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第三單元易錯易混專項07 運用圓錐的體積容積解決問題拔高30題
答案解析
一、解答題
1．王冬用橡皮泥捏成了一個高1.5厘米，底面半徑為3厘米的圓柱，捏好后爸爸拿起來觀賞，可是不小心“啪”一聲掉到地上摔了，王冬把弄臟的一部分丟掉后，索性把剩余的橡皮泥改捏成一個底面直徑4厘米，高9厘米的圓錐。丟掉部分的體積占原來圓柱體積的百分之幾？（百分號前保留一位小數）
【正確答案】11.1%
【解題思路】由題意可知，根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓錐的體積公式：V＝πr2h，用圓柱橡皮泥的體積減去圓錐形橡皮泥的體積，再除以圓柱的體積即可。
【詳細解答】3.14×32×1.5－×3.14×（4÷2）2×9
＝3.14×9×1.5－×3.14×4×9
＝42.39－37.68
＝4.71（立方厘米）
4.71÷（3.14×32×1.5）
＝4.71÷42.39
≈11.1%
答：丟掉部分的體積占原來圓柱體積的11.1%。
【考點點評】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。
2．王老伯有一個圓錐形谷堆，他量得這個谷堆的底面周長是18.84米，高1.2米。
（1）這堆稻谷的體積是多少立方米？
（2）如果每立方米稻谷的質量為700千克，這堆稻谷的質量為多少千克？
【正確答案】（1）11.304立方米
（2）7912.8千克
【解題思路】（1）根據圓錐的底面周長，先求出圓錐的底面半徑，高已知，然后根據圓錐的體積公式：V＝Sh，代入數據解答即可；
（2）用圓錐形谷堆的體積乘每立方米稻谷的質量即可。
【詳細解答】（1）18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
×3.14×32×1.2
＝×33.912
＝11.304（立方米）
答：這堆稻谷的體積是11.304立方米。
（2）11.304×700＝7912.8（千克）
答：這堆稻谷的質量為7912.8千克。
【考點點評】本題考查圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。
3．城市道路提質暢通，不僅緩解了交通擁堵的狀況，更為市民出行提供了便利。國花路提升改造工程工地有一個圓錐形沙堆、底面周長18.84米，高1.5米。這堆沙的體積是多少立方米？
【正確答案】14.13立方米
【解題思路】已知圓錐形沙堆的底面周長，根據r＝C÷π÷2，求出圓錐的底面半徑；再根據圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數據計算，求出這堆沙的體積。
【詳細解答】圓錐的底面半徑：
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
圓錐的體積：
×3.14×32×1.5
＝×3.14×9×1.5
＝3.14×4.5
＝14.13（立方米）
答：這堆沙的體積是14.13立方米。
【考點點評】本題考查圓錐的體積公式的應用，求出圓錐的底面半徑是解題的關鍵。
4．趙師傅將一個長方體鐵塊和一個圓柱形鐵塊（如下圖）熔鑄成一個底面直徑是12厘米的圓錐。這個圓錐的高是多少厘米？
【正確答案】12.5厘米
【解題思路】根據長方體的體積公式：V＝abh，圓柱的體積公式：V＝，代入數據求出長方體鐵塊和圓柱形鐵塊的體積，再加起來，求出它們的體積之和，熔鑄后，總體積不變，根據圓錐的體積公式：V＝，把已知的數據代入即可求出圓錐的高。
【詳細解答】12×5×3.14＋3.14×（6÷2）2×10
＝188.4＋3.14×32×10
＝188.4＋3.14×9×10
＝188.4＋282.6
＝471（立方厘米）
471÷[×3.14×（12÷2）2]
＝471÷[×3.14×62]
＝471÷[×3.14×36]
＝471÷37.68
＝12.5（厘米）
答：圓錐的高是12.5厘米。
【考點點評】此題主要考查等積變形，抓住熔鑄前后體積不變，靈活運用長方體、圓柱、圓錐的體積公式求解即可。
5．一盒18色的橡皮泥，每種顏色的橡皮泥都是一個高5厘米，底面直徑是2厘米的圓柱。如果把這些橡皮泥全部揉在一起，做一個底面直徑是12厘米的圓錐，圓錐的高是多少厘米？
【正確答案】7.5厘米
【解題思路】由題意知，橡皮泥的總體積不變，先根據體積公式求出一個小圓柱橡皮泥的體積，再乘18即為橡皮泥的總體積。再根據圓錐的體積公式可知，圓錐的高＝橡皮泥的總體積×3÷圓錐的底面積。據此解答。
【詳細解答】18×3.14×（2÷2）2×5
＝18×3.14×1×5
