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【江蘇省各地區真題匯編】平面向量及其應用考前專題特訓-2025年高考數學
一．選擇題（共8小題）
1．（2025春 東海縣期中）已知向量，，若，則實數k＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．（2025春 東海縣期中）已知平面向量，滿足，且，則，的夾角為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，M是BC中點，AM＝1，，則BC＝（　　）
A． B． C．2 D．4
4．（2020秋 江陰市校級月考）在△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b、則“a＝b”是“”的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
5．（2025春 宜興市期中）已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），則λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2024秋 灌南縣期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足的三角形有兩個，則b的取值范圍為（　　）
A． B． C．（2，4） D．
7．（2025春 東海縣期中）在平行四邊形ABCD中，E，F分別為AB，BC中點，AF與DE交于點N，，則x+y＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝3，，N是邊BC上一點，且滿足BN＝AC，M是AC中點，則MN的最小值為（　　）
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025春 東海縣期中）已知向量，，則下列結論正確的是（　　）
A．
B．
C．與的夾角為
D．在上的投影向量為（﹣1，0）
（多選）10．（2025春 沭陽縣校級期中）點M在△ABC所在平面內，下列說法正確的是（　　）
A．若，則M為△ABC的重心
B．若，則△ABC為銳角三角形
C．若，則
D．若△ABC為邊長為2的正三角形，點M在線段BC上運動，則
（多選）11．（2025春 沭陽縣校級期中）中國南宋時期杰出數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（S為三角形的面積，a，b，c為三角形的三邊）．現有△ABC滿足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且△ABC的面積，則（　　）
A．△ABC的最長邊長為14
B．△ABC的三個內角滿足
C．△ABC的三條高的和為
D．△ABC的中線CD的長為
三．填空題（共3小題）
12．（2025春 無錫校級月考）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 　 　 ．
13．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，，∠A的平分線交線段BC于點D，BD＝2DC，AD＝3，則BC＝　 　 ．
14．（2024秋 灌南縣期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，其中，則的值為 　 　 ；設，則λ+μ＝　 　 ．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 玉溪校級期中）已知向量．
（1）若向量與共線，求實數k的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實數k的取值范圍．
16．（2025春 東海縣期中）如圖，已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，以BC為一邊作等邊△BCD，A，D位于邊BC兩側，連結AD．
（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求證：tanA＝3tanB；
（2）若b＝4，c＝2，求：
（i）的值；
（ii）△ACD面積的最大值．
17．（2024秋 灌南縣期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若a＝2，c＝5，點D在邊AC上，且BD是∠ABC的平分線，求△ABD的面積．
18．（2025春 句容市校級期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且，
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面積為，
①已知E為BC的中點，且b+c＝8，求△ABC底邊BC上中線AE的長；
②求內角A的角平分線AD長的最大值．
19．（2025春 沭陽縣校級期中）對任意兩個非零向量，定義新運算：，其中θ為與的夾角．
（1）若非零向量滿足，且，求的取值范圍；
（2）若向量，且，求正數t的值；
（3）已知非零向量滿足（k是正整數），向量的夾角，和都是有理數，且，求sinθ．
【江蘇省各地區真題匯編】平面向量及其應用考前專題特訓-2025年高考數學
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B D C B
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 BCD AC ABD
一．選擇題（共8小題）
1．（2025春 東海縣期中）已知向量，，若，則實數k＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：向量，，，則，
所以k＝2．
故選：A．
2．（2025春 東海縣期中）已知平面向量，滿足，且，則，的夾角為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題知，，平方可得，
因為，
所以，所以，
因為，
則，又，則，
