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第六章立體幾何初步章末二十種常考題型歸類
斜二測畫法
1．（23-24高一上·吉林長春·期中）一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（ ）
A．18 B． C． D．12
2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，正方形OABC邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（ ）

A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河北邢臺·期中）如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點，則（ ）
A．6 B． C．12 D．
5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示， ，則原平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
幾何體的表面積與體積問題
6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一個圓錐的高為6，底面半徑為3，現(xiàn)在用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到一個高為2的圓臺，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·河南鄭州·期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各種亭臺樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字歇山頂．其上部可視為由兩個相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）．這兩個直三棱柱有一個公共側(cè)面．在底面中，若，，則該幾何體的體積為（ ）
A．88 B． C．64 D．
8．（23-24高一下·北京房山·期中）如圖是一個圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為，圓柱的高為2，底面半徑為1，則該組合體的體積為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）現(xiàn)將一個高為4，體積為的圓柱削成一個空間幾何體ABCD，其中棱AB，CD分別為圓柱上、下底面上相互垂直的兩條直徑，則被削去部分的體積為 ．
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，，過圓臺的母線上靠近下底面的三等分點作截面，將圓臺分為上、下兩部分．若上、下兩個圓臺的側(cè)面積相等，則 ．
外接球與內(nèi)切球問題
11．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
13．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）各棱長都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為. 若，則的最小值為 .
15．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為 ．
空間共面問題
16．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)平面平面，點，點是的中點，當(dāng)分別在平面內(nèi)運動時，那么所有的動點C（ ）
A．不共面
B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動時才共面
C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面
D．共面
17.（多選）（21-22高三上·山東青島·開學(xué)考試）在三棱柱中，、、、分別為線段、、、的中點，下列說法正確的是（ ）
A．、、、四點共面 B．平面平面
C．直線與異面 D．直線與平面平行
18．（23-24高一下·廣西南寧·期中）已知正方體中，，點M，N分別是線段，的中點．
(1)求點M到平面的距離；
(2)判斷，M，B，N四點是否共面，若是，請證明；若不是，請說明理由．
19．（22-23高一下·湖南衡陽·期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．

(1)求證：EF∥平面PAD．
(2)在線段PC上是否存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
20．（22-23高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.

(1)已知點滿足，求證四點共面；
(2)求三棱柱的表面積.
空間共線問題
21．（21-22高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點．設(shè)與平面的交點為，則（ ）
A．三點 共線，且
B．三點不共線，且
C．三點共線，且
D．三點不共線，且
22．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上
C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上
23．（23-24高一下·陜西西安·期中）在直三棱柱中，，側(cè)棱長為3，側(cè)面積為.

(1)求三棱錐的體積;
(2)若點D、E分別在三棱柱的棱上，且，線段的延長線與平面交于三點，證明：共線.
24．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中， 分別在上，與交于點，求證：三點共線.

25．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，截面．
(1)求證：B、P、三點共線；
(2)若，，，求DP的長．
空間共點問題
26．（22-23高一下·山東威海·期末）在空間四邊形中，若，分別為，的中點，，，且，，則（ ）
A．直線與平行 B．直線，，相交于一點
C．直線與異面 D．直線，，相交于一點
27．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

(1)證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
(2)求正四棱臺挖去三棱臺后所得幾何體的體積．
28．（22-23高一下·陜西西安·期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
30．（22-23高一下·陜西·期中）已知分別是正方體中和的中點.
(1)證明：四點共面.
(2)證明：三條直線交于一點.
截面問題
31．（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，N是的中點，過B、D、N的平面截該正方體所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
32．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周長是（ ）

A． B．
C． D．
33．（22-23高一下·重慶渝中·期中）正方體的棱長為2，P為中點，過A，P，三點的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
34．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）在正方體中，，E為棱上一點，且，則，E，C三點所在的平面截正方體所得截面的周長為 .
35．（23-24高一下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，棱長為2，是線段的中點，平面過點、C、E.
(1)畫出平面截正方體所得的截面，并說明原因；
(2)求（1）中截面多邊形的面積；
(3)平面截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.
交線問題
36．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在棱長為6的正方體中，分別是棱的中點，過三點的平面與正方體各個面所得交線圍成的平面圖形的周長為 .
37．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

38．（22-23高一下·遼寧·期末）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點．
(1)請在直四棱柱中，畫出經(jīng)過三點的截面并寫出作法（無需證明）．
(2)求截面的面積．
39．（21-22高一下·山東青島·期中）如圖所示，正方體的棱長為a．
(1)過正方體的頂點A，B，截下一個三棱錐，求正方體剩余部分的體積；
(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點，請畫出過，M，N三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長；
(3)設(shè)正方體外接球的球心為O，求三棱錐的體積．
40．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）如圖，正方體的棱長為4cm，分別是和的中點．
(1)畫出過點的平面與平面及平面的兩條交線；
(2)設(shè)過的平面與交于點P，求PM+PN的值．
異面直線問題
41．（23-24高二上·重慶·期末）在正方體中，點是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
42．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，過點作直線與和所成的角均為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
43．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則該長方體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
44. （多選）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方體中，為底面的中心，則（ ）
A．直線與所成的角等于
B．直線與所成的角等于
C．直線與是異面直線
D．直線與所成的角等于
45. （22-23高一·全國·課后作業(yè)）已知S是矩形所在平面外一點，，，與所成角大小為，與所成角大小為，，分別求直線與的距離及與的距離．
直線與平面所成角問題
46．（2023·全國·模擬預(yù)測）在長方體中，已知與所成的角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．與平面所成的角為
C．平面 D．與平面所成的角為
47．（22-23高一下·陜西寶雞·期末）在正方體中，直線和平面所成角為（ ）
A． B． C． D．
48．（22-23高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為，點M為平面ABC內(nèi)的動點，設(shè)直線SM與平面ABC所成的角為，若，則點M的軌跡所形成平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
49．（多選）（22-23高一下·湖北武漢·期末）若正四棱柱的底面棱長為4，側(cè)棱長為3，且為棱的靠近點的三等分點，點在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足與底面的所成角，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．點所在區(qū)域面積為
B．有且僅有一個點使得
C．四面體的體積取值范圍為
D．線段長度最小值為
50．（23-24高一下·河南開封·期中）在三棱錐中，已知平面OAB，，，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則 ．（用角度表示）
平行與垂直的概念辨析
51．（23-24高一下·河南鄭州·期中）設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
52．（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知，，是空間中不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若與異面，則至多有一條與，都垂直
C．若，，，則一定平行于和
D．若，，，則存在同時垂直，
53．（2024·貴州·模擬預(yù)測）設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，、為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為（ ）
A．若m上有兩個點到平面的距離相等，則
B．若，，則“”是“”的既不充分也不必要條件
C．若，，，則
D．若m、n是異面直線，，，，，則
54．（多選）（23-24高一下·寧夏石嘴山·期中）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若 則；
②若 則；
③若， 則；
④若 則.
其中正確命題的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
55．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命題正確的是 .（填序號）
①若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行；
②垂直于同一條直線的兩直線平行；
③兩個平面互相垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，必垂直與另一個平面；
④過兩個點與已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤過兩條異面直線外任一點有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；
⑥到一個四面體的四個頂點的距離都相等的平面有7個.
線面平行的判定
56．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，正邊長為分別是邊的中點，現(xiàn)沿著將折起，得到四棱錐，點為中點．
(1)求證：平面
(2)若，求四棱錐的表面積．
(3)過的平面分別與棱相交于點，記與的面積分別為、，若，求的值．
57．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在直三棱柱中，，D是BC邊的中點，．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)求證：面．
(3)一只小蟲從點沿直三棱柱表面爬到點D，求小蟲爬行的最短距離．
58．（2024·陜西西安·二模）如圖，在直三棱柱中，，，M，N，P分別為，AC，BC的中點．
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
59．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，，D是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
60. （22-23高一下·全國·期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E F G分別為PC PD BC的中點.

