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【江蘇省各地區(qū)真題匯編】平面解析幾何考前專題特訓-2025年高考數(shù)學
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 武進區(qū)校級一模）若直線l：y＝kx（k＞0）與雙曲線有兩個不同交點，則k的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 濱海縣校級模擬）已知拋物線y2＝2px的焦點為F，點A，B，C在拋物線上，F(xiàn)為△ABC的重心，且，則p的值為（　　）
A．3 B．4 C．5| D．61
3．（2025 江蘇一模）圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有經過坐標原點的弦中最短弦長為（　　）
A． B．2 C． D．4
4．（2025 南通模擬）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為C的左支上一點，AF1與C的一條漸近線平行．若|AF2|＝|F1F2|，則C的離心率為（　　）
A．2 B． C．3 D．
5．（2024秋 無錫校級期中）已知圓，圓，若圓C2平分圓C1的周長，則n2﹣m的最小值為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．（2025 江蘇三模）已知點A（0，2），若圓（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在點P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O為坐標原點），則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，0]∪[5，+∞）
B．[0，5]
C．[，﹣3]∪[0，]
D．
7．（2025 如皋市模擬）已知橢圓C：1，稱點P（x0，y0）和直線l：1是橢圓C的一對極點和極線，每一對極點與極線是一一對應關系．當P在橢圓外時，其極線l是橢圓從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）．結合閱讀材料回答下面的問題：已知P是直線yx+4上的一個動點，過點P向橢圓C：1引兩條切線，切點分別為M，N，直線MN恒過定點T，當時，直線MN的方程為（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
8．（2025春 海安市校級月考）古希臘數(shù)學家在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點F1發(fā)出的光線經過橢圓上的P點反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點F2，且在P點處的切線垂直于法線（即∠F1PF2的角平分線）．已知橢圓C：上點P處的法線l交x軸于點Q，且，入射角∠F1PQ，則C的離心率為（　　）
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 南通校級模擬）已知圓Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直線l：xcosθ+ysinθ＝0，則（　　）
A．對任意滿足條件的實數(shù)a，b與θ，直線l與圓Γ始終相切
B．對任意滿足條件的實數(shù)a，b與θ，直線l與圓Γ有公共點
C．對任意實數(shù)θ，必存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得直線l與圓Γ相切
D．對任意滿足條件的實數(shù)a，b，必存在實數(shù)θ，使得直線l與圓Γ相切
（多選）10．（2024秋 海州區(qū)校級期末）已知橢圓C：1的右焦點為F，拋物線Γ以F為焦點，過F的直線l交拋物線Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，下列說法正確的是（　　）
A．若x1+x2＝8，則|AB|＝10
B．當時，直線l的傾斜角為45°
C．若M（4，2），P為拋物線Γ上一點，則|PM|+|PF|的最小值為
D．4|AF|+|BF|的最小值為9
（多選）11．（2024秋 新吳區(qū)校級月考）在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線C：y2＝2px（p＞0）繞其頂點分別逆時針旋轉90°，180°，270°后所得三條曲線與C圍成的（如圖陰影區(qū)域），A，B為C與其中兩條曲線的交點，若：p＝2，則（　　）
A．開口向上的拋物線的方程為y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直線x+y＝t截第一象限花瓣的弦長最大值為
D．陰影區(qū)域的面積不大于32
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 玄武區(qū)校級月考）若直線y＝k（x﹣3）與雙曲線只有一個公共點，則k的一個取值為 　 　 ．
13．（2024秋 江蘇月考）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的左、右焦點，點A是C右支上一點，若△AF1F2的內切圓的圓心為M，半徑為a，且 λ∈R，使得，則C的離心率為 　 　 ．
14．（2010 連云港模擬）直線x+2y﹣2＝0經過橢圓1（a＞b＞0）的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于　 　 ．
四．解答題（共5小題）
