資源簡介

2024-2025學(xué)年六年級下冊數(shù)學(xué)易錯講義
（從課本到奧數(shù)）第四單元 比例奧數(shù)思維訓(xùn)練一
答案解析
1．【解題思路】已知參加比賽的三個人的速度是一定的，所以在相同的時間內(nèi)，三個人所跑的路程比也是一定的。設(shè)當(dāng)楊洋跑到終點(diǎn)時，張雯還差x米到達(dá)終點(diǎn)，根據(jù)題意可知，當(dāng)李偉到達(dá)終點(diǎn)時，楊洋和張雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；當(dāng)楊洋到達(dá)終點(diǎn)時，楊洋跑的路程是100米，張雯跑的路程是（100－x）米，此時楊洋和張雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根據(jù)路程比相等列出方程解方程即可。
【詳細(xì)解答】解∶設(shè)當(dāng)楊洋跑到終點(diǎn)時會領(lǐng)先張雯x米。
100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15）
100∶（100－x）＝90∶85
90×（100－x）＝100×85
90×（100－x）＝8500
90×（100－x）÷90＝8500÷90
100－x＝
x＝100－
x＝
當(dāng)楊洋跑到終點(diǎn)時會領(lǐng)先張雯米。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查應(yīng)用正比例解決實(shí)際問題，明確時間一定，路程和速度成正比例是解題的關(guān)鍵。
2．【解題思路】從“甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位后與乙數(shù)的20%相等”可得：甲× ＝乙×20%，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得：甲∶乙＝20%∶＝2∶1。甲乙兩數(shù)的和是156，對應(yīng)（2＋1）份。用156÷（2＋1）就求出一份的量，即乙；再用和減去乙，就求出了甲。據(jù)此解答。
【詳細(xì)解答】甲× ＝乙×20%
甲∶乙＝20%∶＝20%∶10%＝2∶1
乙：156÷（2＋1）
＝156÷3
＝52
甲：156－52＝104
甲是104，乙是52。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】理解甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位即縮小到甲的 ，利用比例的基本性質(zhì)求出甲乙的比是解題關(guān)鍵。
3．【解題思路】表示兩個比相等的式子叫做比例，組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)，在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)；因?yàn)榧讛?shù)×＝乙數(shù)，所以當(dāng)甲數(shù)作比例的外項(xiàng)，則也是外項(xiàng)，乙數(shù)作比例的內(nèi)項(xiàng)，則也作比例的內(nèi)項(xiàng)，所以甲數(shù)∶乙數(shù)＝，最后化簡即可。
【詳細(xì)解答】由分析可知：甲數(shù)∶乙數(shù)＝
所以甲數(shù)與乙數(shù)的比是6∶5。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查比例的基本性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)。
4．【解題思路】△ABC和△ABD是等底等高的兩個三角形，所以這兩個三角形面積相等，△ABC的面積＝△AOB的面積＋△BOC＝25＋35＝60（cm2），所以△ABD的面積＝△ABC的面積＝△AOB的面積＋△AOD的面積，所以△AOD的面積＝60－25＝35（cm2），△AOD和△AOB的高相等，所以△AOD和△AOB的底邊長之比等于面積之比，即BO∶DO＝25∶35，同理，△BOC和△DOC的高相等，所以△BOC和△DOC的底邊長之比等于面積之比，即BO∶DO＝35∶△DOC的面積，已知BO∶DO＝25∶35，所以25∶35＝35∶△DOC的面積，利用比例的基本性質(zhì)求出△DOC的面積，再加上△ABC和△AOD的面積，即可求出梯形的面積。
【詳細(xì)解答】△ABC面積＝△AOB的面積＋△BOC＝25＋35＝60（cm2）
△AOD的面積＝60－25＝35（cm2）
假設(shè)△DOC的面積為xcm2，
25∶35＝35∶x
25x＝35×35
25x＝1225
x＝1225÷25
x＝49
所以△DOC的面積是49cm2。
49＋60＋35＝144（cm2）
即梯形的面積是144cm2。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】此題首先根據(jù)三角形的特征及比的應(yīng)用，列出比例，關(guān)鍵是求△DOC的面積。
5．【解題思路】已知西安到北京的圖上距離和比例尺，根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”，以及進(jìn)率：1千米＝100000厘米，求出西安到北京的實(shí)際距離。
