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【江蘇省各地區(qū)真題匯編】函數(shù)應(yīng)用考前專(zhuān)題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
一．選擇題（共8小題）
1．（2025春 廣陵區(qū)校級(jí)期中）下列區(qū)間中包含函數(shù)y＝x3+3x﹣5的零點(diǎn)的是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）
2．（2025春 南京校級(jí)期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次計(jì)算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，則該近似解所在的區(qū)間可以是（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.625）
C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）
3．（2024秋 蘇州期末）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），則f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 徐州校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x），若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣||恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
5．（2025春 南通校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　　）
A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）
6．（2025春 廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）﹣k，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．f（x）的值域?yàn)椋ī?，+∞）
B．若g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，則k＝0或k＝1
C．若g（x）的3個(gè)零點(diǎn)分別為：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），則x1x2x3的取值范圍為（2，3）
D．若g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，則k＜0或k＞1
7．（2025春 高郵市月考）已知函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣2ax，若函數(shù)g（x）有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 江蘇三模）已知四點(diǎn)均在函數(shù)f（x）＝log2的圖象上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積是（　　）
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 金壇區(qū)校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．存在實(shí)數(shù)x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3有唯一正實(shí)數(shù)解
C．方程f（x）＝﹣1有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解
D．f（x）＝1有負(fù)實(shí)數(shù)解
（多選）10．（2025春 邗江區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．方程的解在（1，2）內(nèi)
B．函數(shù)f（x）＝x2﹣x﹣6的零點(diǎn)是（3，0），（﹣2，0）
C．函數(shù)y＝2x﹣x2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
D．用二分法求函數(shù)f（x）＝3x+3x﹣8在區(qū)間（1，2）內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，則零點(diǎn)近似值在區(qū)間（1.25，1.5）上
（多選）11．（2025春 南京校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），將y＝f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若g（x）為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．y＝f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B．f（x）在上單調(diào)遞減
C．的解集為
D．方程在上有且只有三個(gè)相異實(shí)根
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 常州期末）若函數(shù)f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為 　 　 ．
13．（2023春 蘇州校級(jí)月考）已知函數(shù)若k＝0，則不等式f（x）＜2的解集為 　 　 ；若f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為 　 　 ．
14．（2025 江蘇校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的個(gè)數(shù)是 　 　 ．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，一個(gè)直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒欲通過(guò)該直角走廊，求：
（1）鐵棒長(zhǎng)度L（用含θ的表達(dá)式表示）；
（2）當(dāng)a＝b＝2米時(shí)，能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值．
16．（2025春 鹽城期中）設(shè)函數(shù)（y＞0）．
（1）若f（3，y）＝a0且a2＝27，求；
（2）當(dāng)m＝﹣3時(shí)，求f（6，y）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，設(shè)n是正整數(shù)，t為正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足f（n，1）＝mnf（n，t），求證：．
17．（2023春 江蘇校級(jí)期中）如圖，有一塊空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)度假區(qū)，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上方便建造景觀，剩下的△OBN地帶開(kāi)設(shè)兒童游樂(lè)場(chǎng)．為安全起見(jiàn)，需在△OAN的周?chē)惭b防護(hù)網(wǎng)．設(shè)∠AOM＝θ，
（1）當(dāng)時(shí)，求θ的值，并求此時(shí)防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；
（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，求：△OMN面積的最小值．
