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第十一章 不等式與不等式組
11.2 一元一次不等式
（第1課時）
1．通過類比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法．
2．在依據不等式的性質探究一元一次不等式的解法過程中，加深對化歸思想和類比思想的體會．
請說一說不等式的三條性質，并用符號語言表示出來
性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．
如果a＞b，那么a±c＞b±c
性質2 :不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.
性質3 :不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (或＞)
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或＜)
不等式有多種類型．與學習了方程后重點研究一元一次方程類似，本節我們研究一類簡單的不等式，探索它的解法.
思考：觀察下面的不等式：
x－7＞26，3x＜2x＋1， x＞50，－4x＞3.
它們有哪些共同特征？
1.只含有一個未知數；
2.未知數的次數是 1；
3.不等式的左右兩邊都是整式．
你能給出這種形式的不等式的定義嗎？
一元一次不等式
類比一元一次方程的定義，你能給出一元一次不等式的定義嗎？
只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式．
特點：
（1）不等號的兩邊都是整式；
（2）只含一個未知數；
（3）含未知數的項的次數是1．
探究：利用不等式的性質解不等式 x－7＞26．
　　解：根據不等式的性質 1，不等式兩邊都加 7，不等號的方向不變，所以
x－7＋7＞26＋7，
x＞33．
　　所以這個不等式的解集是 x＞33．
x＞26＋7
移項
解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變號后移到另一邊，而不改變不等號的方向．
想一想：解一元一次方程的依據和一般步驟是什么？
依據：等式的性質．
步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為 1．
一般地，利用不等式的性質，采取與解一元一次方程相類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集．
例1：解下列不等式，并在數軸上表示解集：
（1）3（x1）＜ x2 （2）
系數化為1，得
x＜
這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示.
解：（1）去括號，得
3x3＜x2
移項，得
3xx＜2+3
合并同類項，得
2x＜1
例1：解下列不等式，并在數軸上表示解集：
（1）3（x1）＜ x2 （2）
解：（2）去分母，得
3(x5)＋24≥2(5x＋1)
去括號，得
3x15＋24≥10x＋2
移項，得
3x10x≥2＋1524
合并同類項，得
x≥
系數化為1，得
x≤1
這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示.
　　解一元一次不等式的一般步驟：
　　去分母：在不等式兩邊乘各分母的最小公倍數；
　　去括號：把所有因式去括號展開；
　　移項：把含未知數的項移到不等號左邊，常數項移到不等號右邊；
　　合并同類項：化為 ax＞b（或 ax＜b）的形式（其中 a≠0）；
　　系數化為 1：不等式兩邊都除以 a，得到不等式的解集．
　　對比第（1）題和第（2）題的解題過程，系數化為 1 時應注意些什么？
　　要看未知數系數的符號，若未知數的系數是正數，則不等號的方向不變；若未知數系數是負數，則不等號的方向要改變．
思考：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟和依據有什么類似之處？
解一元一次方程，要依據等式的性質，將方程逐步化為x=m的形式；
而解一元一次不等式，則要依據不等式的性質，將不等式逐步化為xm(x≥m)的形式.
【知識技能類練習】必做題：
1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知識技能類練習】必做題：
2．定義一種運算：，則不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
D
【知識技能類練習】必做題：
3．解不等式，并把解集在數軸上表示出來．
解：去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：，
這個不等式的解集在數軸表示為：
【知識技能類練習】選做題：
4．解不等式：，并寫出最大整數解．
解：去分母得，，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：，
故不等式最大的整數解為0．
【綜合拓展類練習】
5．已知x，y滿足關系式．
(1)當時，求y的值；
(2)若x，y滿足，求y的取值范圍；
(3)若x，y滿足，且，求k的取值范圍．
解：（1）當時，可得，
解得；
（2）將變形為，
把代入，可得，
解得；
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的概念
一元一次不等式的解法
【知識技能類作業】必做題：
1．下列各式是一元一次不等式的有（ ）個
（1）； （2）；
（3）； （4）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【知識技能類作業】必做題：
2．不等式的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知識技能類作業】必做題：
3．解不等式：，并將解集表示在數軸上
解：去括號，得：
移項，得：
合并同類項，得：
系數化為1，得：，
這個不等式的解集在數軸表示為：
【知識技能類作業】選做題：
4．已知關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍．
解：，
，
，
，
方程的解是正數，
，
．
即的取值范圍是．
【綜合拓展類作業】
5．定義一種新運算“”為：當時，：當時，．例如：，．
(1)填空：=__________；
(2)若，求x的值；
(3)若，求m的取值范圍．
解：（2）當，即時，
則，解得：，
當，即時，
則，
解得：不合題意，舍去，
綜上，若，的值為；
【綜合拓展類作業】
5．定義一種新運算“”為：當時，：當時，．例如：，．
(1)填空：=__________；
(2)若，求x的值；
