資源簡介

作者的話
當下，對于小學數學核心素養能力培養非常重要。小學生必須要有以下數學核心素養：
對此，小編從多個方面進行匯編，整合各種資料，匯編而成的《2024-2025學年六年級下
冊數學易錯講義》，將各種素養能力分解到各個題型及知識點中，讓學生在學習中不斷提高，突破自我！
《2024-2025學年六年級下冊數學易錯講義》打破各種小學輔導書局限于教材基礎、
忽視學科能力、缺失核心素養的不足，遵循分層學習、循序漸進、知識能力素養并重的學習理念，以解透教材打牢基礎為首要目標，在此基礎上進行學科能力和綜合素養的拓展提升，并全面研究考試命題，注重學習能力培優。
《2024-2025學年六年級下冊數學易錯講義》以常考易錯題的講練測為主，低、中、難、奧數思維題型等，讓學生快速把易錯點變成掌握點。主要包含資料為：
1、專項易錯講義。易錯講義、計算講義、解決問題講義、單元知識點講義，四大講義涵蓋全面，讓學生邊學邊練。
2、高頻易錯專練。高頻易錯題匯編成各種專項題庫，讓學生吃透考點。
3、單元分層測評。基礎+進階+拓展，循序漸進，讓學生融會貫通。
4、挑戰奧數。高難度題型，讓學生學會并掌握用奧數思維解決問題。
5、月考特訓。月度小檢測，便于學生查缺補漏，及時復習充電。
6、期中期末。歷年常考易錯題匯編而成，全面掌控。
寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。希望本套資料能夠祝您一臂之力，也非常感謝您在使用中提出寶貴意見和建議！
中小學數學教研
2024-2025學年六年級下冊數學易錯講義
第四單元 比例
本專題為單元易錯講義，包含三大內容：
1、易錯知識點：梳理易錯知識點，讓學生明確清晰哪些容易易錯。
2、易錯點剖析：剖析常考易錯點，例證講解。
3、易錯題突破：針對常考點進行易錯題匯編突破。
目錄
第一部分：十大易錯知識點 2
第二部分：八大常考易錯點 4
易錯點一：對扇形統計圖中各部分量占總量的百分比的大小判斷錯誤。 4
易錯點一：沒有正確理解比例的意義。 4
易錯點二：對比例的基本性質理解不透徹。 4
易錯點三：沒有正確運用比例的基本性質解比例。 4
易錯點四：不能正確判斷正比例關系。 5
易錯點五：不能正確判斷反比例關系。 5
易錯點六：沒有理解比例尺的意義。 5
易錯點七：把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。 6
易錯點八：用比例解決問題時沒有理清數據間的關系。 6
第三部分：二十種易錯題型突破 6
突破題型一比與比例的區別和聯系 7
突破題型二比例的意義 8
突破題型三比例的基本性質 9
突破題型四正比例的認識和辨認 9
突破題型五反比例的認識和辨認 10
突破題型六根據正反比例填表 10
突破題型七正比例的圖形及簡單應用 11
突破題型八比例尺的意義 13
突破題型九比例尺應用之求圖上距離 13
突破題型十比例尺應用之求實際距離 14
突破題型十一圖上距離和實際距離的換算 15
突破題型十二圖形的放大和縮小 16
突破題型十三比例的應用 16
突破題型十四解比例 17
突破題型十五應用比例尺作圖 18
突破題型十六作放大或縮小后的圖形 19
突破題型十七應用比例尺解決實際問題 20
突破題型十八圖形縮放問題及運動的綜合作圖 21
突破題型十九應用正比例解決實際問題 23
突破題型二十應用反比例解決實際問題 25
1、沒有正確理解比例的意義。在比例中等號的兩側必須都是一個比。
2、對比例的基本性質理解不透徹。
把等式ax =by(a,b,x ,y均不為0)改寫成比例時,相乘的2個字母必須同時作比例的外項或內項。
3、沒有正確運用比例的基本性質解比例。
解分數形式比例時,分子與分母交叉相乘即可。
4、不能正確判斷正比例關系。
判斷兩種量是否成正比例關系,首先要看這兩種量是否相關聯,即一種量變化,另一種量也隨著變化;再看這兩種量是否比值一定,若比值一定,則可判斷這兩種量成正比例關系。
5、不能正確判斷反比例關系。
牢記并理解反比例關系的判斷方法：兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,這兩種量中對應的兩個數的積一定.兩種量是成反比例的量,.它們成反比例關系。
6、沒有理解比例尺的意義。
比例尺是一個比,表示圖上距離與實際距離的倍比關系,不能加單位名稱。
7、用比例尺解決實際問題時,單位不統一。
在用比例尺解決實際問題時,一定要將圖上距離和實際距離的單位統一。
8、對比例尺的意義理解不準確。
規避策略：比例尺表示圖上棱長與實際棱長的比,要求實際的體積或面積,應先求出實際的棱長是多少,再運用公式求體積或面積。
9、把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。
規避策略：把一個圖形放大或縮小時,只改變大小,不改變形狀。
10、沒有理清數據間的關系。
兩個相關聯的量之間的關系,比值一定的是正比例關系,乘積一定的是反比例關系。找準兩種量中相對應的兩個數,才能正確地解決問題。
易錯點一：對扇形統計圖中各部分量占總量的百分比的大小判斷錯誤。
判斷：下圖是某超市各種商品存放率的統計圖,存放食品類的商品最多。（ ）
易錯點一：沒有正確理解比例的意義。
判斷:10:2=5是比例。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】此題錯在沒有正確理解比例的意義,5是一個數而不是一個比,它不能與10:2組成比例。
【正確答案】錯誤
易錯點二：對比例的基本性質理解不透徹。
判斷:若5x=6y,則x :y=5∶6。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】這道題錯在沒有理解比例的基本性質。在改寫比例時,x作外項,和x相乘的5一定也作外項。
【正確答案】錯誤
易錯點三：沒有正確運用比例的基本性質解比例。
解比例
【錯誤答案】
【錯解分析】解分數形式的比例時,沒有分清楚哪兩個數是外項,哪兩個數是內項。
【正確答案】
易錯點四：不能正確判斷正比例關系。
判斷:正方形的面積與邊長成正比例關系。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】雖然正方形的面積與邊長是兩種相關聯的量，但是正方形面積=邊長,邊長不是一個常量,所以正方形面積與邊長不成正比例關邊長系,應與邊長的平方成正比例關系。
【正確答案】判斷
易錯點五：不能正確判斷反比例關系。
判斷:把一條20 m長的繩子,剪去一部分,剪去的和剩下的成反比例關系。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】此題錯在對剪去的和剩下的關系不清楚,兩者是和一定、積不一定。
【正確答案】錯誤
易錯點六：沒有理解比例尺的意義。
判斷:一幅圖的比例尺是1:5000 m。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】比例尺是一個比,是沒有單位的。
【正確答案】錯誤
易錯點七：把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。
把下面圖形按1:2縮小畫在方格紙上。
【錯誤答案】
【錯解分析】此題錯在按1:2縮小時改變了原圖形的形狀。
【正確答案】
易錯點八：用比例解決問題時沒有理清數據間的關系。
某工程隊修一條公路,6天鋪了228 m。照這樣計算,還要用12天完成全部的工程,這條公路一共長多少米
【錯誤答案】
【錯解分析】解法一錯在兩個相關聯的量中,錯把12天看成總天數。解法二錯在不理解等量關系,把天數和鋪的米數看成反比例關系。
【正確答案】
突破題型一比與比例的區別和聯系
1．一個比例的兩個內項分別是8和6，兩個比的比值都是，這個比例可能是（ ）。
A． B． C．
2．在8∶32，，這三個比中，能與16∶12組成比例的是（ ）。
A．8∶32 B． C． D．都不能
3．下面（ ）中的兩個比可以組成比例。
A．9∶12和6∶10 B．∶和∶
C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16
突破題型二比例的意義
4．用3、8、15、40四個數組成一個比例是（ ）。
5．紅紅用蜂蜜和水為家人調制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情況如下表所示。
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜（g） 12 12 15 18
水（g） 48 60 50 90
第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜與水的質量比的比值相同，把它們組成一個比例是（ ）。
6．下圖中小紅身高與小樹高的比是（ ），小紅影長與小樹影長的比是（ ），組成比例是（ ），還可以組成比例（ ）。
突破題型三比例的基本性質
7．在一個比例中，兩個內項的積是最小的質數，一個外項是5，則另一個外項是（ ）；16的因數有（ ）個，選取其中的四個組成比例是（ ）。
8．若7x＝8y（x和y都大于0），則x∶y等于（ ∶ ），若，則m×（ ）＝n×（ ）。
9．在比例里，兩個外項互為倒數，其中一個內項是，另一個內項是（ ）。
突破題型四正比例的認識和辨認
10．已知5＝（、均不為0），∶＝（ ），和成（ ）比例。
11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例關系。圓柱高一定，它的體積和（ ）成正比例。
12．若則x和y成 比例關系，x和y的大小關系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”）
突破題型五反比例的認識和辨認
13．如果和互為倒數，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例關系。
14．從家騎自行車到學校，車輪的直徑和轉動的圈數成（ ）比例關系，比值一定，比的前項和后項成（ ）比例關系。（均選填“正”或“反”）
15．某商場所有物品都打同樣的折扣銷售。原價200元的衣服，現價140元。如果用a表示原價，b表示現價，用式子表示a和b之間的數量關系是（ ），a和b成（ ）比例關系。