(1)求證：PA平面EFG；
(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.
線面平行的性質(zhì)
61．（22-23高一下·新疆·階段練習(xí)）如圖，四邊形為長方形，平面，，點 分別為的中點，設(shè)平面平面．

(1)證明：平面；
(2)證明：；
(3)求三棱錐的體積．
62．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為邊長為2的正方形，E為的中點，過，D，E的平面交于點F．

(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積．
63．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在四棱錐中，//平面PAD，，，，點N是AD的中點．求證：

(1)//；
(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值．
64．（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在五面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，，，，．求證：．
65．（22-23高一下·北京朝陽·期中）如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．

(1)求證：；
(2)求證：平面；
面面平行的判定
66．（23-24高一下·廣東廣州·期中）由直四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，O為AC與BD的交點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)設(shè)平面與底面ABCD的交線為l，求證：.
67．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點，G，H分別為，中點，O為平面中心．證明：平面‖平面；
68．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點．證明：平面平面；
69．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．求證：平面平面.
70．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．
面面平行的性質(zhì)
71．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體．如圖，四棱錐P－ABCD就是陽馬結(jié)構(gòu)，PD⊥平面ABCD，且，，．
(1)證明：平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
72．（2023高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，，，.求證：.
73．（19-20高一·浙江杭州·期末）如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

74．（19-20高二下·湖南岳陽·期中）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A－CD－F為60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求證：平面ADE；
(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值
75．（22-23高一下·黑龍江鶴崗·期末）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離；
線面垂直的判定
76．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖（1），已知菱形中，，沿對角線將其翻折，使，設(shè)此時的中點為，如圖（2）.
圖1 圖2
(1)求證：點是點在平面上的射影；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
77．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，E是的中點．
(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積．
78．（22-23高二下·天津紅橋·期末）如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，平面，.
(1)求證：直線平面；
(2)求證：直線平面；
(3)求直線與平面所的成角.
79．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.
80．（23-24高二上·上海長寧·期末）如圖，已知正四棱柱，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面
線面垂直的性質(zhì)
81．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知正方體A1C．
(1)求證：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．
82．（2022高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，.證明：平面平面.
83．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在三棱錐中，平面，是側(cè)面上的一點，過作平面的垂線，其中，證明：平面．
84．（2021高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，點Q是棱PC上異于P，C的一點．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）過點Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點F在棱PB上)，求證：QF∥BC.
85．（20-21高一上·陜西延安·期末）如圖所示，為的直徑，C為上一點，平面，于E，于F.求證：平面.
面面垂直的判定與性質(zhì)
86．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在四棱柱中，是邊長為2的菱形，且，側(cè)面底面為中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
87．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線且，點是圓柱底面圓周上的點．
(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；
(2)證明：平面平面；
(3)若是的中點，點在線段上，求的最小值．
88．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，.
(1)證明：平面平面；
(2)若，與平面的夾角為，求二面角的正弦值.
89．（23-24高一下·河南·期中）如圖1，在矩形中，，是與的交點，將沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐.
圖1 圖2
(1)證明：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積的最大值.
90．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，四邊形為矩形，平面平面，為線段的中點，且.

(1)求證：平面；
(2)若，，直線與平面所成的角為，求點E到平面的距離.
動點探索問題
91．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.
(1)若平面平面，求點到平面的距離；
(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.
92．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在正方體中，，點E在棱上，且.
(1)求三棱錐的體積；
(2)在線段上是否存在點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
(3)求二面角的余弦值.
93．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四面體中，，分別是的中點.
(1)求證：；
(2)在上能否找到一點，使平面？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；
(3)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正切值.
94．（23-24高一下·重慶·期中）如圖所示正四棱錐中，，，為側(cè)棱上的點，且，為側(cè)棱的中點．
(1)求正四棱錐的表面積；
(2)證明：平面；
(3)側(cè)棱上是否存在一點，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
95．（23-24高一下·湖南邵陽·期中）知正方體中，、分別為對角線、上的點，且
(1)求證：平面；
(2)若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明.
二面角問題
96．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖①梯形ABCD中，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面BCDE，CE與BD相交于O，點P在AB上，且，R是CD的中點，過O，P，R三點的平面交AC于Q．
(1)證明：Q是AC的中點；
(2)證明：平面BEQ；
(3)M是AB上一點，已知二面角為45°，求的值．
97．（19-20高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．
(1)求證：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
98．（22-23高一下·河南商丘·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形.

(1)若點是的中點，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
99．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如圖：已知直三棱柱中，交于點O，，.

(1)求證：；
(2)求二面角的正切值.
100．（22-23高一下·廣東云浮·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且有，，，E為PC中點．
(1)證明：平面BED；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第六章立體幾何初步章末二十種常考題型歸類
斜二測畫法
1．（23-24高一上·吉林長春·期中）一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（ ）
A．18 B． C． D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得四邊形的面積為，結(jié)合直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系分析求解.
【詳解】由題意可知：，且，則，
可知四邊形的面積為，
所以四邊形的面積為.
故選：C.
2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，正方形OABC邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把直觀圖還原成原來的圖形，則原圖形是平行四邊形，根據(jù)斜二測畫法法則求得原圖形的面積.
【詳解】由斜二測畫法知：對應(yīng)原圖中，且，
且為平行四邊形，如下圖示，

