資源簡介

10.1　二元一次方程組的概念
　　1．經歷列方程的過程，了解二元一次方程（組）的概念．
　　2．知道二元一次方程（組）的解的概念，會檢驗一組值是不是某個二元一次方程（組）的解．
　　3．通過實例認識二元一次方程（組）是反應數量關系的重要數學模型，能設兩個未知數并列方程組表示實際問題中的兩種相等關系，提高學生分析問題、解決問題的能力．
　　二元一次方程（組）及二元一次方程（組）的解的概念．
　　理解二元一次方程組的解的概念，知道二元一次方程有無數個解．
新課導入
　　新疆是我國棉花的主要產地之一．近年來，機械化采棉已經成為新疆棉采摘的主要方式．某種棉大戶租用6臺大、小兩種型號的采棉機，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉機1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺？
　　【師生活動】教師提問：你能用已學過的一元一次方程的知識解決問題嗎？
　　學生先獨立思考，再小組討論，得出答案：設這個種棉大戶租用了x臺大型采棉機，則租用（6-x）臺小型采棉機．所以2x+(6-x)＝8．
　　教師追問：能不能根據題意直接設兩個未知數，使列方程變得容易呢？
【設計意圖】以問題的形式創設情景，第1個問題讓學生體會利用一元一次方程是解決實際問題的數學模型，從而回顧一元一次方程的概念；第2個問題的目的是引出本節課學習的“二元一次方程”，滲透方程模型的通用性，激發學生的學習興趣．
新知探究
一、探究學習
　　【問題】如何設兩個未知數，列方程解決上面的問題？
　　【師生活動】教師引導學生找出題中的兩個未知量：大型采棉機和小型采棉機的臺數．
　　小組分析討論，找出題中包含的兩個必須同時滿足的相等關系：大型采棉機臺數＋小型采棉機臺數＝總臺數，大型采棉機1 h采摘面積＋小型采棉機1 h采摘面積＝1 h采摘總面積．
　　師生一起設未知數，列方程．
【答案】解：設這個種棉大戶租用了x臺大型采棉機， y臺小型采棉機．
　　由題意，得x＋y＝6，2x＋y＝8．
　　【思考】這兩個方程有什么特點？與一元一次方程有什么不同？
　　【師生活動】學生自由發言，教師進行補充總結：（1）有兩個未知數；（2）含有未知數的項的次數都是1；（3）含有未知數的式子都是整式．
　　【設計意圖】從實際問題出發，引導學生列出多元方程，對比一元一次方程進而認識二元一次方程，實現對方程從一元到多元的認識．
　　【思考】只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程．
　　你能類比一元一次方程的定義，給二元一次方程下個定義嗎？
　　【師生活動】學生小組討論，師生一起總結．
　　【新知】二元一次方程：
　　每個方程都含有兩個未知數（x和y），且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程．
　　上面的問題中包含兩個必須同時滿足的條件，也就是未知數x，y必須同時滿足方程x＋y＝6和2x＋y＝8．把這兩個方程合在一起，寫成就組成了一個方程組．
　　方程組中有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組．
　　【設計意圖】引導學生利用一元一次方程進行知識的遷移與類比，讓學生用原有的認知結構同化新知識．
　　【練習】1．下列各式中，屬于二元一次方程的有（　　）．
　　①x＋y＝3；②x－2y2＝3；③3x＋4y；④xy＝3．
　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
　　【師生活動】學生獨立思考作答，教師給出正確答案．
　　【答案】A
　　【設計意圖】通過練習，加深學生對二元一次方程的概念的理解．
　　【練習】2．下面的方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）．
　　A． B． C． D．
　　【師生活動】學生獨立思考，師生一起分析得出答案．
　　【答案】A
　　【設計意圖】通過練習，加深學生對二元一次方程組的概念的理解．
　　【問題】滿足方程x＋y＝6，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些？把它們填入表中．
x
y
　　【師生活動】學生觀察、計算，答出適合的x，y的值，完成表格：
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
　　當x＝1時，1＋y＝6，可得y＝5，符合題意；
　　當x＝2時，2＋y＝6，可得y＝4，符合題意；
　　……
　　教師總結：由上表可知， x＝1，y＝5；x＝2，y＝4；…；x＝5，y＝1使方程x＋y＝6兩邊的值相等，它們都是方程x＋y＝6的解．
　　【新知】一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解．
　　【思考】如果不考慮方程x＋y＝6與上面實際問題的聯系，這個方程的解有多少個？