根據(jù)“速度和＝相遇路程÷相遇時間”，求出客車和貨車的速度和，又已知客車和貨車的速度比是3∶2，即客車的速度占3份，貨車的速度占2份，一共是（3＋2）份；用兩車的速度和除以（3＋2）份，求出一份數(shù)，再用一份數(shù)乘貨車速度的份數(shù)，即可求出貨車的速度。
【詳細(xì)解答】實(shí)際距離：
5.5÷
＝5.5×20000000
＝110000000（厘米）
110000000厘米＝1100千米
速度和：1100÷5.5＝200（千米/時）
一份數(shù)：
200÷（3＋2）
＝200÷5
＝40（千米/時）
貨車的速度：40×2＝80（千米/時）
西安到北京的實(shí)際距離1100千米，貨車的速度是80千米/時。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查比例尺的意義、行程問題和比的應(yīng)用，掌握圖上距離、實(shí)際距離、比例尺之間的關(guān)系，速度、時間、路程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
6．【解題思路】如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的乘積為1，所有的質(zhì)數(shù)中2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)形式的比例中，交叉相乘積相等，把比例轉(zhuǎn)化為方程求出的值，據(jù)此解答。
【詳細(xì)解答】分析可知，，。
解：
所以，的值為。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題主要考查解比例，掌握倒數(shù)的意義并熟記2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。
7．【解題思路】如圖：
根據(jù)平行四邊形的面積＝底×高可知，兩個同高的平行四邊形，面積的比等于對應(yīng)底的比，圖①和圖②等高，圖③和圖④等高，那么圖①的面積∶圖②的面積＝圖③的面積∶圖④的面積，據(jù)此列出比例方程，并求解。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)陰影部分的面積為m2。
12∶4＝24∶
12＝4×24
12＝96
12÷12＝96÷12
＝8
陰影部分的面積是8m2。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查平行四邊形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是抓住兩個同高的平行四邊形，面積的比等于對應(yīng)底的比，據(jù)此列出比例方程。
8．【解題思路】“把一個長方形縮小到原來的”是把長方形的長和寬分別縮小到原來的。如果原來長方形的長用a表示，寬用b表示，那么現(xiàn)在長方形的長為a，寬為b。再根據(jù)長方形周長和面積公式，把原來長方形的周長和面積、現(xiàn)在長方形的周長和面積分別用含有a，b的式子表示。最后比較現(xiàn)在長方形的周長與原來長方形的周長的關(guān)系，現(xiàn)在長方形的面積與原來長方形的面積的關(guān)系。
【詳細(xì)解答】原來長方形的周長：2（a＋b）
現(xiàn)在長方形的周長：2（a＋b）＝2×（a＋b）＝×2（a＋b）
所以它的周長縮小到原來的。
原來長方形的面積：ab
現(xiàn)在長方形的面積：a×b＝ab
所以它的面積縮小到原來的。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】把一個圖形按指定的比放大或縮小，它的周長就按指定的比擴(kuò)大或縮小，它的面積就按指定比的平方擴(kuò)大或縮小。
9．【解題思路】兩種相關(guān)聯(lián)的量，如果它們的比值或商一定，則這兩種量成正比例關(guān)系；如果它們的乘積一定，則這兩種量成反比例關(guān)系。
如果，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3），根據(jù)等式的性質(zhì)得出A與B的關(guān)系即可解答。
【詳細(xì)解答】
解：4.5×（B＋4）＝6×（A＋3）
4.5B＋18＝6A＋18
4.5B＋18－18＝6A＋18－18
4.5B＝6A
根據(jù)比例的基本性質(zhì)，由4.5B＝6A可得：A∶B＝4.5∶6＝0.75，A與B的比值一定，則A和B成正比例。
故答案為：A
【考點(diǎn)點(diǎn)評】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，得出A∶B的比值是解題的關(guān)鍵。
10．【解題思路】糖水的濃度＝糖的質(zhì)量÷糖水的質(zhì)量×100%，糖的質(zhì)量＝糖水的質(zhì)量×濃度，先表示出原來和現(xiàn)在糖水中糖的質(zhì)量，再表示出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，現(xiàn)在糖水的質(zhì)量＝原來糖水的質(zhì)量＋加入糖的質(zhì)量＋加入水的質(zhì)量，糖水濃度不變，則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量成正比例關(guān)系，現(xiàn)在糖的質(zhì)量∶現(xiàn)在糖水的質(zhì)量＝原來糖的質(zhì)量∶原來糖水的質(zhì)量，據(jù)此解答。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)應(yīng)加入x克水。