所以原圖形的面積為.
故選：D
3．（23-24高一下·河北邢臺·期中）如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出的長，結(jié)合斜二測畫法可得原圖中的長.
【詳解】畫出平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點作軸，并使，
連接，則即為原來的圖形，如圖②所示：
原圖形中，于點，
則BD為原圖形中邊上的高，且，
在直觀圖③中作于點，則的面積，
在直角三角形中，，
所以，
故原圖形中AC邊上的高為．
故選：D．
4．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點，則（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】先將直角坐標(biāo)系中的原圖作出，再比對直觀圖與原圖直接求出即可.
【詳解】
由題意得的原圖如圖所示，其中D為的中點，且，
，
所以，故.
故選：D.
5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示， ，則原平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在直觀圖中求出的長，再還原平面圖，即可求出相應(yīng)的線段的長度，從而求出面積.
【詳解】如圖，在直觀圖中過點，作交于點，
因為 ，
所以，，即
將直觀圖還原為平面圖如下：
則，，，
所以.
故選：A
幾何體的表面積與體積問題
6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一個圓錐的高為6，底面半徑為3，現(xiàn)在用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到一個高為2的圓臺，則這個圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)截面圓的半徑為，由相似比可求出，再由圓臺的體積公式求解即可.
【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，如下圖，
由可得：，解得：，
所以截面圓的面積為，底面圓的面積為，

從而圓臺的體積為.
故選：B.
7．（23-24高一下·河南鄭州·期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各種亭臺樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字歇山頂．其上部可視為由兩個相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）．這兩個直三棱柱有一個公共側(cè)面．在底面中，若，，則該幾何體的體積為（ ）
A．88 B． C．64 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，得到幾何體為直三棱柱和兩個三棱錐，結(jié)合柱體和錐體的體積公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】如圖所示，幾何體為直三棱柱和兩個三棱錐構(gòu)成的幾何體，
設(shè)直三棱柱的底面的面積為，高為，
因為，可得，
且，
所以幾何體的體積為 .
故選：C.
8．（23-24高一下·北京房山·期中）如圖是一個圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為，圓柱的高為2，底面半徑為1，則該組合體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圓柱的體積和圓錐的體積公式求解即可.
【詳解】該組合體的體積為圓柱的體積加上圓錐的體積，即
，
故選：C.
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）現(xiàn)將一個高為4，體積為的圓柱削成一個空間幾何體ABCD，其中棱AB，CD分別為圓柱上、下底面上相互垂直的兩條直徑，則被削去部分的體積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體體積公式求出空間幾何體的體積，即可求出削去部分的體積.
【詳解】如圖所示，
設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由，解得，
設(shè)圓柱上、下底面的圓心分別為，O，則，
又，，平面，于是平面，
因此空間幾何體的體積為，
所以被削去部分的體積為.
故答案為：
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，，過圓臺的母線上靠近下底面的三等分點作截面，將圓臺分為上、下兩部分．若上、下兩個圓臺的側(cè)面積相等，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)題意結(jié)合梯形中位線有，再根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式列出方程即可求解.
【詳解】設(shè)上部分圓臺的側(cè)面積為，母線長為，下部分圓臺的側(cè)面積為，母線長為，
過圓臺的母線上的三等分點作截面，設(shè)截面半徑分別為，，圓臺的軸截面如圖，
則，解得，則，
，因為，
所以，所以，所以．
故答案為：
外接球與內(nèi)切球問題
11．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將四面體補形成長方體，長方體的長 寬 高分別為、、，長方體的外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.
【詳解】將四面體補形成長方體，長方體的長 寬 高分別為、、，
四面體的外接球即為長方體的外接球，
而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，
故，所以外接球表面積為.
故選：B.
12．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題設(shè)條件作出四面體的高，通過相關(guān)條件推理計算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.
【詳解】
如圖，作平面，連接，易得因，平面，
所以平面，平面，故,
由題可得，，則.
不妨設(shè)，則有①，
在中，由余弦定理，，在中，②，
將兩式相減化簡即得：，.
取線段中點，過點作平面，其中點為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，
由余弦定理求得，
在直角梯形中，，由計算可得：，則該四面體的外接球表面積為.
故選：B.
【點睛】
方法點睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.
求解多面體的外接球的主要方法有：
（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；
（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來求解.
13．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）各棱長都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征及其內(nèi)切球、外接球半徑關(guān)系、空間幾何體的體積公式計算即可.
【詳解】易知正四面體的內(nèi)切球球心與外接球球心重合，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，四面體各面面積為S，
則由四面體的體積得，
所以四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為，
故選:A.
14．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為. 若，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】
設(shè)正三棱錐的高為h，從而求得棱錐的表面積，結(jié)合棱錐的體積求出，進而求得，即可得的表達式，利用換元，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)正三棱錐的高為h，設(shè)E為的中點，O為底面中心，O在上，
，則，側(cè)面上高為，
則正三棱錐的表面積為，
則正三棱錐的體積為，
即，故，
又，則，則，
故，
令，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
故的最小值為3，
故答案為：3
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)正三棱錐的幾何特征，結(jié)合棱錐體積求出外接球半徑以及內(nèi)切球半徑的表達式，從而可得的表達式，利用換元，結(jié)合基本不等式即可求解.
15．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為 ．
【答案】
【分析】采用補形法得正方體，作出圖形，找出內(nèi)切球，外接球球心，由幾何關(guān)系知：兩點間距離的最小值為，易求外接圓半徑，結(jié)合等體積法可求出內(nèi)切圓半徑和，進而得解.
【詳解】由已知將該三棱錐補成正方體，如圖所示.
設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點為，
易知：三點均在上，且平面，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則.
又，，
所以，
由等體積法：，
即，解得，
由等體積法：，
即，解得，
將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最大截面，
∴兩點間距離的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題設(shè)將三棱錐補成正方體，進而確定內(nèi)切球，外接球球心，結(jié)合等體積法求內(nèi)切圓半徑及，即可得的長度的最小值.
空間共面問題
16．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)平面平面，點，點是的中點，當(dāng)分別在平面內(nèi)運動時，那么所有的動點C（ ）
A．不共面
B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動時才共面
C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面
D．共面
【答案】D
【分析】
利用點線面的位置關(guān)系可知，動點C形成的軌跡是平行于（或）的平面即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可知，點應(yīng)在過的中點且平行于（或）的平面內(nèi)，
因此當(dāng)分別在平面內(nèi)運動時，所有的動點C共面.
故選：D
17.（多選）（21-22高三上·山東青島·開學(xué)考試）在三棱柱中，、、、分別為線段、、、的中點，下列說法正確的是（ ）
A．、、、四點共面 B．平面平面
C．直線與異面 D．直線與平面平行
【答案】ABC
【分析】證明出，可判斷A選項；利用面面平行的判定定理可判斷B選項；利用線線的位置關(guān)系可判斷C選項；利用線面平行的性質(zhì)可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為且，、分別為、的中點，
則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為、分別為、的中點，所以，，，
故、、、四點共面，A對；
對于B選項，連接、，
、分別為、的中點，則，
平面，平面，平面，
因為四邊形為平行四邊形，則，，則，
平面，平面，平面，
，平面平面，B對；
對于C選項，由圖可知不與相交，
若，又因為，則，這與矛盾，
故與異面，C對；
對于D選項，延長、交于點，連接交于點，連接，
若平面，平面，平面平面，，
事實上，與相交，故假設(shè)不成立，D錯.
故選：ABC.
18．（23-24高一下·廣西南寧·期中）已知正方體中，，點M，N分別是線段，的中點．
(1)求點M到平面的距離；
(2)判斷，M，B，N四點是否共面，若是，請證明；若不是，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)是，證明見詳解.
【分析】（1）由即可求解；
（2）利用三角形中位線性質(zhì)證明，然后證明為平行四邊形，即可得，再由直線平行的傳遞性可證.
【詳解】（1）記點M到平面的距離為h，
易知為正三角形，且，所以，
又，
所以，
因為，所以，即，
解得，即點M到平面的距離為.
（2），M，B，N四點共面，證明如下：
連接，
因為M，N分別是線段，的中點，
所以，
由正方體性質(zhì)可知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以，M，B，N四點共面.
19．（22-23高一下·湖南衡陽·期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．