18．（2024秋 阜寧縣期末）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函數(shù)g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程2g（|lnx|）4m﹣2＝0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
19．（2024秋 蘇州期末）已知函數(shù)f（x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）（a＞0且a≠1）．請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．解答下面的問(wèn)題．
條件①：f（x）+f（﹣x）＝0；條件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)a＝2時(shí)，判斷函數(shù)g（x）＝f（x）+xm+1在區(qū)間（﹣1，0）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）已知x∈（0，1），若f（x）＞2，當(dāng)且僅當(dāng)，求實(shí)數(shù)a，n的值．
【江蘇省各地區(qū)真題匯編】函數(shù)應(yīng)用考前專(zhuān)題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A D D D B
二．多選題（共3小題）
題號(hào) 9 10 11
答案 ABC AD ACD
一．選擇題（共8小題）
1．（2025春 廣陵區(qū)校級(jí)期中）下列區(qū)間中包含函數(shù)y＝x3+3x﹣5的零點(diǎn)的是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）
【解答】解：設(shè)f（x）＝x3+3x﹣5，則該函數(shù)的定義域?yàn)镽，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3、y＝3x﹣5在R上均為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)閒（0）＝﹣5＜0，f（1）＝1+3﹣5＝﹣1＜0，
f（2）＝8+6﹣5＝9＞0，則f（1） f（2）＜0，
由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)y＝x3+3x﹣5的零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
故選：C．
2．（2025春 南京校級(jí)期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次計(jì)算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，則該近似解所在的區(qū)間可以是（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.625）
C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）
【解答】解：f（x）＝lnx+2x﹣4，且f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，
則由二分法可得近似解所在的區(qū)間為（1.625，1.75）．
故選：C．
3．（2024秋 蘇州期末）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），則f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，該函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
根據(jù)題意可知0＜x1＜1＜x3，
根據(jù)f（x1）＝f（x3），可得，
所以，
由于0＜x1＜1＜x3，那么x1﹣x3＜0，因此x1x3＝1，
由于f（x1）＝g（x2），那么，
因此
，
由于0＜x1＜1，y＝﹣x1，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
因此在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，當(dāng)x1∈（0，1）時(shí)，函數(shù)，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
因此f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值為．
故選：C．
4．（2025 徐州校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x），若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣||恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：先證明：y＝ex在x＝0處切線方程為y＝x+1，且整個(gè)函數(shù)圖象都在切線上方．
因?yàn)椋?br/>所以切線方程為y﹣e0＝1（x﹣0），
即為y＝x+1．
令u（x）＝ex﹣x﹣1，u′（x）＝ex﹣1，
當(dāng)x＜0時(shí)，u′（x）＜0，u（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，u′（x）＞0，u（x）單調(diào)遞增，
所以u(píng)（x）≥u（x）min＝u（0）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)．
所以ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1；
再證明：y＝lnx在x＝1處切線方程為y＝x﹣1，且整個(gè)函數(shù)圖象都在切線下方．
因?yàn)椋?br/>所以切線方程為y﹣ln1＝1（x﹣1），即為y＝x﹣1，
令v（x）＝lnx﹣（x﹣1），則，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，v′（x）＞0，v（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，v′（x）＜0，v（x）單調(diào)遞增，
所以v（x）≤v（x）max＝v（1）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．
即lnx﹣（x﹣1）≤0，即lnx≤x﹣1，
根據(jù)上述結(jié)論，在下面的討論中可以采用數(shù)形結(jié)合方式研究函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)的條件．
設(shè)g（x）＝0，
即 ，
當(dāng)x＞0時(shí)：方程化簡(jiǎn)為 ，
即|lnx|＝|x﹣k|，即lnx＝x﹣k和lnx＝k﹣x．
分情況討論：
當(dāng)k＞1時(shí)，方程|lnx|＝|x﹣k|在x＞0時(shí)有3個(gè)解；
（分別來(lái)自lnx＝x﹣k（兩個(gè)）、lnx＝k﹣x（一個(gè)））．
當(dāng)k＝1時(shí)，lnx＝x﹣1和lnx＝1﹣x的解都是x＝1．
當(dāng)k＜1時(shí)，方程在x＞0時(shí)僅有1個(gè)解（來(lái)自lnx＝k﹣x）．
當(dāng)x＜0時(shí)，方程化簡(jiǎn)為，
即ex＝|x﹣k|，
即ex＝x﹣k和ex＝k﹣x．
分情況討論：
當(dāng)k＜﹣1時(shí)，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x各有1個(gè)解．
當(dāng)﹣1≤k＜0時(shí)，方程ex＝x﹣k無(wú)解，ex＝k﹣x有一個(gè)解．
當(dāng)0≤k＜1時(shí)，方程ex＝x﹣k無(wú)解，ex＝k﹣x有1個(gè)解．
當(dāng)k≥1時(shí)，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x都沒(méi)有解．
綜上，當(dāng)k＞1，x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，
