5．（2分）在一幅比例尺是1∶3000000的地圖上量得甲、乙兩地之間的距離是2厘米，甲、乙兩地之間的實際距離是（ ）千米。
【正確答案】60
【解題思路】已知一幅地圖的比例尺和甲、乙兩地的圖上距離，根據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”，以及進率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙兩地的實際距離。
【詳細解答】2÷
＝2×3000000
＝6000000（厘米）
6000000厘米＝60千米
甲、乙兩地之間的實際距離是60千米。
6．（2分）去年6月17日我國第三艘航空母艦“福建號”成功下水，據悉它的長是320米，寬是78米，排水量8萬余噸。如果按照的比例尺制作“福建號”模型，長應是（ ）厘米，寬應是（ ）厘米。
【正確答案】16 3.9
【解題思路】根據圖上距離實際距離比例尺，代入數據解答。同時注意答案中單位，根據1米＝100厘米，在答案中做相應變化。
【詳細解答】320米＝32000厘米
78米＝7800厘米
（厘米）
（厘米）
長應是16厘米，寬應是3.9厘米。
7．（2分）學校制作宣傳欄表彰“閱讀小達人”，如圖是一位同學的二寸照片的尺寸，老師想按比例放大裝進宣傳欄，放大后照片的寬是22cm，長是（ ）cm。
【正確答案】32
【解題思路】根據題意可知，照片按比例放大后，原照片的長∶放大后照片的長＝原照片的寬∶放大后照片的寬，據此列出比例方程，并求解。
【詳細解答】解：設放大后照片的長是cm。
4.8∶＝3.3∶22
3.3＝4.8×22
3.3＝105.6
＝105.6÷3.3
＝32
放大后照片的長是32cm。
8．（2分）甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3，兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5，那么甲乙兩校原來共有（ ）本圖書。
【正確答案】4200
【解題思路】根據“甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3”，可以設甲校原來有4本圖書，乙校原來有3本圖書；根據“兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5”可得出等量關系：（甲校原有圖書的本數－300）∶（乙校原有圖書的本數－300）＝7∶5；據此列出比例方程，并求解，進而求出甲校、乙校原有圖書的本數，再相加，即是兩校原有圖書的總本數。
【詳細解答】解：設甲校原來有4本圖書，乙校原來有3本圖書。
（4－300）∶（3－300）＝7∶5
7（3－300）＝5（4－300）
21－2100＝20－1500
21－20＝2100－1500
＝600
甲校原有：600×4＝2400（本）
乙校原有：600×3＝1800（本）
一共：2400＋1800＝4200（本）
那么甲乙兩校原來共有4200本圖書。
9．（2分）三個數15、6、9與a能組成一個比例，a＝（ ）。組成的比例是（ ）。
【正確答案】10 15∶10＝9∶6
【解題思路】表示兩個比相等的式子叫做比例，比例的基本性質：在比例里，兩內項的積等于兩外項的積。據此解答。
【詳細解答】15×6÷9
＝90÷9
＝10
所以可以寫成15∶10＝9∶6。
15×9÷6
＝135÷6
＝22.5
所以可以寫成15∶6＝22.5∶9。
6×9÷15
＝54÷15
＝3.6
所以可以寫成6∶15＝3.6∶9。（答案不唯一）
【考點點評】此題主要考查了比例的意義以及比例的基本性質，要熟記相關性質。
10．（2分）甲乙兩堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，當甲堆運走80%，乙堆運走后，甲乙兩堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原來有（ ）袋，乙堆水泥原來有（ ）袋。
【正確答案】150 100
【解題思路】根據“甲堆水泥比乙堆多50袋”，可以設乙堆原有水泥袋，則甲堆原有水泥（＋50）袋。
把甲堆原有的水泥袋數看作單位“1”，運走80%，則甲堆還剩下原有水泥的（1－80%），根據百分數乘法的意義可知，甲堆還剩下（1－80%）（＋50）袋；
把乙堆原有的水泥袋數看作單位“1”，運走，則乙堆還剩下原有水泥的（1－），根據分數乘法的意義可知，乙堆還剩下（1－）袋；