(1)求證：EF∥平面PAD．
(2)在線段PC上是否存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點符合題意，且此時
【分析】（1）取的中點，連接，可證得四邊形為平行四邊形，可得∥，再由線面平行的判定理可證得結(jié)論；
（2）取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，然后證明即可.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，
因為分別為的中點，
所以∥，，
因為四邊形為平行四邊形，
所以∥，，
因為為的中點，
所以，
所以∥，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥，
因為平面，平面，
所以∥平面，
（2）存在點符合題意，且此時，
取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，
證明如下：
因為在平行四邊形中，分別為的中點，
所以∥，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥，
因為為的中點，所以點為的重心，且，
因為，
所以∥，
因為∥，
所以∥，
所以和確定一個平面，
因為在直線上，
所以，
所以四點共面，
所以在線段PC上存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面.

20．（22-23高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.

(1)已知點滿足，求證四點共面；
(2)求三棱柱的表面積.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平行公理、平面基本事實推理作答.
（2）求出三棱柱各個面的面積作答.
【詳解】（1）在正方體中，取中點，連接，如圖，

因為是的中點，則，即四邊形是平行四邊形，
則有， 由，知為的中點，而為中點，于是，即有，
所以四點共面.
（2）顯然三棱柱是直三棱柱，，
上下兩個底面的面積和為，
側(cè)面積，
所以三棱柱的表面積.
空間共線問題
21．（21-22高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點．設(shè)與平面的交點為，則（ ）
A．三點 共線，且
B．三點不共線，且
C．三點共線，且
D．三點不共線，且
【答案】A
【分析】利用平面基本事實證明點O在直線 上，再借助正方體性質(zhì)說明可得線段比例式，即可求得答案.
【詳解】在正方體中，連接 ，如圖，
，故共面，
連接 ，平面平面，
因為M為棱 的中點，則平面，
而平面，即平面，又，則平面，
因AM與平面 的交點為O，則平面，
于是得，即三點共線，
由，為棱的中點，可得且，故 于是得，即 ，
所以三點共線，且.
故選：A
22．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上
C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上
【答案】B
【分析】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．
【詳解】如圖，
∵EF 平面ABC，GH 平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即點P一定在直線AC上．
故選：B．
23．（23-24高一下·陜西西安·期中）在直三棱柱中，，側(cè)棱長為3，側(cè)面積為.

(1)求三棱錐的體積;
(2)若點D、E分別在三棱柱的棱上，且，線段的延長線與平面交于三點，證明：共線.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用三棱柱的側(cè)面積公式先計算三棱柱底面各棱長，再由三棱錐的體積公式及等體積法計算即可；
（2）利用空間中直線、平面的位置關(guān)系證明即可.
【詳解】（1）由題意知，
所以該三棱柱的側(cè)面積為，
又，直三棱柱中，
且平面，
所以平面，
又，所以平面，
故三棱錐的體積為；
（2）由基本事實的推論知兩條相交直線共面，所以平面，
又平面，所以平面，
而平面，平面平面，
所以，即共線.
24．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中， 分別在上，與交于點，求證：三點共線.

【答案】證明見解析
【分析】由基本事實3，證明點在兩平面的交線上即可.
【詳解】 平面，
平面，同理，平面.
是平面與平面的公共點.
又平面平面，
,三點共線.

25．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，截面．
(1)求證：B、P、三點共線；
(2)若，，，求DP的長．
【答案】(1)見解析；
(2).
【分析】（1）證明出點在平面與平面的交線上即可；
（2）由（1）推理出點為與交點，利用三角形重心的特點即可得到答案.
【詳解】（1）平面，
所以平面，又平面,
平面平面，所以,
即三點共線.
（2）連接，再連接，交于點，由（1）及，
則點為與交點，
，四邊形為平行四邊形，
是中點，又是的中點,
所以點是的重心,所以 ,
又因為,所以,
所以.
空間共點問題
26．（22-23高一下·山東威海·期末）在空間四邊形中，若，分別為，的中點，，，且，，則（ ）
A．直線與平行 B．直線，，相交于一點
C．直線與異面 D．直線，，相交于一點
【答案】B
【分析】首先利用相似三角形證明且，再利用中位線定理證明且，從而得到四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，設(shè)，交于一點，利用平面的性質(zhì)證明是直線，，的公共點即可．
【詳解】因為，，且，
所以，所以且，
因為，分別為，的中點，所以且，
所以且，故四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，
所以，交于一點，設(shè)交點為，則，，
又因為平面，且平面，
所以平面，且平面，
又平面平面，
所以，
所以點是直線，，的公共點，
故直線、、相交于一點．

故選：B
27．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

(1)證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
(2)求正四棱臺挖去三棱臺后所得幾何體的體積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)105.
【分析】（1）作出輔助線，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．根據(jù)棱臺性質(zhì)得到，點E，F(xiàn)重合，從而證明出結(jié)論；
（2）求出正四棱臺的體積和三棱臺的體積，相減后得到答案.
【詳解】（1）證明：在正四棱臺中，因為，，，，
所以四邊形，均為梯形，則直線MQ與必相交，NP與必相交．
延長MQ，，NP，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．
在正四棱臺中，，，

則，，
得，所以點E，F(xiàn)重合，
即直線MQ，，NP相交于同一點．
（2）正四棱臺的體積為．
由題意可得三棱臺的高為6，
則三棱臺的體積為．
故所求幾何體的體積為．
28．（22-23高一下·陜西西安·期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

【答案】證明過程見解析
【分析】
（1）設(shè)兩平行直線確定的平面為，從而得到，，直線，即平面，證明出結(jié)論；
（2）作出輔助線，得到，且，得到四邊形為梯形，與交于一點，再證明點在直線上，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：設(shè)直線與，分別交于點，
如圖1，