15．（2025 南通校級模擬）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，經過點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若等腰直角三角形ABC的三個頂點均在雙曲線C上，求△ABC面積的最小值．
16．（2024秋 南京期末）已知橢圓長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為且過F2的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．
17．（2024秋 邗江區(qū)校級月考）已知⊙C的圓心在直線3x﹣y﹣3＝0上，點C在y軸右側且到y(tǒng)軸的距離為1，⊙C被直線l：x﹣y+3＝0截得的弦長為2．
（1）求⊙C的方程；
（2）設點D在⊙C上運動，且點T滿足，（O為原點）記點T的軌跡為E．
①求曲線E的方程；
②過點M（1，0）的直線與曲線E交于A，B兩點，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
18．（2025 江蘇校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，設點P（x，y），若點Q滿足，其中M（m，n）為定點，則稱點Q是點P關于點M的“λ相關點”．
（1）已知點A（1，0），B（0，1），若點C是點A關于點B的“λ相關點”，且，求λ的值．
（2）已知圓O：x2+y2＝1，點M（2，0），點P是圓O上的動點，點Q是點P關于點M的“λ相關點”，若點Q的軌跡與圓O有公共點，求正數(shù)λ的取值范圍．
19．（2025 秦淮區(qū)校級二模）已知點F（1，0）和直線l：x＝2，點P到l的距離d|PF|，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點Q（2，0）作斜率不為0的直線與曲線E交于A，B不同的兩點，再過點F（1，0）作直線AB的平行線與曲線E交于不同的兩點C，D．
①證明：為定值；
②求△QCD面積的取值范圍．
【江蘇省各地區(qū)真題匯編】平面解析幾何考前專題特訓-2025年高考數(shù)學
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C D B A D
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 BD AD BCD
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 武進區(qū)校級一模）若直線l：y＝kx（k＞0）與雙曲線有兩個不同交點，則k的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因為的漸近線方程為，
與直線l：y＝kx（k＞0）有兩個不同的交點，
又直線l過原點，則
則k的取值范圍是．
故選：B．
2．（2025 濱海縣校級模擬）已知拋物線y2＝2px的焦點為F，點A，B，C在拋物線上，F(xiàn)為△ABC的重心，且，則p的值為（　　）
A．3 B．4 C．5| D．61
【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，
不妨設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
此時x1x2x3（x1+x2+x3），
因為F為△ABC 的重心，所以，所以，
則|AF|+|BF|+|CF|＝3p＝12，解得 p＝4．
故選：B．
3．（2025 江蘇一模）圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有經過坐標原點的弦中最短弦長為（　　）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0知，圓的標準方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，如下圖：
其中O為坐標原點，圓心為M（1，1），AB是過原點的一條弦，
所以，
當AB⊥MO時，AB是所有經過坐標原點的弦中最短的弦，此時．
故選：B．
4．（2025 南通模擬）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為C的左支上一點，AF1與C的一條漸近線平行．若|AF2|＝|F1F2|，則C的離心率為（　　）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：已知|AF2|＝|F1F2|＝2c，
設|AF1|＝m，由雙曲線定義可得|AF2|﹣|AF1|＝2a，
所以m＝2c﹣2a，
由于AF1與漸近線平行，可得tan∠AF1F2，
則，
在△AF1F2中，由余弦定理可得，
整理得c2﹣4ac+3a2＝0，雙曲線離心率為，
則e2﹣4e+3＝0，解得e＝3，
因此，雙曲線的離心率為3．
故選：C．
5．（2024秋 無錫校級期中）已知圓，圓，若圓C2平分圓C1的周長，則n2﹣m的最小值為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【解答】解：∵方程x2+y2+mx+ny＝0表示圓，
∴m2+n2﹣4×0＞0，即m2+n2＞0．
圓，圓，
兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線l的方程：（m+2）x+（n+4）y＝0．
若圓C2平分圓C1的周長，則圓C1的圓心在直線l上，
∵圓的圓心為（1，2），
∴（m+2）+2（n+4）＝0，即m＝﹣2n﹣10，
∴n2﹣m＝n2+2n+10＝（n+1）2+9，
當n＝﹣1時，n2﹣m取最小值9．
故選：D．
