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【江蘇省各地區(qū)真題匯編】數(shù)列考前專題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 南京模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝63+S3，a3+a12＝12，則{an}的公差為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025 武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＝1，且滿足，則S11的值為（　?。?br/>A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
3．（2024秋 通州區(qū)期末）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4﹣2成等差數(shù)列，則S4＝（　?。?br/>A．7 B．12 C．15 D．31
4．（2025 秦淮區(qū)校級(jí)二模）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．（2025 江蘇校級(jí)模擬）在數(shù)列{2n}的項(xiàng)2i和2i+1之間插入i個(gè)i（i＝1，2，3， ，i∈N*）構(gòu)成新數(shù)列{an}，則a100＝（　?。?br/>A．13 B．213 C．14 D．214
6．（2025 江蘇三模）設(shè)cn＝an+bn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為（　　）
A．1078 B．1077 C．567 D．550
7．（2024秋 金壇區(qū)校級(jí)月考）已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若，則（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2025 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d＞0，且a2020 a2021＜0，則Sn取得最小值時(shí)n為（　?。?br/>A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2023秋 啟東市校級(jí)月考）已知Sn是{an}的前n項(xiàng)和，a1＝2，，則下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)2021＝2
B．S2021＝1012
C．a(chǎn)3n a3n+1 a3n+2＝1
D．{an}是以3為周期的周期數(shù)列
（多選）10．（2025 江蘇模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br/>A．?dāng)?shù)列{an}每一項(xiàng)an都滿足
B．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＜2
D．?dāng)?shù)列{an}每一項(xiàng)都滿足成立
（多選）11．（2025 南京二模）已知數(shù)列{an}中，，其前n項(xiàng)和為Sn，則（　?。?br/>A． B．
C．a(chǎn)n≥a7 D．S10＜0
三．填空題（共3小題）
12．（2017春 興化市校級(jí)月考）設(shè){an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若a3+a7＝10，則S9＝　 　 ．
13．（2025 江蘇三模）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，，n∈N*.設(shè)，若不等式對(duì)于任意n∈N*都成立，則正數(shù)k的最大值為　 　 ．
14．（2025春 宜興市期中）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，P3，Q3是邊B3C3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AP3分別交B1C1、B2C2于P1、P2，AQ3分別交B1C1、B2C2于Q1、Q2，則 　 　 ．（注：）
四．解答題（共5小題）
15．（2025 秦淮區(qū)校級(jí)二模）在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1＝3an+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1＝2an﹣1．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前2n項(xiàng)和S2n．
16．（2025 江蘇校級(jí)模擬）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn；
（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
17．（2018春 泰州期末）已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝an+1﹣an，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn．
（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列．
①求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
②若Tn+1≤4bn對(duì)任意n∈N*恒成立，求q的值；
（2）已知{an}為遞增數(shù)列，即．若對(duì)任意n∈N*，數(shù)列{an}中都存在一項(xiàng)am使得bn+1＝am﹣an，求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
18．（2025春 亭湖區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn，求{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．
19．（2025 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)y＝f（x），其中，定義域是一切實(shí)數(shù)．
（1）計(jì)算的值并指出其幾何意義；
（2）當(dāng)時(shí)，方程f（x）＝a+x只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)x1＝0，xn+1＝f（xn），，n≥1，n∈N，bn＝y(tǒng)n﹣xn．求證：．
【江蘇省各地區(qū)真題匯編】數(shù)列考前專題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A A A C C
二．多選題（共3小題）
題號(hào) 9 10 11
答案 BD ABD ABD
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 南京模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝63+S3，a3+a12＝12，則{an}的公差為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S12＝63+S3，a3+a12＝12，
∴，
解得a1＝﹣7，d＝2．
故選：B．
2．（2025 武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＝1，且滿足，則S11的值為（　?。?br/>A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
【解答】解：，故，又a1﹣2＝﹣1，
