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【江蘇省各地區真題匯編】指對冪函數考前專題特訓-2025年高考數學
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 南通校級模擬）已知函數f（x）＝lg（x2﹣ax+2），則“a≥2”是“函數f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減”的（　　）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
2．（2025 武進區校級一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，則A∩ RB＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
3．（2025 江蘇三模）已知函數f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），則實數a，b，c的大小關系為（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
4．（2025春 建鄴區校級期中）若函數f（x）＝logax+loga+1x是減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 鼓樓區校級月考）在可觀測的宇宙中，平均大約有4000億個星系，大約有1.2×1023顆恒星，平均而言，一顆恒星的重量約為1035克，這意味著宇宙的總質量約為1.2×1058克，每克物質含有大約1024個質子，如果我們假設所有的原子都是氫原子，因為氫原子只含有一個質子，那么氫原子的總數M將達到1082．根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限N約為3361，則下列數據中與最接近的是（參考數據：lg3≈0.48）（　　）
A．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．1091
6．（2024秋 鹽城期末）函數的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 如皋市期末）已知冪函數（m∈Z），在區間（0，+∞）上是單調減函數．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），則f（sinα﹣cosα）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2023秋 張家港市校級期末）已知冪函數f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關于原點對稱，且在（0，+∞）上是減函數，若，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，3） B．（）
C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（）
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 南京模擬）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x
（多選）10．（2025春 鎮江校級月考）下列計算正確的有（　　）
A．log2（log0.50.5）＝1
B．
C．若lg3＝m，lg2＝n，則
D．若，則a+a﹣1＝2
（多選）11．（2024秋 張家港市校級期末）已知指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數，它們的定義域和值域正好互換．若方程ex+x＝2與lnx+x＝2的解分別為x1，x2，則（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 蘇州期末）計算的值為 　 　 ．
13．（2025 姜堰區模擬）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍為 　 　 ．
14．（2025春 海陵區校級期中）冪函數為什么叫“冪函數”呢？冪，本義為方布．三國時的劉徽為《九章算術 方田》作注：“田冪，凡廣（即長）從（即寬）相乘謂之乘．”冪字之義由長方形的布引申成長方形的面積；明代徐光啟翻譯《幾何原本》時，自注曰：“自乘之數曰冪”．冪字之義由長方形的面積再引申成相同的數相乘，即xn，函數f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1為冪函數，則a＝ 　 　 ．
四．解答題（共5小題）
15．（2024秋 泗陽縣期末）化簡與求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
16．（2015秋 灌南縣校級月考）已知函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當x∈[﹣2，1]時的值域．
17．（2024秋 泰州期末）已知函數f（x）＝log2（4x+a 2x+4），其中a∈R．
（1）當a＝﹣5時，求f（x）的定義域；
（2）若對任意實數x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）證明：函數y＝f（x）﹣x的圖象是軸對稱圖形．
