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猜想歸納
猜想歸納：歸納猜想題是指給出一定條件（可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表），通過學(xué)生認(rèn)真閱讀、仔細(xì)觀察、綜合分析、順勢歸納和大膽猜想，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗證的數(shù)學(xué)探索題。這一過程體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，是人們認(rèn)識新生事物的一般過程，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。
猜想歸納在不同類型題目中的使用思路
數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納
1.觀察數(shù)式規(guī)律：對給定的數(shù)式進(jìn)行仔細(xì)觀察，關(guān)注數(shù)式的結(jié)構(gòu)、符號、數(shù)值等方面。例如在觀察數(shù)列時，可能要分析數(shù)字的增減變化、差值、倍數(shù)關(guān)系等。如數(shù)列1，3，5，7，9，11，可發(fā)現(xiàn)后一個數(shù)與前一個數(shù)的差是2
2.歸納總結(jié)規(guī)律：在觀察到規(guī)律后，對數(shù)式進(jìn)行變形、替換、推導(dǎo)等操作。像上述數(shù)列1，3，5，7，9，11，可改寫為1，1+2，1+2×2，1+2×3，1+2×4，1+2×5，進(jìn)而得出第n個數(shù)為1+2×(n-1)=2n-1
3.提出猜想：基于歸納總結(jié)的規(guī)律，提出一個合理推斷。例如對于數(shù)式1+2+2 + +2 ，通過觀察和歸納后，可猜想其計算方法與等比數(shù)列相關(guān)。
4.證明或驗證猜想：通過進(jìn)一步推導(dǎo)、代數(shù)運算、數(shù)學(xué)歸納法等手段來證明或驗證猜想。如計算1+2+2 + +2 時，設(shè)S=1+2+2 + +2 ，①×2得2S=2+2 +2 + +2 ，② - ①得S=2 -1，從而驗證了計算方法的正確性
圖案規(guī)律中的猜想歸納
1.觀察圖案：仔細(xì)觀察給出圖案的形狀、顏色、大小等特征，嘗試找出變化規(guī)律。例如在廣場地磚拼圖案問題中，觀察每次拼成圖案中地磚數(shù)量的變化情況
2.提出猜想：根據(jù)觀察到的規(guī)律，提出能描述圖案變化規(guī)律的猜想。如第1次拼成形圖案有4塊地磚（4 = 2×(1×2)），第2次有12塊地磚（12 = 2×(2×3)），第3次有24塊地磚（24 = 2×(3×4)），可猜想第n次拼成的圖案中地磚數(shù)為2×n(n + 1)=2n + 2n
3.驗證猜想：通過計算或推理來驗證猜想的正確性。如果猜想的描述與圖案的實際規(guī)律一致，那么猜想就是正確的。如按照上述猜想計算第4次拼成圖案的地磚數(shù)為2×4×(4 + 1)=40塊，與實際情況相符，驗證了猜想的正確性
幾何圖形相關(guān)的猜想歸納
1.認(rèn)清圖形：拿到題目后，明確所求的圖形是什么樣的，避免出現(xiàn)誤解。例如在多個等邊三角形排列求面積問題中，要準(zhǔn)確確定所求三角形的具體形狀和位置
2.分析共性和聯(lián)系：觀察這些圖形之間的共性和聯(lián)系，比如在求多個等邊三角形組成圖形的面積時，發(fā)現(xiàn)所求三角形高相等，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為底邊的問題。通過分析圖形中線段的平行關(guān)系等，得出底邊的規(guī)律
3.總結(jié)規(guī)律并應(yīng)用：根據(jù)分析得到的共性和聯(lián)系，總結(jié)出一般性的規(guī)律，并應(yīng)用到具體問題的求解中。如在多個等邊三角形排列問題中，根據(jù)總結(jié)出的規(guī)律求出相應(yīng)三角形的面積表達(dá)式
一．選擇題（共10小題）
1．（2025 九龍坡區(qū)校級二模）用正六邊形瓷磚來鋪設(shè)地板，以一塊正六邊形瓷磚為中心，按環(huán)狀鋪設(shè)，每次鋪設(shè)時最外側(cè)的邊需一塊新的正六邊形瓷磚與它銜接，如圖①鋪設(shè)一環(huán)需1塊正六邊形瓷磚，如圖②鋪設(shè)兩環(huán)需7塊正六邊形瓷磚，如圖③鋪設(shè)三環(huán)需19塊正六邊形瓷磚，如圖④鋪設(shè)四環(huán)需37塊正六邊形瓷磚，按此規(guī)律排列下去，則鋪設(shè)六環(huán)需（　　）塊正六邊形瓷磚．
A．81 B．91 C．96 D．187
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中六邊形瓷磚的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
鋪設(shè)一環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為：1；
鋪設(shè)二環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為：7＝1+1×6；