(3)若，求m的取值范圍．
（3）當，即時，
則，解得，
當，即時，
則，
解得舍去，不合題意，
綜上，若，的取值范圍為．中小學教育資源及組卷應用平臺
同步探究學案
課題 11.2一元一次不等式（第1課時） 單元 第十一章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1．通過類比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依據不等式的性質探究一元一次不等式的解法過程中，加深對化歸思想和類比思想的體會．
重點 一元一次不等式的解法．
難點 探究并確定解一元一次不等式的步驟．
探究過程
導入新課 【引入思考】 問題：請說一說不等式的三條性質，并用符號語言表示出來。
新知探究 本節課來研究： 本節我們類比一元一次方程的概念和解法，研究一元一次不等式及其解法。 思考：觀察下面的不等式： x－7＞26，3x＜2x＋1，x＞50，－4x＞3. 它們有哪些共同特征？ 歸納：只含有_____個未知數，且含有未知數的式子都是____，未知數的次數是____的不等式，叫作一元一次不等式． 特點： （1）不等號的兩邊都是________； （2）只含____個未知數； （3）含未知數的項的次數是____． 探究：利用不等式的性質解不等式x－7＞26． 解：根據不等式的性質1，不等式兩邊都加____，不等號的方向____，所以 x－7＋7＞26＋7， 即：x＞26______（移項） x＞33． 所以這個不等式的解集是x＞33． 歸納：解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項______后移到另一邊，而不改變不等號的方向． 說一說：解一元一次方程的依據和一般步驟是什么？ 歸納：一般地，利用不等式的性質，采取與解一元一次方程相類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集． 例1：解下列不等式，并在數軸上表示解集： （1）3（x1）＜x2 （2） 歸納：解一元一次不等式的一般步驟： 去分母：在不等式兩邊乘各分母的____________； 去括號：把所有因式去括號展開； 移項：把含未知數的項移到不等號左邊，常數項移到不等號右邊； 合并同類項：化為ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）； 系數化為1：不等式兩邊都除以a，得到不等式的解集． 思考1：對比第（1）題和第（2）題的解題過程，系數化為1時應注意些什么？ 歸納：要看未知數系數的符號，若未知數的系數是正數，則不等號的方向______；若未知數系數是負數，則不等號的方向要______． 思考2：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟和依據有什么類似之處？ 歸納：解一元一次方程，要依據等式的性質，將方程逐步化為________的形式； 而解一元一次不等式，則要依據不等式的性質，將不等式逐步化為x課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 2．定義一種運算：，則不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D． 3．解不等式，并把解集在數軸上表示出來． 選做題： 4．解不等式：，并寫出最大整數解． 【綜合拓展類練習】 5．已知x，y滿足關系式． (1)當時，求y的值； (2)若x，y滿足，求y的取值范圍； (3)若x，y滿足，且，求k的取值范圍．
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．下列各式是一元一次不等式的有（）個 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式的解集在數軸上表示正確的是（） A． B．C． D． 3．解不等式：，并將解集表示在數軸上 選做題： 4．已知關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍． 【綜合拓展類作業】 5．定義一種新運算“”為：當時，：當時，．例如：，． (1)填空：=__________； (2)若，求x的值； (3)若，求m的取值范圍．
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分課時教學設計
第四課時《11.2 一元一次不等式（第1課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本課學習的內容是一元一次不等式的概念及解法．這是在研究了一元一次方程的概念和解法以及不等式的性質基礎上進行的，是學生已經學習的不等式的基本性質，不等式的解集等知識的繼續深入，也是后面學習一元一次不等式組的鋪墊，本節課內容在本章中有著承上啟下的作用，不僅是對已有知識的運用和深化，還為后續繼學習打下基礎。
學習者分析 本節課主要是通過類比一元一次方程的解法總結歸納出一元一次不等式的解法，并熟練運用不等式的性質解一元一次不等式。只有學生掌握 好了一元一次不等式的解法，才能更好學習后面的不等式組及不等式 （組）的應用。同時，學習本節課時涉及的類比思想、化歸思想和數 形結合思想對后續學習也是十分有益的，所以本課的教學不能僅僅停 留在知識的探索上，更要注重數學方法和數學思想的滲透。
教學目標 1．通過類比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依據不等式的性質探究一元一次不等式的解法過程中，加深對化歸思想和類比思想的體會．
教學重點 一元一次不等式的解法．
教學難點 探究并確定解一元一次不等式的步驟．
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1．通過類比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依據不等式的性質探究一元一次不等式的解法過程中，加深對化歸思想和類比思想的體會．學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 問題：請說一說不等式的三條性質，并用符號語言表示出來 預設：性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變． 如果a＞b，那么a±c＞b±c 性質2 :不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變. 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (或＞) 性質3 :不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變. 