＝282.6（立方厘米）
3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
282.6×3÷113.04
＝847.8÷113.04
＝7.5（厘米）
答：圓錐的高是7.5厘米。
【考點點評】此題的解題關鍵是利用體積不變，通過圓柱和圓錐的體積公式，求出圓錐的高。
6．某甜品店準備推出一款新口味的沙冰，為滿足不同人群的需求，店家為這款沙冰設計了兩種不同的包裝（銷售時要剛好盛滿），兩種包裝的沙冰及其定價如下所示。
（1）包裝的側面是一種環保材料，制作一個圓柱形包裝至少需要多少平方厘米的環保材料？（接口處忽略不計）
（2）你認為這樣定價合理嗎？請給出你的定價建議并用數據說明理由。
【正確答案】（1）301.44平方厘米；（2）不合理；見詳解
【解題思路】（1）根據題意，利用圓柱的側面積公式：S＝，代入數據，即可求出制作一個圓柱形包裝至少需要多少平方厘米的環保材料。
（2）兩種不同的包裝，一個是底為8厘米，高為12厘米的圓柱，一個是底為8厘米，高為12厘米的圓錐，根據等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，那么A包裝的沙冰的價格也應該是B包裝的沙冰價格的3倍，據此解答。
【詳細解答】（1）3.14×8×12
＝25.12×12
＝301.44（平方厘米）
答：制作一個圓柱形包裝至少需要301.44平方厘米的環保材料。
（2）3.14×（8÷2）2×12
＝3.14×42×12
＝3.14×16×12
＝602.88（立方厘米）
3.14×（8÷2）2×12×
＝3.14×42×12×
＝3.14×16×12×
＝50.24×12×
＝200.96（立方厘米）
602.88÷200.96＝3
所以A包裝的沙冰的價格也應該是B包裝的沙冰價格的3倍。
15÷3＝5（元）
10×3＝30（元）
定價建議，A：15元，B：5元或A：30元，B：10元
答：我認為這樣定價不合理，定價建議如下：如果A包裝定價為15元，則B包裝定價5元；如果B包裝定價為10元，則A包裝定價30元。
【考點點評】此題的解題關鍵是靈活運用圓柱的側面積、圓柱的體積和圓錐的體積公式解決實際的問題。
7．一個底面直徑是6厘米，高10厘米的圓柱形容器中倒入水，水面高8厘米，把一個高9厘米的圓錐形鐵塊全部浸沒在容器中，水滿溢出了28.26立方厘米，這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？（π取3.14）
【正確答案】28.26平方厘米
【解題思路】根據題意可知：圓錐形鐵塊的體積等于容器內升高的10－8＝2厘米的水的體積＋溢出的水的體積。先根據圓柱的體積求出容器內升高的2厘米的水的體積，再加上28.26立方厘米求出這個圓錐形鐵塊的體積。由圓錐的體積可知：，將圓錐的體積和高代入上式，即可求出圓錐體鐵塊的底面積。
【詳細解答】
＝
＝
＝56.52＋28.26
＝84.78（立方厘米）
84.78÷÷9
＝84.78×3÷9
＝254.34÷9
＝28.26（平方厘米）
答：這個圓錐形鐵塊的底面積是28.26平方厘米。
【考點點評】解決此題的關鍵是求出圓錐形鐵塊的體積。向盛液體的容器中放入物體，且物體完全浸入液體中，液體溢出，放入的物體的體積等于容器中升高的那部分液體的體積加上溢出的液體的體積。
8．一個圓柱和一個圓錐，底面直徑都是6厘米，高都是12厘米，它們的體積一共有多少立方厘米？（先畫出圓柱和圓錐的草圖，再解答。）（用含π的式子表示最簡結果）
【正確答案】144π立方厘米
【解題思路】根據圓柱的體積公式：V＝Sh，圓錐的體積公式：V＝Sh，把數據代入公式求出它們的體積和即可；因為等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，所以它們的體積和相當于圓柱體積的（1＋），把圓柱的體積看作單位“1”，根據乘法的意義，用圓柱的體積×（1＋）即可求出體積和，據此解答。
【詳細解答】如圖：
（1＋）×π×（6÷2）2×12
＝×π×32×12
＝×π×9×12
＝144π（立方厘米）
答：它們的體積一共有144π立方厘米。
【考點點評】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
9．中國航天航空事業的發展日新月異，2023年長征系列運載火箭累計發射次數有望突破500次。小明是個小航天迷，下面是小明制作的火箭模型，請你運用所學的知識求出它的體積。
【正確答案】1884立方厘米
【解題思路】根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓錐的體積公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×20即可求出圓柱的體積，用3.14×（10÷2）2×12×即可求出圓錐的體積，最后把兩部分相加即可。