鋪設(shè)三環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為：19＝1+1×6+2×6；
鋪設(shè)四環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為：37＝1+1×6+2×6+3×6；
…，
所以鋪設(shè)n環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為：1+1×6+2×6+…+6（n﹣1）＝3n（n﹣1）+1．
當(dāng)n＝6時，
3n（n﹣1）+1＝3×6×5+1＝91（塊），
即鋪設(shè)六環(huán)需要的六邊形瓷磚塊數(shù)為91塊．
故選：B．
2．（2025 獻(xiàn)縣模擬）有依次排列的3個數(shù)：2，9，7，對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，7，9，﹣2，7，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串2，9，7開始操作第10次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是（　　）
A．58 B．63 C．68 D．73
【分析】根據(jù)題意，依次求出每次操作后所產(chǎn)生的新數(shù)串的所有數(shù)之和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
當(dāng)開始的數(shù)串為2，9，7時，
操作第1次后所產(chǎn)生的新數(shù)串為：2，7，9，﹣2，7，它們的和為：2+7+9﹣2+7＝23；
操作第2次后所產(chǎn)生的新數(shù)串為：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，它們的和為：2+5+7+2+9﹣11﹣2+9+7＝28；
操作第3次后所產(chǎn)生的新數(shù)串為：2，3，5，2，7，﹣5，2，7，9，﹣20，﹣11，9，﹣2，11，9，﹣2，7，它們的和為：2+3+5+2+7﹣5+2+7+9﹣20﹣11+9﹣2+11+9﹣2+7＝33；
…，
所以操作第n次后所產(chǎn)生的新數(shù)串的和為5n+18．
當(dāng)n＝10時，
5n+18＝5×10+18＝68，
即操作第10次后所產(chǎn)生的新數(shù)串的和為68．
故選：C．
3．（2025 重慶二模）如圖是由大小相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的地磚圖案，其中第①個圖案有2個三角形，第②個圖案有6個三角形，第③個圖案有10個三角形，……，按照這一規(guī)律，第11個圖案中三角形的個數(shù)是（　　）
A．30 B．34 C．38 D．42
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第①個圖案中三角形的個數(shù)為：2＝1×4﹣2；
第②個圖案中三角形的個數(shù)為：6＝2×4﹣2；
第③個圖案中三角形的個數(shù)為：10＝3×4﹣2；
…，
所以第n個圖案中三角形的個數(shù)為（4n﹣2）個．
當(dāng)n＝11時，
4n﹣2＝4×11﹣2＝42（個），
即第11個圖案中三角形的個數(shù)為42個．
故選：D．
4．（2025 龍湖區(qū)一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷等，當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個時即用漢文數(shù)字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十五烷的化學(xué)式為（　　）
A．C15H31 B．C15H32 C．C15H33 D．C15H34
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出分子結(jié)構(gòu)模型對應(yīng)的化學(xué)式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
甲烷的化學(xué)式為CH4，
乙烷的化學(xué)式為C2H6，
丙烷的化學(xué)式為C3H8，
…，
所以n烷的化學(xué)式為 nH2n+2（n為大于10的整數(shù)）．
當(dāng)n＝15時，
十五烷的化學(xué)式為C15H32．
故選：B．
5．（2025 沙坪壩區(qū)校級一模）小南用大小相同的棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5顆棋子，第②個圖案中有9顆棋子，第③個圖案中有13顆棋子，第④個圖案中有17顆棋子，…，按此規(guī)律，則第8個圖案中，棋子的數(shù)量是（　　）
A．33 B．34 C．35 D．36
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中棋子的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第1個圖案中，棋子的數(shù)量為5＝1×4+1；
第2個圖案中，棋子的數(shù)量為9＝2×4+1；
第3個圖案中，棋子的數(shù)量為13＝3×4+1；
…，
所以第n個圖案中，棋子的數(shù)量為（4n+1）個．
當(dāng)n＝8時，
4n+1＝4×8+1＝33（個），