突破題型六根據正反比例填表
16．表中，如果x和y成正比例，則？是（ ）；如果x和y成反比例，則？是（ ）。
x 3 4
y 2.4 ？
17．填空。
x 27 ？
y 3 9
（1）如果x和y成正比例，“？”處填 。
（2）如果x和y成反比例，“？”處填 。
18．把相同體積的水倒入底面積不同的長方體容器中，變化情況如下表：
底面積/cm2 10 15 20 25 …
水高度/cm 45 30 22.5 18 …
如果長方體容器底面積用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面積30cm2，水高度是（ ）cm。
突破題型七正比例的圖形及簡單應用
19．某汽車行駛路程和耗油量的關系如圖。
（1）該汽車的耗油量與（ ）成正比例關系，因為：（ ）。
（2）利用圖像估計一下，該汽車行駛60千米的耗油量是（ ）。
20．在彈性范圍內，某種彈簧伸長的長度與所掛物體的質量情況如下圖。
（1）如果掛4kg物體，彈簧伸長的長度是（ ）cm。
（2）彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（3）當彈簧伸長的長度是0.7cm時，所掛物體的質量是（ ）kg。
21．如下圖表示一工程隊修筑公路的長度與所用時間的關系，這個工程隊修路長度與所用時間成（ ）比例，照這樣計算，修長750米公路需要（ ）天。
突破題型八比例尺的意義
22．一個手表零件長2毫米，畫在一幅圖上長4厘米，這幅圖的比例尺是（ ）。
23．一幅地圖的比例尺是把它改寫成數值比例尺是（ ）。
24．把地面12千米的距離用6厘米的線段畫在地圖上。那么，這幅地圖的比例尺是（ ）。
突破題型九比例尺應用之求圖上距離
25．在比例尺為1∶2000的地圖上，1厘米的線段代表實際距離（ ）米，實際距離180米在圖上要畫（ ）厘米。
26．比例尺1∶4000000表示圖上1厘米代表實際（ ）千米；如果實際距離20千米，在圖上要用（ ）厘米長的線段表示。
27．在比例尺的地圖上，表示圖上距離與實際距離的比是（ ），實際距離96km，在這幅圖上用（ ）cm表示。
突破題型十比例尺應用之求實際距離
28．丫丫在一本旅游地圖上，看到上面標的線段比例尺是，將線段比例尺改寫成數值比例尺是（ ）；她用直尺測量了地圖上A、B兩地的距離是4.5cm，那么A、B兩地的實際距離是（ ）km。
29．把線段比例尺寫成數值比例尺是（ ）。如果甲、乙兩地圖上距離是5厘米，那么甲、乙兩地的實際距離是（ ）千米。
30．“商都”鄭州到“文字之都”安陽的距離約170km，在一幅地圖上，量得這兩個城市的圖上距離是3.4cm，這幅地圖的比例尺是（ ）。在這幅地圖上，量得鄭州到“十三朝古都”洛陽的圖上距離是2.2cm，鄭州到洛陽的實際距離是（ ）km。
突破題型十一圖上距離和實際距離的換算
31．填寫下表。
圖上距離 4.5cm 15cm
實際距離 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1
32．根據比例尺、圖上距離、實際距離之間的關系填寫下表。
圖上距離 3.4cm 42dm 42dm
實際距離 150km
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
33．填表。
比例尺 圖上距離 實際距離
1.8km
450km
15cm
突破題型十二圖形的放大和縮小
34．把一張長2dm、寬8cm的長方形圖紙按1∶4縮小，得到的新圖紙面積是（ ）cm2。
35．將一個正方體的每條棱的長度都按的比例縮小，那么，它的表面積會縮小到原來的（ ），體積會縮小到原來的（ ）。（填上合適的分數）
36．學校制作宣傳欄表彰“閱讀小達人”，如圖是一位同學的二寸照片的尺寸，老師想按比例放大裝進宣傳欄，放大后照片的寬是22cm，長是（ ）cm。
突破題型十三比例的應用
37．王丹陽一家去曲阜尼山書院游玩，他們并排站著拍了一張全家福照片。王丹陽身高1.65米，照片上王丹陽的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。
38．成語“立竿見影”從數學的角度看，是應用了比例中同時同地竿高和影長成正比例關系的知識。身高1.6米的聰聰在陽光照射下的影子長2.8米，同時同地量得妹妹的影子長2.1米，妹妹的身高是（ ）米。
39．甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3，兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5，那么甲乙兩校原來共有（ ）本圖書。
突破題型十四解比例
40．解方程或解比例。
2－＝1.5 ∶＝∶
41．求未知數。

42．解比例。

突破題型十五應用比例尺作圖
43．小明家正北方向300米是科技館，科技館正東方向600米是動物園，動物園南偏西30°方向400米是書店。畫出上述地點的平面圖。（比例尺是1∶10000）
44．根據信息畫一畫。（比例尺1∶50000）
（1）新華書店在廣場北偏西60°方向1500米處，請在圖上標出新華書店的位置。
（2）若要從新華書店修一條小路到新開路，畫出新華書店到新開路最近的路線。
45．為與新冠病毒競速，武漢市火速建設了雷神山、火神山醫院，以集中收治肺炎患者。火神山醫院的建成，可大大緩解北偏東50 方向30千米處的金銀潭醫院的就診壓力，請在圖中標出金銀潭醫院的位置。

突破題型十六作放大或縮小后的圖形
46．
（1）畫出把正方形按1∶2的比縮小后的圖形。
（2）畫出把平行四邊形按3∶1的比擴大后的圖形。
47．（1）按1∶2畫出三角形縮小后的圖形A。
（2）按2∶1畫出梯形擴大后的圖形B，并畫出圖形B的對稱軸。
48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再將三角形B按2∶1放大，得到三角形C。
突破題型十七應用比例尺解決實際問題
49．智能交通系統可以對事故發生地點精準定位。一天，某高速路上發生兩車相撞事故，車禍發生后，救援工作迅速開展。在比例尺為1∶600000的地圖上，量得事故現場與最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所與醫院收到智能交通系統信號后分別同時派出了一輛警車和一輛救護車，警車經過10分鐘到達現場。
（1）事故現場與最近的派出所實際相距多少千米？
（2）若警車與救護車速度之比為5∶6，救護車與警車同時到達事故現場，則事故現場與最近的醫院實際相距多少千米？
50．“神州”九號載人飛船返回艙著陸在內蒙古的四子王旗，聰聰在第一張地圖上量得四子王旗與北京的距離大約是3厘米，而在第二張地圖上量得四子王旗與北京的距離大約是5厘米。
（1）老師說他量的數據都對，請你解釋其中的原因。
（2）如果四子王旗到北京的距離大約是450千米，那么第一張地圖的比例尺是多少？
51．下面是小紅家的平面示意圖。
（1）這幅圖的比例尺是1∶（ ）。
（2）小紅放學后沿虛線所示的路線去書店買書，她從學校到書店實際走了（ ）米。
（3）小紅在家寫作業時發現鋼筆壞了，于是步行去文具店買鋼筆，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，點（ ）最有可能是文具店的位置。
突破題型十八圖形縮放問題及運動的綜合作圖
52．按要求完成三幅圖，并填空。
①畫出圓向右平移3格，再向上平移4格后的圖形，移動后圓心O的位置用數對表示為（ ， ）。
②畫出平行四邊形繞A點順時針旋轉90°后的圖形。
③畫出正方形按2∶1擴大后的圖形，擴大后的正方形面積是原來的（ ）倍。
53．按要求畫圖并回答問題。
（1）畫出三角形ABC繞B點順時針旋轉90°得到的圖形。
（2）畫出三角形ABC按2∶1放大后得到的圖形，放大后的圖形與原圖的面積之比是（ ）。
（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是（ ），它的體積是（ ）。
54．想一想，在方格中畫一畫。
（1）圖中的平行四邊形沿高分成了兩部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四邊形就變成了長方形。
（2）把三角形ABC繞點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形。旋轉后，點B的新位置用數對表示是（ ）。
（3）畫出圖中下方梯形的另一半，使它成為軸對稱圖形。再畫出這個軸對稱圖形按照1∶2縮小后的圖形。
突破題型十九應用正比例解決實際問題
55．一種新型筆芯每支售價是0.8元。
數量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
總價/元 0 0.8 1.6 …
（1）把筆芯數量與總價相對應的點在圖中描出來，并連線。
（2）買11支筆芯需要（ ）元。
（3）小麗買筆芯的錢是小華的3倍，小麗買筆芯的支數是小華的（ ）倍。
56．東東記錄了某國產品牌電動汽車的儀表盤上顯示的相關數據，整理結果如下：
行駛路程（千米） 100 120 130 140 150
耗電量（千瓦時） 15 18 19.5 21 22.5
（1）觀察上表中的數據，電動汽車的行駛路程與耗電量成（ ）比例關系。
（2）當電動汽車行駛了600千米時，電動汽車將消耗多少千瓦時的電？（用比例解答）
答：電動汽車將消耗90千瓦時的電。
57．C919是中國首款按照國際通行適航標準，自行研制、具有自主知識產權的客機。下面是C919飛行時間和所行路程的變化情況。
飛行時間/時 0 1 3 5 6
所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400
（1）因為（ ），所以所行路程和飛行時間成（ ）比例關系。
（2）根據上表，在下圖中描出它的圖像。
（3）利用圖像判斷C919飛機行駛1800千米用時（ ）小時；4小時行駛（ ）千米。
突破題型二十應用反比例解決實際問題
58．某牛奶公司把一批牛奶進行灌裝，如表給出了幾種不同的灌裝方案。
方案 一 二 三
每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5
瓶數 800 1000 400
（1）這批牛奶的總量是（ ）升。
