資源簡(jiǎn)介

教學(xué)設(shè)計(jì)
課程基本信息
學(xué)科 數(shù)學(xué) 年級(jí) 七年級(jí) 學(xué)期 春季
課題 2.5 三元一次方程組及其解法
教學(xué)目標(biāo)
1. 能了解三元一次方程組的相關(guān)概念。 2. 能運(yùn)用代入消元和加減消元解決簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)： 1. 能類比二元一次方程組的概念了解三元一次方程組的相關(guān)概念。
2. 能運(yùn)用代入消元和加減消元解決簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)難點(diǎn)： 運(yùn)用代入消元和加減消元解簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
教學(xué)過程
環(huán)節(jié)一：溫故知新 問題1：本章我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的哪些內(nèi)容？ 【師生活動(dòng)】回顧二元一次方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容和過程：在解決實(shí)際問題的過程中，抽象出了二元一次方程和二元一次方程組的相關(guān)概念。并對(duì)解法進(jìn)行學(xué)習(xí)，在求解過程中，利用消元的思想將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。了解概念，學(xué)會(huì)求解后，就可以進(jìn)一步運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際應(yīng)用問題。 設(shè)計(jì)意圖：回顧二元一次方程組的學(xué)習(xí)，為學(xué)習(xí)三元一次方程組做下鋪墊。 環(huán)節(jié)二：探究知新 問題2:《九章算術(shù)》的“方程”章中有這樣一個(gè)問題： 3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗； 2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗； 1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗. 問：上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？ 【探究1】先呈現(xiàn)出第一句話“3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；”，并進(jìn)行追問。 追問1: 你能用方程表示這個(gè)關(guān)系嗎？（分析等量關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)并列出三元一次方程：3x+2y+z=39。） 追問2: 你能確定每種稻谷的數(shù)量嗎？（類比二元一次方程解的不確定性，現(xiàn)在只有一個(gè)三元一次方程也無法確定數(shù)量。） 【探究2】追問1: 這個(gè)問題中有幾個(gè)等量關(guān)系？ 追問2: 你能列出方程組嗎？（強(qiáng)調(diào)需要同時(shí)滿足三個(gè)等量關(guān)系，所以列出方程組） 追問3: 你要想研究三元一次方程組的哪些內(nèi)容 類比二元一次方程組的研究?jī)?nèi)容和過程，明確三元一次方程組的學(xué)習(xí)路徑。 【探究3】請(qǐng)通過類比給出三元一次方程組的相關(guān)概念. 【師生活動(dòng)】類比二元一次方程組的定義和解的定義，給出三元一次方程組的定義：由三個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。解的定義：同時(shí)滿足三元一次方程組中各個(gè)方程的解。 【探究4】如何解三元一次方程組？ 【師生活動(dòng)】同樣的可以類比二元一次方程組進(jìn)行。在二元一次方程組的求解中，我們利用消元的思想將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程，那么對(duì)于三元一次方程，雖然未知數(shù)更多了，但求解的思路不變，我們可以進(jìn)行逐步消元。 設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)學(xué)文化進(jìn)行引入，提升學(xué)生的民族自豪感。同時(shí)在解決問題中抽象出三元一次方程、三元一次方程組。進(jìn)一步類比二元一次方程組的學(xué)習(xí)方法，對(duì)三元一次方程組進(jìn)行學(xué)習(xí)。 環(huán)節(jié)三：求解方程 例1 解方程組 【師生活動(dòng)】學(xué)生觀察例1的方程組，思考該如何求解。在這一方程組中，3式為x=y-z，這個(gè)式子中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了用y、z表示x。那么我們就可以將3式代入1式和2式中，通過代入消元，消去x，這樣就將三元一次方程組通過代入消元法轉(zhuǎn)化成了二元一次方程組。到了這你們就會(huì)解了。再解這個(gè)二元一次方程組就可以得到y(tǒng)=5，z=7。 例2 解方程組 【師生活動(dòng)】請(qǐng)同學(xué)們觀察例2的方程組，并利用加減消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。 歸納：解三元一次方程組的一般方法。 【師生活動(dòng)】我們可以觀察方程組的特征，從而選擇用代入消元或者加減消元，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步通過消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可。求解的思路是非常清晰的，但是由于有三個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)數(shù)量比較多，所以觀察方程特征，選用適合的方法來消元至關(guān)重要。 設(shè)計(jì)意圖：類比二元一次方程組的求解思路，學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法。感受化歸、轉(zhuǎn)化的思想。 環(huán)節(jié)四：應(yīng)用新知 練習(xí)1：觀察下列方程的特點(diǎn)，如何消元最簡(jiǎn)單？請(qǐng)分析并求解方程. 練習(xí)2：求解引入部分《九章算術(shù)》中的三元一次方程組。 設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1中通過引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的特征，從而做出求解的決策，加強(qiáng)對(duì)消元的理解與運(yùn)用。練習(xí)2在學(xué)完解法后，進(jìn)一步解決引入中的實(shí)際問題，感受三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用性。 環(huán)節(jié)五：數(shù)學(xué)文化 《九章算術(shù)》給出的解法是“ 遍乘直除”法，“ 除”即“ 減”，類似于現(xiàn)在解方程組的加減消元法，只不過較為煩瑣. 在書中，這種解法還用來解四元一次方程組和五元一次方程組，比印度婆羅摩笈多（Brahmagupta，約 598～約 655）的解法早五百多年. 設(shè)計(jì)意圖：補(bǔ)充《九章算術(shù)》和國(guó)外三元一次方程的求解思路。上圖實(shí)際上就是用算籌列出的方程組。它省略了各未知數(shù)，只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng). 現(xiàn)代高等代數(shù)的符號(hào)可以將方程組的系數(shù)排成一個(gè)表，這種由表組成的表叫做矩陣，可以看出利用矩陣解一次方程組的方法，與算籌的方法是一致的，我們祖先掌握上述解法，比起歐洲人來，要早一千多年，這是我國(guó)數(shù)學(xué)的一個(gè)光輝的成就。 環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié) 【師生活動(dòng)】總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：本節(jié)課我們通過類比二元一次方程組，對(duì)三元一次方程組進(jìn)行學(xué)習(xí)。首先從實(shí)際問題中抽象出了三元一次方程，并類比二元一次方程組的定義和解的定義，給出了三元一次方程組的定義。在學(xué)習(xí)求解的過程中，也是類比二元一次方程進(jìn)行，運(yùn)用消元的思想，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解。 設(shè)計(jì)意圖：通過框圖的形式帶領(lǐng)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，感悟研究過程，總結(jié)學(xué)習(xí)路徑這樣的框架性結(jié)構(gòu)有益于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程等知識(shí)時(shí)中實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的正遷移，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供支架.

展開更多......

收起↑