則，的夾角為．
故選：B．
3．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，M是BC中點，AM＝1，，則BC＝（　　）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：因為M是BC中點，所以，
且，．
可得 （） （）．
已知1，又因為 3，所以13，移項可得1+3＝4．
因為M是BC中點，所以BC＝2||，而，則，
所以BC＝2×2＝4．
故選：D．
4．（2020秋 江陰市校級月考）在△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b、則“a＝b”是“”的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【解答】解：在△ABC中，若a＝b，則A＝B，則cosA＝cosB，則，
故“a＝b”是“”的充分條件
在△ABC中，若，則acosB＝bcosA，
由正弦定理得：sinAcosB＝sinBcosA，即sin（A﹣B）＝0，
故A＝B，則a＝b，
故“a＝b”是“”的必要條件，
故選：C．
5．（2025春 宜興市期中）已知向量（﹣1，1），（1，3），若⊥（λ），則λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：若⊥（λ），
則，
向量（﹣1，1），（1，3），
則2+2λ＝0，解得λ＝﹣1．
故選：B．
6．（2024秋 灌南縣期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足的三角形有兩個，則b的取值范圍為（　　）
A． B． C．（2，4） D．
【解答】解：在△ABC中，，由△ABC有兩解，得，
即，解得．
故選：D．
7．（2025春 東海縣期中）在平行四邊形ABCD中，E，F分別為AB，BC中點，AF與DE交于點N，，則x+y＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，因為E，F分別為AB，BC中點，
則，
因為，則，而D，N，E三點共線，
故，則，即
則，則．
故選：C．
8．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝3，，N是邊BC上一點，且滿足BN＝AC，M是AC中點，則MN的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，可得，
又，則，即，
在△ABC中，由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝9，
如圖可知，，
在△MNC中，由余弦定理，
，
由a2+b2﹣ab＝9，可得，
設，則，
不妨取x∈[0，2π），由圖可知，
又sinx＞0，cosx＞0，進而解得，
由代入MN2的表達式中可得，
，
當時，，
則．
故選：B．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025春 東海縣期中）已知向量，，則下列結論正確的是（　　）
A．
B．
C．與的夾角為
D．在上的投影向量為（﹣1，0）
【解答】解：，則，，則，不滿足，A選項錯誤；
向量，，
則，則，則，B選項正確；
根據夾角公式，，又向量的夾角范圍是[0，π]，則與的夾角為，C選項正確；
在上的投影向量為，D選項正確．
故選：BCD．
（多選）10．（2025春 沭陽縣校級期中）點M在△ABC所在平面內，下列說法正確的是（　　）
A．若，則M為△ABC的重心
B．若，則△ABC為銳角三角形
C．若，則
D．若△ABC為邊長為2的正三角形，點M在線段BC上運動，則
【解答】解：對于A，如圖，取AB的中點D，連接MD，
則，
因為，所以，所以M在中線CD上，
取BC的中點E，連接ME，同理可得M在中線AE上，
所以M為△ABC的重心，故A正確；
對于B，由 ，即cosA＞0，
因為A∈（0，π），則角A為銳角，但是其它角不一定為銳角，
所以△ABC不一定為銳角三角形，故B錯誤；
對于C，因為，即，
所以，所以，
所以M為BC上靠近C的三等分點，即，
如圖，設A到BC邊的距離為h，
則，故C正確；
對于D，若M為BC的中點，則，
所以
，故D錯誤．
故選：AC．
（多選）11．（2025春 沭陽縣校級期中）中國南宋時期杰出數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即（S為三角形的面積，a，b，c為三角形的三邊）．現有△ABC滿足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且△ABC的面積，則（　　）
A．△ABC的最長邊長為14
B．△ABC的三個內角滿足
C．△ABC的三條高的和為
D．△ABC的中線CD的長為
【解答】解：因為sinA：sinB：sinC＝3：5：7＝a：b：c＝3：5：7，設a＝3m，b＝5m，c＝7m，
因為△ABC的面積，，
所以，
解得m＝2，所以a＝6，b＝10，c＝14，
對于A，因為a＝6，b＝10，c＝14，A正確，
對于B，由余弦定理得，
因為C∈（0，π），所以C，所以A+B，B正確，
對于C，因為△ABC的面積，且a＝6，b＝10，c＝14，
所以△ABC的三條高的和為，C錯誤，
對于D，因為CD為△ABC的中線，所以，
所以
，
所以|CD|，D正確．
故選：ABD．
三．填空題（共3小題）
12．（2025春 無錫校級月考）已知平面向量滿足，則與夾角的大小為 　　 ．
【解答】解：因為平面向量滿足，
所以，
所以，即，
所以，
設與夾角為α，
則，
又因為α∈[0，π]，所以．
故答案為：．
13．（2025春 東海縣期中）在△ABC中，，∠A的平分線交線段BC于點D，BD＝2DC，AD＝3，則BC＝　　 ．
【解答】解：因為，∠A的平分線交線段BC于點D，BD＝2DC，
所以，
設AB＝2x，AC＝x，因為S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
所以，
即，解得，
由余弦定理得：BC2＝4x2+x2﹣2 2x x cos60°＝3x2，
所以．
故答案為：．