（100×＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10
（20＋10）∶（100＋10＋x）＝2∶10
30∶（110＋x）＝2∶10
（110＋x）×2＝30×10
（110＋x）×2＝300
110＋x＝300÷2
110＋x＝150
x＝150－110
x＝40
所以，應(yīng)加入40克水。
故答案為：C
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題主要考查應(yīng)用正比例關(guān)系解決問題，理解糖與糖水的質(zhì)量成正比例關(guān)系并準(zhǔn)確表示出現(xiàn)在糖和糖水的質(zhì)量是解答題目的關(guān)鍵。
11．【解題思路】面積是12m2和16m2的兩塊長方形地塊，等長不等寬，可知面積之比等于寬之比，面積是15m2的地塊和陰影地塊，也是等長不等寬，且左右兩側(cè)的地塊寬度相同，所以根據(jù)15m2與陰影面積之比等于寬之比，解比例求出陰影部分的面積。
【詳細(xì)解答】寬∶比＝
陰影面積：
15×4÷3
＝60÷3
＝20（m2）
故答案為：C
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查運(yùn)用比例知識解決實(shí)際問題。解比例時依據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積解得比例中的未知項(xiàng)。
12．【解題思路】根據(jù)題意可知：紅球×＝藍(lán)球×，按比例的基本性質(zhì)，把紅球和看作比例的兩內(nèi)項(xiàng)，把藍(lán)球和看作比例的兩外項(xiàng)，可得紅球∶藍(lán)球＝∶＝2∶3，紅、藍(lán)兩色彩球共95個，按比例分配的方法，可求得紅球有（95×）個，藍(lán)球有（95×）個，用藍(lán)球的個數(shù)減去紅球的個數(shù)即可得解。
【詳細(xì)解答】根據(jù)分析得，紅球∶藍(lán)球＝∶＝（×6）∶（×6）＝2∶3
95×＝95×＝38（個）
95×＝95×＝57（個）
57－38＝19（個）
故答案為：A
【考點(diǎn)點(diǎn)評】此題的解題關(guān)鍵是利用比例的基本性質(zhì)求出紅球和藍(lán)球之間的個數(shù)比，再按比例分配的方法，分別求出紅球和藍(lán)球的個數(shù)后即可得解。
13．【解題思路】圖上距離∶實(shí)際距離＝比例尺，因?yàn)閷?shí)際距離不變，所以圖上距離與實(shí)際距離成正比，則甲圖上北京到上海的圖距是乙圖上這兩地之間圖距的幾分之幾，用甲圖的比例尺除以乙圖的比例尺即可。
【詳細(xì)解答】
故答案為：B
14．【解題思路】①根據(jù)商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘（或除以）一個相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)要同時乘（或除以）這個數(shù)；
②三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊；根據(jù)三邊關(guān)系確定這個等腰三角形的腰長，把三條邊相加即是它的周長；
③由圓的面積公式S＝πr2判斷，圓的面積與半徑的平方成正比例；
④假設(shè)三角形的三個內(nèi)角中，只有一個銳角，那么另外兩個角都大于或等于90°，則三個內(nèi)角相加，和大于180°，不符合三角形的內(nèi)角和是180°；
⑤一個大圓的半徑等于小圓的直徑，即大圓的半徑是小圓半徑的2倍，再由面積公式S＝πr2，得出大、小兩圓的面積比。
【詳細(xì)解答】①19÷6＝3……1，根據(jù)商不變的規(guī)律，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大到原來的100倍，那么商是3，余數(shù)是100；原題說法正確。
②假設(shè)等腰三角形的兩條腰長都是2厘米；
2＋2＝4（厘米）
4＜7，不符合三角形的三邊關(guān)系，2厘米、2厘米、7厘米不能組成三角形。
假設(shè)等腰三角形的兩條腰長都是7厘米；
7＋2＝9（厘米）
9＞7，符合三角形的三邊關(guān)系，2厘米、7厘米、7厘米可以組成三角形。
周長：
2＋7＋7
＝9＋7
＝16（厘米）
原題說法錯誤。
③由S＝πr2可知，S∶r2＝π（一定），比值一定，圓的面積與半徑的平方成正比例；
原題說法錯誤。
④一個三角形至少有2個銳角；原題說法正確。
⑤大圓半徑∶小圓半徑＝2∶1
大圓面積∶小圓面積
＝22∶12
＝4∶1
原題說法正確。
綜上所述，①④⑤的說法正確。
故答案為：C
【考點(diǎn)點(diǎn)評】掌握商不變的規(guī)律、三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角和、正比例的意義、比的意義是解題的關(guān)鍵。
15．【解題思路】淘氣和笑笑每小時折紙鶴的個數(shù)比是6∶5，則每分鐘折紙鶴的個數(shù)比也是6∶5；則可知，淘氣折30個紙鶴時，笑笑折25個紙鶴；條件“淘氣做30個紙鶴比笑笑做24個多用2分鐘”可以替換為“笑笑做25個紙鶴比做24個紙鶴多用2分鐘”，從而可知，笑笑做一個紙鶴用時2分鐘；進(jìn)而求出淘氣做一個紙鶴用時。
【詳細(xì)解答】淘氣和笑笑每小時折紙鶴的個數(shù)比是6∶5，則每分鐘折紙鶴的個數(shù)比也是6∶5；
