資源簡介

10.2　消元——解二元一次方程組 復習
　　1．能觀察方程組的系數特點，根據方程組的整體特征，選擇解決問題的最優方法．
　　2．能利用二元一次方程組解決其他的數學問題．
　　3．經歷觀察和分析選擇解決問題的最優方法的過程，培養邏輯思維能力和推理能力．
　　會對方程組的整體特征進行分析，選擇最優解決方法．
　　消元法解二元一次方程組的靈活應用．
知識回顧
　　1．消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，就可將二元一次方程組轉化為 一元一次方程 ．可以先求出一個未知數，然后再求另一個未知數．這種將未知數的個數由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想．
　　2．代入法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用 含另一個未知數 的式子表示出來，再代入另一個方程，實現 消元 ，進而求得這個二元一次方程組的解．這種方法叫作 代入消元法 ，簡稱代入法．
　　3．加減法：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數 相反 或 相等 時，把這兩個方程的兩邊分別 相加 或 相減 ，就能消去這個未知數，得到一個 一元一次方程 ，這種方法叫作加減消元法，簡稱 加減法 ．
　　4．我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何．”你能用二元一次方程組表示題中的數量關系嗎？請選擇你認為簡便的方法解決這個問題．
　　【師生活動】學生獨立完成，小組交流，對各種方法進行比較．
　　【答案】解：設籠中有雞x只、兔y只．
　　根據題意，得
　　由①，得x＝35－y．③
　　把③代入②，得2(35－y)＋4y＝94，　　解得y＝12．
　　把y＝12代入③，得x＝23．
　　所以這個方程組的解為
　　答：籠中有雞23只、兔12只．
　　【設計意圖】復習消元解二元一次方程組的相關知識，鞏固基礎，引出本節課學習的“消元解二元一次方程組的靈活應用”．
新知探究
類型一、整體思想在解方程組中的應用
　　【問題】1．用適當的方法解方程組：
　　【師生活動】教師給出分析，學生根據分析獨立思考，師生一起總結．
　　【分析】解題的關鍵是利用整體思想把x＋y和x－y分別看成整體進行消元，先求x＋y，x－y的值，再求x，y的值．
　　【答案】解：②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6．③
　　③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝．
　　把x－y＝代入①，得x＋y＝．
　　解方程組得
　　所以原方程組的解為
　　【歸納】利用整體思想解二元一次方程組的步驟
　　第1步：找準“整體”，從已知方程組中找到可以作為整體的式子；
　　第2步：正確變形，求解整體，把方程組看作以選定的“整體”為未知數的二元一次方程組，并求解；
　　第3步：求原方程組的解，此時得到的解并不是原方程組的解，需根據選擇的“整體”進一步求出原方程組中未知數的值．
　　【設計意圖】通過解答本題，讓學生知道對于解系數有規律的二元一次方程，除了常用的代入法、加減法，還可以用整體思想解二元一次方程組．
　　【問題】2．已知方程組的解為求方程組的解．
　　【師生活動】教師引導學生觀察已知方程組和所求方程組的結構特征，找出“整體”，學生小組討論，完成作答．
　　【答案】解：把(x＋2)和(y－1)分別看成整體A，B，
　　則所求的方程組可轉化為
　　因為方程組的解為
　　所以即解得
　　所以原方程組的解為
　　【設計意圖】通過解答本題，讓學生意識到，運用整體思想解二元一次方程組的前提是方程組中每一個方程都有相同結構的式子，培養學生的邏輯思維能力和推理能力．
類型二、系數成對稱關系的二元一次方程組的解法
　　【問題】3．解方程組：
　　【師生活動】教師引導學生觀察x與y的系數的關系，學生小組討論，完成作答．
　　【分析】若方程組中兩個方程的x與y的系數成對稱關系，則先把兩個方程相加和相減，轉化為關于x＋y，x－y的方程組，再利用加減消元法求解．