因為，所以確定一個平面，記為平面，
因為點直線，點直線，所以，，
所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個平面；
（2）在空間四邊形中，連接，
因為分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設(shè)與交于點，如圖2，

由于平面，點在平面內(nèi)，同理點在平面內(nèi)，
又因為平面平面，
所以點在直線上，
故直線相交于一點.
29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面體中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：

(1)，，，四點共面；
(2)直線，，相交于一點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)基本事實的推論證明即可；
（2）根據(jù)基本事實3證明即可.
【詳解】（1）

連接，，
在三角形中，，所以，
∵，分別是邊，的中點，
∴，
∴，，，，四點共面.
（2）∵，為中點，
∴與不平行，
∵平面，
∴與相交，
設(shè)，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直線，，相交于一點.
30．（22-23高一下·陜西·期中）已知分別是正方體中和的中點.
(1)證明：四點共面.
(2)證明：三條直線交于一點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）通過證明，得到四點共面.
（2）設(shè)和交于點P，證明點P在平面與平面的交線上.
【詳解】（1）連接，因為是正方體，
分別是和的中點，所以.
又，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以四點共面.
（2）由（1）知，且，
所以和必交于一點.
設(shè)，
因為平面，所以平面.
因為平面，所以平面.
又平面平面，所以，
所以交于一點.
截面問題
31．（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，N是的中點，過B、D、N的平面截該正方體所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，取的中點，連接，然后利用平面的性質(zhì)可得過B、D、N的平面截該正方體所得截面為梯形，從而可求出截面的面積.
【詳解】連接，取的中點，連接，
因為是的中點，所以∥，，
因為∥，，所以∥，，
所以過B、D、N的平面截該正方體所得截面為梯形，
連接交于，連接交于，連接，
因為，
所以，所以梯形為等腰梯形，
所以，
所以梯形的面積為，
故選：B

32．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周長是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先作出截面，再根據(jù)幾何關(guān)系求邊長，即可求解周長.
【詳解】如圖1，延長與交于點，連結(jié)，與交于點，
連結(jié)，則四邊形為所求截面，
其中，，

如圖2，，所以，即，

如圖1，若，則，所以，
即點是的中點，
所以，
中，，
所以，
所以四邊形的周長為.
故選：B
33．（22-23高一下·重慶渝中·期中）正方體的棱長為2，P為中點，過A，P，三點的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中點，連接，得到截面為四邊形，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解.
【詳解】

如圖，截面為四邊形，
取中點，連接，則，且.
因為,且，所以四邊形是平行四邊形，
則，，
所以，且，又
所以截面為等腰梯形，且上底長為，下底長為，腰長為，
所以截面的面積為.
故選：C
34．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）在正方體中，，E為棱上一點，且，則，E，C三點所在的平面截正方體所得截面的周長為 .
【答案】
【分析】在上取靠近D的四等分點，連接CF易得，故，E，C三點所組成的平面截正方體的截面為，進而易求其周長.
【詳解】如圖，在上取，連接CF，，在上取，連接GF，BG.因為，，所以四邊形BCFG為平行四邊形，所以，易得，則，，E，C三點所組成的平面截正方體的截面為，由題意得，，所以周長為.

故答案為：
35．（23-24高一下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，棱長為2，是線段的中點，平面過點、C、E.
(1)畫出平面截正方體所得的截面，并說明原因；
(2)求（1）中截面多邊形的面積；
(3)平面截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取的中點，連接、、，利用平行線的傳遞性可證得，可知、、、四點共面，再由于、、三點不共線，可得出面即為平面截正方體所得的截面；
（2）分析可知，四邊形為等腰梯形，求出該等腰梯形的高，利用梯形的面積公式可求得截面面積；
（3）利用臺體的體積公式可求得三棱臺的體積，并求出剩余部分幾何體的體積，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）如下圖，取的中點，連接、、.
因為是的中點，所以.
在正方體中，，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，
所以、、、四點共面.
因為、、三點不共線，所以、、、四點共面于平面，
所以面即為平面截正方體所得的截面.
（2）由（1）可知，截面為梯形，，
，，
同理可得，
如下圖所示：
分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，
則，，，
所以，，則，
因為，，，則四邊形為矩形，
所以，，則，
所以，，
所以，梯形的面積為.
（3）多面體為三棱臺，，
，該棱臺的高為，
所以，該棱臺的體積為
，
故剩余部分的體積為.
故比較小的那部分與比較大的那部分的體積的比值為.
交線問題
36．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在棱長為6的正方體中，分別是棱的中點，過三點的平面與正方體各個面所得交線圍成的平面圖形的周長為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用平面的基本事實作出截面，再求出截面多邊形周長.
【詳解】直線與直線分別交于點，連接分別交于是，連接，
則五邊形是過三點的平面截正方體所得截面，如圖，
顯然，，則，
，，而，
所以五邊形的周長為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
37．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

【答案】畫圖見解析
【分析】畫平面與長方體不同的表面的交線，只需找到兩平面的兩個公共點，兩點確定交線即可.
【詳解】如圖，由于P是上的點，所以平面，且平面，
所以平面平面=，
同理，平面平面=，平面平面=，
所以平面與長方體表面的交線是，，.
作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．