此時(shí)共有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k＜﹣1，x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)總有3個(gè)零點(diǎn)；
其他區(qū)間：g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不足3個(gè)，不符合條件．
故選：A．
5．（2025春 南通校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　　）
A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sincosωx2sin（），
函數(shù)f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
就是sin（）在[0，]上有且僅有三個(gè)解，則2k或2kπ；
∴，解得．
故選：D．
6．（2025春 廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）﹣k，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．f（x）的值域?yàn)椋ī?，+∞）
B．若g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，則k＝0或k＝1
C．若g（x）的3個(gè)零點(diǎn)分別為：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），則x1x2x3的取值范圍為（2，3）
D．若g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，則k＜0或k＞1
【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
對(duì)于A，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）∈[0，+∞），
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）∈（﹣1，1），
所以f（x）的值域?yàn)椋ī?，+∞），故A正確；
令g（x）＝f（x）﹣k＝0，
則f（x）＝k，
對(duì)于B，若g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）的圖象與y＝k有兩個(gè)交點(diǎn)，
則k＝0或k＝1，故B正確；
對(duì)于C，若g（x）的3個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）的圖象與y＝k有三個(gè)交點(diǎn)，則0＜k＜1，
因?yàn)閤1＜x2＜x3，
所以0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜3，
且，
則x1x2＝1，x1x2x3＝x3＝3﹣log2（k+1）∈（2，3），故C正確；
對(duì)于D，若g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）的圖象與y＝k有一個(gè)交點(diǎn)，
則﹣1＜k＜0或k＞1，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
7．（2025春 高郵市月考）已知函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣2ax，若函數(shù)g（x）有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，可知：
①當(dāng)x＝0時(shí)，g（0）＝f（0）﹣0＝0，
故x＝0為g（x）的1個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)x≠0時(shí)，
由g（x）＝f（x）﹣2ax＝0，
可得2a，
即y＝2a與有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時(shí)，，
設(shè)，x＞0，
則，
令h′（x）＝0，得x，
則函數(shù)h（x）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
作出的圖象，如圖所示：
則必有，解得．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，）．
故選：D．
8．（2025 江蘇三模）已知四點(diǎn)均在函數(shù)f（x）＝log2的圖象上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝log2，
由f（2）＝1可得，∴a＝b+2，
由f（）＝0可得，∴a＝1，
解得：a＝4，b＝2，
∴f（x），
設(shè)點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題意可知，則，∴，
由f（x2）﹣f（x1）＝1得：，
∴，
∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4，
又∵點(diǎn)C不與B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3），
∴，，
故平行四邊形ABCD的面積S＝||，
故選：B．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 金壇區(qū)校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．存在實(shí)數(shù)x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3有唯一正實(shí)數(shù)解
C．方程f（x）＝﹣1有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解
D．f（x）＝1有負(fù)實(shí)數(shù)解
【解答】解：由題意可知，函數(shù)，
f'（x）x2﹣4x+2（3x﹣2）（x﹣2），
對(duì)于A，當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）＝f'（x）＝0，故正確；
令x3﹣2x2+2xx2﹣4x+2，
因?yàn)閒'（x）（3x﹣2）（x﹣2），
所以當(dāng)x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（，2）時(shí)，f'（x）＜0，
所以函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2），
如圖所示：
所以f（x）極大值＝f（），f（x）極小值＝f（2）＝0，
所以方程f（x）＝3有唯一正實(shí)數(shù)解，故B正確；
方程f（x）＝﹣1有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解，故C正確；
f（x）＝1有唯一正數(shù)解，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
（多選）10．（2025春 邗江區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．方程的解在（1，2）內(nèi)
B．函數(shù)f（x）＝x2﹣x﹣6的零點(diǎn)是（3，0），（﹣2，0）
C．函數(shù)y＝2x﹣x2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
D．用二分法求函數(shù)f（x）＝3x+3x﹣8在區(qū)間（1，2）內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，則零點(diǎn)近似值在區(qū)間（1.25，1.5）上
【解答】解：對(duì)于A，設(shè)，易知函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，
又，
則函數(shù)g（x）在（1，2）上存在零點(diǎn)，即方程的解在（1，2）內(nèi)，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，零點(diǎn)不是點(diǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，作出函數(shù)y＝2x和y＝x2的圖象如下所示，
