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2.5 三元一次方程組及其解法-教學(xué)設(shè)計(jì)(表格式)-2024—2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

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2.5 三元一次方程組及其解法-教學(xué)設(shè)計(jì)(表格式)-2024—2025學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

資源簡(jiǎn)介

教學(xué)設(shè)計(jì)
課程基本信息
學(xué)科 數(shù)學(xué) 年級(jí) 七年級(jí) 學(xué)期 春季
課題 2.5 三元一次方程組及其解法
教學(xué)目標(biāo)
1. 能了解三元一次方程組的相關(guān)概念。 2. 能運(yùn)用代入消元和加減消元解決簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn): 1. 能類比二元一次方程組的概念了解三元一次方程組的相關(guān)概念。
2. 能運(yùn)用代入消元和加減消元解決簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)難點(diǎn): 運(yùn)用代入消元和加減消元解簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)過程
環(huán)節(jié)一:溫故知新 問題1:本章我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的哪些內(nèi)容? 【師生活動(dòng)】回顧二元一次方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容和過程:在解決實(shí)際問題的過程中,抽象出了二元一次方程和二元一次方程組的相關(guān)概念。并對(duì)解法進(jìn)行學(xué)習(xí),在求解過程中,利用消元的思想將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。了解概念,學(xué)會(huì)求解后,就可以進(jìn)一步運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際應(yīng)用問題。 設(shè)計(jì)意圖:回顧二元一次方程組的學(xué)習(xí),為學(xué)習(xí)三元一次方程組做下鋪墊。 環(huán)節(jié)二:探究知新 問題2:《九章算術(shù)》的“方程”章中有這樣一個(gè)問題: 3束上等的稻,2束中等的稻,1束下等的稻,共出谷39斗; 2束上等的稻,3束中等的稻,1束下等的稻,共出谷34斗; 1束上等的稻,2束中等的稻,3束下等的稻,共出谷26斗. 問:上、中、下三種稻,每束的出谷量各是多少斗? 【探究1】先呈現(xiàn)出第一句話“3束上等的稻,2束中等的稻,1束下等的稻,共出谷39斗;”,并進(jìn)行追問。 追問1: 你能用方程表示這個(gè)關(guān)系嗎?(分析等量關(guān)系,設(shè)好未知數(shù)并列出三元一次方程:3x+2y+z=39。) 追問2: 你能確定每種稻谷的數(shù)量嗎?(類比二元一次方程解的不確定性,現(xiàn)在只有一個(gè)三元一次方程也無法確定數(shù)量。) 【探究2】追問1: 這個(gè)問題中有幾個(gè)等量關(guān)系? 追問2: 你能列出方程組嗎?(強(qiáng)調(diào)需要同時(shí)滿足三個(gè)等量關(guān)系,所以列出方程組) 追問3: 你要想研究三元一次方程組的哪些內(nèi)容 類比二元一次方程組的研究?jī)?nèi)容和過程,明確三元一次方程組的學(xué)習(xí)路徑。 【探究3】請(qǐng)通過類比給出三元一次方程組的相關(guān)概念. 【師生活動(dòng)】類比二元一次方程組的定義和解的定義,給出三元一次方程組的定義:由三個(gè)一次方程組成,并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組,叫做三元一次方程組。解的定義:同時(shí)滿足三元一次方程組中各個(gè)方程的解。 【探究4】如何解三元一次方程組? 【師生活動(dòng)】同樣的可以類比二元一次方程組進(jìn)行。在二元一次方程組的求解中,我們利用消元的思想將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程,那么對(duì)于三元一次方程,雖然未知數(shù)更多了,但求解的思路不變,我們可以進(jìn)行逐步消元。 設(shè)計(jì)意圖:通過數(shù)學(xué)文化進(jìn)行引入,提升學(xué)生的民族自豪感。同時(shí)在解決問題中抽象出三元一次方程、三元一次方程組。進(jìn)一步類比二元一次方程組的學(xué)習(xí)方法,對(duì)三元一次方程組進(jìn)行學(xué)習(xí)。 環(huán)節(jié)三:求解方程 例1 解方程組 【師生活動(dòng)】學(xué)生觀察例1的方程組,思考該如何求解。在這一方程組中,3式為x=y-z,這個(gè)式子中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了用y、z表示x。那么我們就可以將3式代入1式和2式中,通過代入消元,消去x,這樣就將三元一次方程組通過代入消元法轉(zhuǎn)化成了二元一次方程組。到了這你們就會(huì)解了。再解這個(gè)二元一次方程組就可以得到y(tǒng)=5,z=7。 例2 解方程組 【師生活動(dòng)】請(qǐng)同學(xué)們觀察例2的方程組,并利用加減消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。 歸納:解三元一次方程組的一般方法。 【師生活動(dòng)】我們可以觀察方程組的特征,從而選擇用代入消元或者加減消元,將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,再進(jìn)一步通過消元,將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可。求解的思路是非常清晰的,但是由于有三個(gè)未知數(shù),未知數(shù)數(shù)量比較多,所以觀察方程特征,選用適合的方法來消元至關(guān)重要。 設(shè)計(jì)意圖:類比二元一次方程組的求解思路,學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法。感受化歸、轉(zhuǎn)化的思想。 環(huán)節(jié)四:應(yīng)用新知 練習(xí)1:觀察下列方程的特點(diǎn),如何消元最簡(jiǎn)單?請(qǐng)分析并求解方程. 練習(xí)2:求解引入部分《九章算術(shù)》中的三元一次方程組。 設(shè)計(jì)意圖:練習(xí)1中通過引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的特征,從而做出求解的決策,加強(qiáng)對(duì)消元的理解與運(yùn)用。練習(xí)2在學(xué)完解法后,進(jìn)一步解決引入中的實(shí)際問題,感受三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用性。 環(huán)節(jié)五:數(shù)學(xué)文化 《九章算術(shù)》給出的解法是“ 遍乘直除”法,“ 除”即“ 減”,類似于現(xiàn)在解方程組的加減消元法,只不過較為煩瑣. 在書中,這種解法還用來解四元一次方程組和五元一次方程組,比印度婆羅摩笈多(Brahmagupta,約 598~約 655)的解法早五百多年. 設(shè)計(jì)意圖:補(bǔ)充《九章算術(shù)》和國(guó)外三元一次方程的求解思路。上圖實(shí)際上就是用算籌列出的方程組。它省略了各未知數(shù),只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng). 現(xiàn)代高等代數(shù)的符號(hào)可以將方程組的系數(shù)排成一個(gè)表,這種由表組成的表叫做矩陣,可以看出利用矩陣解一次方程組的方法,與算籌的方法是一致的,我們祖先掌握上述解法,比起歐洲人來,要早一千多年,這是我國(guó)數(shù)學(xué)的一個(gè)光輝的成就。 環(huán)節(jié)六:課堂小結(jié) 【師生活動(dòng)】總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容:本節(jié)課我們通過類比二元一次方程組,對(duì)三元一次方程組進(jìn)行學(xué)習(xí)。首先從實(shí)際問題中抽象出了三元一次方程,并類比二元一次方程組的定義和解的定義,給出了三元一次方程組的定義。在學(xué)習(xí)求解的過程中,也是類比二元一次方程進(jìn)行,運(yùn)用消元的思想,將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,再通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解。 設(shè)計(jì)意圖:通過框圖的形式帶領(lǐng)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容,感悟研究過程,總結(jié)學(xué)習(xí)路徑這樣的框架性結(jié)構(gòu)有益于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程等知識(shí)時(shí)中實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的正遷移,為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供支架.

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