所以是首項(xiàng)為﹣1，公比為﹣1的等比數(shù)列，所以，
則．
故選：A．
3．（2024秋 通州區(qū)期末）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4﹣2成等差數(shù)列，則S4＝（　?。?br/>A．7 B．12 C．15 D．31
【解答】解：設(shè)公比為q（q≠0），
∵a2，a3，a4﹣2成等差數(shù)列，∴2a3＝a2+a4﹣2，
則2×2q＝2+2q2﹣2，解得：q＝2或0（舍去），
a2＝2，∴a1＝1，故．
故選：C．
4．（2025 秦淮區(qū)校級(jí)二模）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“a3＝1”是“a1 a5＝1”的（　?。?br/>A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由題意知，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
當(dāng)a3＝1時(shí)，得，故充分性成立；
當(dāng)a1a5＝1時(shí)，，解得a3＝±1，故必要性不成立．
故選：A．
5．（2025 江蘇校級(jí)模擬）在數(shù)列{2n}的項(xiàng)2i和2i+1之間插入i個(gè)i（i＝1，2，3， ，i∈N*）構(gòu)成新數(shù)列{an}，則a100＝（　　）
A．13 B．213 C．14 D．214
【解答】解：由題意，在2i和2i+1之間插入i個(gè)i（i＝1，2，3， ，i∈N*）構(gòu)成數(shù)列{an}，
所以，
則數(shù)列{2n}中不超過(guò)2i的數(shù)的個(gè)數(shù)為，
當(dāng)i＝13時(shí)，，當(dāng)i＝14時(shí)，，
故a100位于213和214之間，所以a100＝13．
故選：A．
6．（2025 江蘇三模）設(shè)cn＝an+bn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為（　?。?br/>A．1078 B．1077 C．567 D．550
【解答】解：cn＝an+bn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，
由題意，即，即（1+d）2＝1+3d，整理得d2﹣d＝0，
因?yàn)閐≠0，所以d＝1，故an＝a1+（n﹣1）d＝1+n﹣1＝n，
所以b2＝a2＝2，則，故，
又因?yàn)椋?br/>所以數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為S10＝（a1+a2+a3+ +a10）+（b1+b2+b3+ +b10）
．
故選：A．
7．（2024秋 金壇區(qū)校級(jí)月考）已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若，則（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，，
由等差數(shù)列性質(zhì)得，，
由得，．
故選：C．
8．（2025 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差d＞0，且a2020 a2021＜0，則Sn取得最小值時(shí)n為（　?。?br/>A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
【解答】解：因?yàn)楣頳＞0，所以a2020＜a2021，又a2020 a2021＜0，
所以a2020＜0，a2021＞0，
所以前2020項(xiàng)的和S2020為Sn的最小值，故n＝2020．
故選：C．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2023秋 啟東市校級(jí)月考）已知Sn是{an}的前n項(xiàng)和，a1＝2，，則下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)2021＝2
B．S2021＝1012
C．a(chǎn)3n a3n+1 a3n+2＝1
D．{an}是以3為周期的周期數(shù)列
【解答】解：∵a1＝2，，
∴，，，…，
則數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，故D正確；
則，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
可得，故C錯(cuò)誤．
故選：BD．
（多選）10．（2025 江蘇模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br/>A．?dāng)?shù)列{an}每一項(xiàng)an都滿足
B．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＜2
D．?dāng)?shù)列{an}每一項(xiàng)都滿足成立
【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1＝1，，
對(duì)于A，由，
當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝a11，
所以0＜a2＜1，
下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：
假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，0＜ak＜1；
則當(dāng)n＝k+1時(shí)，，
綜上，，故A正確；
對(duì)于B，由，可得數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C，由數(shù)列{an}滿足a1＝1，，
可得，，，
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，對(duì)，兩邊取倒數(shù)可得，
所以，
累加得，所以，即，
所以，又a1＝1，故成立，故D正確．
故選：ABD．
（多選）11．（2025 南京二模）已知數(shù)列{an}中，，其前n項(xiàng)和為Sn，則（　　）
A． B．
C．a(chǎn)n≥a7 D．S10＜0
【解答】解：因?yàn)閍n﹣an+1＝﹣3an+1an，
所以兩邊同時(shí)除以anan+1，得：，
令，則遞推式變?yōu)椋篵n+1﹣bn＝﹣3；
所以數(shù)列{bn}是公差為﹣3的等差數(shù)列，
因?yàn)椋詁3＝8，所以bn＝b3+（n﹣3）（﹣3）＝17﹣3n，
所以數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為：，
對(duì)于A，當(dāng)n＝1時(shí)，，故A正確；
對(duì)于B，由推導(dǎo)過(guò)程可知，，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋@然a6＜a7，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，0，故D正確．
故選：ABD．
三．填空題（共3小題）
12．（2017春 興化市校級(jí)月考）設(shè){an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若a3+a7＝10，則S9＝　45　 ．
【解答】解：S945．
故答案為：45．
13．（2025 江蘇三模）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，，n∈N*.設(shè)，若不等式對(duì)于任意n∈N*都成立，則正數(shù)k的最大值為　4　 ．
【解答】解：根據(jù)題目已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，，n∈N*.設(shè)，
若不等式對(duì)于任意n∈N*都成立，
因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝2，，n∈N*，