由圖象可知，函數(shù)y＝2x﹣x2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)f（x）＝3x+3x﹣8在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理可得，零點(diǎn)近似值在區(qū)間（1.25，1.5）上，選項(xiàng)D正確．
故選：AD．
（多選）11．（2025春 南京校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），將y＝f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若g（x）為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．y＝f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B．f（x）在上單調(diào)遞減
C．的解集為
D．方程在上有且只有三個(gè)相異實(shí)根
【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得sin（ωxω+φ），
然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），
可得，
因?yàn)間（x）的最小正周期為，所以，解得ω＝2，
即，
因?yàn)間（x）為偶函數(shù)，
所以，
解得，
又因?yàn)?＜φ＜π，當(dāng)k＝﹣1時(shí)，可得，
所以，
．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
所以y＝f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx在[，]上單調(diào)遞減，在（，]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，cos4x，
即，
解得，
所以的解集為，故C正確；
對(duì)于D，由，得，
即，
所以（sin2xcos2x），
即，
所以，解得，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以方程在上有3個(gè)相異實(shí)根，故D錯(cuò)誤．
故選：ACD．
三．填空題（共3小題）
12．（2024秋 常州期末）若函數(shù)f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為 　2　 ．
【解答】解：因?yàn)閒（﹣x）＝ax2﹣cosx+a﹣1＝f（x），
所以函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在（﹣1，1）上的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn)，
又因?yàn)楹瘮?shù)在（﹣1，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
所在此零點(diǎn)必為x＝0，
所以f（0）＝﹣1+a﹣1＝0，
解得a＝2．
故答案為：2．
13．（2023春 蘇州校級(jí)月考）已知函數(shù)若k＝0，則不等式f（x）＜2的解集為 　（﹣1，ln2）　 ；若f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為 　（e，+∞）　 ．
【解答】解：k＝0時(shí)，f（x），
f（x）＜2等價(jià)為或，
解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，
所以﹣1＜x＜ln2；
由f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)為ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的實(shí)根的個(gè)數(shù)的和為2．
當(dāng)k＝0時(shí)，ex＝kx（x≥0）的解的個(gè)數(shù)為0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的實(shí)根的個(gè)數(shù)為0，不符題意；
當(dāng)k＜0時(shí)，ex＝kx（x≥0）無(wú)解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的實(shí)根的個(gè)數(shù)為1，不符合題意；
當(dāng)k＞0時(shí)，kx2﹣x+1＝0（x＜0）沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
則ex＝kx（x≥0）有兩解，
設(shè)g（x）（x＞0），g′（x），
可得g（x）在（1，+∞）遞增，在（0，1）遞減，可得g（x）的最小值為g（1）＝e，
當(dāng)k＞e時(shí)，y＝g（x）與y＝k有兩個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：（﹣1，ln2）；（e，+∞）．
14．（2025 江蘇校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的個(gè)數(shù)是 　5　 ．
【解答】解：因?yàn)閇f（x）]2﹣3f（x）+2＝0，
即[f（x）﹣1][f（x）﹣2]＝0，
解得f（x）＝1或2，
當(dāng)f（x）＝1時(shí)，
若x≤0，則8x+1＝1，無(wú)解；
若x＞0，|log6x|＝1，故log6x＝1或log6x＝﹣1，
解得x＝6或，
當(dāng)f（x）＝2時(shí)，若x≤0，則8x+1＝2，解得x＝0，
若x＞0，|log6x|＝2，故log6x＝2或log6x＝﹣2，
解得x＝36或，
所以方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的個(gè)數(shù)有5個(gè)．
故答案為：5．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，一個(gè)直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒欲通過(guò)該直角走廊，求：
（1）鐵棒長(zhǎng)度L（用含θ的表達(dá)式表示）；
（2）當(dāng)a＝b＝2米時(shí)，能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值．
【解答】解：（1）由圖形可得L（0＜θ）；
（2）當(dāng)a＝b＝2米時(shí)，L，
設(shè)t＝sinθ+cosθsin（θ），
由0＜θ，可得θ，即有sin（θ）≤1，
則1＜t．
又t2＝1+2sinθcosθ，即有sinθcosθ，
則L，
由y＝t在t∈（1，]上遞增，可得t，即θ時(shí)，ymax＝4，
所以能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值為4．
16．（2025春 鹽城期中）設(shè)函數(shù)（y＞0）．
（1）若f（3，y）＝a0且a2＝27，求；
（2）當(dāng)m＝﹣3時(shí)，求f（6，y）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，設(shè)n是正整數(shù)，t為正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足f（n，1）＝mnf（n，t），求證：．
【解答】解：（1）由題可得．
所以，
則m2＝9，
故m＝±3，
令y＝1可得各項(xiàng)系數(shù)之和為64或﹣8；
（2）當(dāng)m＝﹣3時(shí)，，
其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，r＝0，1，2，…，6，
設(shè)展開(kāi)式的系數(shù)為，r＝0，1，2，…，6，
r為偶數(shù)時(shí)系數(shù)為正，r為奇數(shù)時(shí)系數(shù)為負(fù)，