【詳細解答】3.14×（10÷2）2×20
＝3.14×52×20
＝3.14×25×20
＝1570（立方厘米）
3.14×（10÷2）2×12×
＝3.14×52×12×
＝3.14×25×12×
＝314（立方厘米）
1570＋314＝1884（立方厘米）
答：火箭模型1884立方厘米。
【考點點評】本題主要考查了圓柱體積公式和圓錐體積公式的應用。
10．探索浩瀚宇宙，發展航天事業，建設航天強國，是我國不斷追求的航天夢。下面是某運載火箭整流罩的簡約示意圖，如果忽略厚度，該整流罩的容積是多少？
【正確答案】150.72立方米
【解題思路】該圖形的容積等于下方圓柱的容積加上上方圓錐的容積，根據圓柱的容積公式：V＝πr2h，圓錐的容積公式：V＝πr2h，據此代入數值進行計算即可。
【詳細解答】3.14×（4÷2）2×10＋×3.14×（4÷2）2×（16－10）
＝3.14×4×10＋×3.14×4×6
＝125.6＋25.12
＝150.72（立方米）
答：該整流罩的容積是150.72立方米。
【考點點評】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。
11．一個底面直徑是40厘米的圓柱形玻璃缸中裝有一些水，水中放著一個底面直徑是20厘米，高是12厘米的圓錐形鉛錘（如圖）。當取出鉛錘后，玻璃缸里的水下降了多少厘米？

【正確答案】1厘米
【解題思路】根據題意分析可知，圓錐形鉛錘的體積＝水下降的高度×圓柱的底面積，先用圓錐的體積公式求出圓錐形鉛錘的體積，就是水下降的體積，再根據圓柱的體積公式，用圓錐的體積除以圓柱的底面積即可求出水下降的高度。
【詳細解答】圓錐形鉛錘的體積：3.14×（20÷2）2×12×
＝3.14×10×10×4
＝314×4
＝1256（立方厘米）
圓柱的底面積：3.14×（40÷2）2
＝3.14×20×20
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
水下降的高度：1256÷1256＝1（厘米）
答：玻璃缸里的水下降了1厘米。
【考點點評】本題考查了圓柱和圓錐體積公式的靈活應用。
12．如圖，有一聽裝滿飲料的圓柱形易拉罐和一個圓錐形酒杯。

①易拉罐的表面積約是多少平方厘米？
②每聽飲料大約能倒滿幾杯？（四舍五入法取近似數）
【正確答案】①282.6平方厘米
②7杯
【解題思路】①根據圓柱的表面積公式：S＝2πr2＋πdh，據此代入數值進行計算即可；
②根據圓柱的容積公式：V＝πr2h，圓錐的容積公式：V＝πr2h，求出一聽裝滿飲料和酒杯的容積，然后用一聽裝滿飲料的容積除以酒杯的容積即可，結果運用四舍五入法保留整數。
【詳細解答】①2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×12
＝2×3.14×9＋3.14×6×12
＝56.52＋226.08
＝282.6（平方厘米）
答：易拉罐的表面積約是282.6平方厘米。
②3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（立方厘米）
×3.14×（6÷2）2×5
＝×3.14×9×5
＝×9×3.14×5
＝3×3.14×5
＝9.42×5
＝47.1（立方厘米）
339.12÷47.1＝7.2≈7（杯）
答：每聽飲料大約能倒滿7杯。
【考點點評】本題考查圓柱的表面積、體積和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。
13．蒙古包由一個近似的圓柱和一個近似的圓錐組成。圓柱部分的底面直徑是8米，高是2米，圓錐部分的高是1.2米，這個蒙古包的容積大約是多少立方米？（蒙古包的厚度不計）
【正確答案】120.576立方米
【解題思路】觀察圖形可知，蒙古包的容積＝圓柱的容積＋圓錐的容積；根據圓柱的體積（容積）公式V＝πr2h，圓錐的體積（容積）公式V＝πr2h，代入數據計算求解。
【詳細解答】3.14×（8÷2）2×2＋×3.14×（8÷2）2×1.2
＝3.14×16×2＋×3.14×16×1.2
＝100.48＋20.096
＝120.576（立方米）
答：這個蒙古包的容積大約是120.576立方米。
【考點點評】本題考查圓柱和圓錐的體積（容積）公式的運用。
14．數學課上，六年級的馬英同學用橡皮泥捏成一個圓錐形學具，如圖所示。數學王老師讓同學們給這個圓錐設計一個長方體包裝盒，使圓錐形橡皮泥正好能裝進去，且節約用料。

①這個圓錐形橡皮泥的體積是多少立方厘米？（圓周率用表示）