6．（2025 江蘇三模）已知點A（0，2），若圓（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在點P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O為坐標原點），則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，0]∪[5，+∞）
B．[0，5]
C．[，﹣3]∪[0，]
D．
【解答】解：設P（x，y），點A（0，2），使得|PO|2+|PA|2＝34（O為坐標原點），
可得P的軌跡方程為：x2+y2+x2+（y﹣2）2＝34，
即：x2+（y﹣1）2＝16，由題意可得：4﹣1＝34+1＝5，
解得a∈[0，5]．
故選：B．
7．（2025 如皋市模擬）已知橢圓C：1，稱點P（x0，y0）和直線l：1是橢圓C的一對極點和極線，每一對極點與極線是一一對應關系．當P在橢圓外時，其極線l是橢圓從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）．結合閱讀材料回答下面的問題：已知P是直線yx+4上的一個動點，過點P向橢圓C：1引兩條切線，切點分別為M，N，直線MN恒過定點T，當時，直線MN的方程為（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
【解答】解：設，則MN的直線方程為：1，
整理得x0（x﹣2y）+16y﹣16＝0，
由.解得，定點T（2，1），
，則T為MN中點，，所以，
，即x+2y﹣4＝0．
故選：A．
8．（2025春 海安市校級月考）古希臘數(shù)學家在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點F1發(fā)出的光線經過橢圓上的P點反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點F2，且在P點處的切線垂直于法線（即∠F1PF2的角平分線）．已知橢圓C：上點P處的法線l交x軸于點Q，且，入射角∠F1PQ，則C的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，可得：|F1Q|＝3|QF2|，
由角平分線的性質可得：，
所以|PF1|＝3|PF2|，
設|PF1|＝3|PF2|＝3x，
由題意，因為，
所以，
由余弦定理可得，
解得，
又|PF1|+|PF2|＝2a，
所以，
得：．
故選：D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 南通校級模擬）已知圓Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直線l：xcosθ+ysinθ＝0，則（　　）
A．對任意滿足條件的實數(shù)a，b與θ，直線l與圓Γ始終相切
B．對任意滿足條件的實數(shù)a，b與θ，直線l與圓Γ有公共點
C．對任意實數(shù)θ，必存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得直線l與圓Γ相切
D．對任意滿足條件的實數(shù)a，b，必存在實數(shù)θ，使得直線l與圓Γ相切
【解答】解：因為圓Γ的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2+b2，圓心為（a，b），半徑為，
又圓心到直線l：xcosθ+ysinθ＝0的距離為，其中，
因為，故A錯誤，B正確；
若直線與圓相切，則有，
得到，
則，
對于C，當θ＝0，顯然不存在實數(shù)a，b，使，故C錯誤；
對于D，因為對任意滿足條件的實數(shù)a，b，總有確定的角φ，使，
則必然實數(shù)存在θ，使，故D正確．
故選：BD．
（多選）10．（2024秋 海州區(qū)校級期末）已知橢圓C：1的右焦點為F，拋物線Γ以F為焦點，過F的直線l交拋物線Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，下列說法正確的是（　　）
A．若x1+x2＝8，則|AB|＝10
B．當時，直線l的傾斜角為45°
C．若M（4，2），P為拋物線Γ上一點，則|PM|+|PF|的最小值為
D．4|AF|+|BF|的最小值為9
【解答】解：對于A選項，由題意得F（1，0），故拋物線方程為y2＝4x，
過F的直線l交拋物線Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，
由拋物線定義得|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+2＝8+2＝10，A正確；
對于B選項，由于直線l的斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不合要求，舍去，
設直線AB：x＝my+1，聯(lián)立y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則y2＝﹣4y1，
由韋達定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
故，解得，
故直線l的斜率為，傾斜角不為45°，B錯誤；
對于C選項，由題意得，準線方程為x＝﹣1，過點P作PG⊥準線（x＝﹣1）于點G，
由拋物線定義得|PM|＝|PG|，
故|PM|+|PF|＝|PG|+|PF|，
要想求得|PM|+|PF|的最小值，則過點M作MQ⊥準線（x＝﹣1）于點Q，
故|PM|+|PF|的最小值為|MQ|，最小值為4+1＝5，C錯誤；
對于D選項，由題意得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，
由于y1y2＝﹣4，故，
4|AF|+|BF|＝4x1+4+x2+1＝4x1+x2+5，