18．（2018秋 睢寧縣校級月考）已知函數f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函數f（x）的定義域并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）記函數g（x）＝10f（x）+3x，求函數g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求實數m的取值范圍．
19．（2024秋 鼓樓區校級期中）我們知道，任何一個正實數x都可以表示成x＝a×10n（1 a＜10，n∈Z）．當n 0時，記x的整數部分的位數為f（a×10n），例如f（1.02×10）＝2；當n＜0時，記x的非有效數字的個數為f（a×10n），例如f（1.02×10﹣2）＝2．
（1）求f（1.02×102），f（1.02×10﹣1），并寫出f（a×10n）的表達式（不必寫出過程）；
（2）若x＝2100，且取lg2＝0.301，求n，a以及f（a×10n）；
（3）已知k∈N*，猜想：f（2k）與f（2﹣k）的大小關系，并證明你的結論．
【江蘇省各地區真題匯編】指對冪函數考前專題特訓-2025年高考數學
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B C C A B
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 BD BCD ABC
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 南通校級模擬）已知函數f（x）＝lg（x2﹣ax+2），則“a≥2”是“函數f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減”的（　　）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：令u＝x2﹣ax+2，函數y＝lgu在（0，+∞）上單調遞增，
由函數f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，得函數u＝x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上單調遞減，且當x＝1時，u＞0，
因此，解得2≤a＜3，
則{a|2≤a＜3} {a|a≥2}．
故選：C．
2．（2025 武進區校級一模）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，則A∩ RB＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
【解答】解：由題意，得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＞1}，
所以 RB＝{x|x≤1}，所以A∩（ RB）＝{﹣2，﹣1，0，1}．
故選：C．
3．（2025 江蘇三模）已知函數f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），則實數a，b，c的大小關系為（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：函數f（x）＝ex+e﹣x，為偶函數，在（0，+∞）上單調遞增．
∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．
則實數a，b，c的大小關系為b＜c＜a．
故選：D．
4．（2025春 建鄴區校級期中）若函數f（x）＝logax+loga+1x是減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，函數f（x）定義域為（0，+∞），
因為f（x）＝logax+loga+1x，
所以f′（x）0，
又因為a＞0且a≠1，所以ln（a+1）＞0，所以0，
又因為a2+a＞a，所以，解得a＜1，
當a時，a2+a＝1，f′（x）0，不合題意，
所以a的取值范圍是（，1）．
故選：B．
5．（2025春 鼓樓區校級月考）在可觀測的宇宙中，平均大約有4000億個星系，大約有1.2×1023顆恒星，平均而言，一顆恒星的重量約為1035克，這意味著宇宙的總質量約為1.2×1058克，每克物質含有大約1024個質子，如果我們假設所有的原子都是氫原子，因為氫原子只含有一個質子，那么氫原子的總數M將達到1082．根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限N約為3361，則下列數據中與最接近的是（參考數據：lg3≈0.48）（　　）
A．10﹣71 B．10﹣81 C．10﹣91 D．1091
【解答】解：由題意可知M≈1082，N≈3361，
則lgN＝lg3361＝361lg3≈361×0.48＝173.28，
lgM＝lg1082＝82，
所以．
則．
故選：C．
6．（2024秋 鹽城期末）函數的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由函數，可知定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定義域關于原點對稱．
因為，
所以函數為奇函數，故排除選項B；
因為，故排除選項A；
因為，故排除選項D．
故選：C．
7．（2024秋 如皋市期末）已知冪函數（m∈Z），在區間（0，+∞）上是單調減函數．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），則f（sinα﹣cosα）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由冪函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，得m2﹣2m＜0，