等量關系式：甲堆剩下的水泥袋數∶乙堆剩下的水泥袋數＝6∶5，據此列出比例方程，并求解。
【詳細解答】解：設乙堆原有水泥袋，則甲堆原有水泥（＋50）袋。
（1－80%）（＋50）∶（1－）＝6∶5
0.2（＋50）∶0.25＝6∶5
（0.2＋10）∶0.25＝6∶5
0.25×6＝（0.2＋10）×5
1.5＝＋50
1.5－＝50
0.5＝50
＝50÷0.5
＝100
甲原有：100＋50＝150（袋）
甲堆水泥原來有150袋，乙堆水泥原來有100袋。
【考點點評】本題主要考查比例的應用，從題目中找出等量關系，按等量關系列出比例方程是解題的關鍵。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）如果11a＝6b，（a、b均不為0），則a∶b＝6∶11。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。
根據比例的基本性質，把11a＝6b改寫成比例式，一個外項是a，內項是b的比例，則和a相乘的數11就作為比例的另一個外項，和b相乘的數6就作為比例的另一個內項，據此寫出比例。
【詳細解答】由11a＝6b可得a∶b＝6∶11。
原題說法正確。
故答案為：√
12．（2分）王師傅8天完成了10天的工作任務，他的工作效率提高了25%。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】時間比反過來是效率比，用前后效率差÷原來工作效率＝工作效率提高了百分之幾。
【詳細解答】（10－8）÷8
＝2÷8
＝25%
故答案為：√
【考點點評】差÷較小數＝提高百分之幾，此類問題一般用表示單位“1”的量作除數。
13．（2分）比例尺1∶100000表示圖上1厘米代表實際距離100000厘米。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】根據比例尺＝圖上距離∶實際距離，可知1∶100000表示圖上1厘米代表實際距離100000厘米。據此解答。
【詳細解答】根據分析可知，比例尺1∶100000表示圖上1厘米代表實際距離100000厘米。原題干說法正確。
故答案為：√
【考點點評】本題主要考查了比例尺的意義，注意前后的單位統一。
14．（2分）比例尺一定，實際距離擴大到原來的5倍，圖上距離也擴大到原來的5倍。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】比例尺＝圖上距離∶實際距離，比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。
【詳細解答】根據比例尺的意義以及比的性質可知，比例尺一定，實際距離擴大到原來的5倍，圖上距離也擴大到原來的5倍。所以原題說法正確。
故答案為：√
【考點點評】熟練掌握比例尺的意義和比的基本性質是解題的關鍵。
15．（2分）一個圓形放大或縮小后，其形狀和大小都發生了變化。（ ）
【正確答案】×
【解題思路】把一個圖形按一定的比例放大或縮小后，大小發生了變化，形狀沒變。據此解答。
【詳細解答】根據分析可知，一個圓形放大或縮小后，其形狀不變，大小發生了變化。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）一幅地圖的比例尺是1∶5000000，地圖上的1厘米表示實際距離（ ）。
A．50千米 B．500千米 C．5000千米 D．5000000千米
【正確答案】A
【解題思路】圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。根據比例尺的意義，可知比例尺1∶5000000表示圖上1厘米相當于實際距離5000000厘米，再根據進率“1千米＝100000厘米”換算單位即可。
【詳細解答】5000000厘米＝50千米
一幅地圖的比例尺是1∶5000000，地圖上的1厘米表示實際距離50千米。
故答案為：A
17．（2分）市政府要建一個長600m，寬400m的長方形廣場，將廣場設計圖畫在一張長20cm、寬16cm的長方形紙上，選用下列比例尺（ ）比較合適。
A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000
【正確答案】C
【解題思路】根據圖上距離＝實際距離×比例尺，分別計算出按照各個比例尺畫的圖上長度，選擇合適的即可。