因為x1，x2＞0，由基本不等式得，
當且僅當4x1＝x2時，等號成立，
故4|AF|+|BF|的最小值為9，D正確．
故選：AD．
（多選）11．（2024秋 新吳區(qū)校級月考）在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線C：y2＝2px（p＞0）繞其頂點分別逆時針旋轉90°，180°，270°后所得三條曲線與C圍成的（如圖陰影區(qū)域），A，B為C與其中兩條曲線的交點，若：p＝2，則（　　）
A．開口向上的拋物線的方程為y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直線x+y＝t截第一象限花瓣的弦長最大值為
D．陰影區(qū)域的面積不大于32
【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）繞其頂點分別逆時針旋轉90°，180°，270°后所得三條曲線與C圍成的（如圖陰影區(qū)域），A，B為C與其中兩條曲線的交點，
對于選項A，開口向右的拋物線方程為C：y2＝4x，頂點在原點，
焦點為F1（1，0），
將其逆時針旋轉90°后得到的拋物線開口向上，焦點為F2（0，1），則其方程為x2＝4y，
即，故A選項錯誤；
對于選項B，根據(jù)A選項分析，由可解得，x＝0或x＝4，即xA＝4，
代入可得yA＝4，
由圖象的對稱性，可得A（4，4）、B（4，﹣4），故|AB|＝8，即B選項正確；
對于選項C，
設直線y＝x+m1與拋物線y2＝4x相切，聯(lián)立可得y2﹣4y+4m1＝0，
由Δ＝16﹣16m1＝0可得m1＝1，且方程y2﹣4y+4m1＝0即為y2﹣4y+4＝0，
解得y＝2，x＝1，此時，切點坐標為（1，2），
設直線y＝x+m2與拋物線x2＝4y相切，聯(lián)立可得x2﹣4x﹣4m2＝0，
由Δ＝16+16m2＝0可得m2＝﹣1，此時方程x2﹣4x﹣4m2＝0即為x2﹣4x+4＝0，
解得x＝2，y＝1，此時，切點坐標為（2，1），
兩切點連線的斜率為，即切點的連線與直線x+y＝t垂直，
故當M（1，2）、N（2，1）時，|MN|取最大值，
且其最大值為，C選項正確；
對于選項D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值．
如圖，
對函數(shù)求導得，則拋物線在點A（4，4）處的切線斜率為，
所以，拋物線在點A處的切線方程為y﹣4＝2（x﹣4），即y＝2x﹣4，
該切線交x軸于點E（2，0），
所以，半個花瓣的面積必小于，
故原圖中的陰影部分面積必小于8S△AOE＝8×4＝32，故D選項正確．
故選：BCD．
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 玄武區(qū)校級月考）若直線y＝k（x﹣3）與雙曲線只有一個公共點，則k的一個取值為 　（答案不唯一）　 ．
【解答】解：雙曲線，
則雙曲線的漸近線方程為y，
直線y＝k（x﹣3）過定點（3，0），
因為點（3，0）在雙曲線開口之內，
所以要使過該點的直線與雙曲線只有一個公共點，即該直線與雙曲線的漸近線平行，
故k．
故答案為：（答案不唯一）．
13．（2024秋 江蘇月考）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的左、右焦點，點A是C右支上一點，若△AF1F2的內切圓的圓心為M，半徑為a，且 λ∈R，使得，則C的離心率為 　2　 ．
【解答】解：不妨設點A在第一象限，
此時點M也在第一象限，
設A（x1，y1），M（xM，a），F(xiàn)2（c，0），
因為，
所以（xM﹣x1，a﹣y1）+2（xM，a）＝λ（c，0），
解得3a＝y(tǒng)1，
此時，
因為，
所以，
解得|AF1|+|AF2|＝4c，
易知|AF1|﹣|AF2|＝2a，
所以|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a，
因為
，
又x1＞a，
所以，
則，
因為|AF2|＝2c﹣a，
所以，x1＝2a，
即A（2a，3a），
因為點A在雙曲線上，
所以，
解得，
則雙曲線C的離心率為．
故答案為：2．
14．（2010 連云港模擬）直線x+2y﹣2＝0經過橢圓1（a＞b＞0）的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于　　 ．
【解答】解：由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x+2y﹣2＝0與x軸、y軸的交點分別為（2，0）、（0，1），它們分別是橢圓的焦點與頂點，∴b＝1，c＝2，
∴a，e．
故答案為
四．解答題（共5小題）
15．（2025 南通校級模擬）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，經過點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若等腰直角三角形ABC的三個頂點均在雙曲線C上，求△ABC面積的最小值．
【解答】解：（1）設雙曲線C的焦距為2c，
因為雙曲線的離心率為，
所以，c2＝a2+b2，
解得a＝b，
因為雙曲線經過點，
所以，
則雙曲線C的方程為x2﹣y2＝1；
（2）若等腰直角三角形ABC的三個頂點均在雙曲線C上，
設A（x0，y0）為等腰直角三角形的直角頂點，
易知直線AB的斜率存在，
設直線AB的斜率為k（k＞0且k≠1），
此時直線AC的斜率為，
聯(lián)立，消去y并整理得，
此時，
所以，
即，
可得ky0≠x0，
因為，
所以，
則，
同理得，
因為△ABC為等腰直角三角形，
所以|AB|＝|AC|，
所以|ky0﹣x0|＝|y0+kx0|，
對等式兩邊平方可得，
因為，
所以，
此時
，
令，k∈（0，1）∪（1，+∞），
此時，