則，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
所以，故，
由，
可得，
令，
所以，
，
對(duì)任意的n∈N*，xn＞0，故，則xn+1＞xn，故數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列，
所以，，
因此，實(shí)數(shù)k的最大值為4．
故答案為：4．
14．（2025春 宜興市期中）如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，P3，Q3是邊B3C3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AP3分別交B1C1、B2C2于P1、P2，AQ3分別交B1C1、B2C2于Q1、Q2，則 　72　 ．（注：）
【解答】解：以A為原點(diǎn)，AC1所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
可得A（0，0），B2（3，），C1（2，0），C2（4，0），C3（6，0），
由P3、Q3是邊B3C3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
可得，即，同理求得．
則，，可得，
，
根據(jù)△AC1P1∽△AC3P3，且，
可得，同理求得．
所以，，
且△AC2P2∽△AC3P3，，
則，同理可得，
因?yàn)椋?，），（，）?br/>所以，，
可得
．
故答案為：72．
四．解答題（共5小題）
15．（2025 秦淮區(qū)校級(jí)二模）在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1＝3an+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1＝2an﹣1．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前2n項(xiàng)和S2n．
【解答】解：（1）在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1＝3an+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1＝2an﹣1，
則a2＝3a1+1＝7，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1＝2an﹣1，則數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
于是，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
所以{an}的通項(xiàng)公式是；
（2）由（1）知，，
，
則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和．
16．（2025 江蘇校級(jí)模擬）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn；
（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【解答】解：（1）因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2，
所以，Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+2，即an+1﹣an＝2，
根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，；
（2）因?yàn)?，則b1＝2且，
根據(jù)等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為16的等比數(shù)列，
故．
17．（2018春 泰州期末）已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝an+1﹣an，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn．
（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列．
①求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
②若Tn+1≤4bn對(duì)任意n∈N*恒成立，求q的值；
（2）已知{an}為遞增數(shù)列，即．若對(duì)任意n∈N*，數(shù)列{an}中都存在一項(xiàng)am使得bn+1＝am﹣an，求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
【解答】證明：（1）①數(shù)列{an}是公比為q（q＞1）的等比數(shù)列及bn＝an+1﹣an得bn≠0，
∴為定值，
∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
解：②，
∴qn﹣1（q﹣2）2≤1對(duì)任意n∈N*恒成立，
而q＞1，∴q＝2．
∵q＞1，q≠2，∴當(dāng)時(shí)，qn﹣1（q﹣2）2＞1矛盾．
綜上，q＝2．
證明：（2）∵數(shù)列{an}中都存在一項(xiàng)am使得bn+1＝am﹣an，
∴am＝an+2﹣an+1+an，
而{an}為遞增數(shù)列，則an＜am＝an+2﹣an+1+an＜an+2，
∴am＝an+2﹣an+1+an＝an+1，即an+2+an＝2an+1，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
18．（2025春 亭湖區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn，求{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．
【解答】解：（1）由，可得a1＝S1＝1，
n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1n（n+1）n（n﹣1）＝n，對(duì)n＝1也成立，
則an＝n，n∈N*；
（2）bn，
則{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝（b1+b3+...b2n﹣1）+（b2+b4+...+b2n）（1...）+（4+16+...+4n）
（1）．
19．（2025 鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)y＝f（x），其中，定義域是一切實(shí)數(shù)．
（1）計(jì)算的值并指出其幾何意義；
（2）當(dāng)時(shí)，方程f（x）＝a+x只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)x1＝0，xn+1＝f（xn），，n≥1，n∈N，bn＝y(tǒng)n﹣xn．求證：．
【解答】解：（1），
原式，
幾何意義是函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率是；
（2）變形f（x）＝a+x得到，
令，在內(nèi)恒小于零，
所以函數(shù)在嚴(yán)格遞減，
得到值域?yàn)?，所以a的取值范圍為；
（3）證明：由（2）知函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x在嚴(yán)格減，且存在唯一的零點(diǎn)，
使得g（x0）＝0，即f（x0）＝x0，
，∴，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性知，∴f（x2）＜f（x1），
即x3＞x2，依次類推，得到，
同理，
即，
，
∵0＜yn+xn＜1，∴，
∴，得到，
∴，
，
，
∴．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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