【詳細解答】600m＝60000cm，400m＝40000cm
A．長：60000×＝24（cm），寬：40000×＝160（cm），24＞20，16＝16，不合適；
B．長：60000×＝20（cm），寬：40000×＝（cm），20＝20，＜16，但是不是整數，不合適；
C．長：60000×＝15（cm），寬：40000×＝10（cm），15＜20，10＜16，合適；
D．長：60000×＝0.015（cm），寬：40000×＝0.01（cm），0.015與0.01過于小，不合適。
故答案為：C
18．（2分）下列說法錯誤的是（ ）。
A．圖形平移后，位置、形狀都不改變 B．圖形旋轉后，位置變了，大小不變
C．圖形放大后，大小變了，形狀相似 D．圖形縮小后，對應線段長的比相等
【正確答案】A
【解題思路】根據學過的平移、旋轉、圖形的放大與縮小的特點逐項分析。
【詳細解答】A．圖形平移后，形狀不改變，位置改變，原說法錯誤；
B．圖形旋轉后，位置變了，大小不變，此說法正確；
C．圖形放大后，大小變了，但形狀相似，此說法正確；
D．圖形縮小后，組成圖形的線段都按照相同的比例縮小，則對應線段長的比相等，此說法正確。
故答案為：A
【考點點評】掌握平移、旋轉、圖形的放大與縮小的特點是解題的關鍵。
19．（2分）一列火車從甲地開往乙地，6小時行駛了，距離乙地還有，照這樣的速度計算，行駛完全程還需要幾小時？若設行駛完全程還需要小時，則下面所列比例錯誤的是（ ）。
A． B． C． D．
【正確答案】D
【解題思路】設行駛完全程還需要小時，用比例解決問題只要比例兩邊的比統一即可，已行駛路程∶已用時間＝還要行駛的路程∶還需要的時間，還要行駛的路程∶已行駛路程＝還需要的時間∶已用時間，或已行駛路程∶還要行駛的路程＝已用時間∶還需要的時間，都可列出比例式進行解答。
【詳細解答】A．，已行駛路程∶已用時間＝還要行駛的路程∶還需要的時間，比例正確；
B．，還要行駛的路程∶已行駛路程＝還需要的時間∶已用時間，比例正確；
C．，已行駛路程∶還要行駛的路程＝已用時間∶還需要的時間，比例正確；
D．，已用時間∶已行駛路程≠還要行駛的路程∶還需要的時間，比例錯誤。
所列比例錯誤的是。
故答案為：D
20．（2分），那么a與b化簡后的比是（ ）。
A． B． C．6∶5 D．5∶6
【正確答案】C
【解題思路】比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。據此可得a∶b＝，再根據比的基本性質化簡比即可。
【詳細解答】根據比例的基本性質可得：
a∶b＝
＝（×15）∶（×15）
＝12∶10
＝（12÷2）∶（10÷2）
＝6∶5
則a與b化簡后的比是6∶5。
故答案為：C
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）解方程。
（1）0.3x－0.6＝1.8 （2）40%x＋26＝84 （3）
【正確答案】（1）x＝8；（2）x＝145；（3）x＝20
【解題思路】（1）根據等式的性質，方程兩邊同時加上0.6，再同時除以0.3即可；
（2）根據等式的性質，方程兩邊同時減去26，再同時除以40%即可；
（3）根據比例的基本性質，把式子轉化為x＝12×，再化簡方程，最后根據等式的性質，方程兩邊同時除以即可。
【詳細解答】（1）0.3x－0.6＝1.8
解：0.3x－0.6＋0.6＝1.8＋0.6
0.3x＝2.4
0.3x÷0.3＝2.4÷0.3
x＝8
（2）40%x＋26＝84
解：40%x＋26－26＝84－26
40%x＝58
40%x÷40%＝58÷40%
x＝145
（3）
解：x＝12×
x＝10
x÷＝10÷
x＝10×2
x＝20
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）已知小剛家正東方向800米是電影院，電影院東偏北65°方向600米是學校，學校南偏東40°方向500米是圖書館，在圖中標出電影院、學校、圖書館的位置。
【正確答案】見詳解
【解題思路】根據圖上確定方向的方法：上北下南、左西右東，以小剛家為觀測點，即可確定電影院的方向，以電影院為觀測點，即可確定學校的方向，以學校為觀測點，即可確定圖書館的方向；然后根據圖上1厘米表示實際200米，分別求出800米、600米、500米的圖上距離，據此進行作圖。
【詳細解答】20000厘米＝200米
比例尺1∶20000代表圖上1厘米表示實際200米，
800÷200＝4（厘米）
600÷200＝3（厘米）