6∶5＝30∶25
可知，淘氣折30個紙鶴時，笑笑折25個紙鶴；
笑笑做一個紙鶴用時：2÷（25－24）
＝2÷1
＝2（分鐘）
25×2÷30＝（分鐘）
故答案為：A
【考點(diǎn)點(diǎn)評】根據(jù)比例轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系，再解答。
16．【解題思路】根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)做完的時間要比乙隊(duì)單獨(dú)做完的時間多20%，先確定甲乙兩隊(duì)工作時間比，根據(jù)比例的意義，求出乙隊(duì)10天和5天做的工作甲隊(duì)需要的天數(shù)，確定甲隊(duì)單獨(dú)做需要的天數(shù)，進(jìn)而求出乙隊(duì)做5天后剩下的工作甲隊(duì)需要的天數(shù)即可。
【詳細(xì)解答】甲隊(duì)與乙隊(duì)單獨(dú)做完這項(xiàng)工程的時間比為，設(shè)乙隊(duì)10天做的工作，甲隊(duì)需要做天，則，，所以甲隊(duì)單獨(dú)做完這項(xiàng)工程需要（天）設(shè)乙隊(duì)5天做的工作，甲隊(duì)需要做天，則，，所以乙隊(duì)做5天后剩下的工作，甲隊(duì)需要做（天）。
故答案為：B
【考點(diǎn)點(diǎn)評】關(guān)鍵是理解比和比例的意義，用比例解決問題時，左右兩邊的比統(tǒng)一即可。
17．【解題思路】，依據(jù)比例的基本性質(zhì)，先寫成的形式，根據(jù)等式的性質(zhì)1和2，兩邊同時×，再同時＋1即可。
，等式左邊的部分，依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將小數(shù)化成整數(shù)，然后根據(jù)等式的形式1和2，兩邊同時×6，去分母，再將能合并的合并起來，解方程即可；
【詳細(xì)解答】
解：
解：
18．【解題思路】本題可根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”求出實(shí)際距離，。兩車3小時共行駛，則每小時行駛路程之和為，客車與貨車行駛的路程比是8∶7，時間相同，速度比等于路程比，所以客車與貨車的速度比是8∶7，貨車每小時行駛。據(jù)此解答。
【詳細(xì)解答】

答：貨車每小時行駛。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】理解掌握“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”及“速度比等于路程比”是解答本題的關(guān)鍵。
19．【解題思路】兩地的實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此求出、兩地之間的公路長度，因?yàn)閮绍囆旭偟臅r間相同，兩車的速度比就是兩車行駛的路程之比，按比例分配，即可求出甲車比乙車多行駛的路程。
【詳細(xì)解答】6÷＝30000000（厘米）
30000000厘米＝300千米
300÷（2＋3）×（3－2）
＝300÷5×1
＝60（千米）
答：甲車比乙車多行駛了60千米。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】此題考查了比例尺與按比例分配的綜合應(yīng)用，先求出兩地的實(shí)際距離，明確兩車速度之比等于行駛的路程之比是解題關(guān)鍵。
20．【解題思路】正方體按縮小，就是將正方體的棱長縮小到原來的，假定原正方體邊長為2，則縮小后的正方體的邊長就是1。進(jìn)而按題意進(jìn)行計(jì)算，得以解答。
【詳細(xì)解答】正方體按縮小，就是將正方體的棱長縮小到原來的，假定原正方體的邊長是2，則縮小后的正方體的邊長是。
棱長和的比：（1×12）∶（2×12）＝12∶24＝1∶2
表面積的比：（1×1×6）∶（2×2×6）＝6∶24＝1：4
體積的比：（1×1×1）∶（2×2×2）＝1∶8
答：縮小后正方體的棱長和與原來正方體的棱長和的比是1∶2；表面積比是1∶4；體積比是1∶8。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】理解正方體按縮小的所表達(dá)的意思，是解題的關(guān)鍵。
21．【解題思路】假設(shè)甲乙兩個籠子里各養(yǎng)著x只兔子，18只調(diào)皮的兔子從甲籠跑向了乙籠，此時甲乙兩個籠子里的兔子數(shù)分別是x－18只和x＋18只，它們的比是5∶8，據(jù)此列出比例并解答即可。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)甲乙兩個籠子里各養(yǎng)著x只兔子。
（x－18）∶（x＋18）＝5∶8
（x＋18）×5＝（x－18）×8
5x＋90＝8x－144
8x－5x＝90＋144
3x＝234
x＝78
78×2＝156（只）
答：兩個籠子里共有156只兔子。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】認(rèn)真審題，弄清題意，用比例解答跟列方程一樣，關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系。
22．【解題思路】（已加工零件數(shù)＋100）∶（未加工的零件數(shù)－100）＝4∶3，據(jù)此列出方程解答即可。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)這批零件一共有x個，