38．（22-23高一下·遼寧·期末）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點．
(1)請在直四棱柱中，畫出經(jīng)過三點的截面并寫出作法（無需證明）．
(2)求截面的面積．
【答案】(1)圖形見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接、、、，則四邊形即為所求；
（2）依題意可得四邊形為菱形，連接，，求出，，即可得解.
【詳解】（1）取的中點，連接、、、，
則四邊形即為過點、和的平面截直四棱柱所得截面；
取的中點，連接、，因為為的中點，為直四棱柱，底面為正方形，
所以且，且，所以且，
所以為平行四邊形，所以，
又且，所以為平行四邊形，所以，
所以，即、、、四點共面.
（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點，
所以，
所以四邊形為菱形，連接，，則，
又，，
所以.
39．（21-22高一下·山東青島·期中）如圖所示，正方體的棱長為a．
(1)過正方體的頂點A，B，截下一個三棱錐，求正方體剩余部分的體積；
(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點，請畫出過，M，N三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長；
(3)設(shè)正方體外接球的球心為O，求三棱錐的體積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐的體積，再用正方體體積減去即可；
（2）根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識點則可求出相關(guān)線段長；
（3）根據(jù)（1）中三棱錐的體積以及正方體和正三棱錐的性質(zhì)即可求出三棱錐的高，再利用棱錐的體積公式即可.
【詳解】（1）因為正方體，所以平面，
則為三棱錐的高，，，
則，
則正方體剩余部分的體積為.
（2）畫直線交，延長線分別為點，
再分別連接，分別交于點，
順次連接，五邊形即為交線圍成的多邊形，
易得，，則為等腰直角三角形，
則，根據(jù)∽，，
則，則，，
同理可得，，而，
則五邊形的周長為.
（3）
連接，易知的中點即為正方體外接球的球心點，
且，
易得三棱錐為正三棱錐，
而三棱錐的頂點在底面上的投影即為等邊三角形的中心點，
且點均在直線上，
由（1）得，
即，解得，
而，所以
所以，
則.
40．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）如圖，正方體的棱長為4cm，分別是和的中點．
(1)畫出過點的平面與平面及平面的兩條交線；
(2)設(shè)過的平面與交于點P，求PM+PN的值．
【答案】(1)圖象見解析；
(2)
【分析】（1）由平面的性質(zhì)，作出過點的平面與正方體的截面，即可求出；
（2）利用三角形相似分別求出，即可求得.
【詳解】（1）如圖所示，連接并延長交的延長線于點，連接交于點，交延長線于點，連接交于點，連接，則即為所求作的截面．
如圖示：平面與平面的交線為，平面與平面的交線為.
（2）由N為的中點，易得，所以，
因為，所以，得，
所以，，，
所以，．
所以．
異面直線問題
41．（23-24高二上·重慶·期末）在正方體中，點是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通過平行關(guān)系將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解正弦值即可.
【詳解】如圖所示，取中點，連接，取中點，連接，
則，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以或其補角是異面直線與所成角，
設(shè)正方體棱長為2，則，
在等腰中，是中點，所以，
所以，
即異面直線與所成角的正弦值為.
故選：C
42．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，過點作直線與和所成的角均為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】計算異面直線和所成的角，則的最小值為異面直線和所成角的一半．
【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，

，為異面直線和所成角，
又， 是等邊三角形，，
過C作直線的平行線，則當(dāng)與的角平分線重合時，取得最小值．
故選：C
43．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則該長方體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】連接與交于點，取中點，連接，則，則為異面直線與所成角（或補角），設(shè)，在中利用余弦定理求出，最后求出長方體的體對角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的表面積.
【詳解】連接與交于點，則為中點，
取中點，連接，則，
為異面直線與所成角（或補角），
設(shè)，，，則， ，
在中，由余弦定理得，
若，則，解得（負值已舍去），
若，則，方程無解，
所以，
所以長方體的對角線長為，
所以長方體的外接球的半徑，
所以長方體外接球的表面積.
故選：B
44. （多選）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方體中，為底面的中心，則（ ）
A．直線與所成的角等于
B．直線與所成的角等于
C．直線與是異面直線
D．直線與所成的角等于
【答案】BD
【分析】根據(jù)異面所成角的定義與計算方法，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項判定、求解，即可求解.
【詳解】對于A中，在正方體中，，
所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，
在等腰直角，可得，
即異面直線與所成的角為，所以A不正確；，
對于B中，在正方體中，可得，
所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，
在等邊，可得，
即異面直線與所成的角為，所以B正確；，
對于C中，在正方體中，由為底面的中心，
可得平面，且平面，
所以直線與不是異面直線，所以C錯誤；
對于D中，在正方體中，因為為正方形，可得，
又由平面，平面，所以，
因為且平面，所以平面，
又因為平面，所以，所以D正確.
故選：BD.

45. （22-23高一·全國·課后作業(yè)）已知S是矩形所在平面外一點，，，與所成角大小為，與所成角大小為，，分別求直線與的距離及與的距離．
【答案】，
【分析】根據(jù)異面直線所成的角，平行線的性質(zhì)得，，，，從而求得的長，再由異面直線的距離定義證得公垂線，從而得結(jié)論．
【詳解】∵,，，∴，
因為與所成角大小為，而，則，
因為與所成角大小為，而，則，
，則，，，
又是矩形，
所以線段是直線與的公垂線段，線段是與的公垂線線段，
所以直線與的距離是，與的距離是．
直線與平面所成角問題
46．（2023·全國·模擬預(yù)測）在長方體中，已知與所成的角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．與平面所成的角為
C．平面 D．與平面所成的角為
【答案】C
【分析】設(shè)，求得，得到和，證得平面，得到，可判定A正確；由與平面所成的角為，可判定B不正確；由與平面所成的角為，可判定D不正確，證得，可得判定C正確．
【詳解】如圖所示，連接，
設(shè)，因為與AD的夾角為60°，即，，所以，
又因為與平面ABCD所成的角為30°，即，，
所以，故長方體的左、右側(cè)面為正方形，所以，
又因為平面，平面，所以，
而，所以平面，
又因為平面，所以，所以A不符合題意．
在長方體中，可得平面，
所以與平面所成的角為，所以B不符合題意．
在長方體中，得到，
所以與平面所成的角為，所以D不符合題意．
若平面，則，則，與已知矛盾，所以C符合題意．
故選：C．
47．（22-23高一下·陜西寶雞·期末）在正方體中，直線和平面所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接交于點，連接，即可得到平面，則為直線和平面所成的角，再由銳角三角函數(shù)計算可得.
【詳解】連接交于點，連接，則，
又平面，平面，所以
又，平面，所以平面，
則為直線和平面所成的角，
又平面，所以，所以，
則，即直線和平面所成角為.
故選：A
48．（22-23高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為，點M為平面ABC內(nèi)的動點，設(shè)直線SM與平面ABC所成的角為，若，則點M的軌跡所形成平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在正四面體中，過頂點作下底面的垂線，垂足O即為下底面中心，然后可得出線面角，根據(jù)其正弦值的范圍，求出線段的范圍，進而求出的范圍，則點的軌跡所形成的平面圖形為一個半徑為1的圓面，從而可求出其面積.
【詳解】在正四面體中，頂點在底面的投影為正的中心，即平面，
因為正四面體的棱長為，所以，
所以，
因為直線SM與平面ABC所成的角為，所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓面，
所以點M的軌跡所形成平面圖形的面積為，
故選：B

49．（多選）（22-23高一下·湖北武漢·期末）若正四棱柱的底面棱長為4，側(cè)棱長為3，且為棱的靠近點的三等分點，點在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足與底面的所成角，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．點所在區(qū)域面積為
B．有且僅有一個點使得
C．四面體的體積取值范圍為
D．線段長度最小值為
【答案】AC
【分析】A選項，根據(jù)題意得到所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），得到區(qū)域面積；B選項，尋找到不止一個點使得；C選項，根據(jù)P點不同位置求出點P到平面的距離最大值及最小值，求出最大體積和最小體積； D選項，結(jié)合P的所在區(qū)域及三角形兩邊之和大于第三邊求出長度最小值.
【詳解】A.由線面角的定義可知，，即，
故點所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），即圓的，面積為，A正確；
如圖，設(shè)點的軌跡與交于點，
B.不妨點P與點F重合，此時，
由余弦定理得：，則
同理可得：，故不止一個點使得，B錯誤；
C.如圖，平面，平面，所以，
且，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面，
且平面平面，
因為，平面，平面,
所以平面,所以點到平面的距離相等，
如圖，當(dāng)點在點處時，此時點P到平面的距離最大，最大距離為，
此時四面體的體積為，
當(dāng)P與點F重合時，此時點P到平面的距離最小，最小距離為，
因為△BFK∽△BAH，所以，所以最小體積為，