解得0＜m＜2，又m∈Z，所以m＝1，f（x），
所以f（sinα+cosα）5，所以sinα+cosα，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，解得2sinαcosα，
所以1﹣2sinαcosα，即（sinα﹣cosα）2，
因為α∈（0，π），2sinαcosα0，所以α∈（，π），
所以sinα﹣cosα，所以f（sinα﹣cosα）．
故選：A．
8．（2023秋 張家港市校級期末）已知冪函數f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關于原點對稱，且在（0，+∞）上是減函數，若，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，3） B．（）
C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（）
【解答】解：∵冪函數f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關于原點對稱，且（0，+∞）上是減函數，
所以m﹣2＜0，因為m∈N，所以m＝0或m＝1，
∴當m＝0時，0﹣2＝﹣2，圖象關y軸對稱，不滿足題意；
當m＝1時，1﹣2＝﹣1，圖象關于原點對稱，滿足題意，
∴不等式即，
因為函數在（0，+∞）上遞減，所以a+1＞0，3﹣2a＞0，a+1＞3﹣2a；
解得，即實數a的取值范圍．
故選：B．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 南京模擬）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x
【解答】解：選項四個函數定義域都是R，
函數y＝﹣2x的斜率為﹣2，在R上單調遞減，故A錯誤；
函數f（x）＝x3，f（x）+f（﹣x）＝x3+（﹣x）3＝0，則f（x）＝x3是奇函數，
任取x1＜x2，則，所以f（x）＝x3在R上單調遞增，故B正確；
，則y＝|x|在（﹣∞，0]單調遞減，在（0，+∞）單調遞增，故C錯誤；
g（x）＝2x﹣2﹣x，則g（x）+g（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）＝0，
所以g（x）是奇函數，
因為y＝2x單調遞增，y＝2﹣x單調遞減，
所以g（x）在R上單調遞增，故D正確．
故選：BD．
（多選）10．（2025春 鎮江校級月考）下列計算正確的有（　　）
A．log2（log0.50.5）＝1
B．
C．若lg3＝m，lg2＝n，則
D．若，則a+a﹣1＝2
【解答】解：由對數性質、運算法則得log2（log0.50.5）＝log2（log0.50.5）＝log21＝0，故A錯誤；
由指數運算法則得，故B正確；
∵lg3＝m，lg2＝n，
∴由對數運算法則得，故C正確；
∵，
∴，
∴a+a﹣1＝4﹣2＝2，故D正確．
故選：BCD．
（多選）11．（2024秋 張家港市校級期末）已知指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數，它們的定義域和值域正好互換．若方程ex+x＝2與lnx+x＝2的解分別為x1，x2，則（　　）
A．x1+x2＝2 B．x2﹣x1＞1
C． D．
【解答】解：指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數，它們的定義域和值域正好互換．
由方程ex+x＝2和lnx+x＝2可化為ex＝﹣x+2和lnx＝﹣x+2，
即直線y＝﹣x+2與兩函數y＝ex和y＝lnx的交點橫坐標分別為x1、x2，
由于y＝ex和y＝lnx互為反函數，則它們的圖像關于直線y＝x對稱，
如圖所示，點A、B關于點C對稱，0＜x1＜1＜x2＜2，且C（1，1），
所以x1+x2＝2，故A正確；
因為，所以，
又x2＝2﹣x1，所以x2﹣x1＝2﹣x1﹣x1＝2﹣2x1＞1，故B正確；
由y＝ex和y＝lnx它們的圖像關于直線y＝x對稱，所以，lnx2＝x1，
所以，故C正確；
對于D，由，則，即x1＝x2，與0＜x1＜1＜x2＜2矛盾，故D錯誤．
故選：ABC．
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 蘇州期末）計算的值為 　　 ．
【解答】解：
．
故答案為：．
13．（2025 姜堰區模擬）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍為 　（﹣∞，]∪[，+∞）　 ．
【解答】解：∵函數的值域為R，
∴x2﹣2ax+3能夠取到大于0的所有實數，
則Δ＝4a2﹣12≥0，解得a或a．
∴實數a的取值范圍為（﹣∞，]∪[，+∞）．
故答案為：（﹣∞，]∪[，+∞）．
14．（2025春 海陵區校級期中）冪函數為什么叫“冪函數”呢？冪，本義為方布．三國時的劉徽為《九章算術 方田》作注：“田冪，凡廣（即長）從（即寬）相乘謂之乘．”冪字之義由長方形的布引申成長方形的面積；明代徐光啟翻譯《幾何原本》時，自注曰：“自乘之數曰冪”．冪字之義由長方形的面積再引申成相同的數相乘，即xn，函數f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1為冪函數，則a＝ 　1　 ．
【解答】解：因為函數f（x）＝（2a2﹣a）xa+a2﹣1為冪函數，
所以可得，解得a＝1．
故答案為：1．
四．解答題（共5小題）