500÷200＝2.5（厘米）
如圖：
【考點點評】此題主要考查依據方向（角度）和距離確定物體位置的方法。
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）甲乙兩地的實際距離是1600千米，在地圖上，量得甲乙兩地的直線距離是20厘米。“十四五”期間，寧夏至太原高鐵項目列入計劃，全長約600千米。畫在這幅地圖上，應畫多少厘米？
【正確答案】7.5厘米
【解題思路】已知甲乙兩地的實際距離是1600千米，圖上距離是20厘米，圖上距離∶實際距離＝比例尺，據此把1600千米化成160000000厘米，用20比160000000即可求出這幅地圖的比例尺。實際距離×比例尺＝圖上距離，據此用寧夏至太原高鐵項目的全長乘比例尺，即可求出它的圖上距離。
【詳細解答】1600千米＝160000000厘米
20∶160000000＝1∶8000000
600千米＝60000000厘米
60000000×＝7.5（厘米）
答：應畫7.5厘米。
【考點點評】本題考查比例尺的應用。在同一幅地圖上，比例尺是不變的。掌握圖上距離、實際距離與比例尺的關系是解題的關鍵。
24．（6分）在比例尺是1∶4000000的地圖上量得A、B兩個城市間的公路長9cm。一輛汽車從A城到B城用了7.2小時，這輛汽車平均每小時行駛多少千米？
【正確答案】50千米
【解題思路】根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，求出A、B兩地間的實際距離，再根據路程÷時間＝速度，求出這輛貨車的速度即可。
【詳細解答】9
＝9×4000000
＝36000000（厘米）
36000000厘米＝360千米
360÷7.2＝50（千米/時）
答：這輛汽車平均每小時行駛50千米。
【考點點評】本題主要考查比例尺的應用，求出實際距離是解題的關鍵。
25．（6分）同學們在某一天同一時刻分成三組進行測量活動，并記錄下一些數據（見表格）。學校旗桿的實際高度是多少米？（用比例知識進行解答）
實際高度（米） 影子長度（米）
木棍 1 0.25
小明同學 1.6 0.4
學校旗桿 ？ 4.22
【正確答案】16.88米
【解題思路】根據題意以及表格中的數據，可得出等量關系：木棍的影子長度∶木棍的實際長度＝學校旗桿的影子長度∶學校旗桿的實際長度，據此列出比例方程，并求解。
【詳細解答】解：設學校旗桿的實際高度是米。
0.25∶1＝4.22∶
0.25＝1×4.22
0.25＝4.22
＝4.22÷0.25
＝16.88
答：學校旗桿的實際高度是16.88米。
26．（6分）蘭蘭家距離外婆家460千米，汽車每100千米耗油8升，按這個耗油量，出發時加滿40升汽油，能到外婆家嗎？（用比例知識解答）
【正確答案】能到。
【解題思路】耗油量∶汽車行駛的路程＝汽車每行駛1千米的耗油量（一定），因為耗油量和汽車行駛的路程的比值是一個定值，所以耗油量和汽車行駛的路程成正比例關系。設460千米耗油x升，根據這個列比例解答。
【詳細解答】解：設460千米耗油x升。
100x＝8×460
100x＝3680
100x÷100＝3680÷100
x＝36.8
40＞36.8
答：能到達外婆家。
27．（12分）智能物流是把先進的物聯網技術通過信息處理和網絡通信技術平臺廣泛應用于物流業運輸、倉儲、配送、包裝、裝卸等基本活動環節，實現貨物運輸過程的自動化運作和高效率優化管理。某物流公司用機器人給某街道配送快遞，下圖是機器人配送快遞的示意圖。
（1）已知出發點到A戶的實際距離是300米，則這幅圖的比例尺是多少？
（2）B戶在出發點的東偏北60°方向，距離出發點的實際距離是多少米？
（3）機器人現在要給D戶配送快遞，D戶位于出發點東偏南45°方向400米處，請在上圖中畫出D戶的位置。
【正確答案】（1）1∶10000
（2）200米
（3）見詳解
【解題思路】（1）先從圖上量出A點到出發點的圖上距離，再根據“圖上距離∶實際距離＝比例尺”，求出這幅圖的比例尺。注意單位的換算：1米＝100厘米。
（2）先從圖上量出B點距離出發點的圖上距離，再根據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”，求出B戶距離出發點的實際距離，再根據進率“1米＝100厘米”換算單位即可。
（3）已知D戶位于出發點東偏南45°方向400米處，先把400米換算成40000厘米，再根據“圖上距離＝實際距離×比例尺”，求出D戶距離出發點的圖上距離。