故四面體的體積取值范圍為，C正確；

D.當(dāng)PC取最小值時，線段長度最小，
由三角形兩邊之和大于第三邊知：當(dāng)A，P，C三點共線時，PC取得最小值，即，
則，D錯誤
故選：AC
50．（23-24高一下·河南開封·期中）在三棱錐中，已知平面OAB，，，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則 ．（用角度表示）
【答案】
【詳解】因為平面OAB，
所以在平面上的投影為，
所以與平面所成的角的平面角為。
所以，是直角三角形，，又，
所以，
因為平面OAB，
所以在平面上的投影為，
所以與平面所成的角的平面角為。
所以，是直角三角形，，又，
所以，又，
所以在中，，所以．
故答案為：.

平行與垂直的概念辨析
51．（23-24高一下·河南鄭州·期中）設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，，，，只有直線與相交時，可得，所以A不正確；
對于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯誤；
對于C中，由，，，則，所以C錯誤；
對于D中，由，，可得，又因為，所以，所以D正確.
故選：D.
52．（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知，，是空間中不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若與異面，則至多有一條與，都垂直
C．若，，，則一定平行于和
D．若，，，則存在同時垂直，
【答案】D
【分析】借助正方體模型，可依次判定選項.
【詳解】在正方體中，
對于A，令，，，符合題意，但是，故A錯誤；
對于 B，令，，兩直線異面，
在正方體中與平行的直線與異面直線都垂直，故B錯誤；
對于C，令為平面，為平面，，，
符合，，，但平面，故C錯誤；
對于D，令為平面，為平面，，，
符合，，，則，故D正確.
故選：D.
53．（2024·貴州·模擬預(yù)測）設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，、為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為（ ）
A．若m上有兩個點到平面的距離相等，則
B．若，，則“”是“”的既不充分也不必要條件
C．若，，，則
D．若m、n是異面直線，，，，，則
【答案】D
【分析】對于A，m與可以相交，直線m上關(guān)于交點對稱的兩點到平面的距離相等；對于B，C，根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)進行判斷；對于D，根據(jù)面面平行的判定定理進行判斷.
【詳解】對于A，當(dāng)直線m與相交時，直線m上關(guān)于交點對稱的兩點到平面的距離相等，故A錯誤；
對于B，若，，，則，又，所以；當(dāng)時，，當(dāng)時，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要條件，故B錯誤；
對于C，若，，，m與n位置關(guān)系不固定，可以是各自平面內(nèi)的任意直線，故C錯誤；
對于D，若m、n是異面直線，，，，，則在直線任取一點，過直線與點確定平面，，又，則，，，所以，又， ，所以，故D正確.
故選：D.
54．（多選）（23-24高一下·寧夏石嘴山·期中）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若 則；
②若 則；
③若， 則；
④若 則.
其中正確命題的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BC
【分析】根據(jù)線面，面面平行或垂直的位置關(guān)系，即可判斷選項.
【詳解】①沒說明直線垂直于兩平面的交線，所以不能判斷，故①錯誤；
②根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若 ，則，故②正確；
③垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以若，則，
若，則，故③正確；
④若，則平行或相交，若，則或相交或，故④錯誤.
故選：BC
55．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命題正確的是 .（填序號）
①若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行；
②垂直于同一條直線的兩直線平行；
③兩個平面互相垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，必垂直與另一個平面；
④過兩個點與已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤過兩條異面直線外任一點有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；
⑥到一個四面體的四個頂點的距離都相等的平面有7個.
【答案】①⑤⑥
【分析】根據(jù)題意，由直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，依次分析6個命題，即可判斷．
【詳解】對于①：
如圖，，平面平面，所以，同理，所以，
又因為，所以，
又，所以，所以，
若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行，故①正確；
對于②：垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行或異面，故②錯誤；
對于③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，兩個平面互相垂直，過一個平面內(nèi)任意一點（不在交線上）作交線的垂線，必垂直與另一個平面，
當(dāng)該點在交線上時，作交線的垂線，得不到該直線與另一個平面垂直，故③錯誤；
對于④：分3種情況討論：若兩點確定的直線在已知平面內(nèi)，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有且只有一個；
若兩點確定的直線不在平面內(nèi)，但與已知平面不垂直，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有一個，
若兩點確定的直線不在平面內(nèi)且與已知平面垂直，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有無數(shù)個，
綜上，過兩點與一個已知平面垂直的平面有一個或無數(shù)個，一定存在，故④錯誤；
對于⑤：設(shè)直線、異面，過直線上一點作直線，
使得且，如下圖所示：
設(shè)直線、確定平面，過空間中任意一點，有且只有一條直線，使得，
因為、，則，，又因為，則，
故過兩條異面直線外任一點有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直，故⑤正確；
對于⑥：到一個四面體的四個頂點的距離相等的平面，可以看作是與一個四面體四個頂點距離相等的平面，
可以是與兩條對棱平行，這樣的平面有3個，
也可以是與一個底面平行，與另一個頂點距離相等，這樣的面有4個，
則到一個四面體的四個頂點的距離都相等的平面有7個，⑥正確．
故答案為：①⑤⑥
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是正確理解空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用反例及適度的數(shù)形結(jié)合是有效且快速的處理方法.
線面平行的判定
56．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，正邊長為分別是邊的中點，現(xiàn)沿著將折起，得到四棱錐，點為中點．
(1)求證：平面
(2)若，求四棱錐的表面積．
(3)過的平面分別與棱相交于點，記與的面積分別為、，若，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點，連，利用中位線定理證明四邊形是平行四邊形，即可得到，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；
（2）通過勾股定理逆定理證明，，結(jié)合三角形面積公式即可運算求解；
（3）由題意得，，從而可將面積比轉(zhuǎn)換為線段比的平方即可運算求解.
【詳解】（1）取中點，連，
因為點為中點，
，且，
同時因為分別是邊的中點，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根據(jù)對稱性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱錐的面積.
（3）
由（1）知平面，
平面平面
，，
又，，.
57．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在直三棱柱中，，D是BC邊的中點，．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)求證：面．
(3)一只小蟲從點沿直三棱柱表面爬到點D，求小蟲爬行的最短距離．
【答案】(1)144；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用柱體體積公式計算得解.
（2）連接，借助三角形中位線，利用線面平行的判定推理即得.
（3）分情況把點及點所在的幾何體表面展開置于同一平面，求出兩點間的距離并比較得解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，由，得，
由，得，，
所以直三棱柱的體積.
（2）連接，連接，由矩形，得是的中點，而D是BC邊的中點，
則，又平面，平面，
所以平面.
（3）當(dāng)小蟲從點沿爬到點D，把矩形與置于同一平面內(nèi)，如圖，
連接，過作于，交于點，
由，得，，，
，則，
因此；
當(dāng)小蟲從點沿正方形爬到點D，把正方形與置于同一平面內(nèi)，
或把正方形與矩形置于同一平面內(nèi)，如圖，
在左圖中，取中點，連，顯然共線，則，，
而，因此，
在右圖中，，；
當(dāng)小蟲從點沿矩形爬到點D，把矩形與置于同一平面內(nèi)，
或把矩形與矩形置于同一平面內(nèi)，如圖，
在左圖中，取中點，連，顯然共線，則，，
而，因此，
在右圖中，，，
顯然，
所以小蟲爬行的最短距離.
58．（2024·陜西西安·二模）如圖，在直三棱柱中，，，M，N，P分別為，AC，BC的中點．
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形，找到線線平行，利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）轉(zhuǎn)換頂點并結(jié)合椎體的體積公式即可證明.
【詳解】（1）∵直三棱柱中，為的中點，
所以，且，
因為，分別，的中點，
∴，，
，，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（2）因為直三棱柱，則平面平面，
因為平面，則點到底面的距離即為點到底面的距離，
又因為底面，則點到底面的距離即為長，
又因為N，P分別為AC，BC的中點，且，
則.
59．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，，D是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與的交點為，連接，由線面平行的判定定理，即可證明；
（2）由條件可得為直線與所成的角，結(jié)合余弦定理，代入計算，即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）設(shè)與的交點為，連接,
∵為直三棱柱，且，則四邊形為正方形，
∴為的中點，又D是的中點，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）由（1）可知，，
∴為直線與所成的角（或其補角），
在中，，
由余弦定理可得，
即異面直線與所成角的余弦值為為．