15．（2024秋 泗陽縣期末）化簡與求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
【解答】解：（1）
．
（2）∵，∴（）2＝a﹣2+a﹣1＝1，
∴a+a﹣1＝3，∴（a+a﹣1）2＝a2+2+a﹣2＝9，
∴a2+a﹣2＝7，
∴．
16．（2015秋 灌南縣校級月考）已知函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當x∈[﹣2，1]時的值域．
【解答】解：（1）由題意：函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
則有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898
∵x∈[﹣2，1]
∴
則f（x）98
當，即x＝﹣2時，f（x）max＝8．
當，即x時，f（x）min
所以函數的值域為[，8]．
17．（2024秋 泰州期末）已知函數f（x）＝log2（4x+a 2x+4），其中a∈R．
（1）當a＝﹣5時，求f（x）的定義域；
（2）若對任意實數x，f（2x）≥f（x），求a的值；
（3）證明：函數y＝f（x）﹣x的圖象是軸對稱圖形．
【解答】解：（1）當a＝﹣5時，要使對數有意義，
只需滿足4x﹣5 2x+4＞0．
令2x＝t（t＞0）則不等式變為t2﹣5t+4＞0，解得t＜1或t＞4．
即2x＜1或2x＞4，解得：x＜0或x＞2，
因此，f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
（2）要使對任意實數x，f（2x）≥f（x）成立，需滿足，
即：42x+a 22x+4≥4x+a 2x+4，令2x＝m（m＞0），
則不等式變為m4+a m2﹣m2﹣a m≥0．化簡得m（m3+am﹣a﹣m）≥0，
由于m＞0，要使不等式恒成立，需m3+am﹣a﹣m≥0．
（m3﹣m）+a（m﹣1）＝（m﹣1）（m2+m+a）≥0恒成立．
只需m2+m+a分解出（m﹣1）因式，
m2+m+a＝（m2﹣m）+2（m﹣1）＝（m﹣1）（m+2），
（此時a＝﹣2），且不等式轉化為：（m﹣1）2（m+2）≥0，
∵（m﹣1）2≥0，m+2＞0，∴不等式恒成立．即a＝﹣2，不等式恒成立．
（3）證明：函數y＝f（x）﹣x的圖象是軸對稱圖形．
設g（x）＝f（x）﹣x
，對于函數，
令m＝2x（m＞0），則，
根據對勾函數性質，的圖象關于直線m＝2對稱，
即2x＝2時，x＝1．對于，
∵g（x），
，
，
g（1﹣x）﹣g（1+x）．
故函數g（x）圖像關于直線x＝1對稱，即函數f（x）﹣x圖象是軸對稱圖形．
18．（2018秋 睢寧縣校級月考）已知函數f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函數f（x）的定義域并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）記函數g（x）＝10f（x）+3x，求函數g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求實數m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵函數f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函數f（x）的定義域為（﹣2，2）．
∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），
∴f（x）是偶函數．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．
∵g（x）＝10f（x）+3x，
∴函數g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max＝g（），g（x）min＝g（﹣2）＝﹣6，
∴函數g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值為lg4．
∴實數m的取值范圍為{m|m＜lg4}．
19．（2024秋 鼓樓區校級期中）我們知道，任何一個正實數x都可以表示成x＝a×10n（1 a＜10，n∈Z）．當n 0時，記x的整數部分的位數為f（a×10n），例如f（1.02×10）＝2；當n＜0時，記x的非有效數字的個數為f（a×10n），例如f（1.02×10﹣2）＝2．
（1）求f（1.02×102），f（1.02×10﹣1），并寫出f（a×10n）的表達式（不必寫出過程）；
（2）若x＝2100，且取lg2＝0.301，求n，a以及f（a×10n）；
（3）已知k∈N*，猜想：f（2k）與f（2﹣k）的大小關系，并證明你的結論．
【解答】解：（1）因為當n 0時，記x的整數部分的位數為f（a×10n）；當n＜0時，記x的非有效數字的個數為f（a×10n），
所以f（1.02×102）＝3，f（1.02×10﹣1）＝1，
因為當n≥0時，a×10n整數部分的位數為n+1，
當n＜0時，a×10n的非有效數字的位數為﹣n，
所以；
（2）由x＝2100，則lgx＝100lg2＝30+0.1，
所以x＝1030+0.1＝100.1×1030，
故a＝100.1，n＝30，f（a×1030）＝31；
（3）猜想：f（2k）＝f（2﹣k），證明如下：
當k∈N*時，2k為正整數且不可能是10的倍數，
所以存在m∈N，使得10m＜2k＜10m+1，此時f（2k）＝m+1，
而10﹣（m+1）＜2﹣k＜10﹣m，所以f（2﹣k）＝m+1，
所以f（2k）＝f（2﹣k）．
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