又a0＝1，a215×9＝135，a415×81＝1215，a61×729＝729，
所以f（6，y）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5＝1215y﹣4；
（3）證明：由f（n，1）＝mnf（n，t），
可得（1+m）n，
即1+m，
所以m，
所以f（2025，1000）＝（1）2025
＝（1）2025
＞1
＞1+2
＝7，
而7f（﹣2025，t）＝777，
所以原不等式成立．
17．（2023春 江蘇校級(jí)期中）如圖，有一塊空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)度假區(qū)，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上方便建造景觀，剩下的△OBN地帶開(kāi)設(shè)兒童游樂(lè)場(chǎng)．為安全起見(jiàn)，需在△OAN的周?chē)惭b防護(hù)網(wǎng)．設(shè)∠AOM＝θ，
（1）當(dāng)時(shí)，求θ的值，并求此時(shí)防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；
（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，求：△OMN面積的最小值．
【解答】解：（1）因?yàn)榭盏亍鱋AB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°，
所以，AB＝6km，又，
所以根據(jù)余弦定理可求出，
又，即，
所以，又∠AOM為銳角，所以∠AOM＝θ＝30°，
所以∠AON＝∠AOM+∠MON＝60°＝∠A，
所以△OAN是等邊三角形，
所以△OAN的周長(zhǎng)＝3OA＝9km，即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為9km．
（2）設(shè)∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°），則∠AON＝θ+30°，∠OMA＝120°﹣θ，∠ONA＝90°﹣θ．
則，
所以，所以，
又，即，所以，
所以
，
當(dāng)2θ+60°＝90°，即θ＝15°時(shí)，△OMN的面積取得最小為．
18．（2024秋 阜寧縣期末）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函數(shù)g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程2g（|lnx|）4m﹣2＝0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，
所以f（﹣x）+2f（x）＝3x2﹣2x+3，
故聯(lián)立上述方程組，解得f（x）＝x2﹣2x+1．
（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣2x+1，．
因?yàn)椴坏仁絞（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，
所以在x∈[4，8]上恒成立，
設(shè)t＝log2x，則t∈[2，3]，所以在t∈[2，3]上恒成立，
所以，在t∈[2，3]上恒成立，
因?yàn)閞∈[2，3]，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以在r∈[2，3]上恒成立，則，
所以k的取值范圍是．
（3）方程等價(jià)于2lnx，
即2|lnx|2﹣（4m+6）|lnx|+6m﹣5＝0，|lnx|≠0，
令|lnx|＝t，則2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），
因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），有兩個(gè)不同的正根t1t2，
記h（t）＝2t2﹣（4m+6）t+（6m＝5），所以，．
綜上，m的取值范圍為{m|}．
19．（2024秋 蘇州期末）已知函數(shù)f（x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）（a＞0且a≠1）．請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．解答下面的問(wèn)題．
條件①：f（x）+f（﹣x）＝0；條件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)a＝2時(shí)，判斷函數(shù)g（x）＝f（x）+xm+1在區(qū)間（﹣1，0）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）已知x∈（0，1），若f（x）＞2，當(dāng)且僅當(dāng)，求實(shí)數(shù)a，n的值．
【解答】解：（1）如果選①，由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），
那么根據(jù)f（x）+f（﹣x）＝0，
得f（x）+f（﹣x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）+loga（1+x）+mloga（1﹣x）
，
對(duì)于任意x∈（﹣1，1）都成立，因此m＝﹣1；
如果選②，由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），
那么根據(jù)f（x）﹣f（﹣x）＝0，
得f（x）﹣f（﹣x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）﹣loga（1+x）﹣mloga（1﹣x）
，
對(duì)于任意x∈（﹣1，1）都成立，因此m＝1．
（2）如果選①，當(dāng)a＝2時(shí)，．
由于函數(shù)在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞減，
且函數(shù)y1＝log2μ在定義域上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞減，
又由于在定義域上單調(diào)遞減，
因此在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞減．
又由于函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不間斷，
且，，那么，
因此函數(shù)g（x）在（﹣1，0）上有唯一的零點(diǎn)．
如果選②，當(dāng)a＝2時(shí)，．
由于函數(shù)μ＝1﹣x2在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，
函數(shù)y1＝log2μ在定義域上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞增，
又由于函數(shù)y2＝x+1在定義域上單調(diào)遞增，
因此在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞增．
又由于函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不間斷，
且，，
因此函數(shù)g（x）在（﹣1，0）上有唯一的零點(diǎn)．
（3）如果選①，由于x∈（0，1），如果f（x）＞2，
當(dāng)且僅當(dāng)，因此f（x）＞2在區(qū)間（0，1）上的解集為，且．
根據(jù)第一問(wèn)知函數(shù)，
如果a＞1，那么，無(wú)解，因此舍去．
如果0＜a＜1，那么，解得，
因此，那么，解得n＝1，，
如果選②，由于x∈（0，1），如果函數(shù)f（x）＞2，當(dāng)且僅當(dāng)，
因此f（x）＞2在區(qū)間（0，1）上的解集為，且．
由（1）知，
若a＞1，則1﹣x2＞a2＞1，無(wú)解，舍去．
若0＜a＜1，則0＜1﹣x2＜a2，所以1﹣a2＜x2＜1，
所以，所以，則，
解得，n＝1．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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