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或＜) 導入：不等式有多種類型．與學習了方程后重點研究一元一次方程類似，本節我們研究一類簡單的不等式，探索它的解法.學生活動2： 學生獨立思考回答活動意圖說明： 通過復習不等式的性質，并關聯一元一次方程，即鞏固基礎，為本節課學習“一元一次不等式的概念和解法”做準備．環節三：新知講解教師活動3： 思考：觀察下面的不等式： x－7＞26，3x＜2x＋1， x＞50，－4x＞3. 它們有哪些共同特征？ 預設：1.只含有一個未知數； 2.未知數的次數是 1； 3.不等式的左右兩邊都是整式． 追問1：你能給出這種形式的不等式的定義嗎？ 預設：一元一次不等式 追問2：類比一元一次方程的定義，你能給出一元一次不等式的定義嗎？ 歸納：只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式． 特點： （1）不等號的兩邊都是整式； （2）只含一個未知數； （3）含未知數的項的次數是1． 探究：利用不等式的性質解不等式 x－7＞26． 解：根據不等式的性質 1，不等式兩邊都加 7，不等號的方向不變，所以 x－7＋7＞26＋7， 即：x＞26＋7（移項） x＞33． 所以這個不等式的解集是 x＞33． 歸納：解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變號后移到另一邊，而不改變不等號的方向． 想一想：解一元一次方程的依據和一般步驟是什么？ 預設： 依據：等式的性質． 步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為 1． 歸納：一般地，利用不等式的性質，采取與解一元一次方程相類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集． 例1：解下列不等式，并在數軸上表示解集： （1）3（x1）＜ x2 （2） 解：（1）去括號，得 3x3＜x2 移項，得 3xx＜2+3 合并同類項，得 2x＜1 系數化為1，得 x＜ 這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示. （2）去分母，得 3(x5)＋24≥2(5x＋1) 去括號，得 3x15＋24≥10x＋2 移項，得 3x10x≥2＋1524 合并同類項，得 x≥ 系數化為1，得 x≤1 這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示. 歸納：解一元一次不等式的一般步驟： 去分母：在不等式兩邊乘各分母的最小公倍數； 去括號：把所有因式去括號展開； 移項：把含未知數的項移到不等號左邊，常數項移到不等號右邊； 合并同類項：化為ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）； 系數化為1：不等式兩邊都除以a，得到不等式的解集． 追問：對比第（1）題和第（2）題的解題過程，系數化為 1 時應注意些什么？ 歸納：要看未知數系數的符號，若未知數的系數是正數，則不等號的方向不變；若未知數系數是負數，則不等號的方向要改變． 思考：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟和依據有什么類似之處？ 歸納：解一元一次方程，要依據等式的性質，將方程逐步化為x=m的形式； 而解一元一次不等式，則要依據不等式的性質，將不等式逐步化為xm(x≥m)的形式.學生活動3： 學生認真觀察，類比一元一次方程的概念，說出一元一次不等式的概念。然后獨立嘗試解一元一次不等式小組交流，班內匯報，然后討論解一元一次不等式的步驟、依據及與解一元一次方程的異同。活動意圖說明： 引導學生通過觀察給出的不等式，歸納出它們的共同特征，進而得到一元一次不等式的定義，培養學生觀察、歸納的能力．類比解一元一次方程的依據和一般步驟，學生通過思考、討論，獲得解一元一次不等式的思路及步驟，并通過例題加深對一元一次不等式解法的理解，體會化歸思想和類比思想．環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：11.2 一元一次不等式（第1課時） 一、一元一次不等式的概念 二、一元一次不等式的解法 教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．定義一種運算：，則不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D． 答案：D 3．解不等式，并把解集在數軸上表示出來． 解：去括號得：， 移項得：， 合并同類項得：， 系數化為1得：， 數軸表示如下： 選做題： 4．解不等式：，并寫出最大整數解． 解：去分母得，， 移項得：， 合并同類項得：， 系數化為1得：， 故不等式最大的整數解為0． 【綜合拓展類練習】 5．已知x，y滿足關系式． (1)當時，求y的值； (2)若x，y滿足，求y的取值范圍； (3)若x，y滿足，且，求k的取值范圍． 解：（1）當時，可得， 解得； （2）將變形為， 把代入，可得， 解得； （3）， 解得， ， 解得．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．下列各式是一元一次不等式的有（ ）個 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2．不等式的解集在數軸上表示正確的是（ ） A． B．C． D． 答案：A 3．解不等式：，并將解集表示在數軸上 解：去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數化為1，得： ， 這個不等式的解集在數軸表示為： 選做題： 4．已知關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍． 解：， ， ， ， 方程的解是正數， ， ． 即的取值范圍是． 【綜合拓展類作業】 5．定義一種新運算“”為：當時，：當時，．例如：，． (1)填空：=__________； (2)若，求x的值； (3)若，求m的取值范圍． 解：（1）； 故答案為：； （2）當，即時， 則， 解得：， 當，即時， 則， 解得：不合題意，舍去， 綜上，若，的值為； （3）當，即時， 則， 解得， 當，即時， 則， 解得舍去，不合題意， 綜上，若，的取值范圍為．
教學反思 本節課的教學過程中，注重學生的學習過程，從學生已有認知出發，讓學生主動地建構其新的認知結構，提升學生的學習能力，讓學生形成良好的思維習慣。
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