（2）（ ）沒有變化，每瓶容量和灌裝的瓶數成（ ）比例。
（3）如果將這批牛奶裝入250個瓶子里，每瓶要裝多少升？（用比例解）
59．學校要給一間功能教室鋪地磚，每塊地磚的面積與所需地磚的數量如表。
每塊地磚的面積/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 …
所需地磚的數量/塊 600 400 300 200 150 …
（1）每塊地磚的面積和所需地磚的數量成（ ）比例關系。
（2）如果鋪這一地面用了500塊地磚，所用的地磚每塊面積是多大？（用比例解答）
60．畢業，不止是一場告別，更是一次新的征程。為了給孩子們送上祝福，在心中留下美好的校園回憶，中心小學六年級的老師精心設計了一面長方形的照片墻，征集具有紀念意義的照片貼在墻上展覽。每張照片的面積和所貼照片數量的關系如表：
每張照片的面積/ 4 9 16 …
所貼照片的數量/張 216 96 54 …
（1）觀察上表中的數據，每張照片的面積和所貼照片的數量成（ ）比例。
（2）如果采用面積是的照片來貼滿這面長方形照片墻，需要多少張照片？（用比例解答）
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對此，小編從多個方面進行匯編，整合各種資料，匯編而成的《2024-2025學年六年級下
冊數學易錯講義》，將各種素養能力分解到各個題型及知識點中，讓學生在學習中不斷提高，突破自我！
《2024-2025學年六年級下冊數學易錯講義》打破各種小學輔導書局限于教材基礎、
忽視學科能力、缺失核心素養的不足，遵循分層學習、循序漸進、知識能力素養并重的學習理念，以解透教材打牢基礎為首要目標，在此基礎上進行學科能力和綜合素養的拓展提升，并全面研究考試命題，注重學習能力培優。
《2024-2025學年六年級下冊數學易錯講義》以常考易錯題的講練測為主，低、中、難、奧數思維題型等，讓學生快速把易錯點變成掌握點。主要包含資料為：
1、專項易錯講義。易錯講義、計算講義、解決問題講義、單元知識點講義，四大講義涵蓋全面，讓學生邊學邊練。
2、高頻易錯專練。高頻易錯題匯編成各種專項題庫，讓學生吃透考點。
3、單元分層測評。基礎+進階+拓展，循序漸進，讓學生融會貫通。
4、挑戰奧數。高難度題型，讓學生學會并掌握用奧數思維解決問題。
5、月考特訓。月度小檢測，便于學生查缺補漏，及時復習充電。
6、期中期末。歷年常考易錯題匯編而成，全面掌控。
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第四單元 比例
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1、易錯知識點：梳理易錯知識點，讓學生明確清晰哪些容易易錯。
2、易錯點剖析：剖析常考易錯點，例證講解。
3、易錯題突破：針對常考點進行易錯題匯編突破。
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第一部分：十大易錯知識點 2
第二部分：八大常考易錯點 4
易錯點一：對扇形統計圖中各部分量占總量的百分比的大小判斷錯誤。 4
易錯點一：沒有正確理解比例的意義。 4
易錯點二：對比例的基本性質理解不透徹。 4
易錯點三：沒有正確運用比例的基本性質解比例。 4
易錯點四：不能正確判斷正比例關系。 5
易錯點五：不能正確判斷反比例關系。 5
易錯點六：沒有理解比例尺的意義。 5
易錯點七：把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。 5
易錯點八：用比例解決問題時沒有理清數據間的關系。 6
第三部分：二十種易錯題型突破 6
突破題型一比與比例的區別和聯系 7
突破題型二比例的意義 9
突破題型三比例的基本性質 11
突破題型四正比例的認識和辨認 12
突破題型五反比例的認識和辨認 14
突破題型六根據正反比例填表 15
突破題型七正比例的圖形及簡單應用 17
突破題型八比例尺的意義 19
突破題型九比例尺應用之求圖上距離 20
突破題型十比例尺應用之求實際距離 22
突破題型十一圖上距離和實際距離的換算 23
突破題型十二圖形的放大和縮小 25
突破題型十三比例的應用 27
突破題型十四解比例 29
突破題型十五應用比例尺作圖 31
突破題型十六作放大或縮小后的圖形 34
突破題型十七應用比例尺解決實際問題 36
突破題型十八圖形縮放問題及運動的綜合作圖 39
突破題型十九應用正比例解決實際問題 43
突破題型二十應用反比例解決實際問題 47
1、沒有正確理解比例的意義。在比例中等號的兩側必須都是一個比。
2、對比例的基本性質理解不透徹。
把等式ax =by(a,b,x ,y均不為0)改寫成比例時,相乘的2個字母必須同時作比例的外項或內項。
3、沒有正確運用比例的基本性質解比例。
解分數形式比例時,分子與分母交叉相乘即可。
4、不能正確判斷正比例關系。
判斷兩種量是否成正比例關系,首先要看這兩種量是否相關聯,即一種量變化,另一種量也隨著變化;再看這兩種量是否比值一定,若比值一定,則可判斷這兩種量成正比例關系。
5、不能正確判斷反比例關系。
牢記并理解反比例關系的判斷方法：兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,這兩種量中對應的兩個數的積一定.兩種量是成反比例的量,.它們成反比例關系。
6、沒有理解比例尺的意義。
比例尺是一個比,表示圖上距離與實際距離的倍比關系,不能加單位名稱。
7、用比例尺解決實際問題時,單位不統一。
在用比例尺解決實際問題時,一定要將圖上距離和實際距離的單位統一。
8、對比例尺的意義理解不準確。
規避策略：比例尺表示圖上棱長與實際棱長的比,要求實際的體積或面積,應先求出實際的棱長是多少,再運用公式求體積或面積。
9、把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。
規避策略：把一個圖形放大或縮小時,只改變大小,不改變形狀。
10、沒有理清數據間的關系。
兩個相關聯的量之間的關系,比值一定的是正比例關系,乘積一定的是反比例關系。找準兩種量中相對應的兩個數,才能正確地解決問題。
易錯點一：對扇形統計圖中各部分量占總量的百分比的大小判斷錯誤。
判斷：下圖是某超市各種商品存放率的統計圖,存放食品類的商品最多。（ ）
易錯點一：沒有正確理解比例的意義。
判斷:10:2=5是比例。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】此題錯在沒有正確理解比例的意義,5是一個數而不是一個比,它不能與10:2組成比例。
【正確答案】錯誤
易錯點二：對比例的基本性質理解不透徹。
判斷:若5x=6y,則x :y=5∶6。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】這道題錯在沒有理解比例的基本性質。在改寫比例時,x作外項,和x相乘的5一定也作外項。
【正確答案】錯誤
易錯點三：沒有正確運用比例的基本性質解比例。
解比例
【錯誤答案】
【錯解分析】解分數形式的比例時,沒有分清楚哪兩個數是外項,哪兩個數是內項。
【正確答案】
易錯點四：不能正確判斷正比例關系。
判斷:正方形的面積與邊長成正比例關系。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】雖然正方形的面積與邊長是兩種相關聯的量，但是正方形面積=邊長,邊長不是一個常量,所以正方形面積與邊長不成正比例關邊長系,應與邊長的平方成正比例關系。
【正確答案】判斷
易錯點五：不能正確判斷反比例關系。
判斷:把一條20 m長的繩子,剪去一部分,剪去的和剩下的成反比例關系。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】此題錯在對剪去的和剩下的關系不清楚,兩者是和一定、積不一定。
【正確答案】錯誤
易錯點六：沒有理解比例尺的意義。
判斷:一幅圖的比例尺是1:5000 m。( )
【錯誤答案】正確
【錯解分析】比例尺是一個比,是沒有單位的。
【正確答案】錯誤
易錯點七：把圖形放大或縮小時,改變了原圖形的形狀。
把下面圖形按1:2縮小畫在方格紙上。
【錯誤答案】
【錯解分析】此題錯在按1:2縮小時改變了原圖形的形狀。
【正確答案】
易錯點八：用比例解決問題時沒有理清數據間的關系。
某工程隊修一條公路,6天鋪了228 m。照這樣計算,還要用12天完成全部的工程,這條公路一共長多少米
【錯誤答案】
【錯解分析】解法一錯在兩個相關聯的量中,錯把12天看成總天數。解法二錯在不理解等量關系,把天數和鋪的米數看成反比例關系。
【正確答案】
突破題型一比與比例的區別和聯系
1．一個比例的兩個內項分別是8和6，兩個比的比值都是，這個比例可能是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【分析】在比例中，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項。比的前項除以后項所得商，叫做比值。據此解答即可。
【解答】A．在中，8和6是內項，16∶8＝16÷8＝2，2≠。所以A選項不符合題意。
B．在中，8是內項，6是外項，所以B選項不符合題意。
C．在中，8和6是內項，4∶8＝4÷8＝＝，6∶12＝6÷12＝＝，所以C選項符合題意。
故答案為：C
【點評】明確比例的各部分名稱及比值的意義是解決此題的關鍵。
2．在8∶32，，這三個比中，能與16∶12組成比例的是（ ）。
A．8∶32 B． C． D．都不能
【答案】C
【分析】根據比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例，求出16∶12與選項中的各比的比值，據此解答。
【解答】16∶12＝
A．8∶32＝，與16∶12的比值不相等，所以16∶12和8∶32不能組成比例；
B．＝4，與16∶12的比值不相等，所以16∶12和不能組成比例；
C．＝，與16∶12的比值相等，能組成比例。
故答案為：C
【點評】本題主要考查比例的意義，注意判斷能否組成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等兩個比就能組成比例。
3．下面（ ）中的兩個比可以組成比例。