　　【答案】解：①＋②，得25x＋25y＝75，即x＋y＝3．③
　　②－①，得x－y＝1．④
　　將③④聯立，得解得
　　所以原方程組的解為
　　【歸納】對于系數成對稱關系的二元一次方程組，通過兩方程加減重新構造方程組解答比較簡單，也可直接用加減消元法或代入消元法求解，但過程比較煩瑣．
　　【設計意圖】通過解答本題，讓學生知道對于解未知數系數較大，且系數有規律的二元一次方程，可以通過兩方程加減重新構造方程組解答，讓學生逐步積累解二元一次方程組的經驗，提高選擇能力．
類型三、利用二元一次方程組求代數式的值
【問題】4．已知是關于x，y的二元一次方程組的解，則代數式
(a＋b)(a－b)的值為____________．
　　【師生活動】學生獨立思考作答，教師講評總結．
　　【答案】－8
　　【解析】把代入方程組，得
　　由①＋②，得a＋b＝－4．
　　由①－②，得5a－5b＝10，即a－b＝2．
　　所以(a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．
　　【歸納】已知二元一次方程組求關于未知數的式子的值時，有時不必解方程組，可將所求式子看作一個整體，利用方程組中兩個方程之間的相關運算直接求出式子的值．
　　【設計意圖】通過解答本題，讓學生學會利用二元一次方程組求代數式的值，進一步體會整體思想．
　　【問題】5．若x，y的值滿足方程組則＋＝_____，－＝_____．
　　【師生活動】學生獨立完成，一名學生板演，教師講評．
　　【答案】16　　10
　　【解析】
　　由①＋②，得＋＝80，則＋＝16．
　　由①－②，得－＝10．
類型四、同解方程組的應用
　　【問題】6．已知關于x，y的方程組和有相同的解，求(－a)b的值．
　　【師生活動】學生小組討論，嘗試解答，教師給予幫助．
　　【分析】因為兩個方程組有相同的解，所以只要將兩個方程組中不含有a，b的兩個方程聯立，組成新的方程組，求出x和y的值，再將x，y的值代入含有a，b的兩個方程中，解關于a，b的方程組即可得出a，b的值，進而可求得(－a)b的值．
　　【答案】解：因為兩方程組有相同的解，所以原方程組可化為
　　①②
　　解方程組①，得
　　代入方程組②，得解得
　　所以(－a)b＝(－2)3＝－8．
　　【問題】7．若關于x，y的方程組的解也是方程3x＋2y＝17的一個解，求m的值．
　　【師生活動】教師提示：一個二元一次方程組和一個方程同解可以理解為三個方程有相同的解．學生根據提示獨立完成，教師給出答案．
　　【答案】解：方法1：
　　①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m．
　　把y＝－2m代入①，得x－4m＝3m，所以x＝7m．
　　把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，得21m－4m＝17，解得m＝1．
　　方法2：
　　①×3－②，得2x＋7y＝0．
　　聯立2x＋7y＝0與3x＋2y＝17，得方程組
　　解這個方程組，得
　　把代入①，得7－4＝3m，解得m＝1．
　　【歸納】利用同解方程（組）求字母參數的方法
　　當幾個二元一次方程有公共解或兩個二元一次方程組同解時，可利用兩個不含有字母參數或通過運算可將字母參數消去的二元一次方程組成新的方程組，并求出新方程組的解，然后利用這個解得到關于字母參數的方程（組），解方程（組）進而求得字母參數的值．
　　【設計意圖】通過解答6～7題，讓學生知道如何用同解方程求字母參數．
類型五、有關二元一次方程組的新題型
　　【問題】8．定義一種運算“◎”，規定x◎y＝ax－by，a，b為常數，且2◎3＝6，4◎2＝8，則a＋b的值是__________．
　　【師生活動】師生一起分析題目，完成作答．
　　【答案】
　　【解析】因為x◎y＝ax－by．
所以2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，即
解得
　　所以a＋b＝．
　　【設計意圖】通過對此題進行解答，讓學生知道解有關二元一次方程組的新題型的一般步驟：先弄清題目所給的解題方法，再按照題目所給的方法進行解題．
課堂小結
課后任務
　　完成教材第99頁習題10.2第1～6題．

展開更多......

收起↑