2＋5＝7
（x＋100）∶（x－100）＝4∶3
（x－100）×4＝（x＋100）×3
x－400＝x＋300
2x＝700
x＝350
答：這批零件一共有350個。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題列方程的思路是依據(jù)前后兩次已加工的和未加工的零件個數(shù)之比，力求在變化中尋找不變的量，再結(jié)合比例的基本性質(zhì)，解答本題。
23．【解題思路】把每件玩具汽車的進(jìn)價設(shè)為未知數(shù)，等量關(guān)系式：（進(jìn)價＋第一天一個玩具汽車的利潤）×賣出的數(shù)量＝（進(jìn)價＋第二天一個玩具汽車的利潤）×賣出的數(shù)量，據(jù)此解答。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)每件玩具汽車的進(jìn)價是x元。
（x＋11）×10＝（x＋5）×11
10x＋110＝11x＋55
11x－10x＝110－55
x＝55
答：每件玩具汽車的進(jìn)價是55元。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】分析題意找出等量關(guān)系式是解答題目的關(guān)鍵。
24．【解題思路】火車過橋問題，總路程＝橋長＋車長，速度一定，路程與時間成正比例。
【詳細(xì)解答】解：設(shè)這列火車長x米。
（2000＋x）∶60＝（1460＋x）∶45
60x－45x＝90000－87600
x＝160
答：這列火車長160米。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】此題考查火車過橋問題路程的特點(diǎn)以及正比例的應(yīng)用。
25．【解題思路】（1）在數(shù)對中前面的數(shù)表示行，后面的數(shù)表示列，據(jù)此可表示出點(diǎn)C的位置；
（2）分別把三角形的各點(diǎn)向左平移3格，再連線即可得到圖①；
（3）將原圖與點(diǎn)C有關(guān)聯(lián)的兩條邊先繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再連接第三條邊可得到圖②；
（4）將原圖按2：1放大，即BC邊長2×2＝4格，AC邊長3×2＝6格，再連線即可。
（5）根據(jù)公式：三角形的面積＝底×高÷2，分別求出原來三角形的面積和圖③的面積，再求它們的面積之比即可。
【詳細(xì)解答】（1）據(jù)分析知：點(diǎn)C的位置是（7，2）；
（2）（3）（4）畫圖如下：
（5）原來三角形的面積：2×3÷2
＝6÷2
＝3
圖③的面積：4×6÷2
＝24÷2
＝12
12∶3＝4∶1
【考點(diǎn)點(diǎn)評】掌握平移和旋轉(zhuǎn)知識以及三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵。
26．【解題思路】（1）用數(shù)對表示位置，數(shù)對的第一個數(shù)表示列，第二個數(shù)表示行。
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，將梯形ABCD繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B位置不變，其余各部分均繞此點(diǎn)按相同方向旋轉(zhuǎn)相同度數(shù)，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
軸對稱圖形是指一個圖形沿一條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，這條直線就是這個軸對稱圖形的對稱軸；據(jù)此畫出旋轉(zhuǎn)后的梯形的對稱軸；
梯形的高是上底與下底之間的距離，即上底所在直線上的任意一點(diǎn)到下底所在直線的距離，所以梯形的高有無數(shù)條，任意畫一條即可。
（3）根據(jù)平移的特征，將梯形ABCD的各頂點(diǎn)分別向下平移7格，再向右平移2格，依次連結(jié)即可得到平移后的圖形。
（4）把梯形ABCD按1∶2縮小，即梯形的每一條邊縮小到原來的，原梯形的上底、下底和高分別除以2，得出縮小后梯形的上底、下底和高，據(jù)此畫出縮小后的圖形。
根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，求出原梯形和縮小后梯形的面積，再求兩者的面積比，并化簡比。
【詳細(xì)解答】（1）B點(diǎn)在第8列第8行，用數(shù)對表示為（8，8）；
（2）梯形ABCD繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形如下圖，并畫出旋轉(zhuǎn)后圖形的一條對稱軸（圖中的虛線），以及一條高h(yuǎn)。（高的畫法不唯一）
（3）平移后的梯形如圖所示。
（4）原梯形的上底是4格，縮小后梯形的上底是4÷2＝2（格）；
原梯形的下底是6格，縮小后梯形的下底是6÷2＝3（格）；
原梯形的高是4格，縮小后梯形的高是4÷2＝2（格）；
據(jù)此畫出縮小后的梯形如下圖。
原梯形的面積：
（4＋6）×4÷2
＝10×4÷2
＝40÷2
＝20
縮小后梯形的面積：
（2＋3）×2÷2
＝5×2÷2
＝10÷2
＝5
原梯形與縮小后梯形的面積的比是：
20∶5
＝（20÷5）∶（5÷5）
＝4∶1
