資源簡介

4.1.2《三角形的三邊關系》教案
一、核心素養目標
1、能從彩燈線路、四邊形停車場等生活場景中，抽象出三角形三邊關系的幾何模型，理解 “兩點之間線段最短” 在現實中的體現。
2、經歷 “測量計算→猜想歸納→演繹證明” 的探究過程，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊的推理方法，發展歸納與演繹思維。
3、用符號語言表述三邊關系（如 a+b>c，|a-b|二、教學重難點
（一）教學重點
三角形按邊分類（不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形）及相關概念（腰、底邊、頂角、底角）。
三角形三邊關系定理（任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）的探究與應用。
（二）教學難點
三邊關系定理的靈活應用（如已知兩邊求第三邊范圍、判斷三條線段能否構成三角形）。
等腰三角形中三邊關系的特殊性（如已知兩邊求周長時的分類討論）。
三、教學方法
情境探究法、實驗操作法、問題驅動法、變式訓練法
四、教學環節
（一）新課導入（5 分鐘）
復習回顧：
提問：“三角形按角分為哪幾類？” 展示銳角、直角、鈍角三角形的圖片，學生快速回答。
追問：“除了按角分類，三角形還可以按什么標準分類？” 引出按邊分類的課題。
情境引入：
展示彩燈線路圖：“黃色彩燈線與紅色彩燈線哪根長？為什么？” 引導學生用 “兩點之間線段最短” 解釋，為三邊關系鋪墊。
（二）新課探究（25 分鐘）
探究點 1：等腰（邊）三角形及按邊分類（8 分鐘）
概念建構：
展示不同三角形圖片，指出 “有兩邊相等的三角形叫等腰三角形”，標注腰、底邊、頂角、底角。
定義等邊三角形：“三邊都相等的三角形，是特殊的等腰三角形”，辨析 “等腰三角形不一定是等邊三角形”。
分類歸納：
引導學生按邊分類：
強調：“等腰三角形的底角必為銳角，頂角可以是銳角、直角或鈍角”。
即時練習：
判斷正誤
(1) 一個鈍角三角形一定不是等腰三角形。 ( )
(2) 等邊三角形是特殊的等腰三角形。 ( )
(3) 等腰三角形一定是等邊三角形。 ( )
(4) 等腰三角形只有兩條邊相等。 ( )
(5) 三角形按邊分類可分為不等邊三角形，等腰三角形和等邊三角形。 ( )
探究點 2：三角形的三邊關系（17 分鐘）
實驗猜想：
學生測量課件中三個三角形的邊長，計算任意兩邊之和與第三邊的大小關系，填寫表格：
三角形 a+b 與 c a+c 與 b b+c 與 a
(1) > > >
歸納猜想：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。
演繹證明：
利用 “兩點之間線段最短” 證明：在△ABC 中，AB+AC>BC（BC 為線段，AB+AC 為折線）。
推導推論：“任意兩邊之差小于第三邊”（如 | a-b|應用探究：
例題：“有兩根長度分別為 5cm 和 8cm 的木棒，用長度為 2cm 的木棒與它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為 13cm 的木棒呢？”
思路：2+5=7<8（不能），5+8=13（等于，不能），強調 “兩邊之和必須嚴格大于第三邊”。
變式：“如果一根木棒能與長度分別為 5 cm 和 8 cm 的兩根木棒擺成三角形，那么它的長度取值范圍是什么？” 引導得出 8-5技巧總結：
判斷三條線段能否構成三角形的簡法：“短邊 + 短邊> 長邊” 或 “長邊 - 短邊 < 第三邊”。
（三）例題講解（8 分鐘）
例題 1：“下列長度能否組成三角形：
(1)5cm， 6cm，10cm (2)6cm，10cm，8cm
(3)2cm， 3cm， 5cm (4)4cm，9cm，4cm
例題 2：“等腰三角形兩邊為 3 和 7，求周長”
分類討論：
若腰為 3，3+3<7（不能）；
若腰為 7，7+7>3（能），周長 = 7+7+3=17，故答案為 B。
例題 3：“化簡 | a-b+c|+|b-a-c|”
分析：由三邊關系得 a+c>b，a+c>b a-b+c>0，b-a-c=b-(a+c)<0，
化簡：(a-b+c)+(-b+a+c)=2a-2b+2c。
（四）課堂練習（10 分鐘）
基礎題：
1.下列長度的三條線段能組成三角形的是（ C）。
A.3，4，8 B.5，5，11 C.5，6，10 D.5，5，10
2.現有長度分別為1cm，2cm，3cm，4cm，5cm 的五條線段，從其中選三條線段為邊可以構成_____個的不同的三角形.