即第8個圖案中，棋子的數(shù)量為33個．
故選：A．
6．（2025 彭水縣模擬）有n個依次排列的算式：第1項是a2，第2項是a2+2a+1，用第2項減去第1項，所得之差記為b1，將b1加2記為b2，將第2項與b2相加作為第3項，將b2加2記為b3，將第3項與b3相加作為第4項，……，以此類推．某數(shù)學(xué)興趣小組對此展開研究，得到3個結(jié)論①b5＝2a+9；②若第6項與第5項之差為4057，則a＝2024；③當(dāng)n＝k時，b1+b2+b3+b4+ +bk＝2ak+k2；其中正確的個數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根據(jù)所給計算方式，依次求出第1項，第2項，第3項，…，及b1，b2，b3，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
第1項為：a2，
第2項為：a2+2a+1＝（a+1）2，
b1＝（a+1）2﹣a2＝2a+1，
b2＝b1+2＝2a+3，
第3項為：a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
b3＝b2+2＝2a+5，
第4項為：a2+4a+4+2a+5＝（a+3）2，
…，
以此類推，
第n項為：（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1（n為正整數(shù)）．
當(dāng)n＝5時，
b5＝2a+9．
故①正確．
第6項與第5項之差可表示為：（a+5）2﹣（a+4）2，
則（a+5）2﹣（a+4）2＝4057，
解得a＝2024．
故②正確．
當(dāng)n＝k時，
b1+b2+b3+…+bk
＝2a+1+2a+3+2a+5+…+2a+2k﹣1
＝2ak
＝2ak+k2．
故③正確．
故選：D．
7．（2025 福山區(qū)一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子，第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……，按照這一規(guī)律，有一種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是90個，請問這是第幾種化合物的分子結(jié)構(gòu)？（　　）
A．40 B．42 C．44 D．46
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出化合物分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第1種化合物分子結(jié)構(gòu)模型中，氫原子的個數(shù)為：4＝1×2+2；
第2種化合物分子結(jié)構(gòu)模型中，氫原子的個數(shù)為：6＝2×2+2；
第3種化合物分子結(jié)構(gòu)模型中，氫原子的個數(shù)為：8＝3×2+2；
…，
所以第n種化合物分子結(jié)構(gòu)模型中，氫原子的個數(shù)為（2n+2）個．
令2n+2＝90，
解得n＝44，
即第44種化合物分子結(jié)構(gòu)模型中，氫原子的個數(shù)為90個．
故選：C．
8．（2025 石家莊一模）已知直線l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直線l2：y＝kx+k+2，其中k為不小于2的自然數(shù)．當(dāng)k＝2，3，4，…，2025時，設(shè)直線l1，l2與x軸圍成的三角形的面積分別為S2，S3，S4，…，S2025，則S2+S3+S4+ +S2025的值為（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根據(jù)題意，依次求出S2，S3，S4，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
將x＝﹣1代入y＝（k﹣1）x+k+1得，y＝2，
所以直線l1過定點（﹣1，2）；
將x＝﹣1代入y＝kx+k+2得，y＝2，
所以直線l2過定點（﹣1，2），
則直線l1與直線l2相交于點（﹣1，2）．
當(dāng)k＝2時，
直線l1的函數(shù)解析式為y＝x+3，直線l2的函數(shù)解析式為y＝2x+4，
則直線l1和l2與x軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣3，0）和（﹣2，0），
所以S2．
同理可得，，…，
所以，
所以S2+S3+S4+ +S2025
．
故選：D．
9．（2025 雙柏縣一模）觀察下列單項式：3x，﹣6x2，9x3，﹣12x4，15x5，﹣18x6…，則第n個單項式為（　　）
A．3nxn B．﹣3nxn
C．（﹣1）n 3nxn D．（﹣1）n+1 3nxn
【分析】根據(jù)所給單項式，觀察其系數(shù)及次數(shù)的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
所給單項式的系數(shù)依次為3，﹣6，9，﹣12，15，﹣18，…，
所以第n個單項式的系數(shù)可表示為：（﹣1）n+1 3n；
所給單項式的次數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，…，
所以第n個單項式的次數(shù)可表示為：n，
所以第n個單項式可表示為：（﹣1）n+1 3nxn．
故選：D．
