資源簡介

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分課時教學設計
《9.5圖形的全等》教學設計
課型 新授課 復習課 試卷講評課 其他課
教學內容分析 《圖形的全等》作為華師大版七年級下冊第九章的總結性內容，是對軸對稱、平移、旋轉三種圖形變換的系統性整合與深化。教材以圖形變換后 “完全重合” 的特性為切入點，抽象出全等圖形的核心概念，揭示 “形狀相同、大小相等” 的本質屬性，構建起 “圖形變換” 與 “全等關系” 的邏輯橋梁。教學內容涵蓋全等圖形的定義、性質及其與圖形變換的內在聯系，不僅為后續八年級學習全等三角形判定定理奠定直觀基礎，更通過觀察、操作、推理等活動，著重培養學生的幾何直觀、推理能力與模型觀念，落實新課標對圖形與幾何領域的核心素養要求。
學習者分析 學生已系統掌握軸對稱、平移、旋轉的變換特征，能識別變換前后圖形的對應關系，具備初步的圖形分析與操作能力；在前期學習中積累了一定的觀察、歸納經驗，為探究全等圖形的性質奠定了方法基礎；學生易混淆 “形狀相同” 與 “全等”，忽視 “大小相等” 這一關鍵條件，需通過 “同比例縮放圖形” 等反例對比，強化概念本質；面對不規則多邊形或組合圖形時，學生難以快速確定對應頂點、對應邊，尤其在圖形經過復合變換后，對應關系的識別難度顯著增加；對 “全等圖形必可通過變換重合” 的逆向關系理解不足，需借助動態演示、動手操作等方式，突破思維局限.
教學目標 1.能準確闡述全等圖形的定義，識別生活與數學情境中的全等圖形，并用符號 “≌” 規范表示全等關系； 熟練運用全等圖形的性質和判定，根據圖形變換類型確定對應邊、對應角，解決簡單的線段長度、角度計算問題. 2.通過 “觀察實例 — 操作驗證 — 歸納性質 — 應用拓展” 的探究過程，經歷從具體到抽象的數學建模活動，提升幾何直觀能力與邏輯推理能力，掌握 “從特殊到一般” 的數學研究方法。 3.感受全等圖形在建筑設計、藝術創作、工業生產中的美學價值與實用價值，體會數學與生活的緊密聯系，增強用數學眼光觀察世界、用數學思維解決問題的信心。
教學重點 1.深刻理解 “完全重合” 的內涵，掌握對應邊相等、對應角相等的性質，并能運用性質進行簡單的推理與計算. 2.明確三種圖形變換是判定全等的操作方法，熟練建立 “變換 — 全等” 的雙向邏輯關系，靈活應用于圖形分析與問題解決。
教學難點 在非規則多邊形或經過復合變換的圖形中，能綜合運用變換特征、圖形特征，準確找出對應頂點、對應邊、對應角，避免因圖形位置變化導致的對應錯誤.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：情境導入教師活動1： 1.圖形的軸對稱、平移和旋轉，這是圖形的三種基本變換有什么共同點呢？ 圖形經過這樣的變換，位置發生了改變，但變換前后兩個圖形的對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小并沒有改變. 2.下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？ 學生活動1： 通過探究活動理解．學生通過已學習的知識經過個人思考、小組合作等方式推導出本課新知. 激發學生探究圖形全等的興趣。 活動意圖說明： 從實際出發，從學生已有的生活經驗出發.以問題導入，吸引學生注意力，復習上節內容，導入本節新內容--圖形的全等．環節二：新知探究教師活動2： (一)全等圖形的認識 問題1：觀察思考：每組中的兩個圖形有什么特點？ 問題2：觀察思考：每組中的兩個圖形有什么特點？ 我們已經認識了圖形的軸對稱、平移與旋轉，這是圖形的三種基本變換，圖形經過這樣的變換，位置發生了改變，但變換前后兩個圖形的對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小并沒有改變. 歸納總結：要想知道兩個圖形的形狀和大小是否完全相同，可以通過軸對稱、平移與旋轉這些圖形的變換，把兩個圖形疊合在一起，觀察它們是否完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形. 思考：觀察下面兩組圖形，它們是不是全等圖形？為什么？與同伴進行交流. 它們不能重合，不是全等圖形，全等圖形的形狀與大小都相同. 讀一讀： 軸對稱、 平移與旋轉都是從實際生活中抽象得到的一些基本變換， 它們保證了變換過程中， 任意兩點之間的距離不變， 從而保證了圖形的形狀和大小都不發生變化， 反映了圖形之間的全等關系. 這種運用動態變換研究圖形之間關系的方法， 是一種重要而且有效的方法. 做一做： 圖9.5.1中給出了8個圖形，你能發現哪兩個圖形是全等圖形嗎 動手試試看. 全等圖形： (2)和(4) (3)和(6) 一個圖形經過軸對稱、平移和旋轉等變換所得到的新圖形一定與原圖形全等； 反過來，兩個全等的圖形經過上述變換后一定能夠互相重合. [歸納總結] 1.兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形. 2.圖形經過軸對稱、平移或旋轉等變換所得到的新圖形一定與原圖形全等. 3.兩個全等圖形經過軸對稱、平移或旋轉等變換后一定能夠互相重合. (二)全等圖形的性質和判定 思考：觀察圖9.5.2中的兩對多邊形，每對中的其中一個可以經過怎樣的變換和另一個圖形重合？ 歸納總結：兩對多邊形都是全等圖形，也稱為全等多邊形．兩個全等的多邊形，經過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角. 如下圖9.5.3中的兩個五邊形是全等的，記作五邊形ABCDE≌五邊形A′B′C′D′E′(這里，符號“≌”表示全等，讀作“全等于”). 