14．（2024秋 灌南縣期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，其中，則的值為 　　 ；設，則λ+μ＝　　 ．
【解答】解：設AF＝1，由，得DF＝2，AD＝3，
在△ABD中，BD＝AF＝1，∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
所以AB，可得，
因為正△ABC與正△DEF相似，所以（）2．
由題意，得，（），，
結合，可得（）（），
即，整理得，
將代入，得，整理得，
結合，可得λ，μ，所以λ+μ．
故答案為：；．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 玉溪校級期中）已知向量．
（1）若向量與共線，求實數k的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實數k的取值范圍．
【解答】解：（1）根據題意，因為，則，
而，
若向量與共線，則有﹣2（k+2）＝﹣5（k+1），解得．
（2）根據題意，若向量與的夾角為銳角，則且不共線，
由，解得，
若∥，則有k+2＝2（k+1），解可得k＝0，此時、同向，不滿足題意．
綜合可得，k的取值范圍為（，0）∪（0，+∞）．
16．（2025春 東海縣期中）如圖，已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，以BC為一邊作等邊△BCD，A，D位于邊BC兩側，連結AD．
（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求證：tanA＝3tanB；
（2）若b＝4，c＝2，求：
（i）的值；
（ii）△ACD面積的最大值．
【解答】（1）證明：因為2（asinA﹣bsinB）＝csinC，
由正弦定理可得2a2﹣2b2＝c2，則，
所以4acosB＝3c，
由正弦定理：4sinAcosB＝3sinC，
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAcosB＝3cosAsinB，
即證得tanA＝3tanB；
（2）解：（i），
又，
所以；
（ii）由BC＝CD＝BD＝a，AC＝b＝4，AB＝c＝2，
若E是BC的中點，以E為原點，為x，y軸建立平面直角坐標系，
如下圖示，
所以，由題意及（i）結果，可設A（x，y）且y＜0＜x，
所以，解得，
所以
，
而2＜a＜6，若t＝a2﹣20∈（﹣16，16），
令，
若，，
所以，
可得（m+n）2＝（ n×1）2，
由柯西不等式可（ n×1）2≤（n2）（3+1）≤256×4，
所以，當且僅當，即t2＝192時取等號，
所以，
即時△ACD的最大值為（32+20）4（1）．
所以△ACD面積的最大值．
17．（2024秋 灌南縣期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若a＝2，c＝5，點D在邊AC上，且BD是∠ABC的平分線，求△ABD的面積．
【解答】解：（1）由，得2bcosC＝2a+c，結合正弦定理得2sinBcosC＝2sinA+sinC，
在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以2sinBcosC＝2（sinBcosC+cosBsinC）+sinC，整理得sinC（2cosB+1）＝0，
因為△ABC中，sinC≠0，所以2cosB+1＝0，cosB，結合B∈（0，π），可得B；
（2）根據∠ABC且BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD．
由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，得AB BCsinAB BDsinBC BDsin，
即，解得BD，
所以S△ABD．
18．（2025春 句容市校級期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且，
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面積為，
①已知E為BC的中點，且b+c＝8，求△ABC底邊BC上中線AE的長；
②求內角A的角平分線AD長的最大值．
【解答】解：（1）△ABC的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且，
由正弦定理，得，即，
故，
所以，
所以；
（2）①由（1）知，
所以，解得bc＝16，
且b+c＝8，解得b＝c＝4，由于，
所以
，所以；
②因為AD為角A的角平分線，所以，
由于S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
所以，
由于，所以，
由于，
又bc＝16，所以，
由于，當且僅當b＝c＝4時，等號取得到，
故|AD|（b+c）|AD|＝8|AD|，
故．
19．（2025春 沭陽縣校級期中）對任意兩個非零向量，定義新運算：，其中θ為與的夾角．
（1）若非零向量滿足，且，求的取值范圍；
（2）若向量，且，求正數t的值；
（3）已知非零向量滿足（k是正整數），向量的夾角，和都是有理數，且，求sinθ．
【解答】解：（1）對任意兩個非零向量，定義新運算：，其中θ為與的夾角，
若非零向量滿足，且，
則，
又，所以，得到，
又，且，
所以的取值范圍是；
（2）若向量，且，
則，，
則設向量和的夾角為θ，則，
所以，
則，整理得到|t2﹣8|＝t2+4，
所以t2﹣8＝t2+4（舍）或8﹣t2＝t2+4，解得t＝2或t＝﹣2（舍），
所以正數t的值為2；
（3）已知非零向量滿足（k是正整數），向量的夾角，
和都是有理數，且，
因為，則，，
又，則，即，
又，則，又k是正整數，
當k＝1，不合題意，
當k＝2，，由，得到，
所以，滿足題意，故，
當k＝3時，，得到，解得，
此時，不是有理數，所以k＝3不合題意，
當k≥4時，，所以k≥4時，不合題意，
綜上，．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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