10．（2025 南崗區(qū)一模）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1．如果我們規(guī)定一個新數(shù)“i”使它滿足i2＝﹣1（即x2＝﹣1有一個根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立．于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ，那么i2025＝（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)in運算結(jié)果的變化規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
因為i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i ，
所以從i1開始，運算結(jié)果按i，﹣1，﹣i，1循環(huán)．
又因為2025÷4＝506余1，
所以i2025＝i．
故選：A．
二．填空題（共4小題）
11．（2025 恩施市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角頂點P1（3，3），P2，P3，…均在直線上．設(shè)△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面積分別為S1，S2，S3，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，S2025＝　　 ．
【分析】根據(jù)題意，依次求出S1，S2，S3，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
∵△P1OA1是等腰直角三角形，且直角頂點P1（3，3），
∴．
∵△P2A1A2是等腰直角三角形，
∴令點P2的坐標(biāo)為（6+a，a）．
將點P2的坐標(biāo)代入y得，
，
解得a，
∴．
同理可得，，…，
所以（n為正整數(shù)）．
當(dāng)n＝2025時，
．
故答案為：．
12．（2025 桓臺縣二模）已知一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點A1，以O(shè)A1為邊作等邊△OA1B1，點B1在第一象限內(nèi)，過點B1作y軸的平行線與該一次函數(shù)的圖象交于點A2，與x軸交于點C1，以C1A2為邊作等邊△C1A2B2（點B2在點B1的右邊），以同樣的方式依次作等邊△C2A3B3，等邊△C3A4B4， ，則點A2025的縱坐標(biāo)為 　　 ．
【分析】根據(jù)題意，依次求出點A1，A2，A3，…，的縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由題知，
將x＝0代入得，
y＝1，
所以點A1的縱坐標(biāo)為1．
因為△OA1B1是等邊三角形，
所以點B1的橫坐標(biāo)為，
將x代入得，
y，
所以點A2的縱坐標(biāo)為．
同理可得，點A3的縱坐標(biāo)為，點A4的縱坐標(biāo)為，…，
所以點An的縱坐標(biāo)可表示為．
當(dāng)n＝2025時，
點A2025的縱坐標(biāo)為．
故答案為：．
13．（2025 濰坊一模）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…依次類推，點A2025的坐標(biāo)為 　（﹣22025，0）　 ．
【分析】根據(jù)△AOB的變換方式，可得出每變換六次，點A的對應(yīng)點所在方向線循環(huán)出現(xiàn)，再根據(jù)△AOB的邊長變化規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：因為360°÷60°＝6，
所以每變換六次，點A的對應(yīng)點所在方向線循環(huán)出現(xiàn)．
又因為2025÷6＝337余3，
所以第2025次變換后點A的對應(yīng)點與點A3在一條方向線上，即在x軸的負(fù)半軸上．
因為A（1，0），
所以△AOB的邊長為1，
則根據(jù)變換方式可知，△A1OB1的邊長為2，△A2OB2的邊長為22，△A3OB3的邊長為23，…，△AnOBn的邊長為2n．
所以△A2025OB2025的邊長為22025，
所以點A2025的坐標(biāo)為（﹣22025，0）．
故答案為：（﹣22025，0）．
14．（2025 雁塔區(qū)校級模擬）圍棋源自中國，圍棋中棋子與棋盤體現(xiàn)出古代“天圓地方”的東方哲學(xué)．如圖所示的棋局都是由同樣大小的黑棋、白棋按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為9，第②個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為14，第③個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為19，…，按此規(guī)律排列，則第⑧個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為　44　 ．
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第①個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為：9＝1×5+4；