以圖上的“上北下南，左西右東”為準，以出發點為觀測點，根據方向、角度和距離在圖中畫出D戶的位置。
【詳細解答】（1）量得A點到出發點的圖上距離是3厘米。（以實際測量為準）
3厘米∶300米
＝3厘米∶（300×100）厘米
＝3∶30000
＝（3÷3）∶（30000÷3）
＝1∶10000
答：這幅圖的比例尺是1∶10000。
（2）量得B點距離出發點的圖上距離是2厘米。（以實際測量為準）
2÷
＝2×10000
＝20000（厘米）
2000厘米＝200米
答：B點距離出發點的實際距離是200米。
（3）400米＝40000厘米
40000×＝4（厘米）
如圖：
28．（12分）操作。
（1）用數對表示三角形三個頂點的位置。
A（ ），B（ ），C（ ）。
（2）畫出三角形按2∶1放大后的圖形。
（3）如果原來直角三角形的斜邊長是a，那么放大后的直角三角形的斜邊長是（ ）。
【正確答案】（1）A（2，3）；B（2，1）；C（5，1）
（2）見詳解
（3）2a
【解題思路】（1）用數對表示物體的位置時，先說列，后說行，表示形式為（列數，行數）。
（2）直角三角形ABC的直角邊AB占2格，按2∶1放大后占2×2＝4格；直角邊BC占3格，按2∶1放大后占3×2＝6格。據此畫出放大后的圖形。
（3）三角形的斜邊按2∶1放大后的長度是原來長度a的2倍，即a×2＝2a。
【詳細解答】（1）點A在第2列、第3行的交點處，用數對表示是（2，3）；
點B在第2列、第1行的交點處，用數對表示是（2，1）；
點C在第5列、第1行的交點處，用數對表示是（5，1）；
（2）如下圖：
（3）a×2＝2a
所以，如果原來直角三角形的斜邊長是a，那么放大后的直角三角形的斜邊長是2a。
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第二單元 比例
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】比例的認識
1、表示兩個比相等的式子叫作比例。組成比例的四個數，叫作比例的項。兩端的兩項叫作比
例的外項，中間的兩項叫作比例的內項。
2、在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積，這叫做比例的基本性質。
【知識點二】比例的應用
1、求比例中的未知項的過程，叫作解比例。
2、解比例的方法：根據比例的基本性質，先把比例轉化成外項的積與內項的積相等的形式（即方程），再通過解方程求出未知項的值。
3、當已知兩個量的比或兩個量的比不變時，可以設要求的一個量為x，然后根據比例的意義列出比例，再求出x的值。
4、對于一些具體的實際問題可以列算式求解，也可以根據比例的意義，列出比例（方程），然后解比例，求出實際問題的答案，其關鍵是理解題意，正確地列出比例。
【知識點三】比例尺
1、意義。
將實際圖形畫在紙上，為了讓圖形的形狀不變，畫在紙上的距離和對應的實際距離的比要組成比例，即按統一的比進行繪圖。
圖上距離和實際距離的比，叫作這幅圖的比例尺，即：=比例尺。
比例尺是一個簡單的整數比，它表示圖上距離和實際距離的倍比關系，因此不能帶有計量單位。
2、比例尺的應用。
（1）應用比例尺畫圖時，要先根據比例尺求出圖上距離，再根據圖上距離畫圖；
（2）圖上距離：實際距離=比例尺。
（3）實際距離=圖上距離÷比例尺。
（4）圖上距離=實際距離×比例尺。
3、兩種常見的比例尺。
（1）數值比例尺：一幅圖的比例尺是1：1000，像這樣用數字形式表示的比例尺叫數值比例尺。
（2）線段比例尺：比例尺1：1000還可以這樣表示：，這種用線段表示的比例尺叫線段比例尺。
拓展：比例尺的分類。
【知識點四】圖形的放大和縮小
1、圖形的放大。
（1）保持物體的圖形或圖象原來的形狀不變而使物體的圖形或圖象變大，叫作放大。
（2）圖形（或圖象）放大后得到的圖形（或圖象）與原圖形（或圖象）相比，形狀相同圖形（或圖象）變大。
2、圖形的縮小。
（1）保持物體的圖形或圖象原來的形狀不變而使物體的圖形或圖象變小，叫作縮小。
（2）圖形（或圖象）縮小后得到的圖形（或圖象）與原圖形（或圖象）相比，形狀相同圖形（或圖象）變小。
3、圖形放大或縮小的方格。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小，分為三步；
一看：看原圖形每邊各占幾格；
二算：計算按給定的比將圖形的各邊長放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；