3.如果三角形的兩邊長分別是 2 和 4，且第三邊是奇數，那么第三邊長為______. 若第三邊為偶數，那么三角形的周長______.
提升題：
某地有四個汽車停車場，位于如圖所示的四邊形ABCD 的四個頂點，現在要建立一個汽車維修站，你能利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”在四邊形ABCD的內部找一點P，使點 P 到 A，B，C，D 四點的距離之和最小嗎？
實際應用題：
討論：“為什么橋梁斜梁長度需滿足三邊關系？” 結合穩定性與結構安全解釋。
（五）課堂小結（2 分鐘）
知識梳理：
按邊分類：不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）。
三邊關系：任意兩邊之和 > 第三邊，任意兩邊之差 < 第三邊，應用于判斷、求值、化簡。
方法總結：
實驗歸納→邏輯證明→應用拓展的探究路徑；
分類討論與不等式思想在邊長計算中的應用。
（六）課后作業
必做題：課本 P90 隨堂練習第 1、2 題；習題 4.2 第 1、3 題。
選做題：探究 “三邊關系在四邊形對角線交點問題中的應用”（如課件中停車場選址）。
實踐題：用長度為 3cm、5cm、7cm 等小棒擺三角形，記錄能 / 不能構成的組合，驗證三邊關系。
五、板書設計
第四章 1 認識三角形（第2課時）
一、三角形按邊分類
1. 三邊都不相等的三角形
2. 等腰三角形
- 底邊≠腰的等腰三角形
- 等邊三角形（特殊等腰三角形）
二、三邊關系定理
1. 任意兩邊之和>第三邊（a+b>c, a+c>b, b+c>a）
2. 任意兩邊之差<第三邊（|a-b|三、例題解析
例：5cm、8cm木棒，第三邊x范圍：3六、教學反思
（一）成功亮點
實驗探究成效顯著：通過測量計算三邊長度，90% 學生能自主歸納三邊關系，動手操作有效降低抽象理解難度。
分類討論滲透充分：在等腰三角形邊長計算中，引導學生通過 “能否構成三角形” 進行分類，減少 “腰為 3” 等錯誤答案。
生活情境深度融合：彩燈線路、停車場選址等實例，使三邊關系的應用更具現實意義，提升學習興趣。
（二）不足改進
時間分配待優化：按邊分類講解耗時過長（10 分鐘），導致三邊關系應用練習時間緊張，需壓縮概念講解，增加 “短邊 + 短邊> 長邊” 的技巧訓練。
分層練習針對性不足：提升題中 “絕對值化簡” 部分學生理解困難，可增加 “先判斷正負再化簡” 的分步練習。
數學語言規范性欠缺：部分學生表述三邊關系時遺漏 “任意” 關鍵詞，或混淆 “兩邊之和” 與 “最長邊”，需在板書和練習中強化規范表達。
（三）改進方向
制作 “三邊關系探究” 學習單，預設測量數據表格與問題引導，提高實驗效率。
設計 “數學診所” 活動，展示 “2,3,5 能構成三角形” 等典型錯誤，讓學生辨析糾正。
課后布置 “生活中的三邊關系” 調查作業，要求拍攝實例并說明原理，深化數學與生活的聯系。

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