第②個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為：14＝2×5+4；
第③個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為：19＝3×5+4；
…，
所以第n個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為（5n+4）個．
當(dāng)n＝8時，
5n+4＝5×8+4＝44（個），
即第⑧個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為44個．
故答案為：44．
三．解答題（共4小題）
15．（2025 包河區(qū)二模）某園林公司舉行盆景展覽，如圖所示是用這兩種盆景擺成的圖案，黑色圓點為六月雪盆景，黑色正方形為九里香盆景．圖1中六月雪盆景數(shù)量為4，九里香盆景數(shù)量為2；圖2中六月雪盆景數(shù)量為6，九里香盆景數(shù)量為6；圖3中六月雪盆景數(shù)量為8，九里香盆景數(shù)量為12；…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）圖5中，六月雪盆景數(shù)量為 　12　 ，九里香盆景數(shù)量為 　30　 ；
（2）若園林公司用這兩種盆景共132盆按如上規(guī)律擺成一個圖案，請求出該圖案中六月雪和九里香這兩種盆景分別多少盆？
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中六月雪盆景及九里香盆景的數(shù)量，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）結(jié)合（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
圖1中，六月雪的盆數(shù)為4＝1×2+2，九里香的盆數(shù)為2＝1×2；
圖2中，六月雪的盆數(shù)為6＝2×2+2，九里香的盆數(shù)為6＝2×3；
圖3中，六月雪的盆數(shù)為8＝3×2+2，九里香的盆數(shù)為12＝3×4；
…，
所以圖n中，六月雪的盆數(shù)為（2n+2）盆，九里香的盆數(shù)為n（n+1）盆．
當(dāng)n＝5時，
2n+2＝2×5+2＝12（盆），n（n+1）＝5×6＝30（盆），
即圖5中，六月雪的盆數(shù)為12盆，九里香的盆數(shù)為30盆．
故答案為：12，30．
（2）由（1）知，
令2n+2+n（n+1）＝132，
解得n＝10（舍負(fù)），
則2n+2＝22，n（n+1＝）110，
即該圖案中六月雪的盆數(shù)為22盆，九里香的盆數(shù)為110盆．
16．（2025 蜀山區(qū)二模）如圖，將一張等邊三角形紙片剪成4個大小、形狀一樣的小等邊三角形，記為第1次操作，然后將其中左下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四個小等邊三角形，共得到7個等邊三角形，記為第2次操作，若每次都把左下角的等邊三角形按此方法剪成四個小等邊三角形，如此循環(huán)進(jìn)行下去……
（1）第4次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為　13　 ，第n次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為　3n+1　 ；
（2）若原等邊三角形的邊長為1，設(shè)an表示第n次操作后所得的最小等邊三角形的邊長，例如：，求：
（i）a3＝　　 ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝　　 ．
【分析】（1）根據(jù)所給操作方式，依次求出所得等邊三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)題意，依次求出所得最小等邊三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）由題知，
第1次操作后共得到的等邊三角形的個數(shù)為：4＝1×3+1；
第2次操作后共得到的等邊三角形的個數(shù)為：7＝2×3+1；
第3次操作后共得到的等邊三角形的個數(shù)為：10＝3×3+1；
…，
所以第n次操作后共得到的等邊三角形的個數(shù)為（3n+1）個．
當(dāng)n＝4時，
3n+1＝3×4+1＝13（個），
即第4次操作后共得到的等邊三角形的個數(shù)為13個．
故答案為：13，3n+1．
（2）（i）由題知，
因為，，
所以．
故答案為：．
（ii）由上述過程可知，
a1+a2+a3+…+a2025．
令S，
則，
兩式相減得，
，
即，
所以1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025．
故答案為：．
17．（2025 安徽模擬）已知圖1中有1個等邊三角形，記作a1＝1；分別連接這個等邊三角形三邊中點得到圖2，有5個等邊三角形，記作a2＝5；再分別連接圖2中間的小等邊三角形三邊中點得到圖3，有9個等邊三角形，記作a3＝9；……．按照此規(guī)律解答下列問題：
（1）圖4中有 　13　 個等邊三角形，記作a4＝ 　13　 ；
（2）圖n中有 　（4n﹣3）　 個等邊三角形，記作an＝ 　4n﹣3　 ；（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，不用說理）