②請你計算一下制作這個長方體包裝紙盒至少需要多少平方厘米硬紙板（接頭處忽略不計）？
【正確答案】①立方厘米
②128平方厘米
【解題思路】①圓錐的體積＝底面積×高÷3，代入數據計算即可；
②為了節約用料，長方體的高應該等于圓錐的高，長和寬等于圓錐的底面直徑；計算包裝盒的面積就是計算長方體的表面積，長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據計算即可。
【詳細解答】①×（4÷2） ×6÷3
＝×4×6÷3
＝24÷3
＝8（立方厘米）
答：這個圓錐形橡皮泥的體積是8立方厘米。
②長＝寬＝4厘米
高＝6厘米
（4×4＋4×6＋4×6）×2
＝（16＋24＋24）×2
＝64×2
＝128（平方厘米）
答：長方體包裝紙盒至少需要128平方厘米硬紙板。
【考點點評】此題主要考查圓錐的體積公式以及長方體的表面積公式。
15．實驗課上，有一個圓錐體容器和一個等底等高的圓柱體容器，李老師拿來一瓶溶液先把它倒入圓錐體容器中，倒滿后剩下的又全部倒入圓柱體容器中，剛好倒了這個圓柱體容器的。此時，圓錐體容器中溶液比圓柱體中少140毫升。李老師拿來的這瓶溶液一共有多少毫升？
【正確答案】1540毫升
【解題思路】設圓柱體容器的容積為x毫升，根據圓錐體容器與圓柱體容器等底等高可得圓錐體容器的容積為x毫升，根據圓錐體容器中溶液比圓柱體中少140毫升，列方程即可求出圓柱的容積，進而求出這瓶溶液的體積。
【詳細解答】解：設圓柱體容器的容積為x毫升。
x－x＝140
x＝140
x÷＝140÷
x＝140×15
x＝2100
2100×＋2100×
＝700＋840
＝1540（毫升）
答：李老師拿來的這瓶溶液一共有1540毫升。
16．一個圓錐形麥堆，繞著麥堆的邊緣走一圈是12.56米，麥堆的高是6米，每立方米麥子重750千克，這堆麥子共重多少噸？
【正確答案】18.84噸
【解題思路】由題意可知：圓錐底面圓的周長是12.56米，根據，用12.56÷3.14÷2可求出圓錐底面圓的半徑（2米）；再根據圓錐的體積，用求出圓錐形麥堆的體積；最后用每立方米麥子的質量（750千克）×麥堆的體積，求出這堆子共重多少千克，并將千克換算為噸。
【詳細解答】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
＝
＝
＝
＝
＝25.12（立方米）
750×25.12＝18840（千克）
18840千克＝18.84噸
答：這堆麥子共重18.84噸。
17．有一個圓錐形土堆，底面積為8平方米，高3米，每立方米土重2.5噸。甲、乙兩人打算用這堆土圍繞圓形水池周圍鋪一圈，鋪好后可供植培綠化帶，且要求周圍一圈所鋪的土寬度一致，高度也一樣厚。圓形水池的底面直徑是10米，所鋪一圈土的寬度是5分米。已知甲每小時可以鋪好2噸土，比乙多。
（1）甲、乙兩人合作多少小時可以鋪完？
（2）用這堆土大約可以鋪多厚的一圈？（取3，結果保留兩位小數）
【正確答案】（1）小時
（2）0.51米
【解題思路】（1）根據圓錐的體積公式：V＝πr2h，據此求出土堆的體積，再用土堆的體積乘每立方米土的重量，即可求出這堆土的重量；已知甲每小時可以鋪好2噸土坯，比乙多，據此先求出乙每小時鋪的土坯質量，再用總的土坯質量除以甲和乙合作一小時鋪的土坯總質量，即可得出答案；
（2）因為是在圓形水池周圍鋪，所以圓形水池和土坯圍成的圖形形成一個圓環。所以用圓錐的體積除以圓環的面積即可得出可以鋪多厚一圈，根據圓環的面積公式S＝π（R2－r2），據此進行計算即可。
【詳細解答】（1）×8×3×2.5
＝×3×8×2.5
＝1×8×2.5
＝8×2.5
＝20（噸）
2÷（1＋）
＝2÷
＝2×
＝1.5（噸）
20÷（2＋1.5）
＝20÷3.5
＝（小時）
答：甲、乙兩人合作小時可以鋪完。
（2）5分米＝0.5米
10÷2＝5（米）
5＋0.5＝5.5（米）
3×（5.52－52）
＝3×（30.25－25）
＝3×5.25
＝15.75（平方米）
×3×8
＝1×8
＝8（立方米）
8÷15.75≈0.51（米）
答：用這堆土大約可以鋪多0.51米厚的一圈。
18．現在我們常用的稻谷儲糧罐都是錐底的，雖然比以前的平底儲糧罐工藝復雜，但優點在于底部沉淀的雜質更易清除，便于儲糧罐的排污和清洗。下圖是某公司設計的一款新型儲糧罐，請計算出它的體積。
【正確答案】5.652立方米
【解題思路】由圖可知，新型儲糧罐的體積＝底面直徑為2米，高0.9米的圓錐體積＋底面直徑為2米，高1.5米的圓錐體積＋底面直徑為2米，高1米的圓柱體積，根據圓柱的體積＝πr2h，圓錐的體積＝πr2h，代入數據解答即可。
【詳細解答】2÷2＝1（米）
3.14×12×0.9×＋3.14×12×1＋3.14×12×1.5×