A．9∶12和6∶10 B．∶和∶
C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16
【答案】B
【分析】比的前項除以后項所得的商，叫做比值；表示兩個比相等的式子叫做比例；比值相等的兩個比可以組成比例。
分別算出四個選項中兩個比的比值，比值相等的即可組成比例。
【解答】A．9∶12＝9÷12＝
6∶10＝6÷10＝
比值不相等，不能組成比例；
B．∶＝÷＝×5＝
∶＝÷＝×2＝
比值相等，可以組成比例；
C．1.5∶3.5＝1.5÷3.5＝
0.9∶2.4＝0.9÷2.4＝
比值不相等，不能組成比例；
D．3.8∶2＝3.8÷2＝
19∶16＝19÷16＝
比值不相等，不能組成比例。
故答案為：B
【點評】本題考查判斷兩個比能否組成比例的方法，關鍵是掌握求比值的方法。
突破題型二比例的意義
4．用3、8、15、40四個數組成一個比例是（ ）。
【答案】3∶8＝15∶40（答案不唯一）
【分析】表示兩個比相等的式子叫作比例，組成比例的四個數，叫作比例的項，兩端的兩項叫作比例的外項，中間的兩項叫作比例的內項，最小數和最大數作為比例的外項，中間的兩個數作為比例的內項，據此解答。
【解答】3∶8
＝3÷8
＝
15∶40
＝15÷40
＝
所以，用3、8、15、40四個數組成一個比例是3∶8＝15∶40。（答案不唯一）
5．紅紅用蜂蜜和水為家人調制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情況如下表所示。
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜（g） 12 12 15 18
水（g） 48 60 50 90
第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜與水的質量比的比值相同，把它們組成一個比例是（ ）。
【答案】二 四 12∶60＝18∶90/18∶90＝12∶60
【分析】求比值：比的前項除以后項得到的商就是比值。可以是整數、小數或分數。
根據蜂蜜和水的配比情況及求比值的方法，分別求出蜂蜜與水的比值，再找出相同的，列出比例即可。
【解答】
12∶60＝18∶90或18∶90＝12∶60
第二杯和第四杯的蜂蜜與水的質量比的比值相同，把它們組成一個比例是12∶60＝18∶90（或18∶90＝12∶60）。
6．下圖中小紅身高與小樹高的比是（ ），小紅影長與小樹影長的比是（ ），組成比例是（ ），還可以組成比例（ ）。
【答案】3∶4 3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2
【分析】根據比的意義：兩個量相除，叫做兩個量的比。用小紅的身高∶小樹的高，小紅影長∶小樹影長，化簡即可；
再根據比例的意義：表示兩個比值相等的比，叫做比例，用小紅的身高∶小樹的高＝小紅的影長∶小樹的影長，也可以用小紅的身高∶小紅的影長＝小樹的高∶小樹的影長，據此解答（答案不唯一）。
【解答】1.5∶2
＝（1.5×10）∶（2×10）
＝15∶20
＝（15÷5）∶（20÷5）
＝3∶4
0.9∶1.2
＝（0.9×10）∶（1.2×10）
＝9∶12
＝（9÷3）∶（12÷3）
＝3∶4
0.9∶1.2＝1.5∶2
1.5∶0.9＝2∶1.2
小紅身高與小樹高的比是3∶4，小紅影長與小樹影長的比是3∶4，組成比例是0.9∶1.2＝1.5∶2，還可以組成比例1.5∶0.9＝2∶1.2。
突破題型三比例的基本性質
7．在一個比例中，兩個內項的積是最小的質數，一個外項是5，則另一個外項是（ ）；16的因數有（ ）個，選取其中的四個組成比例是（ ）。
【答案】/0.4 5 2∶1＝16∶8
【分析】已知一個比例的兩個內項的積是最小的質數即2，根據比例的基本性質，那么這個比例的兩個外項的積也是2；用兩個外項的積除以已知的一個外項，即可求出另一個外項。
先列舉出16所有的因數，并數出個數；再根據比例的意義，從中找出兩組比值相等的數，即可組成比例。
【解答】另一個外項是：2÷5＝
16的因數：1，2，4，8，16；有5個。
2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以組成比例2∶1＝16∶8。
填空如下：
在一個比例中，兩個內項的積是最小的質數，一個外項是5，則另一個外項是（）；16的因數有（5）個，選取其中的四個組成比例是（2∶1＝16∶8）。
（比例不唯一）
8．若7x＝8y（x和y都大于0），則x∶y等于（ ∶ ），若，則m×（ ）＝n×（ ）。
【答案】8 7 8 7
【分析】根據比例的基本性質：比例的兩個內項之積等于兩個外項之積，據此用比例的逆運算進行解答。
【解答】7x＝8y
x∶y＝8∶7
＝
m×6＝n×7
若7x＝8y（x和y都大于0），則x∶y等于8∶7，若＝，則m×6＝n×7。
9．在比例里，兩個外項互為倒數，其中一個內項是，另一個內項是（ ）。
【答案】/0.4
【分析】如果兩個數的乘積為1，我們就說這兩個數互為倒數，則兩個外項的乘積為1，在比例中，兩個內項的乘積等于兩個外項的乘積，則兩個內項的乘積為1，所求內項＝1÷已知內項，據此解答。
【解答】分析可知，兩個內項的乘積為1。
1÷
＝1÷
＝1×
＝
所以，另一個內項是。
突破題型四正比例的認識和辨認
10．已知5＝（、均不為0），∶＝（ ），和成（ ）比例。
【答案】/0.05 正
【分析】比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。
先根據比例的基本性質把5＝改寫成比例式∶＝∶5，再根據求比值的方法求出∶的比值。因為和的比值一定，根據正比例意義的辨識方法，得出和成正比例。
正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定（也就是商一定），這兩種量成正比例關系。
【解答】由5＝可得：
∶＝∶5＝÷5＝×＝
比值一定，則和成正比例。
填空如下：
已知5＝（、均不為0），∶＝（），和成（正）比例。
11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例關系。圓柱高一定，它的體積和（ ）成正比例。
【答案】正 底面積
【分析】可根據正比例的定義 “兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量” 來進行分析。圓柱的體積＝底面積×高，則圓柱的高＝圓柱的體積÷底面積；
【解答】已知A÷5＝B（A、B都不等于0），可變形為A÷B＝5，也就是A和B相對應的比值一定，所以A和B成正比例關系。
根據圓柱的體積公式V＝S×h（其中V是體積，S是底面積，h是高），當圓柱的高h一定時，V÷S＝h（一定），即體積V和底面積S相對應的比值一定，所以它的體積和底面積成正比例。
即A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成正比例關系。圓柱高一定，它的體積和底面積成正比例。
12．若則x和y成 比例關系，x和y的大小關系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】正 ＞
【分析】判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例；根據上一步求出的x、y的關系判斷x、y的大小。
【解答】因為，所以，，（一定），商一定，所以x和y成正比例關系；
因為，所以x＞y。
突破題型五反比例的認識和辨認
13．如果和互為倒數，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例關系。
【答案】 反
【分析】根據倒數的意義可知，和互為倒數，則＝1；根據比例的基本性質把＝改寫成兩數相乘的形式，即＝6a，再把＝1代入式子中，計算出a的值。
判斷兩種相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值（商）一定，還是對應的乘積一定；如果是比值（商）一定，這兩種相關聯的量成正比例；如果是乘積一定，這兩種相關聯的量成反比例。據此得出和成什么比例關系。
【解答】由和互為倒數，可知＝1；
由＝可得出：＝6a；
把＝1代入＝6a中，即1＝6a，那么a＝。
因為＝1（一定），即乘積一定，所以和成反比例關系。
填空如下：
如果和互為倒數，且＝，那么a＝（）。和成（反）比例關系。
14．從家騎自行車到學校，車輪的直徑和轉動的圈數成（ ）比例關系，比值一定，比的前項和后項成（ ）比例關系。（均選填“正”或“反”）
【答案】反 正
【分析】判斷兩種相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值（商）一定，還是乘積一定；如果是比值（商）一定，則成正比例；如果是乘積一定，則成反比例，據此解答。
【解答】從家到學校的路程不變，車輪的直徑××轉動的圈數＝從家到學校的距離，則車輪的直徑×轉動的圈數＝從家到學校的距離÷（一定），因為乘積一定，所以從家騎自行車到學校，車輪的直徑和轉動的圈數成反比例關系；前項∶后項＝比值（一定），所以比值一定，比的前項和后項成正比例關系。
15．某商場所有物品都打同樣的折扣銷售。原價200元的衣服，現價140元。如果用a表示原價，b表示現價，用式子表示a和b之間的數量關系是（ ），a和b成（ ）比例關系。
【答案】a×70%＝b 正
【分析】用現價÷原價×100%，求出打幾折；把原價看作單位“1”，用原價×折扣＝現價，據此用式子表示a和b之間的數量關系。判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。
【解答】140÷200×100%
＝0.7×100%
＝70%
70%就是七折。
a×70%＝b
＝70%（一定），則a和b成正比例。
某商場所有物品都打同樣的折扣銷售。原價200元的衣服，現價140元。如果用a表示原價，b表示現價，用式子表示a和b之間的數量關系是a×70%＝b，a和b成正比例關系。
突破題型六根據正反比例填表
16．表中，如果x和y成正比例，則？是（ ）；如果x和y成反比例，則？是（ ）。
x 3 4
y 2.4 ？
【答案】3.2 1.8