設f（t）＝2t﹣8t3，，
可得f′（t）＝2（1+2t）（1﹣2t），
當時，f′（t）＞0，f（t）單調遞增；
當時，f′（t）＜0，f（t）單調遞減，
所以，
所以，
當且僅當時，等號成立，
當時，
由，
可得，無解，
同理得時無解，
當時，Δ＞0．
故△ABC面積的最小值為．
16．（2024秋 南京期末）已知橢圓長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為且過F2的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．
【解答】解：（1）由題意可知：2a＝4，則a＝2，
∵，∴，∴，
∴橢圓；
（2）由已知可得：，，
∴直線l：，
聯(lián)立方程組，消去y得，
解得x＝0或，所以P（0，1），，
所以，
又點F1到直線PQ的距離，
∴．
17．（2024秋 邗江區(qū)校級月考）已知⊙C的圓心在直線3x﹣y﹣3＝0上，點C在y軸右側且到y(tǒng)軸的距離為1，⊙C被直線l：x﹣y+3＝0截得的弦長為2．
（1）求⊙C的方程；
（2）設點D在⊙C上運動，且點T滿足，（O為原點）記點T的軌跡為E．
①求曲線E的方程；
②過點M（1，0）的直線與曲線E交于A，B兩點，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）不妨設圓C的圓心C的坐標為（1，b），
因為圓C的圓心C在直線3x﹣y﹣3＝0上，
所以3﹣b﹣3＝0，
解得b＝0，
則圓心為（1，0），
而圓心到直線l的距離為，
不妨設圓C的半徑為r，
易知弦長為2，
解得r2＝9，
所以圓C的標準方程為（x﹣1）2+y2＝9；
（2）①不妨設T（x，y），D（x′，y′），
易知，
此時，
可知，
解得，
因為D在圓C上運動，（3x﹣1）2+（3y）2＝9，
整理得點T的軌跡方程E為；
②當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB，
當直線AB斜率存在時，不妨設直線AB的方程為y＝k（x﹣1），
聯(lián)立，消去y并整理得，
此時，
不妨設N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由韋達定理得，
若x軸平分∠ANB，
此時kAN+kBN＝0，
所以，
因為y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
所以2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，
可得，
整理得，
即，
解得，
則當時，能使x軸平分∠ANB．
18．（2025 江蘇校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，設點P（x，y），若點Q滿足，其中M（m，n）為定點，則稱點Q是點P關于點M的“λ相關點”．
（1）已知點A（1，0），B（0，1），若點C是點A關于點B的“λ相關點”，且，求λ的值．
（2）已知圓O：x2+y2＝1，點M（2，0），點P是圓O上的動點，點Q是點P關于點M的“λ相關點”，若點Q的軌跡與圓O有公共點，求正數(shù)λ的取值范圍．
【解答】解：（1）因為點C是點A關于點B的“λ相關點”，
所以，，
結合A（1，0），B（0，1），可得，即C（λ，1﹣λ）．
由，可得cos∠AOC，
結合，，λ，可得，
兩邊平方，化簡得2λ2＝λ2+（1﹣λ）2，即2λ2＝λ2+1﹣2λ+λ2，解得．
（2）設P（x0，y0），可得，
若點Q是點P關于點M（2，0）的“λ相關點”，則，，
可得，即Q（λx0+2（1﹣λ），λy0）．
設Q（x，y），則，可得．
結合，化簡得，即[x﹣2（1﹣λ）]2+y2＝λ2．
因為點Q的軌跡與圓O有公共點，所以兩圓的圓心距d滿足||λ|﹣1|≤d≤|λ|+1，
可得，即||λ|﹣1|≤2|1﹣λ|≤|λ|+1．
平方化簡得（|λ|﹣1）2≤4（1﹣λ）2≤λ2+2|λ|+1，
結合λ＞0，整理得3λ2﹣10λ+3≤0，解得，可知原不等式的解集為．
綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍是．
19．（2025 秦淮區(qū)校級二模）已知點F（1，0）和直線l：x＝2，點P到l的距離d|PF|，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點Q（2，0）作斜率不為0的直線與曲線E交于A，B不同的兩點，再過點F（1，0）作直線AB的平行線與曲線E交于不同的兩點C，D．
①證明：為定值；
②求△QCD面積的取值范圍．
【解答】解：（1）設點P（x，y），因為點P到l的距離d|PF|，
所以|x﹣2|，即（x﹣2）2＝2[（x﹣1）2+y2]，
整理得：x2+2y2＝2；
（2）①證明：設直線AB：x＝my+2，則直線CD：x＝my+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
聯(lián)立直線AB和曲線E方程，得（m2+2）y2+4my+2＝0，
故y1+y2，y1y2，
且Δ＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，得m2＞2，
聯(lián)立直線CD和曲線E方程，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
得y3+y4，y3y4，
2，故為定值2；
②由①，△QCD面積S|FQ||y3﹣y4|1
，
因為m2＞2，所以y∈（，+∞），
所以S∈（0，）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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