＝3.14×0.9×＋3.14＋3.14×1.5×
＝2.826×＋3.14＋4.71×
＝0.942＋3.14＋1.57
＝4.082＋1.57
＝5.652（立方米）
答：新型儲糧罐的體積是5.652立方米。
19．如圖30－1，這是一個由等底等高的圓柱和圓錐組合而成的計時工具，圓錐內灌滿了有顏色水。其中圓錐的高為6厘米，底面半徑為3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分鐘。
（1）圓錐內漏完水需要多少時間？
（2）請你在圖30－2中用陰影表示出此時圓柱內的水。
【正確答案】（1）36分鐘；（2）見詳解
【解題思路】（1）根據圓錐的體積公式：V＝，代入公式求出圓錐容器內水的體積，然后用水的體積除以水的流速，即可求出圓錐內漏完水需要的時間。
（2）因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據此解答即可。
【詳細解答】（1）×3.14×32×6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分鐘）
答：圓錐內漏完水需要36分鐘。
（2）根據分析得，6×＝2（厘米）
所以圓柱容器內水深2厘米。
作圖如下：
【考點點評】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用。
20．如圖，一個圓錐的底面半徑是5厘米，從圓錐的頂點沿著高將它切成相等的兩半后，表面積增加了60平方厘米。這個圓錐的體積是多少立方厘米？
【正確答案】157立方厘米
【解題思路】增加的面積為兩個底為（5×2）厘米，高與圓錐的高相同的三角形面積，據此可以求出圓錐的高，圓錐的體積V＝πr2h，據此代入數據進行解答。
【詳細解答】圓錐的高：
60÷2×2÷（5×2）
＝60÷10
＝6（厘米）
×3.14×52×6
＝×3.14×25×6
＝3.14×25×（6×）
＝78.5×2
＝157（立方厘米）
答：這個圓錐的體積是157立方厘米。
21．一個圓錐形的黃沙堆，底面半徑是4米，高3米。
（1）如果每立方米黃沙重1.5噸，這堆黃沙共有多少噸？
（2）如果將這堆沙子鋪在10米寬的公路上，厚2厘米，能鋪多少米？
【正確答案】（1）75.36噸
（2）251.2米
【解題思路】（1）圓錐的體積＝，先算出圓錐形的黃沙堆的體積，再乘每立方米黃沙的質量，即可算出這堆黃沙共有多少噸。
（2）將鋪黃沙的公路看作一個長方體，根據黃沙的體積不變，長方體的長＝體積÷寬÷高，先將單位統一為米，然后代入數據計算即可。
【詳細解答】（1）
（立方米）
（噸）
答：這堆黃沙共有75.36噸。
（2）2厘米＝0.02米
（米）
答：如果將這堆沙子鋪在10米寬的公路上，厚2厘米，能鋪251.2米。
22．2023年5月30日9時31分，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號遙十六運載火箭在酒泉衛星發射中心發射升空，整流罩是運載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。下圖是實驗小學科學小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計，該整流罩的容積是多少立方分米？
【正確答案】175.84立方分米
【解題思路】根據圓錐的容積公式：，圓柱的容積公式：，把數據代入公式求出它們的容積和即可。
【詳細解答】×3.14×（4÷2）2×（18－12）＋3.14×（4÷2）2×12
＝×3.14×4×6＋3.14×4×12
＝3.14×4×（6×）＋12.56×12
＝12.56×2＋150.72
＝25.12＋150.72
＝175.84（立方分米）
答：該整流罩的容積是175.84立方分米。
23．豆豆去糧庫參觀，看到了如下圖所示的糧囤。從里面量得糧囤的底面周長是62.8米，整個糧囤的高度是8米，下半部分圓柱的高與上半部分圓錐的高的比是5∶3。這個糧囤最多能裝多少立方米稻谷？
【正確答案】1884立方米
【解題思路】觀察圖形可知，糧囤是由一個圓錐和一個圓柱組成，它們的底面積相等。已知糧囤的底面周長是62.8米，根據圓的周長公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出糧囤的底面半徑；
已知整個糧囤的高度是8米，圓柱的高與圓錐的高的比是5∶3，則圓柱的高占整個糧囤的，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，求出圓柱的高；再用整個糧囤的高減去圓柱的高，求出圓錐的高；
根據圓柱的體積（容積）公式V＝πr2h，圓錐的體積（容積）公式V＝πr2h，分別求出圓柱和圓錐的容積，再相加即是這個糧囤的最多能裝多少立方米稻谷。