【考點(diǎn)點(diǎn)評】掌握作旋轉(zhuǎn)后的圖形、作平移后的圖形、作縮小后的圖形、對稱軸、梯形的高的作圖方法是解題的關(guān)鍵；明確圖形的縮小是指圖形各邊按比例縮小，但形狀不變；掌握用數(shù)對表示位置，運(yùn)用梯形的面積公式以及化簡比求出縮小前后梯形的面積比。
27．【解題思路】（1）以中心廣場為觀測點(diǎn)，以它的“上北下南，左西右東”方向?yàn)闇?zhǔn)，確定廣貿(mào)大廈在中心廣場的北偏東50°方向；
（2）先在圖中量出從李叔叔家經(jīng)過中心廣場到達(dá)廣貿(mào)大廈的圖上距離，再根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，最后根據(jù)進(jìn)率1km＝100000cm換算單位；
（3）先用李叔叔乘出租車的實(shí)際距離減去3km，再乘單價2.5元，求出超過3km部分的費(fèi)用，再加上3km以內(nèi)的費(fèi)用，就是乘出租車一共的費(fèi)用。
【詳細(xì)解答】（1）廣貿(mào)大廈在中心廣場的北偏東50°方向。
（2）量得從李叔叔家到中心廣場的圖上距離是1cm，從中心廣場到達(dá)廣貿(mào)大廈的圖上距離是2cm；（以實(shí)際測量為準(zhǔn)）
從李叔叔家經(jīng)過中心廣場到達(dá)廣貿(mào)大廈的圖上距離一共是：1＋2＝3（cm）
實(shí)際距離：3÷＝600000（cm）
600000cm＝6km
答：出租車從李叔叔家經(jīng)過中心廣場到達(dá)廣貿(mào)大廈一共行駛了6km。
（3）（6－3）×2.5＋9
＝3×2.5＋9
＝7.5＋9
＝16.5（元）
答：李叔叔乘出租車需要16.5元車費(fèi)。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】掌握方向、角度確定位置，圖上距離、實(shí)際距離、比例尺之間的關(guān)系，以及單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
28．【解題思路】（1）根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，進(jìn)行換算即可；
（2）養(yǎng)殖園的長＝圓柱的高，養(yǎng)殖園的寬＝圓柱底面直徑，塑料薄膜面積＝圓柱底面積＋側(cè)面積÷2，據(jù)此列式解答；
（3）圓柱側(cè)面沿高展開是個長方形，觀察可知，長方形的長＝圓柱底面周長，底面直徑×2＝圓柱的高，設(shè)底面直徑是x分米，根據(jù)底面直徑＋底面周長＝33.12分米，列出方程求出底面直徑，再根據(jù)圓柱體積＝底面積×高，求出容積即可。
【詳細(xì)解答】（1）10÷＝10×1000＝10000（厘米）＝100（米）
3÷＝3×1000＝3000（厘米）＝30（米）
答：這個養(yǎng)植園實(shí)際的長和寬各是100米、30米。
（2）3.14×（30÷2）2＋3.14×30×100÷2
＝3.14×152＋4710
＝3.14×225＋4710
＝706.5＋4710
＝5416.5（平方米）
答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。
（3）解：設(shè)底面直徑是x分米。
x＋3.14x＝33.12
4.14x＝33.12
4.14x÷4.14＝33.12÷4.14
x＝8
3.14×（8÷2）2×（8×2）
＝3.14×42×16
＝3.14×16×16
＝803.84（立方分米）
＝803.84（升）
答：這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是803.84升。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】關(guān)鍵是掌握圖上距離與實(shí)際距離的換算方法，熟悉圓柱特征，掌握并靈活運(yùn)用圓柱表面積和體積公式。
29．【解題思路】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)在方格圖中描出各點(diǎn)，再用平滑的曲線順次連接。
（2）判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值（商）一定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值（商）一定，這兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例；如果是乘積一定，這兩種相關(guān)聯(lián)的量成反比例。
（3）先根據(jù)V＝Sh，用統(tǒng)計(jì)表中的任意一組數(shù)據(jù)求出水的體積，水的體積不變，杯子的底面積變成50平方厘米時，根據(jù)h＝V÷S，求出此時杯子中水面的高度。
【詳細(xì)解答】（1）如圖：
（2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300
乘積相等，所以杯子的底面積和杯子中水面的高度成反比例關(guān)系。
（3）5×60÷50
＝300÷50
＝6（厘米）
底面積是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】本題考查反比例關(guān)系的辨識方法、畫反比例關(guān)系的圖象以及利用反比例關(guān)系解決實(shí)際問題。