三畫：按計算出的邊長畫出原圖形的放大圖或縮小圖。
【考點一】比例的認識
【典例一】下面（ ）組中四個數不能組成比例。
A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20
C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3
【典例二】從18的因數中選出四個數組成一個比例是( )。
【典例三】麗麗為了布置教室墻報，剪了兩張大小不同的長方形剪紙。經測量第一張剪紙長與寬的比是21∶14，第二張剪紙長與寬的比是9∶6，麗麗認為21∶14和9∶6能組成比例，你覺得呢？請寫出理由。
理由1：
理由2：
理由1：21∶14和9∶6的比值相等；
理由2：兩個內項的積等于兩個外項的積。
【考點二】比例的應用
【典例一】解方程。

【典例二】相同質量的水和冰的體積比約是9∶10。若一塊冰融化成水后是81立方分米，則這塊冰的體積是多少立方分米？（用比例知識解決）
【典例三】一個人的血液與體重比約為2∶25，肌肉與體重比約為2∶3，骨頭與體重比約為1∶4。
（1）體重是7千克的幼兒，他體內的血液約有多少千克？（列方程解答）
（2）體重是多少千克的人，他體內的肌肉約有28千克？（列方程解答）
【考點三】比例尺
【典例一】線段比例尺 化成數值比例尺是（ ）。
A．1∶30 B．30∶1 C．1∶3000000 D．3000000∶1
【典例二】青白江區城市森林和諧廣場位于青白江區華金大道二段，是青白江百姓休閑、娛樂的重要場所。把它繪制在比例尺為1∶5000的地圖上，該廣場平面圖是一個長約是5厘米，寬約是3厘米的長方形。請問該廣場實際面積約是多少平方米？
【典例三】如圖是小英家附近幾個建筑物的位置。
(1)小英家到學校的實際距離書店是900米，則這幅圖的比例尺是( )。（測量時取整厘米）
(2)書店距離小英家的實際距離是( )米。
(3)體育場在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的實際距離是( )米。
【考點四】圖形的放大和縮小
【典例一】把一個圖形按4∶1擴大后，周長的變化是（ ）
A．擴大到原來的4倍。 B．擴大到原來的16倍。
C．縮小到原來的。 D．周長不變。
【典例二】把一個正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形與原來正方形的面積比是( )；把一個長方形按1∶6的比縮小，縮小后的長方形與原來長方形的周長比是( )。
【典例三】想一想，畫一畫。
點A、B、C、D的數對是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。
（1）將圖形①各頂點數對的第一個數乘，第二個數不變，得到圖形③。
（2）將圖形②按2∶1放大，得到圖形④。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）在一個比例中，兩個外項的積是最小的質數，其中一個內項是，另一個內項是（ ）。
2．（2分）電腦上有一張長3cm、寬2.4cm的圖片，拖動鼠標后，圖片的長變為15cm，寬變為12cm，相當于把這張圖片按（ ）放大了。
3．（2分）把一個長6厘米、寬4厘米的長方形按2∶1放大，得到的圖形的面積是（ ）平方厘米。
4．（2分）從雷州到廣州的實際距離大約是480千米，在一幅地圖上量得這兩地間的距離是12厘米。這幅地圖的比例尺是（ ）。
5．（2分）在一幅比例尺是1∶3000000的地圖上量得甲、乙兩地之間的距離是2厘米，甲、乙兩地之間的實際距離是（ ）千米。
6．（2分）去年6月17日我國第三艘航空母艦“福建號”成功下水，據悉它的長是320米，寬是78米，排水量8萬余噸。如果按照的比例尺制作“福建號”模型，長應是（ ）厘米，寬應是（ ）厘米。
7．（2分）學校制作宣傳欄表彰“閱讀小達人”，如圖是一位同學的二寸照片的尺寸，老師想按比例放大裝進宣傳欄，放大后照片的寬是22cm，長是（ ）cm。
8．（2分）甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3，兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5，那么甲乙兩校原來共有（ ）本圖書。
9．（2分）三個數15、6、9與a能組成一個比例，a＝（ ）。組成的比例是（ ）。