【分析】乘積一定的兩個量成反比例關系，比值（或商）一定的兩個量成正比例關系。如果x和y成正比例，那么用2.4除以3，求出商，再將商乘4，即可求出第一空；如果x和y成反比例，那么先求出3和2.4的積，再除以4，即可求出第二空。
【解答】2.4÷3×4
＝0.8×4
＝3.2
3×2.4÷4
＝7.2÷4
＝1.8
所以如果x和y成正比例，則？是3.2；如果x和y成反比例，則？是1.8。
17．填空。
x 27 ？
y 3 9
（1）如果x和y成正比例，“？”處填 。
（2）如果x和y成反比例，“？”處填 。
【答案】（1）81
（2）9
【分析】（1）兩個相關的量，如果它們的比值（商）一定，它們成正比例關系；
（2）兩個相關的量，如果它們的乘積一定，它們成反比例關系；據此解答。
【解答】（1）如果x和y成正比例，x和y的比值一定。
27∶3＝9，所以，x＝9×9＝81
x 27 81
y 3 9
即如果x和y成正比例，“？”處填81。
（2）如果x和y成反比例，x和y的乘積一定。
27×3＝81，所以，x＝81÷9＝9
x 27 9
y 3 9
即如果x和y成反比例，“？”處填9。
18．把相同體積的水倒入底面積不同的長方體容器中，變化情況如下表：
底面積/cm2 10 15 20 25 …
水高度/cm 45 30 22.5 18 …
如果長方體容器底面積用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面積30cm2，水高度是（ ）cm。
【答案】反 15
【分析】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量成反比例關系。
先從表格中任意選取一組數據，根據V＝Sh求出水的體積，再根據h＝V÷S，求出底面積是30cm2時水的高度。
【解答】V＝Sh，體積一定，即乘積一定，則底面積S與高h成反比例；
10×45÷30
＝450÷30
＝15（cm）
如果長方體容器底面積用S表示，水的高度用h表示，S和h成反比例；如果底面積30cm2，水高度是15cm。
突破題型七正比例的圖形及簡單應用
19．某汽車行駛路程和耗油量的關系如圖。
（1）該汽車的耗油量與（ ）成正比例關系，因為：（ ）。
（2）利用圖像估計一下，該汽車行駛60千米的耗油量是（ ）。
【答案】（1）路程 耗油量與路程是兩個相關聯的量且比值一定
（2）8升/8L
【分析】（1）判斷兩種量成正比例還是成反比例時，關鍵看這兩種相關聯的量中相對應的兩個數是比值一定還是乘積一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘積一定，就成反比例；如果比值和乘積都不是定量，就不成比例。
耗油量÷路程＝每千米的耗油量（一定），所以該汽車的耗油量與路程成正比例關系；據此作答。
（2）根據統計圖找出60千米對應的耗油量即可做出估計。
【解答】（1）該汽車的耗油量與路程成正比例關系，因為：耗油量與路程是兩個相關聯的量且比值一定。
（2）由圖像可知，該汽車行駛60千米的耗油量是8升。
20．在彈性范圍內，某種彈簧伸長的長度與所掛物體的質量情況如下圖。
（1）如果掛4kg物體，彈簧伸長的長度是（ ）cm。
（2）彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成（ ）比例。（填“正”或“反”）
（3）當彈簧伸長的長度是0.7cm時，所掛物體的質量是（ ）kg。
【答案】（1）1.6
（2）正
（3）1.75
【分析】（1）掛上4kg的物體，彈簧長度會成比例伸長，那么彈簧伸長的長度＝物體的質量÷（1÷0.4），據此代入數據解答；
（2）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例；
（3）由（2）可知，物體的質量＝彈簧伸長的長度×2.5，據此代入數據解答。
【解答】（1）1÷0.4＝2.5
4÷2.5＝1.6（cm）
如果掛4kg物體，彈簧伸長的長度是1.6cm。
（2）1∶0.4＝2∶0.8＝2.5（一定），即物體的質量∶彈簧伸長的長度＝2.5（一定），所以物體的質量與彈簧伸長的長度成正比例；
（3）0.7×2.5＝1.75（kg）
當彈簧伸長的長度是0.7cm時，所掛物體的質量是1.75kg。
21．如下圖表示一工程隊修筑公路的長度與所用時間的關系，這個工程隊修路長度與所用時間成（ ）比例，照這樣計算，修長750米公路需要（ ）天。
【答案】正 7.5
【分析】橫軸代表時間，縱軸代表修路長度，如果修路長度與所用時間的比值一定，它們成正比例關系；如果修路長度與所用時間的乘積一定，它們成反比例關系，據此解答即可。
【解答】100÷1＝100（米/天）
200÷2＝100（米/天）
300÷3＝100（米/天）
400÷4＝100（米/天）
500÷5＝100（米/天）
……
所以修路長度與所用時間的比值一定，它們成正比例關系。
修路的效率是平均每天修100米，則修長750米公路需要：750÷100＝7.5（天）
突破題型八比例尺的意義
22．一個手表零件長2毫米，畫在一幅圖上長4厘米，這幅圖的比例尺是（ ）。
【答案】20∶1
【分析】分析題目，先根據1厘米＝10毫米把4厘米換算成毫米，再根據比例尺＝圖上距離∶實際距離寫出比例尺，最后根據比的基本性質化簡成最簡整數比即可。
【解答】4厘米＝40毫米
圖上距離∶實際距離
＝40毫米∶2毫米
＝40∶2
＝（40÷2）∶（2÷2）
＝20∶1
一個手表零件長2毫米，畫在一幅圖上長4厘米，這幅圖的比例尺是20∶1。
23．一幅地圖的比例尺是把它改寫成數值比例尺是（ ）。
【答案】1∶3000000
【分析】觀察線段比例尺可知，圖上1厘米表示實際30千米，根據圖上距離∶實際距離＝比例尺，轉化成數值比例尺即可。要注意把30千米轉化為以厘米為單位。
【解答】1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶3000000
一幅地圖的比例尺是把它改寫成數值比例尺是1∶3000000。
24．把地面12千米的距離用6厘米的線段畫在地圖上。那么，這幅地圖的比例尺是（ ）。
【答案】1∶200000/
【分析】1千米＝100000厘米，據此先統一單位。比例尺＝圖上距離∶實際距離，據此求出這幅地圖的比例尺。
【解答】12千米＝1200000厘米
6∶1200000
＝（6÷6）∶（1200000÷6）
＝1∶200000
所以這幅地圖的比例尺是1∶200000。
突破題型九比例尺應用之求圖上距離
25．在比例尺為1∶2000的地圖上，1厘米的線段代表實際距離（ ）米，實際距離180米在圖上要畫（ ）厘米。
【答案】20 9
【分析】根據“圖上距離∶實際距離＝比例尺”，可知比例尺1∶2000表示圖上1厘米相當于實際距離2000厘米，再根據進率“1米＝100厘米”換算成以米作單位的數；
已知實際距離180米，根據“圖上距離＝實際距離×比例尺”求出在圖上要畫的長度。
【解答】2000厘米＝20米
180米＝18000厘米
18000×＝9（厘米）
在比例尺為1∶2000的地圖上，1厘米的線段代表實際距離（20）米，實際距離180米在圖上要畫（9）厘米。
26．比例尺1∶4000000表示圖上1厘米代表實際（ ）千米；如果實際距離20千米，在圖上要用（ ）厘米長的線段表示。
【答案】40 0.5/
【分析】一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
根據比例尺的意義可知，比例尺1∶4000000表示圖上1厘米代表實際4000000厘米，根據進率“1千米＝100000厘米”將4000000厘米換算成以“千米”作單位的數即可。
已知實際距離20千米，先根據進率將20千米換算成以“厘米”作單位的數，再根據“圖上距離＝實際距離×比例尺”，即可求出20千米在圖上對應的線段長度。
【解答】4000000厘米＝40千米
20千米＝2000000厘米
2000000×＝0.5（厘米）
比例尺1∶4000000表示圖上1厘米代表實際（40）千米；如果實際距離20千米，在圖上要用（0.5）厘米長的線段表示。
27．在比例尺的地圖上，表示圖上距離與實際距離的比是（ ），實際距離96km，在這幅圖上用（ ）cm表示。
【答案】1∶800000 12
【分析】觀察線段比例尺，可知圖上1cm表示實際8km，據此寫出圖上距離與實際距離的比，化簡即可；根據圖上距離＝實際距離×比例尺，進行換算。
【解答】1cm∶8km＝1cm∶800000cm＝1∶800000
96km＝9600000cm
9600000×＝12（cm）
圖上距離與實際距離的比是1∶800000，實際距離96km，在這幅圖上用12cm表示。
突破題型十比例尺應用之求實際距離
28．丫丫在一本旅游地圖上，看到上面標的線段比例尺是，將線段比例尺改寫成數值比例尺是（ ）；她用直尺測量了地圖上A、B兩地的距離是4.5cm，那么A、B兩地的實際距離是（ ）km。
【答案】1∶8000000 360
【分析】由線段比例尺可知圖上1cm表示實際80km，根據比例尺＝圖上距離÷實際距離，根據1km＝100000cm，把80km轉化為以cm為單位，再代入數據計算比例尺即可；圖上4.5cm即表示有4.5個80km，用乘法計算即可得解。
【解答】由線段比例尺可知圖上1cm表示實際80km
80km＝8000000cm
（km）
丫丫在一本旅游地圖上，看到上面標的線段比例尺是，將線段比例尺改寫成數值比例尺是1∶8000000；她用直尺測量了地圖上A、B兩地的距離是4.5cm，那么A、B兩地的實際距離是360km。
29．把線段比例尺寫成數值比例尺是（ ）。如果甲、乙兩地圖上距離是5厘米，那么甲、乙兩地的實際距離是（ ）千米。
【答案】1∶5000000/ 250
【分析】觀察線段比例尺可知，圖上1厘米表示實際距離50千米，即5000000厘米，根據圖上距離∶實際距離＝比例尺，即可寫出數值比例尺；根據乘法的意義，用50乘5即可求出甲、乙兩地的實際距離。
【解答】50千米＝5000000厘米，則這個線段比例尺寫成數值比例尺是1∶5000000；
50×5＝250（千米），甲、乙兩地的實際距離是250千米。
30．“商都”鄭州到“文字之都”安陽的距離約170km，在一幅地圖上，量得這兩個城市的圖上距離是3.4cm，這幅地圖的比例尺是（ ）。在這幅地圖上，量得鄭州到“十三朝古都”洛陽的圖上距離是2.2cm，鄭州到洛陽的實際距離是（ ）km。