30．【解題思路】（1）因?yàn)镃點(diǎn)（，45）也在l這條直線上，可以與A點(diǎn)或B點(diǎn)組成比例方程，并求解，求出的值。
（2）兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定（也就是商一定），這兩種量成正比例關(guān)系。
（3）根據(jù)“等腰三角形的兩條腰相等”以及點(diǎn)D的位置是（z，4），根據(jù)數(shù)對的知識可知，點(diǎn)D與點(diǎn)A在同一行，由此得出點(diǎn)D在圖中的位置；
因?yàn)檫@個三角形繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個立體圖形，這個立體圖形是圓錐；由點(diǎn)A、點(diǎn)B的數(shù)對，得出橫軸、縱軸每格表示的長度，進(jìn)而得出圓錐的底面半徑和高，然后根據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，求出這個圓錐的體積。
【詳細(xì)解答】（1）＝
解：4＝8×45
4＝360
＝360÷4
＝90
如果C點(diǎn)（，45）也在l這條直線上，則＝90。
（2）＝＝…＝2（一定）
那么直線l上的點(diǎn)P（，），＝2，比值一定，和成正比例。
（3）如下圖，點(diǎn)A、B和D（z，4）構(gòu)成一個等腰三角形ABD。
橫軸的每格表示：
（20－8）÷4
＝12÷4
＝3（厘米）
縱軸的每格表示：
（10－4）÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
圓錐的底面半徑：3×4＝12（厘米）
圓錐的高：3×2＝6（厘米）
×3.14×122×6
＝×3.14×144×6
＝904.32（立方厘米）
答：這個立體圖形的體積是904.32立方厘米。
【考點(diǎn)點(diǎn)評】（1）列出比例方程，并解比例。
（2）本題考查正比例的意義及辨識方法，也可以通過圖象判斷兩種量是否成正比例。
（3）先根據(jù)等腰三角形的特征以及數(shù)對的知識找到D點(diǎn)的位置，再判斷旋轉(zhuǎn)而成的立體圖形是圓錐，確定圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐的體積公式解答。
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（從課本到奧數(shù)）第四單元 比例奧數(shù)思維訓(xùn)練一
一、填空題
1．李偉、楊洋、張雯三人一起參加100米賽跑，李偉到達(dá)終點(diǎn)時領(lǐng)先楊洋10米，領(lǐng)先張雯15米，如果楊洋、張雯按他們原來的速度繼續(xù)跑向終點(diǎn)，那么當(dāng)楊洋跑到終點(diǎn)時會領(lǐng)先張雯( )米。
2．甲乙兩數(shù)的和是156，甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位后與乙數(shù)的20%相等，那么甲數(shù)是( )，乙數(shù)是( )。
3．甲數(shù)的等于乙數(shù)的（甲數(shù)、乙數(shù)均不為0）。甲數(shù)和乙數(shù)的比是( )。
4．如圖，等腰梯形ABCD被對角線分4個小三角形，已知△AOB、△BOC的面積分別是25cm2、35cm2，那么梯形的面積是( )cm2。
5．在比例尺為1∶20000000的地圖上，測得西安到北京約為5.5厘米，則西安到北京的實(shí)際距離是( )千米。一輛客車和一輛貨車同時從西安、北京兩地相對開出，5.5小時后相遇，已知客車和貨車的速度比是3∶2，則貨車的速度是( )千米/時。
6．若與互為倒數(shù)，且是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，滿足則的值為( )。
7．如圖，一個平行四邊形被兩條直線分成四個平行四邊形，其中三份的面積分別是12m2、4m2、24m2，圖中陰影部分的面積是 m2。
8．把一個長方形縮小到原來的，它的周長縮小到原來的( )，面積縮小到原來的( )。
二、選擇題
9．如果，那么A和B（ ）。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能判斷
10．在100克的糖水中，糖與糖水的比是2∶10，如果再加入10克糖，要使得糖水濃度不變，應(yīng)加入（ ）克水。
A．10克 B．20克 C．40克 D．50克
11．如圖，張爺爺把自家一塊長方形菜地分成四塊小長方形，分別栽種不同蔬菜。已知其中三小塊長方形的面積分別是12m2、15m2和16m2，則陰影部分的面積是（ ）m2。
A．13 B．19 C．20 D．23
12．小明有紅、藍(lán)兩色彩球共95個，紅球的和藍(lán)球的一樣多。兩種球相差（ ）個。
A．19 B．20 C．25 D．30
13．兩張中國地圖。甲圖的比例尺是，乙圖的比例尺是，甲圖上北京到上海的圖距是乙圖上這兩地之間圖距的（ ）。
A． B． C． D．
14．下列說法中正確的個數(shù)是（ ）個。
①19÷6＝3……1，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大到原來的100倍，那么商是3，余數(shù)是100；
②一個等腰三角形的兩邊分別是2厘米和7厘米，則該等腰三角形的周長是11厘米或16厘米；
③圓的面積和半徑成正比例；
④一個三角形至少有2個銳角；
⑤一個大圓的半徑等于小圓的直徑，則大、小兩圓的面積比是4∶1。
A．1 B．2 C．3
D．4 E．5