【詳細解答】底面半徑：
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
圓柱的高：
8×
＝8×
＝5（米）
圓錐的高：8－5＝3（米）
糧囤的容積：
3.14×102×5＋×3.14×102×3
＝3.14×100×5＋×3.14×100×3
＝1570＋314
＝1884（立方米）
答：這個糧囤最多能裝1884立方米稻谷。
24．在一個底面半徑是4厘米，高是15厘米的圓柱形玻璃杯內裝入10厘米高的水，然后放一個底面直徑是8厘米的圓錐形鉛錘（完全浸沒），水面高度上升到12厘米，這個鉛錘的高是多少厘米？
【正確答案】6厘米
【解題思路】根據題意，把一個圓錐形鉛錘完全浸沒在裝有水的圓柱形玻璃杯內，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的體積等于這個圓錐形鉛錘的體積；
水面上升部分是一個底面半徑為4厘米、高為（12－10）厘米的圓柱，根據圓柱的體積公式V＝πr2h，求出水面上升部分的體積，也就是鉛錘的體積；
已知圓錐形鉛錘的底面直徑是8厘米，根據圓的面積公式S＝πr2，求出圓錐形鉛錘的底面積；
由圓錐的體積公式V＝Sh，可知圓錐的高h＝3V÷S，據此求出圓錐形鉛錘的高。
【詳細解答】圓錐形鉛錘的體積：
3.14×42×（12－10）
＝3.14×16×2
＝100.48（立方厘米）
圓錐形鉛錘的底面積：
3.14×（8÷2）2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
圓錐形鉛錘的高：
100.48×3÷50.24
＝301.44÷50.24
＝6（厘米）
答：這個鉛錘的高是6厘米。
25．據統計，被稱為“龍卷風”之鄉的美國平均每年形成1000次左右的龍卷風，而根據國家氣候中心1991年到2020年的統計數據，我國平均每年發生龍卷風38個，其中江蘇和廣東最多。某次龍卷風的高度約126米，頂部直徑約80米，那么這次龍卷風所形成的近似圓錐形的空間體積約為多少立方米？
【正確答案】211008立方米
【解題思路】根據圓錐的體積公式：V＝πr2h，代入數據即可求出這次龍卷風所形成的近似圓錐形的空間體積。
【詳細解答】×3.14×（80÷2）2×126
＝×3.14×402×126
＝×3.14×1600×126
＝211008（立方米）
答：這次龍卷風所形成的近似圓錐形的空間體積約為211008立方米。
26．一個圓錐形的稻谷堆，底面周長12.56米，高2.7米，把這堆稻谷裝進一個圓柱形糧倉，正好裝滿，這個糧倉里面的底面直徑為6米，高是多少米？
【正確答案】0.4米
【解題思路】將底面周長除以3.14再除以2，求出底面半徑。根據圓錐體積＝×底面積×高，求出稻谷的體積。圓柱體積＝底面積×高，稻谷的體積不變，將稻谷的體積除以圓柱糧倉的底面積，求出高。圓柱和圓錐的底面均是圓，根據“圓面積＝πr2”求底面積。
【詳細解答】12.56÷3.14÷2＝2（米）
×3.14×22×2.7
＝×3.14×4×2.7
＝11.304（立方米）
6÷2＝3（米）
11.304÷（3.14×32）
＝11.304÷（3.14×9）
＝11.304÷28.26
＝0.4（米）
答：高是0.4米。
27．淇淇自制了一個污水過濾器進行污水過濾實驗，如下圖所示。將污水倒入上方的近似圓錐形容器內，經過過濾管的過濾后，清水滴入下方的圓柱形容器（與近似圓錐形容器底面積相同）。
（1）這個近似圓錐形容器一次最多大約能裝入多少毫升的污水？
（2）如果這些污水全部過濾后滴到下方的圓柱形容器中，那么圓柱形容器中水的高度大約是多少厘米？（不考慮過濾掉的雜質體積）
【正確答案】（1）235.5平方厘米；（2）3厘米
【解題思路】（1）求圓錐形容器一次能裝入多少毫升的污水，就是求一個底面直徑是10cm，高9cm的圓錐的體積，利用公式求解即可；
（2）因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據此解答即可。
【詳細解答】（1）10÷2＝5（厘米）
×3.14××9
＝3.14×25×3
＝78.5×3
＝235.5（平方厘米）
答：這個近似圓錐形容器一次最多大約能裝入235.5毫升的污水。
（2）9×＝3（厘米）
答：圓柱形容器中水的高度大約是3厘米。
28．蒙古包也稱“氈包”，是蒙古族傳統民居。如圖中的蒙古包是由一個圓柱和一個圓錐組成的。這個蒙古包所占的空間是多少立方米？
【正確答案】67.824立方米
【解題思路】這個蒙古包上部分是一個圓錐，下部分是一個圓柱。已知圓柱的底面半徑是（6÷2）米，高是2米，圓錐的底面半徑也是（6÷2）米，高是1.2米，根據圓柱的體積公式和圓錐的體積公式，分別求出這個蒙古包上下兩部分的體積，再相加求出它的總體積。