【答案】1∶5000000 110
【分析】圖上距離∶實際距離＝比例尺，據此寫出圖上距離與實際距離的比，化簡；根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，進行換算即可。
【解答】3.4cm∶170km
＝3.4cm∶17000000cm
＝34∶170000000
＝（34÷34）∶（170000000÷34）
＝1∶5000000
2.2÷＝2.2×5000000＝11000000（cm）＝110（km）
這幅地圖的比例尺是1∶5000000。鄭州到洛陽的實際距離是110km。
突破題型十一圖上距離和實際距離的換算
31．填寫下表。
圖上距離 4.5cm 15cm
實際距離 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1
【答案】2.7km；26cm；1∶2000000；3.2cm
【分析】
根據比例尺的意義作答，即比例尺＝圖上距離：實際距離，圖上距離＝實際距離×比例尺，實際距離＝圖上距離÷比例尺，據此代入數據即可求解。
【解答】4.5÷
＝4.5×60000
＝270000（cm）
＝2.7（km）
130km＝13000000（cm）
1300000×＝26（cm）
300km＝30000000cm
15÷30000000＝＝＝1∶2000000
2mm＝0.2cm
0.2×16＝3.2（cm）
如圖：
圖上距離 4.5cm 26cm 15cm 3.2cm
實際距離 2.7km 130km 300km 2mm
比例尺 1∶60000 1∶500000 1∶2000000 16∶1
32．根據比例尺、圖上距離、實際距離之間的關系填寫下表。
圖上距離 3.4cm 42dm 42dm
實際距離 150km
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
【答案】5cm；
102km；252dm；7dm
【分析】根據比例尺的意義作答，即比例尺＝圖上距離：實際距離，圖上距離＝實際距離×比例尺，實際距離＝圖上距離÷比例尺，據此代入數據即可求解。
【解答】3.4cm＝0.000034km
0.000034÷＝0.000034×3000000＝102（km）
15km＝1500000cm
15000000×＝5（cm）
42÷＝252（dm）
42÷6＝7（dm）
圖上距離 3.4cm 5cm 42dm 42dm
實際距離 102km 150km 252dm 7dm
比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1
33．填表。
比例尺 圖上距離 實際距離
1.8km
450km
15cm
【答案】見詳解
【分析】根據比例尺的意義：比例尺＝圖上距離∶實際距離；圖上距離＝實際距離×比例尺；實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據，即可解答，注意單位名數的換算。
【解答】1.8km＝180000m
180000×＝3.6（cm）
450km＝45000000cm
45000000×＝22.5（cm）
15÷
＝15×60000000
＝900000000（cm）
900000000cm＝9000km
比例尺 圖上距離 實際距離
3.6cm 1.8km
22.5cm 450km
15cm 9000km
突破題型十二圖形的放大和縮小
34．把一張長2dm、寬8cm的長方形圖紙按1∶4縮小，得到的新圖紙面積是（ ）cm2。
【答案】10
【分析】一個長2dm，寬8cm的長方形按1∶4縮小，就是把這個長方形的長和寬都縮小到原來的，求出縮小后的長和寬，再根據長方形的面積＝長×寬，求出縮小后的圖形面積。
【解答】2dm＝20cm
（20×）×（8×）
＝5×2
＝10（cm2）
所以，把一張長2dm、寬8cm的長方形圖紙按1∶4縮小，得到的新圖紙面積是10 cm2。
35．將一個正方體的每條棱的長度都按的比例縮小，那么，它的表面積會縮小到原來的（ ），體積會縮小到原來的（ ）。（填上合適的分數）
【答案】
【分析】把圖形按照1∶n縮小，就是將圖形的每一條邊縮小到原來的，縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1∶n。假設正方體的棱長是9厘米，計算出按縮小后的棱長，正方體表面積＝棱長×棱長×6，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，分別計算出縮小前后的表面積和體積，將原來的表面積和體積看作單位“1”，縮小后的表面積÷原來的表面積＝它的表面積會縮小到原來的幾分之幾，縮小后的體積÷原來的體積＝體積會縮小到原來的幾分之幾。
【解答】假設正方體的棱長是9厘米。
9×＝3（厘米）
（3×3×6）÷（9×9×6）
＝54÷486
＝
＝
（3×3×3）÷（9×9×9）
＝27÷729
＝
＝
它的表面積會縮小到原來的，體積會縮小到原來的。
36．學校制作宣傳欄表彰“閱讀小達人”，如圖是一位同學的二寸照片的尺寸，老師想按比例放大裝進宣傳欄，放大后照片的寬是22cm，長是（ ）cm。
【答案】32
【分析】根據題意可知，照片按比例放大后，原照片的長∶放大后照片的長＝原照片的寬∶放大后照片的寬，據此列出比例方程，并求解。
【解答】解：設放大后照片的長是cm。
4.8∶＝3.3∶22
3.3＝4.8×22
3.3＝105.6
＝105.6÷3.3
＝32
放大后照片的長是32cm。
突破題型十三比例的應用
37．王丹陽一家去曲阜尼山書院游玩，他們并排站著拍了一張全家福照片。王丹陽身高1.65米，照片上王丹陽的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。
【答案】6.2
【分析】分析題目，先根據1米＝100厘米把爸爸和王丹陽的實際身高都換算成以厘米為單位，再把照片上爸爸的身高設為x厘米，根據爸爸照片上的身高∶爸爸實際的身高＝王丹陽照片上的身高∶王丹陽實際的身高列出比例，最后根據比例的基本性質解出比例即可。
【解答】1.65米＝165厘米
1.86米＝186厘米
解：設照片上爸爸的身高是x厘米。
x∶186＝5.5∶165
165x＝186×5.5
165x＝1023
x＝1023÷165
x＝6.2
王丹陽一家去曲阜尼山書院游玩，他們并排站著拍了一張全家福照片。王丹陽身高1.65米，照片上王丹陽的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是6.2厘米。
38．成語“立竿見影”從數學的角度看，是應用了比例中同時同地竿高和影長成正比例關系的知識。身高1.6米的聰聰在陽光照射下的影子長2.8米，同時同地量得妹妹的影子長2.1米，妹妹的身高是（ ）米。
【答案】1.2//
【分析】根據題意知道，物體的長度和它的影子的長度的比值一定，即物體的長度和它的影子的長度成正比例，設妹妹的身高是x米，根據題意，聰聰的高度∶聰聰的影長＝妹妹的高度∶妹妹的影長，由此列比例解答即可。
【解答】設妹妹的身高是x米。
1.6∶2.8＝x∶2.1
2.8x＝2.1×1.6
2.8x＝3.36
2.8x÷2.8＝3.36÷2.8
x＝1.2
妹妹的身高是1.2米。
39．甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3，兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5，那么甲乙兩校原來共有（ ）本圖書。
【答案】4200
【分析】根據“甲乙兩個學校圖書本數比是4∶3”，可以設甲校原來有4本圖書，乙校原來有3本圖書；根據“兩所學校同時捐給山區小學300本圖書，這時甲乙兩校圖書本書比是7∶5”可得出等量關系：（甲校原有圖書的本數－300）∶（乙校原有圖書的本數－300）＝7∶5；據此列出比例方程，并求解，進而求出甲校、乙校原有圖書的本數，再相加，即是兩校原有圖書的總本數。
【解答】解：設甲校原來有4本圖書，乙校原來有3本圖書。
（4－300）∶（3－300）＝7∶5
7（3－300）＝5（4－300）
21－2100＝20－1500
21－20＝2100－1500
＝600
甲校原有：600×4＝2400（本）
乙校原有：600×3＝1800（本）
一共：2400＋1800＝4200（本）
那么甲乙兩校原來共有4200本圖書。
突破題型十四解比例
40．解方程或解比例。
2－＝1.5 ∶＝∶
【答案】＝1.2；＝2
【分析】（1）先把方程化簡成＝1.5，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；
（2）先根據比例的基本性質將比例方程改寫成＝×，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解。
【解答】（1）2－＝1.5
解：＝1.5
÷＝1.5÷
＝1.5×
＝1.2
（2）∶＝∶
解：＝×
÷＝÷
＝×6
＝2
41．求未知數。

【答案】；；
【分析】（1）先把化成，根據等式的性質，方程兩邊先同時加上，再同時除以，求出方程的解；
（2）先根據比例的基本性質將比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；
（3）先根據比例的基本性質將比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解。
【解答】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
42．解比例。

【答案】；
【分析】，根據比例的基本性質，先寫成的形式，兩邊同時÷即可；
，根據比例的基本性質，先寫成的形式，兩邊同時÷3即可。
【解答】
解：
解：
突破題型十五應用比例尺作圖
43．小明家正北方向300米是科技館，科技館正東方向600米是動物園，動物園南偏西30°方向400米是書店。畫出上述地點的平面圖。（比例尺是1∶10000）
【答案】見詳解
【分析】以圖上的“上北下南，左西右東”為準，比例尺是1∶10000表示圖上1厘米相當于實際距離100米。
在小明家正北方向上畫300÷100＝3厘米長的線段即是科技館；