（3）在求1+2+3+…+100的值時，可令s＝1+2+3+…+100，則s＝100+99+98+…+1，∴2s101×100，∴s＝1+2+3+…+1005050，按此方法計算a1+a2+a3+ +an（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖中等邊三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
（3）根據(jù)題中所給計算方法進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
圖1中等邊三角形的個數(shù)為：1＝1×4﹣3；
圖2中等邊三角形的個數(shù)為：5＝2×4﹣3；
圖3中等邊三角形的個數(shù)為：9＝3×4﹣3；
…，
所以圖n中等邊三角形的個數(shù)為（4n﹣3）個，即an＝4n﹣3．
當(dāng)n＝4時，
4n﹣3＝4×4﹣3＝13（個），
則圖4中等邊三角形的個數(shù)為13個，即a4＝13．
故答案為：13，13．
（2）由（1）知，
圖n中等邊三角形的個數(shù)為（4n﹣3）個，即an＝4n﹣3．
故答案為：（4n﹣3），4n﹣3．
（3）由題知，
a1+a2+a3+ +an＝1+5+9+…+4n﹣3．
令s＝1+5+9+…+4n﹣3，
則s＝4n﹣3+4n﹣7+4n﹣11+…+1，
所以2sn（4n﹣2），
所以s＝n（2n﹣1）＝2n2﹣n，
故a1+a2+a3+ +an＝2n2﹣n．
18．（2025 蜀山區(qū)校級一模）觀察下列各個式子：
；
；
；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1） 　　 +　　 ；
（2） 　　 +　　 （用含n的式子填空），并證明該等式．
【分析】（1）根據(jù)所給等式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
因為；
；
；
…，
則用含n的式子可表示為：．
當(dāng)n＝5時，
．
故答案為：．
（2）由（1）知，
．
證明如下：
右邊
＝左邊，
所以此等式成立．
故答案為：．
(
1
)猜想歸納
猜想歸納：歸納猜想題是指給出一定條件（可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表），通過學(xué)生認(rèn)真閱讀、仔細(xì)觀察、綜合分析、順勢歸納和大膽猜想，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗證的數(shù)學(xué)探索題。這一過程體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，是人們認(rèn)識新生事物的一般過程，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。
猜想歸納在不同類型題目中的使用思路
數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納
1.觀察數(shù)式規(guī)律：對給定的數(shù)式進(jìn)行仔細(xì)觀察，關(guān)注數(shù)式的結(jié)構(gòu)、符號、數(shù)值等方面。例如在觀察數(shù)列時，可能要分析數(shù)字的增減變化、差值、倍數(shù)關(guān)系等。如數(shù)列1，3，5，7，9，11，可發(fā)現(xiàn)后一個數(shù)與前一個數(shù)的差是2
2.歸納總結(jié)規(guī)律：在觀察到規(guī)律后，對數(shù)式進(jìn)行變形、替換、推導(dǎo)等操作。像上述數(shù)列1，3，5，7，9，11，可改寫為1，1+2，1+2×2，1+2×3，1+2×4，1+2×5，進(jìn)而得出第n個數(shù)為1+2×(n-1)=2n-1
3.提出猜想：基于歸納總結(jié)的規(guī)律，提出一個合理推斷。例如對于數(shù)式1+2+2 + +2 ，通過觀察和歸納后，可猜想其計算方法與等比數(shù)列相關(guān)。
4.證明或驗證猜想：通過進(jìn)一步推導(dǎo)、代數(shù)運算、數(shù)學(xué)歸納法等手段來證明或驗證猜想。如計算1+2+2 + +2 時，設(shè)S=1+2+2 + +2 ，①×2得2S=2+2 +2 + +2 ，② - ①得S=2 -1，從而驗證了計算方法的正確性
圖案規(guī)律中的猜想歸納
1.觀察圖案：仔細(xì)觀察給出圖案的形狀、顏色、大小等特征，嘗試找出變化規(guī)律。例如在廣場地磚拼圖案問題中，觀察每次拼成圖案中地磚數(shù)量的變化情況
2.提出猜想：根據(jù)觀察到的規(guī)律，提出能描述圖案變化規(guī)律的猜想。如第1次拼成形圖案有4塊地磚（4 = 2×(1×2)），第2次有12塊地磚（12 = 2×(2×3)），第3次有24塊地磚（24 = 2×(3×4)），可猜想第n次拼成的圖案中地磚數(shù)為2×n(n + 1)=2n + 2n
3.驗證猜想：通過計算或推理來驗證猜想的正確性。如果猜想的描述與圖案的實際規(guī)律一致，那么猜想就是正確的。如按照上述猜想計算第4次拼成圖案的地磚數(shù)為2×4×(4 + 1)=40塊，與實際情況相符，驗證了猜想的正確性
幾何圖形相關(guān)的猜想歸納
1.認(rèn)清圖形：拿到題目后，明確所求的圖形是什么樣的，避免出現(xiàn)誤解。例如在多個等邊三角形排列求面積問題中，要準(zhǔn)確確定所求三角形的具體形狀和位置