點A與點A′、點B與點B′、點C與點C′、點D與點D′、點E與點E′分別是對應頂點. 思考：請指出兩個圖形的對應角和對應邊. 對應角： ∠A與∠A' ∠B與∠B' ∠C與∠C' ∠D與∠D' ∠E與∠E' 對應邊： AB=A'B' BC=B'C' CD=C'D' DE=D'E' EA=E'A' 歸納總結：1.全等多邊形的性質：全等多邊形的對應邊相等，對應角相等. 2.全等多邊形的判定方法：邊、角分別對應相等的兩個多邊形稱為全等多邊形. 3.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊、對應角分別相等. 4.全等三角形的判定方法：如果兩個三角形的邊、角分別對應相等，那么這兩個三角形全等. 如圖9.5.4所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E.你能指出它們之間其他的對應頂點、對應角和對應邊嗎？ 解：對應頂點：點A與點D、點B與點E、點C與點F； 對應邊： AB與DE、BC與EF、CA與ED； 對應角：∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F.學生活動2： 學生小組合作交流． 學生可小組合作交流，自主探究，得出結論 教師巡視，聽取學生的看法、見解，隨時參與討論. 活動意圖說明：引導學生建立模型，鼓勵學生大膽探索，了解圖形全等的意義.了解圖形全等的特征.識別全等圖形.體會圖形的三種基本變換與圖形全等的關系. 積累解題經驗，提高靈活地運用所學知識解決問題的能力.環節三：例題講解教師活動3： 例1 如圖9.5.5，△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°求∠F的度數. 【分析】通過平移后的兩個三角形是什么關系？它們具有什么性質？ 【解】由圖形平移的特征，可知△ABC和△DEF的形狀與大小相同， 即△ABC≌△DEF. ∴∠D=∠A=80°(全等三角形的對應角相等). 同理∠DEF=∠B=60°. 又∵∠D+∠DEF+∠F=180°(三角形的內角和等于180°)， ∴∠F=180°∠D∠DEF180°80°60°40°. 【總結】全等三角形對應邊相等，根據圖形以及全等三角形對應頂點的字母寫在對應位置上準確找出對應角是解題的關鍵. 例2 如圖，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7. (1)試說明AB＝CD； (2)求線段AB的長. 【分析】 (1)根據全等三角形對應邊相等AC＝DB，AC－BC＝DB－BC，AB＝CD； (2)由AD－BC＝AB＋CD，且AB＝CD，AB＝(AD－BC) ，代入數據進行計算即可得解. 【解】(1)∵ △ACF≌△DBE， ∴ AC＝DB， ∴ AC－BC＝DB－BC， 即AB＝CD. (2)∵ AD＝11，BC＝7，且AB＝CD， ∴ AB＝(AD－BC)＝×(11－7)＝2. 【總結】全等三角形對應邊相等，根據圖形以及全等三角形對應頂點的字母寫在對應位置上準確找出對應邊AC，DB是解題的關鍵.學生活動3： 學生觀察并回答教師規范解答，教師出示練習題組，鞏固例題，學生嘗試練習師巡視，個別指導. 活動意圖說明： 讓學生在一定的數學活動中去體驗、感受數學，培養學生綜合運用所學的知識和技能解決問題的能力，培養學生的應用意識.從而更好地理解知識，讓學生的認知結構得到不斷的完善．
板書設計 9.5 圖形的全等 1.全等形的概念. 2.全等多邊形的概念： 全等三角形的概念 ： 能相互重合的頂點叫對應頂點，能相互重合的邊叫做對應邊，能相互重合的角叫做對應角.全等的符號“≌”，讀作“全等于”. 3.全等多邊形性質. 4.全等三角形的性質與判定. 例
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列四個圖形中，屬于全等圖形的是( ) A.①和②　 B.②和③ C.①和③　 D.全部 2.如圖，直角△ABC沿直角邊BC所在直線向右平移到直角△DEF，則下列結論中，錯誤的是( ) A.BE=EC　 B.BC=EF C.AC=DF　 D.△ABC≌△DEF 3.若△ABC≌△A'B'C'，且∠C=50°，∠BAC-∠A'B'C'=10°，則∠BAC=　 　. 4.如圖所示，△ABC與△DEC全等，且∠ACB=90°. (1)說明△ABC經過怎樣的變換得到△DEC，并指出對應邊和對應角； (2)請直接寫出直線AB，DE的位置關系. 選做題： 5.在直角三角形ABC中，D，E分別是AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C=( ) A.15°　 B.20°　 C.25°　 D.30° 6.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距離為6，則陰影部分面積為　 　. 7.如圖，△ABC≌△DBE，點D在邊AC上，BC與DE交于點P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4. (1)求∠CBE的度數. (2)求△CDP與△BEP的周長和. 【綜合拓展類作業】 8.如圖①，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=9 cm，AC=12 cm，AB=15 cm，現有一動點P，從點A出發，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3 cm/s，設運動時間為t s. (1)如圖①，當t=　　　　　　時，△APC的面積等于△ABC面積的一半； (2)如圖②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4 cm，DF=5 cm，∠D=∠A.