【詳細解答】6÷2＝3（米）
3.14×32×2＋×3.14×32×1.2
＝3.14×9×2＋×9×3.14×1.2
＝28.26×2＋3×3.14×1.2
＝56.52＋11.304
＝67.824（立方米）
答：這個蒙古包所占的空間是67.824立方米。
29．如圖所示，有甲、乙兩個容器（單位：厘米），先將甲容器注滿水，然后將水倒入乙容器，求乙容器的水深。
【正確答案】7.5厘米
【解題思路】根據圓錐的體積公式：，圓柱的體積公式：，求出甲容器注滿水的體積，再根據這些水的體積不變，代入數據即可求出倒入圓柱中的水的高度。
【詳細解答】
圓錐的體積為：
（立方厘米）
圓柱中水的高為：
（厘米）
答：乙容器的水深7.5厘米。
【考點點評】
本題考查了圓錐與圓柱體積的計算方法以及等積變形，關鍵是明確水的體積不變。
30．如圖，一塊正方體木料的底面積是36平方厘米，把它加工成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？
【正確答案】56.52立方厘米
【解題思路】正方體木料的底面積是36平方厘米，6×6＝36（平方厘米），所以正方體的棱長是6厘米，正方體的棱長就是圓錐的底面直徑，也是圓錐的高，根據圓錐的體積＝×h解答即可。
【詳細解答】因為6×6＝36（平方厘米），所以正方體的棱長是6厘米。
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14××6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
答：這個圓錐的體積是56.52立方厘米。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第三單元易錯易混專項07 運用圓錐的體積容積解決問題拔高30題
一、解答題
1．王冬用橡皮泥捏成了一個高1.5厘米，底面半徑為3厘米的圓柱，捏好后爸爸拿起來觀賞，可是不小心“啪”一聲掉到地上摔了，王冬把弄臟的一部分丟掉后，索性把剩余的橡皮泥改捏成一個底面直徑4厘米，高9厘米的圓錐。丟掉部分的體積占原來圓柱體積的百分之幾？（百分號前保留一位小數）
2．王老伯有一個圓錐形谷堆，他量得這個谷堆的底面周長是18.84米，高1.2米。
（1）這堆稻谷的體積是多少立方米？
（2）如果每立方米稻谷的質量為700千克，這堆稻谷的質量為多少千克？
3．城市道路提質暢通，不僅緩解了交通擁堵的狀況，更為市民出行提供了便利。國花路提升改造工程工地有一個圓錐形沙堆、底面周長18.84米，高1.5米。這堆沙的體積是多少立方米？
4．趙師傅將一個長方體鐵塊和一個圓柱形鐵塊（如下圖）熔鑄成一個底面直徑是12厘米的圓錐。這個圓錐的高是多少厘米？
5．一盒18色的橡皮泥，每種顏色的橡皮泥都是一個高5厘米，底面直徑是2厘米的圓柱。如果把這些橡皮泥全部揉在一起，做一個底面直徑是12厘米的圓錐，圓錐的高是多少厘米？
6．某甜品店準備推出一款新口味的沙冰，為滿足不同人群的需求，店家為這款沙冰設計了兩種不同的包裝（銷售時要剛好盛滿），兩種包裝的沙冰及其定價如下所示。
（1）包裝的側面是一種環保材料，制作一個圓柱形包裝至少需要多少平方厘米的環保材料？（接口處忽略不計）
（2）你認為這樣定價合理嗎？請給出你的定價建議并用數據說明理由。
7．一個底面直徑是6厘米，高10厘米的圓柱形容器中倒入水，水面高8厘米，把一個高9厘米的圓錐形鐵塊全部浸沒在容器中，水滿溢出了28.26立方厘米，這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？（π取3.14）
8．一個圓柱和一個圓錐，底面直徑都是6厘米，高都是12厘米，它們的體積一共有多少立方厘米？（先畫出圓柱和圓錐的草圖，再解答。）（用含π的式子表示最簡結果）
9．中國航天航空事業的發展日新月異，2023年長征系列運載火箭累計發射次數有望突破500次。小明是個小航天迷，下面是小明制作的火箭模型，請你運用所學的知識求出它的體積。
10．探索浩瀚宇宙，發展航天事業，建設航天強國，是我國不斷追求的航天夢。下面是某運載火箭整流罩的簡約示意圖，如果忽略厚度，該整流罩的容積是多少？
11．一個底面直徑是40厘米的圓柱形玻璃缸中裝有一些水，水中放著一個底面直徑是20厘米，高是12厘米的圓錐形鉛錘（如圖）。當取出鉛錘后，玻璃缸里的水下降了多少厘米？

12．如圖，有一聽裝滿飲料的圓柱形易拉罐和一個圓錐形酒杯。

①易拉罐的表面積約是多少平方厘米？
②每聽飲料大約能倒滿幾杯？（四舍五入法取近似數）
13．蒙古包由一個近似的圓柱和一個近似的圓錐組成。圓柱部分的底面直徑是8米，高是2米，圓錐部分的高是1.2米，這個蒙古包的容積大約是多少立方米？（蒙古包的厚度不計）