在科技館正東方向上畫600÷100＝6厘米長的線段即是動物園；
在動物園南偏西30°方向上畫400÷100＝4厘米長的線段即是書店。
【解答】10000厘米＝100米
比例尺1∶10000表示圖上1厘米相當于實際距離100米。
300÷100＝3（厘米）
600÷100＝6（厘米）
400÷100＝4（厘米）
如圖：
44．根據信息畫一畫。（比例尺1∶50000）
（1）新華書店在廣場北偏西60°方向1500米處，請在圖上標出新華書店的位置。
（2）若要從新華書店修一條小路到新開路，畫出新華書店到新開路最近的路線。
【答案】（1）（2）圖見詳解
【分析】（1）根據圖上距離＝實際距離×比例尺，將新華書店與廣場的實際距離按1∶50000換算成圖上距離。再根據地圖上方向的規定“上北下南，左西右東”，以廣場為觀測點，確定新華書店的位置即可。
（2）直線外一點與這條直線所有點的連線中，垂線段最短，所以只要做出新華書店到新開路的垂線段即可。
【解答】（1）1∶50000＝ 1500米＝150000厘米
150000×＝3（厘米）
新華書店與廣場的圖上距離是3厘米。作圖如下：
（2）作出新華書店到新開路的垂線段就是最短路線，作圖如下：
45．為與新冠病毒競速，武漢市火速建設了雷神山、火神山醫院，以集中收治肺炎患者。火神山醫院的建成，可大大緩解北偏東50 方向30千米處的金銀潭醫院的就診壓力，請在圖中標出金銀潭醫院的位置。

【答案】見詳解
【分析】根據圖中線段比例尺，在火神山醫院北偏東50 方向截取30÷10＝3個單位長度，標出角度，終點處標注出金銀潭醫院的位置即可。
【解答】由分析可得：

【點評】本題考查比例尺，掌握根據方向、角度、距離確定位置的方法是解題的關鍵。
突破題型十六作放大或縮小后的圖形
46．
（1）畫出把正方形按1∶2的比縮小后的圖形。
（2）畫出把平行四邊形按3∶1的比擴大后的圖形。
【答案】見詳解
【分析】（1）把圖形按照1∶n縮小，就是將圖形的每一條邊縮小到原來的，縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1∶n；
（2）把圖形按照n∶1放大，就是將圖形的每一條邊放大到原來的n倍，放大后圖形與原圖形對應邊長的比是n∶1。
【解答】（1）4×＝2（格）
縮小后的正方形邊長2格，作圖如下：
（2）3×3＝9（格）
2×3＝6（格）
擴大后的平行四邊形底9格，高6格，作圖如下：
47．（1）按1∶2畫出三角形縮小后的圖形A。
（2）按2∶1畫出梯形擴大后的圖形B，并畫出圖形B的對稱軸。
【答案】圖見詳解
【分析】三角形按1∶2縮小，也就是把三角形的底和高縮小到原來的，已知原來的三角形的底是6格，高是4格，分別用6÷2和4÷2即可求出縮小后的底和高；梯形按2∶1放大，也就是把梯形的上底、下底和高擴大到原來的2倍，已知原來的梯形的上底是4格，下底是2格，高是2格，分別用4×2、2×2和2×2即可求出放大后的上底、下底和高；據此作圖。
【解答】作圖如下：
48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再將三角形B按2∶1放大，得到三角形C。
【答案】見詳解
【分析】根據平移的特征：把三角形A的各個頂點分別向右平移5格，依次連接，即可得到平移后的圖形B；
再根據圖形放大與縮小的特征，把三角形B的各邊分別擴大到原來的2倍，即可畫出將三角形B按2∶1擴大得到三角形C。
【解答】如圖：
突破題型十七應用比例尺解決實際問題
49．智能交通系統可以對事故發生地點精準定位。一天，某高速路上發生兩車相撞事故，車禍發生后，救援工作迅速開展。在比例尺為1∶600000的地圖上，量得事故現場與最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所與醫院收到智能交通系統信號后分別同時派出了一輛警車和一輛救護車，警車經過10分鐘到達現場。
（1）事故現場與最近的派出所實際相距多少千米？
（2）若警車與救護車速度之比為5∶6，救護車與警車同時到達事故現場，則事故現場與最近的醫院實際相距多少千米？
【答案】（1）21千米；
（2）25.2千米
【分析】（1）根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據計算，再把單位轉化為千米即可得解。
（2）根據，代入數據計算警車的速度，再根據比的意義，把警車的速度看作5份，救護車速度看作6份，用警車速度除以5再乘6即可得救護車的速度，再根據，代入數據計算即可得解。
【解答】（1）（厘米）
2100000厘米＝21千米
答：事故現場與最近的派出所實際相距21千米。
（2）
（千米）
答：事故現場與最近的醫院實際相距25.2千米。
50．“神州”九號載人飛船返回艙著陸在內蒙古的四子王旗，聰聰在第一張地圖上量得四子王旗與北京的距離大約是3厘米，而在第二張地圖上量得四子王旗與北京的距離大約是5厘米。
（1）老師說他量的數據都對，請你解釋其中的原因。
（2）如果四子王旗到北京的距離大約是450千米，那么第一張地圖的比例尺是多少？
【答案】（1）實際距離一樣，兩幅圖所用比例尺不一樣，量的得圖上距離就不一樣。
（2）1∶15000000
【分析】（1）比例尺是地圖上的距離與實際地理距離之間的比例關系。比例尺的計算公式為：，實際距離相同的情況下，如果兩張地圖的比例尺不同，那么圖上距離就會不同。據此解答。
（2）根據比例尺的計算公式為：，代入數據計算，根據1千米＝1000米，1米＝100厘米，先把450千米轉化為以厘米為單位再計算。
【解答】（1）答：實際距離一樣，兩幅圖所用比例尺不一樣，量的得圖上距離就不一樣，所以老師說他量的數據都對。
（2））3厘米∶450千米＝3厘米∶45000000厘米＝3∶45000000＝（3÷3）∶（45000000÷3）＝1∶15000000
答：第一張地圖的比例尺是1∶15000000。
51．下面是小紅家的平面示意圖。
（1）這幅圖的比例尺是1∶（ ）。
（2）小紅放學后沿虛線所示的路線去書店買書，她從學校到書店實際走了（ ）米。
（3）小紅在家寫作業時發現鋼筆壞了，于是步行去文具店買鋼筆，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，點（ ）最有可能是文具店的位置。
【答案】（1）10000
（2）700
（3）A
【分析】（1）圖中的線段比例尺的意義是圖上1厘米表示實際的100米，根據1米＝100厘米，把100米化成10000厘米，再根據比例尺＝圖上距離∶實際距離，得出數值比例尺；
（2）首先量出圖上虛線的長度是7厘米（以實際測量為準），然后根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，求出實際的路程；
（3）根據地圖上的方向：上北下南左西右東，以及描述的路線，找出文具店的大體位置，從而解決問題。
【解答】（1）100米＝10000厘米
1厘米∶10000厘米＝1∶10000
所以這幅圖的比例尺是1∶10000。
（2）圖上虛線的長度是7厘米；
7÷
＝7×10000
＝70000（厘米）
70000厘米＝700米
所以她從學校到書店實際走了700米。
（3）如圖：她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，點A最有可能是文具店的位置。
突破題型十八圖形縮放問題及運動的綜合作圖
52．按要求完成三幅圖，并填空。
①畫出圓向右平移3格，再向上平移4格后的圖形，移動后圓心O的位置用數對表示為（ ， ）。
②畫出平行四邊形繞A點順時針旋轉90°后的圖形。
③畫出正方形按2∶1擴大后的圖形，擴大后的正方形面積是原來的（ ）倍。
【答案】見詳解
【分析】①將圓心先向右平移3格，再向上平移4格，確定好圓心的位置，以半徑為2個格子畫圓；依據用數對表示位置的方法，括號內先寫列再寫行，中間用“，”隔開表示圓心的位置；
②將各個關鍵點按順時針方旋轉90°作出它們的對應點，再將對應點順次連接即可；
③將正方形按照2∶1放大，就是將正方形的邊放大到原來的2倍；正方形的面積＝邊長×邊長，用放大后的面積除以放大前的面積，求出擴大后的正方形面積是原來的幾倍。
【解答】①移動后圓心0的位置用數對表示為（6，7）；
③擴大后的邊長＝2×2＝4
擴大前的面積＝2×2＝4
擴大后的面積＝4×4＝16
16÷4＝4
擴大后的正方形面積是原來的4倍；
①②③圖：
。
53．按要求畫圖并回答問題。
（1）畫出三角形ABC繞B點順時針旋轉90°得到的圖形。
（2）畫出三角形ABC按2∶1放大后得到的圖形，放大后的圖形與原圖的面積之比是（ ）。
（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是（ ），它的體積是（ ）。
【答案】（1）、（2）圖見詳解；4∶1；
（3）圓錐；78.5立方厘米
【分析】（1）根據旋轉的特征，三角形ABC繞點B順時針旋轉90°后，點B的位置不動，其余各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數，得到旋轉后的圖形；
（2）根據放大和縮小的意義：把三角形各個邊分別擴大到原來的2倍，據此畫出擴大后的三角形（位置不唯一）；再根據三角形面積公式：面積＝底×高÷2，分別求出擴大后的三角形面積和原來三角形面積，再根據比的意義，用放大后三角形的面積∶原來三角形面積，即可解答；
（3）根據圓錐的特征可知，AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，得到一個圓錐，圓錐的高是3厘米，底面半徑是5厘米，再根據圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，據此求出圓錐的以及；
【解答】（1）如圖：
（2）如圖：
原來三角形底是5厘米，高是3厘米；擴大后三角形底是5×2＝10（厘米），高是3×2＝6（厘米）
（10×6÷2）∶（5×3÷2）
＝（60÷2）∶（15÷2）
＝30∶7.5
＝（30÷7.5）∶（7.5÷7.5）
＝4∶1
放大后的圖形與原圖的面積之比是4∶1。
（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是圓錐。
底面半徑：5厘米，高：3厘米。
3.14×52×3×