10．（2分）甲乙兩堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，當甲堆運走80%，乙堆運走后，甲乙兩堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原來有（ ）袋，乙堆水泥原來有（ ）袋。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）如果11a＝6b，（a、b均不為0），則a∶b＝6∶11。（ ）
12．（2分）王師傅8天完成了10天的工作任務，他的工作效率提高了25%。（ ）
13．（2分）比例尺1∶100000表示圖上1厘米代表實際距離100000厘米。（ ）
14．（2分）比例尺一定，實際距離擴大到原來的5倍，圖上距離也擴大到原來的5倍。（ ）
15．（2分）一個圓形放大或縮小后，其形狀和大小都發生了變化。（ ）
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）一幅地圖的比例尺是1∶5000000，地圖上的1厘米表示實際距離（ ）。
A．50千米 B．500千米 C．5000千米 D．5000000千米
17．（2分）市政府要建一個長600m，寬400m的長方形廣場，將廣場設計圖畫在一張長20cm、寬16cm的長方形紙上，選用下列比例尺（ ）比較合適。
A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000
18．（2分）下列說法錯誤的是（ ）。
A．圖形平移后，位置、形狀都不改變 B．圖形旋轉后，位置變了，大小不變
C．圖形放大后，大小變了，形狀相似 D．圖形縮小后，對應線段長的比相等
19．（2分）一列火車從甲地開往乙地，6小時行駛了，距離乙地還有，照這樣的速度計算，行駛完全程還需要幾小時？若設行駛完全程還需要小時，則下面所列比例錯誤的是（ ）。
A． B． C． D．
20．（2分），那么a與b化簡后的比是（ ）。
A． B． C．6∶5 D．5∶6
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）解方程。
（1）0.3x－0.6＝1.8 （2）40%x＋26＝84 （3）
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）已知小剛家正東方向800米是電影院，電影院東偏北65°方向600米是學校，學校南偏東40°方向500米是圖書館，在圖中標出電影院、學校、圖書館的位置。
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）甲乙兩地的實際距離是1600千米，在地圖上，量得甲乙兩地的直線距離是20厘米。“十四五”期間，寧夏至太原高鐵項目列入計劃，全長約600千米。畫在這幅地圖上，應畫多少厘米？
24．（6分）在比例尺是1∶4000000的地圖上量得A、B兩個城市間的公路長9cm。一輛汽車從A城到B城用了7.2小時，這輛汽車平均每小時行駛多少千米？
25．（6分）同學們在某一天同一時刻分成三組進行測量活動，并記錄下一些數據（見表格）。學校旗桿的實際高度是多少米？（用比例知識進行解答）
實際高度（米） 影子長度（米）
木棍 1 0.25
小明同學 1.6 0.4
學校旗桿 ？ 4.22
26．（6分）蘭蘭家距離外婆家460千米，汽車每100千米耗油8升，按這個耗油量，出發時加滿40升汽油，能到外婆家嗎？（用比例知識解答）
27．（12分）智能物流是把先進的物聯網技術通過信息處理和網絡通信技術平臺廣泛應用于物流業運輸、倉儲、配送、包裝、裝卸等基本活動環節，實現貨物運輸過程的自動化運作和高效率優化管理。某物流公司用機器人給某街道配送快遞，下圖是機器人配送快遞的示意圖。
（1）已知出發點到A戶的實際距離是300米，則這幅圖的比例尺是多少？
（2）B戶在出發點的東偏北60°方向，距離出發點的實際距離是多少米？
（3）機器人現在要給D戶配送快遞，D戶位于出發點東偏南45°方向400米處，請在上圖中畫出D戶的位置。
28．（12分）操作。
（1）用數對表示三角形三個頂點的位置。
A（ ），B（ ），C（ ）。
（2）畫出三角形按2∶1放大后的圖形。
（3）如果原來直角三角形的斜邊長是a，那么放大后的直角三角形的斜邊長是（ ）。
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