14．數學課上，六年級的馬英同學用橡皮泥捏成一個圓錐形學具，如圖所示。數學王老師讓同學們給這個圓錐設計一個長方體包裝盒，使圓錐形橡皮泥正好能裝進去，且節約用料。

①這個圓錐形橡皮泥的體積是多少立方厘米？（圓周率用表示）
②請你計算一下制作這個長方體包裝紙盒至少需要多少平方厘米硬紙板（接頭處忽略不計）？
15．實驗課上，有一個圓錐體容器和一個等底等高的圓柱體容器，李老師拿來一瓶溶液先把它倒入圓錐體容器中，倒滿后剩下的又全部倒入圓柱體容器中，剛好倒了這個圓柱體容器的。此時，圓錐體容器中溶液比圓柱體中少140毫升。李老師拿來的這瓶溶液一共有多少毫升？
16．一個圓錐形麥堆，繞著麥堆的邊緣走一圈是12.56米，麥堆的高是6米，每立方米麥子重750千克，這堆麥子共重多少噸？
17．有一個圓錐形土堆，底面積為8平方米，高3米，每立方米土重2.5噸。甲、乙兩人打算用這堆土圍繞圓形水池周圍鋪一圈，鋪好后可供植培綠化帶，且要求周圍一圈所鋪的土寬度一致，高度也一樣厚。圓形水池的底面直徑是10米，所鋪一圈土的寬度是5分米。已知甲每小時可以鋪好2噸土，比乙多。
（1）甲、乙兩人合作多少小時可以鋪完？
（2）用這堆土大約可以鋪多厚的一圈？（取3，結果保留兩位小數）
18．現在我們常用的稻谷儲糧罐都是錐底的，雖然比以前的平底儲糧罐工藝復雜，但優點在于底部沉淀的雜質更易清除，便于儲糧罐的排污和清洗。下圖是某公司設計的一款新型儲糧罐，請計算出它的體積。
19．如圖30－1，這是一個由等底等高的圓柱和圓錐組合而成的計時工具，圓錐內灌滿了有顏色水。其中圓錐的高為6厘米，底面半徑為3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分鐘。
（1）圓錐內漏完水需要多少時間？
（2）請你在圖30－2中用陰影表示出此時圓柱內的水。
20．如圖，一個圓錐的底面半徑是5厘米，從圓錐的頂點沿著高將它切成相等的兩半后，表面積增加了60平方厘米。這個圓錐的體積是多少立方厘米？
21．一個圓錐形的黃沙堆，底面半徑是4米，高3米。
（1）如果每立方米黃沙重1.5噸，這堆黃沙共有多少噸？
（2）如果將這堆沙子鋪在10米寬的公路上，厚2厘米，能鋪多少米？
22．2023年5月30日9時31分，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號遙十六運載火箭在酒泉衛星發射中心發射升空，整流罩是運載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。下圖是實驗小學科學小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計，該整流罩的容積是多少立方分米？
23．豆豆去糧庫參觀，看到了如下圖所示的糧囤。從里面量得糧囤的底面周長是62.8米，整個糧囤的高度是8米，下半部分圓柱的高與上半部分圓錐的高的比是5∶3。這個糧囤最多能裝多少立方米稻谷？
24．在一個底面半徑是4厘米，高是15厘米的圓柱形玻璃杯內裝入10厘米高的水，然后放一個底面直徑是8厘米的圓錐形鉛錘（完全浸沒），水面高度上升到12厘米，這個鉛錘的高是多少厘米？
25．據統計，被稱為“龍卷風”之鄉的美國平均每年形成1000次左右的龍卷風，而根據國家氣候中心1991年到2020年的統計數據，我國平均每年發生龍卷風38個，其中江蘇和廣東最多。某次龍卷風的高度約126米，頂部直徑約80米，那么這次龍卷風所形成的近似圓錐形的空間體積約為多少立方米？
26．一個圓錐形的稻谷堆，底面周長12.56米，高2.7米，把這堆稻谷裝進一個圓柱形糧倉，正好裝滿，這個糧倉里面的底面直徑為6米，高是多少米？
27．淇淇自制了一個污水過濾器進行污水過濾實驗，如下圖所示。將污水倒入上方的近似圓錐形容器內，經過過濾管的過濾后，清水滴入下方的圓柱形容器（與近似圓錐形容器底面積相同）。
（1）這個近似圓錐形容器一次最多大約能裝入多少毫升的污水？
（2）如果這些污水全部過濾后滴到下方的圓柱形容器中，那么圓柱形容器中水的高度大約是多少厘米？（不考慮過濾掉的雜質體積）
28．蒙古包也稱“氈包”，是蒙古族傳統民居。如圖中的蒙古包是由一個圓柱和一個圓錐組成的。這個蒙古包所占的空間是多少立方米？
29．如圖所示，有甲、乙兩個容器（單位：厘米），先將甲容器注滿水，然后將水倒入乙容器，求乙容器的水深。
30．如圖，一塊正方體木料的底面積是36平方厘米，把它加工成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？
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