　　【師生活動】學生小組討論，得出答案，師生一起總結．
　　如果不考慮方程x＋y＝6與上面實際問題的聯系，那么x＝－6，y＝12；x＝0.5，y＝5.5；……也都是方程x＋y＝6的解，這樣的解有無數個．
　　【歸納】一個二元一次方程有無數個解，即無數多解滿足這個二元一次方程．
　　【設計意圖】讓學生通過把具體數代入方程，認識到滿足一個二元一次方程的未知數的值有很多對．考慮到問題的實際意義時，滿足方程的未知數的值有有限對．
　　【思考】滿足方程2x＋y＝8，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些？把它們填入表中．
x
y
　　【師生活動】學生獨立思考，完成表格：
x 1 2 3
y 6 4 2
　　【思考】觀察二元一次方程2x＋y＝8的解的特點，你能聯想到最近學過的什么知識？
　　【師生活動】教師引導學生在平面直角坐標系中，把二元一次方程2x＋y＝8的一個解用一個點表示出來．學生動手畫出平面直角坐標系，并標出一些以方程2x＋y＝8的解為坐標的點．
　　教師提問：過這些點中的任意兩點作直線，你有什么發現？在這條直線上任取一點，這個點的坐標是方程2x＋y＝8的解嗎？
　　學生獨立操作、思考，完成作答，教師展示動畫并總結．
　　【歸納】實際上，在平面直角坐標系中，以每個二元一次方程的解為坐標的點都在一條直線上，這條直線上有無數個點，每一個點的坐標(x，y)都是這個方程的一個解，這條直線外的任意點的坐標都不是這個方程的解．
　　【設計意圖】與學過的平面直角坐標系的知識相結合，讓學生認識二元一次方程的幾何意義，從圖形角度理解二元一次方程的解有無數個，為學習“一次函數”等埋下伏筆．
　　【問題】是否存在符合問題的實際意義的x，y的值既滿足方程x＋y＝6，又滿足方程2x＋y＝8？
　　【師生活動】教師引導學生觀察兩個表格發現：x＝2，y＝4既滿足方程x＋y＝6，又滿足方程2x＋y＝8．也就是說，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6與方程2x＋y＝8的公共解．教師組織學生歸納出x＝2，y＝4是二元一次方程組的解，記作
　　結合前面的問題可知，這個種棉大戶租用了2臺大型采棉機，4臺小型采棉機.
　　【新知】一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解．
　　提醒：
　　（1）二元一次方程組一般都只有一組解（有時沒有解或有無數組解）；
　　（2）二元一次方程組的解是該方程組中每一個方程的解，而二元一次方程組中某個方程的解不一定是該方程組的解．
　　【設計意圖】通過探究活動認識二元一次方程組的解，為實際問題分析提供了基礎．
二、典例分析
　　【例1】已知＋(n＋2)y＝10是關于x，y的二元一次方程，求m，n的值．
　　【分析】x的指數必須是1，y前面的系數必須不等于0，上述方程才是二元一次方程．
　　【答案】解：根據二元一次方程的概念，得
　　m－1＝1，且n＋2≠0，
　　所以m＝2，n≠－2．
　　【歸納】利用二元一次方程的概念確定字母參數取值的方法
　　根據二元一次方程的概念可知，需滿足條件：含有未知數的項的次數都是1，且兩個未知數的系數都不為零．根據條件列出關于字母參數的式子，進而得到相應字母參數的值．
　　【設計意圖】通過例題，進一步加深學生對二元一次方程的概念及其特點的掌握．
　　【例2】若是二元一次方程組的解，則m－n的值是______．
　　【師生活動】教師引導學生作答，然后教師給出正確答案．
　　【答案】4
　　【解析】由題意可知，是方程組的解，
　　將代入方程組，
　　解得
　　所以m－n＝4．
　　【例3】加工某種產品須經兩道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件．現有7名工人參與這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件數相等？
　　【分析】題中必須滿足兩個條件：參與第一道工序的工人人數＋參與第二道工序的工人人數＝7，第一道工序完成總件數＝第二道工序完成總件數．
　　【答案】解：設每天第一道工序安排x名工人，第二道工序安排y名工人．
　　由題意，得
　　列表格找出滿足方程x＋y＝7，且符合問題的實際意義的解．
x 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1
　　當x＝4，y＝3時，也滿足方程900x＝1 200y．
　　所以是方程組的解．
　　答：每天第一道工序安排4名工人，第二道工序安排3名工人．
　　【設計意圖】在例題講解過程中，讓學生充分活動起來，通過例題探究來進行總結，重點在于理解，會靈活運用．
【設計意圖】通過例題，考查學生對二元一次方程組的解的掌握情況．
課堂小結
課后任務
　　完成教材第89頁練習題．

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