2.分析共性和聯(lián)系：觀察這些圖形之間的共性和聯(lián)系，比如在求多個等邊三角形組成圖形的面積時，發(fā)現(xiàn)所求三角形高相等，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為底邊的問題。通過分析圖形中線段的平行關(guān)系等，得出底邊的規(guī)律
3.總結(jié)規(guī)律并應(yīng)用：根據(jù)分析得到的共性和聯(lián)系，總結(jié)出一般性的規(guī)律，并應(yīng)用到具體問題的求解中。如在多個等邊三角形排列問題中，根據(jù)總結(jié)出的規(guī)律求出相應(yīng)三角形的面積表達(dá)式
一．選擇題（共10小題）
1．（2025 九龍坡區(qū)校級二模）用正六邊形瓷磚來鋪設(shè)地板，以一塊正六邊形瓷磚為中心，按環(huán)狀鋪設(shè)，每次鋪設(shè)時最外側(cè)的邊需一塊新的正六邊形瓷磚與它銜接，如圖①鋪設(shè)一環(huán)需1塊正六邊形瓷磚，如圖②鋪設(shè)兩環(huán)需7塊正六邊形瓷磚，如圖③鋪設(shè)三環(huán)需19塊正六邊形瓷磚，如圖④鋪設(shè)四環(huán)需37塊正六邊形瓷磚，按此規(guī)律排列下去，則鋪設(shè)六環(huán)需（　　）塊正六邊形瓷磚．
A．81 B．91 C．96 D．187
2．（2025 獻(xiàn)縣模擬）有依次排列的3個數(shù)：2，9，7，對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，7，9，﹣2，7，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串2，9，7開始操作第10次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是（　　）
A．58 B．63 C．68 D．73
3．（2025 重慶二模）如圖是由大小相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的地磚圖案，其中第①個圖案有2個三角形，第②個圖案有6個三角形，第③個圖案有10個三角形，……，按照這一規(guī)律，第11個圖案中三角形的個數(shù)是（　　）
A．30 B．34 C．38 D．42
4．（2025 龍湖區(qū)一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷等，當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個時即用漢文數(shù)字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十五烷的化學(xué)式為（　　）
A．C15H31 B．C15H32 C．C15H33 D．C15H34
5．（2025 沙坪壩區(qū)校級一模）小南用大小相同的棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5顆棋子，第②個圖案中有9顆棋子，第③個圖案中有13顆棋子，第④個圖案中有17顆棋子，…，按此規(guī)律，則第8個圖案中，棋子的數(shù)量是（　　）
A．33 B．34 C．35 D．36
6．（2025 彭水縣模擬）有n個依次排列的算式：第1項是a2，第2項是a2+2a+1，用第2項減去第1項，所得之差記為b1，將b1加2記為b2，將第2項與b2相加作為第3項，將b2加2記為b3，將第3項與b3相加作為第4項，……，以此類推．某數(shù)學(xué)興趣小組對此展開研究，得到3個結(jié)論①b5＝2a+9；②若第6項與第5項之差為4057，則a＝2024；③當(dāng)n＝k時，b1+b2+b3+b4+ +bk＝2ak+k2；其中正確的個數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2025 福山區(qū)一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子，第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……，按照這一規(guī)律，有一種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是90個，請問這是第幾種化合物的分子結(jié)構(gòu)？（　　）
A．40 B．42 C．44 D．46
8．（2025 石家莊一模）已知直線l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直線l2：y＝kx+k+2，其中k為不小于2的自然數(shù)．當(dāng)k＝2，3，4，…，2025時，設(shè)直線l1，l2與x軸圍成的三角形的面積分別為S2，S3，S4，…，S2025，則S2+S3+S4+ +S2025的值為（　　）
A． B． C．1 D．
9．（2025 雙柏縣一模）觀察下列單項式：3x，﹣6x2，9x3，﹣12x4，15x5，﹣18x6…，則第n個單項式為（　　）
A．3nxn B．﹣3nxn
C．（﹣1）n 3nxn D．（﹣1）n+1 3nxn