15．淘氣做30個紙鶴比笑笑做24個多用2分鐘，淘氣和笑笑每小時折紙鶴的個數(shù)比是6∶5，淘氣做一個紙鶴用（ ）分鐘。
A． B．2 C．1 D．
16．一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做完的時間要比乙隊(duì)單獨(dú)做完的時間多20%。如果甲隊(duì)先單獨(dú)做5天，乙隊(duì)再單獨(dú)做10天，正好可以完成這項(xiàng)工程。實(shí)際工作時，乙隊(duì)先單獨(dú)做5天，甲隊(duì)再單獨(dú)做（ ）天，也可以完成這項(xiàng)工程。
A．10 B．11 C．12 D．13
三、計(jì)算題
17．解方程或比例。

四、解答題
18．在比例尺為1∶7500000的地圖上，甲、乙兩地的距離是。現(xiàn)有一輛客車和一輛貨車分別從兩地同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過3小時相遇。客車與貨車行駛的路程比是8∶7，貨車每小時行駛多少千米？
19．在一幅比例尺為的地圖上，量得、兩地之間的公路長度是，甲、乙兩車同時從、兩地出發(fā)，相向而行。已知乙車速度與甲車速度之比是。兩車相遇時，甲車比乙車多行駛了多少千米？
20．將一個正方體按縮小，縮小后正方體的棱長和與原來正方體的棱長和的比是多少？表面積呢？體積呢？
21．甲乙兩個籠子里養(yǎng)著同樣多的兔子。某天，18只調(diào)皮的兔子從甲籠跑向了乙籠，這樣，兩個籠子里的兔子數(shù)量比就變成了。兩個籠子里共有多少只兔子？
22．李師傅要加工一批零件，已加工的和未加工的零件個數(shù)之比是2∶5。他再加工100個零件后，已加工的和未加工的零件個數(shù)之比為4∶3。這批零件一共有多少個？
23．某商店賣玩具汽車，第一天按11元的利潤賣出10個，第二天正值五一假期，降價優(yōu)惠，不一會兒就以5元的利潤賣出了11個，結(jié)果這11個的總價錢與昨天10個的總價錢相同。每件玩具汽車的進(jìn)價是多少錢？
24．一列火車通過一座長2000米的大橋要60秒，如果用同樣的速度通過一座1460米的隧道則要45秒，這列火車長多少米？（利用比例知識解答）
25．按要求完成下面各題。
（1）點(diǎn)的位置用數(shù)對表示是（ ）。
（2）將三角形向左平移3格，得到圖①。
（3）將原圖繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到圖②。
（4）將原圖按放大，得到圖③。
（5）放大后的三角形（圖③）的面積與原來的面積比是（ ）。
26．（1）下圖中B點(diǎn)的位置是 。
（2）畫出梯形ABCD繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，并畫出旋轉(zhuǎn)后圖形的一條對稱軸、一條高。
（3）畫出梯形ABCD先向下平移7格，再向右平移2格后的圖形。
（4）在方格紙上按1∶2畫出梯形ABCD縮小后的圖形，原梯形與縮小后梯形的面積的最簡比是（ ）。
27．下面是李叔叔坐出租車經(jīng)過中心廣場去廣貿(mào)大廈的路線圖，該城市出租車的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：3km以內(nèi)9元，超過3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km計(jì)算）。
（1）廣貿(mào)大廈在中心廣場的（　　）偏（　　）50°方向；
（2）量一量，算一算，出租車從李叔叔家經(jīng)過中心廣場到達(dá)廣貿(mào)大廈一共行駛了多少km？
（3）李叔叔乘出租車需要多少元車費(fèi)？
28．淘氣和笑笑去參觀溫室無土蔬菜養(yǎng)植園。
（1）養(yǎng)植園是個長方形，畫在的圖紙上，長10cm，寬3cm，這個養(yǎng)植園實(shí)際的長和寬各是多少米？
（2）養(yǎng)植園外形是一個半圓柱形（如圖），半圓柱形外覆蓋了一層塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？
（3）利用如圖中的陰影部分鐵皮，剛好能做成一個園區(qū)內(nèi)的圓柱形營養(yǎng)液蓄儲桶（接口處忽略不計(jì)），這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是多少？
29．把相同體積的水倒入底面積不同的杯子中，杯子的底面積和杯子中水面高度的關(guān)系如下表所示。
底面積/cm2 5 10 20 30 60
水面高度/cm 60 30 15 10 5
（1）把表中杯子的底面積和杯子中水面的高度所對應(yīng)的點(diǎn)描在下面的方格中，再順次連接。
（2）判斷杯子的底面積和杯子中水面的高度成（ ）比例關(guān)系。
（3）照這樣計(jì)算，底面積是50平方厘米的杯子中，水面的高度是（ ）厘米。
30．如圖A（8，4）、B（20，10）是直線l上的兩個點(diǎn)。（單位：厘米）
（1）如果C點(diǎn)（，45）也在l這條直線上，則＝（ ）。
（2）直線l上的點(diǎn)P（，），和成（ ）比例。
（3）用點(diǎn)A、B和D（z，4）構(gòu)成一個等腰三角形（z是一個整數(shù)），這個三角形繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個立體圖形，這個立體圖形的體積是多少？
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