在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止.在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度. 答案：1.A；2.A；3.70°； 4. 【解析】(1)△ABC與△DEC全等，觀察題中圖形發現可將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC(答案不唯一). 對應邊：AB與DE，AC與DC，BC與EC， 對應角：∠A與∠D，∠ACB與∠DCE，∠ABC與∠E. (2)直線AB，DE互相垂直. 5.D；6.48； 7. 【解析】(1)因為∠ABE=162°，∠DBC=30°，所以∠ABD+∠CBE=132°， 因為△ABC≌△DBE，所以∠ABC=∠DBE， 所以∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度數為66°； (2)因為△ABC≌△DBE， 所以DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4， 所以△CDP與△BEP的周長和為DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE =2.5+5+4+4=15.5. 8. 【解析】(1)①當點P在BC上時，如圖①-1所示， 若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP=BC= cm， 此時，點P移動的距離為AC+CP=12+=(cm)， 移動的時間為：÷3=(s)， ②當點P在BA上時，如圖①-2所示， 若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PB=AB= cm，即點P為BA的中點， 此時，點P移動的距離為AC+CB+BP=12+9+=(cm)， 移動的時間為：÷3=(s)； 答案：或 (2)△APQ≌△DEF，即對應頂點為A與D，P與E，Q與F； ①當點P在AC上時，如圖②-1所示， 此時，AP=4，AQ=5， 所以點Q移動的速度為5÷(4÷3)= cm/s， ②當點P在AB上時，如圖②-2所示，此時，AP=4，AQ=5， 即點P移動的距離為9+12+15-4=32(cm)，點Q移動的距離為9+12+15-5=31(cm)， 所以點Q移動的速度為31÷(32÷3)= cm/s， 綜上所述，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，點Q的運動速度為 cm/s或 cm/s.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列四個圖形中，有兩個全等的圖形，它們是(　　) ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.②和④ D.③和④ 2.如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在直線向右平移到Rt△DEF，則下列結論中不一定正確的是(　　) A.BE＝EC B.BC＝EF C.AC＝DF D.△ABC≌△DEF 3.如圖，已知△ABC≌△BAD.若∠DAC＝20°，∠C＝88°，則∠DBA＝　　　°. 4.如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，則∠DFE＝　　　°，EC＝　　　. 選做題： 5.如圖，△ABC≌△DEF，點B、E、C、F在同一條直線上. (1)若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度數； (2)若BE＝2，EC＝3，求BF的長. 6.如圖，已知△ABC≌△EBD. (1)若BE＝6，BD＝4，求線段AD的長； (2)若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度數. 7.如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，DE與AC相交于點F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°. (1)求線段AE的長； (2)求∠DBC的度數. 【綜合拓展類作業】 8.如圖1，已知△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，C為AD的中點. (1)求∠BAE的度數和AE的長； 圖1 (2)如圖2，延長BC，交ED于點F，求∠DFC的度數. 圖2 參考答案 1.B　2.A　3.36　4.100　2 5.(1)∠ACB＝65°　(2)BF＝7 6.(1)AD＝2　(2)∠ACE＝78° 7.(1)AE＝6　(2)∠DBC＝10° 8.(1)∠BAE＝60°，AE＝2cm. (2)∠DFC＝150°
教學反思 首先展示全等圖形的圖片，激發學生興趣，從圖中總結全等圖形的概念，最后總結全等多邊形和全等三角形的性質及判定方法，通過練習來理解全等圖形的性質并滲透符號語言推理．通過實例熟悉運用全等圖形的性質解決一些簡單的實際問題.能夠簡單了解全等三角形的判定，為之后的學習奠定基礎.
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