10．（2025 南崗區(qū)一模）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1．如果我們規(guī)定一個新數(shù)“i”使它滿足i2＝﹣1（即x2＝﹣1有一個根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立．于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， ，那么i2025＝（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
二．填空題（共4小題）
11．（2025 恩施市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角頂點P1（3，3），P2，P3，…均在直線上．設(shè)△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面積分別為S1，S2，S3，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，S2025＝　 　 ．
12．（2025 桓臺縣二模）已知一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點A1，以O(shè)A1為邊作等邊△OA1B1，點B1在第一象限內(nèi)，過點B1作y軸的平行線與該一次函數(shù)的圖象交于點A2，與x軸交于點C1，以C1A2為邊作等邊△C1A2B2（點B2在點B1的右邊），以同樣的方式依次作等邊△C2A3B3，等邊△C3A4B4， ，則點A2025的縱坐標(biāo)為 　 　 ．
13．（2025 濰坊一模）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…依次類推，點A2025的坐標(biāo)為 　 　 ．
14．（2025 雁塔區(qū)校級模擬）圍棋源自中國，圍棋中棋子與棋盤體現(xiàn)出古代“天圓地方”的東方哲學(xué)．如圖所示的棋局都是由同樣大小的黑棋、白棋按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為9，第②個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為14，第③個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為19，…，按此規(guī)律排列，則第⑧個圖形中黑棋和白棋的總個數(shù)為　 　 ．
三．解答題（共4小題）
15．（2025 包河區(qū)二模）某園林公司舉行盆景展覽，如圖所示是用這兩種盆景擺成的圖案，黑色圓點為六月雪盆景，黑色正方形為九里香盆景．圖1中六月雪盆景數(shù)量為4，九里香盆景數(shù)量為2；圖2中六月雪盆景數(shù)量為6，九里香盆景數(shù)量為6；圖3中六月雪盆景數(shù)量為8，九里香盆景數(shù)量為12；…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）圖5中，六月雪盆景數(shù)量為 　 　 ，九里香盆景數(shù)量為 　 　 ；
（2）若園林公司用這兩種盆景共132盆按如上規(guī)律擺成一個圖案，請求出該圖案中六月雪和九里香這兩種盆景分別多少盆？
16．（2025 蜀山區(qū)二模）如圖，將一張等邊三角形紙片剪成4個大小、形狀一樣的小等邊三角形，記為第1次操作，然后將其中左下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四個小等邊三角形，共得到7個等邊三角形，記為第2次操作，若每次都把左下角的等邊三角形按此方法剪成四個小等邊三角形，如此循環(huán)進(jìn)行下去……
（1）第4次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為　 　 ，第n次操作后共得到等邊三角形的個數(shù)為　 　 ；
（2）若原等邊三角形的邊長為1，設(shè)an表示第n次操作后所得的最小等邊三角形的邊長，例如：，求：
（i）a3＝　 　 ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝　 　 ．
17．（2025 安徽模擬）已知圖1中有1個等邊三角形，記作a1＝1；分別連接這個等邊三角形三邊中點得到圖2，有5個等邊三角形，記作a2＝5；再分別連接圖2中間的小等邊三角形三邊中點得到圖3，有9個等邊三角形，記作a3＝9；……．按照此規(guī)律解答下列問題：
（1）圖4中有 　 　 個等邊三角形，記作a4＝ 　 　 ；
（2）圖n中有 　 　 個等邊三角形，記作an＝ 　 　 ；（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，不用說理）
（3）在求1+2+3+…+100的值時，可令s＝1+2+3+…+100，則s＝100+99+98+…+1，∴2s101×100，∴s＝1+2+3+…+1005050，按此方法計算a1+a2+a3+ +an（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．
18．（2025 蜀山區(qū)校級一模）觀察下列各個式子：
；
；
；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1） 　 　 +　 　 ；
（2） 　 　 +　 　 （用含n的式子填空），并證明該等式．

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