＝3.14×25×3×
＝78.5×3×
＝78.5（立方厘米）
如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是圓錐，它的體積是78.5立方厘米。
54．想一想，在方格中畫一畫。
（1）圖中的平行四邊形沿高分成了兩部分，把其中的三角形向（ ）平移（ ）格，平行四邊形就變成了長方形。
（2）把三角形ABC繞點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形。旋轉后，點B的新位置用數對表示是（ ）。
（3）畫出圖中下方梯形的另一半，使它成為軸對稱圖形。再畫出這個軸對稱圖形按照1∶2縮小后的圖形。
【答案】（1）右；7
（2）畫圖見詳解；（16，4）
（3）見詳解
【分析】
（1）決定平移后圖形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距離。如圖，確定平移方向，數出平移的格數即可；
（2）作旋轉一定角度后的圖形步驟：根據題目要求，確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角；分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點；找出關鍵點的對應點：按一定的方向和角度分別作出各關鍵點的對應點；作出新圖形，順次連接作出的各點即可。
用數對表示位置時，通常把豎排叫列，橫排叫行。一般情況下，確定第幾列時從左往右數，確定第幾行時從前往后數。表示列的數在前，表示行的數在后，中間用逗號“，”隔開，數對加上小括號。
（3）補全軸對稱圖形的方法：找出圖形的關鍵點，依據對稱軸畫出關鍵點的對稱點，再依據圖形的形狀順次連接各點，畫出最終的軸對稱圖形。
把圖形按照1：n縮小，就是將圖形的每一條邊縮小到原來的，縮小后圖形與原圖形對應邊長的比是1：n
【解答】（1）圖中的平行四邊形沿高分成了兩部分，把其中的三角形向右平移7格，平行四邊形就變成了長方形。
（2）作圖如下；旋轉后，點B的新位置用數對表示是（16，4）。
（3）
突破題型十九應用正比例解決實際問題
55．一種新型筆芯每支售價是0.8元。
數量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
總價/元 0 0.8 1.6 …
（1）把筆芯數量與總價相對應的點在圖中描出來，并連線。
（2）買11支筆芯需要（ ）元。
（3）小麗買筆芯的錢是小華的3倍，小麗買筆芯的支數是小華的（ ）倍。
【答案】2.4；3.2；4.0；4.8；5.6；6.4
（1）圖見詳解
（2）8.8
（3）3
【分析】已知一種新型筆芯每支售價是0.8元，根據“單價×數量＝總價”，求出買不同數量的筆芯對應的總價，據此把表格補充完整。
（1）把筆芯數量與總價相對應的點在圖中描出來，并連線。
（2）根據“單價×數量＝總價”，求出買11支筆芯需要的錢數。
（3）根據總價÷數量＝單價，單價一定，則總價與數量成正比例關系，據此解答。
【解答】0.8×3＝2.4（元）
0.8×4＝3.2（元）
0.8×5＝4.0（元）
0.8×6＝4.8（元）
0.8×7＝5.6（元）
0.8×8＝6.4（元）
數量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
總價/元 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 …
（1）如下圖：
（2）0.8×11＝8.8（元）
買11支筆芯需要8.8元。
（3）因為單價一定，總價與數量成正比例關系，所以小麗買筆芯的錢是小華的3倍，小麗買筆芯的支數是小華的3倍。
56．東東記錄了某國產品牌電動汽車的儀表盤上顯示的相關數據，整理結果如下：
行駛路程（千米） 100 120 130 140 150
耗電量（千瓦時） 15 18 19.5 21 22.5
（1）觀察上表中的數據，電動汽車的行駛路程與耗電量成（ ）比例關系。
（2）當電動汽車行駛了600千米時，電動汽車將消耗多少千瓦時的電？（用比例解答）
【答案】（1）正
（2）90千瓦時
【分析】（1）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例。
（2）已知行駛路程與耗電量成正比例關系。設行駛 600千米時消耗x千瓦時的電。因為兩者成正比例，所以它們的比值相等。即＝，這個比例方程可以求出消耗的電量的值。
【解答】（1）觀察表格中行駛路程和耗電量的數據。計算它們的比值：
＝
＝
＝
＝
＝
可以看出，無論行駛路程和耗電量如何變化，其比值始終為，保持恒定。根據正比例關系的定義，當兩個相關聯的量比值一定時，這兩個量成正比例關系。所以，電動汽車的行駛路程與耗電量成正比例關系。
（2）解：設電動汽車將消耗x千瓦時的電。
＝
解：100x＝15×600
100x＝9000
100x＝9000
100x÷100＝9000÷100
x＝90
答：電動汽車將消耗90千瓦時的電。
57．C919是中國首款按照國際通行適航標準，自行研制、具有自主知識產權的客機。下面是C919飛行時間和所行路程的變化情況。
飛行時間/時 0 1 3 5 6
所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400
（1）因為（ ），所以所行路程和飛行時間成（ ）比例關系。
（2）根據上表，在下圖中描出它的圖像。
（3）利用圖像判斷C919飛機行駛1800千米用時（ ）小時；4小時行駛（ ）千米。
【答案】（1）所行路程：飛行時間＝速度（一定）；正
（2）見詳解
（3）2；3600
【分析】（1）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定還是對應的乘積一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例；
（2）根據表中數據，先描點再連線；
（3）根據圖像可知，當飛機行駛1800千米，所對應的時間是2小時；當飛機飛行時間是4小時，所對應的路程是3600千米。
【解答】（1），即所行路程和飛行時間的比值一定。
因為所行路程：飛行時間＝速度（一定），所以所行路程和飛行時間成正比例關系。
（2）
（3）由分析可知：
利用圖像判斷C919飛機行駛1800千米用時2小時；4小時行駛3600千米。
突破題型二十應用反比例解決實際問題
58．某牛奶公司把一批牛奶進行灌裝，如表給出了幾種不同的灌裝方案。
方案 一 二 三
每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5
瓶數 800 1000 400
（1）這批牛奶的總量是（ ）升。
（2）（ ）沒有變化，每瓶容量和灌裝的瓶數成（ ）比例。
（3）如果將這批牛奶裝入250個瓶子里，每瓶要裝多少升？（用比例解）
【答案】（1）200
（2）這批牛奶的總量；反
（3）0.8升
【分析】（1）通過每瓶容量與瓶數的乘積可求出牛奶總量；
（2）判斷兩種相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值（商）一定，還是對應的乘積一定；如果是比值（商）一定，這兩種相關聯的量成正比例；如果是乘積一定，這兩種相關聯的量成反比例。據此判斷每瓶容量和灌裝瓶數的關系；
（3）利用牛奶總量不變，每瓶容量和灌裝瓶數成反比例這一性質列方程求解。
【解答】（1）0.25×800＝200（升）
所以這批牛奶的總量是200升。
（2）這批牛奶的總量沒有變，每瓶容量和灌裝的瓶數成反比例。
（3）解：設每瓶要裝x升。
250x＝0.25×800
250x＝200
250x÷250＝200÷250
x＝0.8
答：每瓶要裝0.8升。
59．學校要給一間功能教室鋪地磚，每塊地磚的面積與所需地磚的數量如表。
每塊地磚的面積/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 …
所需地磚的數量/塊 600 400 300 200 150 …
（1）每塊地磚的面積和所需地磚的數量成（ ）比例關系。
（2）如果鋪這一地面用了500塊地磚，所用的地磚每塊面積是多大？（用比例解答）
【答案】（1）反
（2）0.24平方米
【分析】（1）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。據此解答即可。
（2）可假設所用的地磚每塊面積是x平方米，根據每塊地磚的面積和所需地磚的數量成反比例關系，據此即可列比例求解。
【解答】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米）
因為每塊地磚的面積×需要的塊數＝鋪地面積（一定），所以每塊地磚的面積和所需地磚的數量成反比例關系。
（2）解：設所用地磚的面積為x平方米。
500x＝0.2×600
500x＝120
500x÷500＝120÷500
x＝0.24
答：所用的地磚每塊面積是0.24平方米。
60．畢業，不止是一場告別，更是一次新的征程。為了給孩子們送上祝福，在心中留下美好的校園回憶，中心小學六年級的老師精心設計了一面長方形的照片墻，征集具有紀念意義的照片貼在墻上展覽。每張照片的面積和所貼照片數量的關系如表：
每張照片的面積/ 4 9 16 …
所貼照片的數量/張 216 96 54 …
（1）觀察上表中的數據，每張照片的面積和所貼照片的數量成（ ）比例。
（2）如果采用面積是的照片來貼滿這面長方形照片墻，需要多少張照片？（用比例解答）
【答案】（1）反
（2）36
【分析】（1）判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例；
（2）根據題意可知，照片墻的面積一定；所以每張照片的面積×所貼照片的數量＝24×所貼照片的數量，設需要x張照片；列比例：4×216＝24x，解比例，即可解答。
【解答】（1）4×216＝9×96＝16×54＝864（一定），每張照片的面積和所貼照片的數量成反比例。
（2）解：設需要x張照片。
4×216＝24x
24x＝864
24x÷24＝864÷24
x＝36
答：需要36張照片。
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