60. （22-23高一下·全國·期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E F G分別為PC PD BC的中點.

(1)求證：PA平面EFG；
(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，說明不在平面，在平面，證明平行平面內(nèi)的直線即可證明平面；
（2）利用轉(zhuǎn)化法，求出底面面積和高，求三棱錐的體積．
【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，，
，分別為，的中點，．
，分別為，的中點，
．．，，，四點共面
，分別為，的中點，
．
平面，平面，
平面．
（2）平面，平面，
．
為正方形，．，平面,
平面．
，，
．
，

線面平行的性質(zhì)
61．（22-23高一下·新疆·階段練習(xí)）如圖，四邊形為長方形，平面，，點 分別為的中點，設(shè)平面平面．

(1)證明：平面；
(2)證明：；
(3)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）取的中點，連接，根據(jù)題意證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）由平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，
因為點分別為的中點，所以且，
又因為四邊形為長方形，所以且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面.
（2）證明：由平面，
因為平面，且平面平面，
所以.
（3）解：由平面，則點到平面的距離等于到平面的距離，
因為平面，所以為三棱錐的高，
所以三棱錐的體積為：
.

62．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為邊長為2的正方形，E為的中點，過，D，E的平面交于點F．

(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）由等體積法求解即可.
【詳解】（1）∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴．
（2）∵E為中點，∴點E到平面的距離d為點到平面距離的一半，
又點到平面距離等于點A到平面的距離，
∴點E到平面的距離，又，
∴．
63．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在四棱錐中，//平面PAD，，，，點N是AD的中點．求證：

(1)//；
(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）由線線平行，以及異面直線所成角的定義即可求解平面角，由余弦定理即可求解.
【詳解】（1）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴BC∥AD，
（2）由于點N是AD的中點，BC∥AD，，所以,故四邊形為平行四邊形，則 ,
故或其補角即為異面直線PA與NC所成角，
在中，,
故異面直線PA與NC所成角的余弦值為
64．（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在五面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，，，，．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)條件結(jié)合線面平行的判定定理得到 平面，即可由線面平行的性質(zhì)得到.
【詳解】因為，平面，平面，
所以 平面，
又 平面，
且平面平面，
．
65．（22-23高一下·北京朝陽·期中）如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．

(1)求證：；
(2)求證：平面；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）取的中點，連接，由（1）可證明是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可得平面.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，平面，
平面，且平面平面，
由線面平行的性質(zhì)定理可得；
（2）取的中點為，連接，如下圖所示：

由是的中點，是的中點，可得，且；
由（1）知，且，所以，且；
所以四邊形是平行四邊形，
即，又平面，平面；
所以平面.
面面平行的判定
66．（23-24高一下·廣東廣州·期中）由直四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，O為AC與BD的交點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)設(shè)平面與底面ABCD的交線為l，求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）取的中點，連接，，結(jié)合四棱柱的幾何性質(zhì)，由線線平行證明即可；
（2）由線線平行證平面，結(jié)合平面即可證平面平面；
（3）由線面平行證線線平行即可．
【詳解】（1）取的中點，連接，，
是四棱柱，平行且等于，
四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，
平面；
（2）平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四邊形是平行四邊形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面且，、平面，
平面平面；
（3）由（2）得平面，
又平面，平面平面，
．
67．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點，G，H分別為，中點，O為平面中心．證明：平面‖平面；
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到‖，‖，然后根據(jù)面面平行的判定定理證明即可．
【詳解】連接，，
∵為正方體，為平面的中心，
∴‖，‖，，為中點，
∵為中點，為中點，
∴‖‖，，
∴四邊形為平行四邊形，‖，
∵分別為中點，分別為中點，
∴‖，‖，
∴‖，
∵平面，平面，
∴‖平面，∥平面，
∵，平面，
∴平面∥平面．
68．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點．證明：平面平面；
【答案】證明見解析
【分析】由線線平行即可證明面面平行.
【詳解】因D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點．
且圖形為直三棱柱，則，
得四邊形為平行四邊形，．
又平面，平面，則平面．
又平面ABD，，
故平面平面
69．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．求證：平面平面.
【答案】證明見解析
【分析】連接交于，連接，即可得到，從而證明平面，再說明四邊形是平行四邊形得到，即可得到平面，從而得證.
【詳解】連接交于，連接，則為的中點，
因為為的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，平面，所以平面平面．
70．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）取PD的中點E，連接AE，NE，證明四邊形AMNE為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即得；
（2）證明平面PAD，平面PAD，進而即得.
【詳解】（1）
取PD的中點E，連接AE，NE，

因為N是PC的中點，所以且，
又M是AB的中點，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）
因為Q為PB的中點，M是AB的中點，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
面面平行的性質(zhì)
71．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體．如圖，四棱錐P－ABCD就是陽馬結(jié)構(gòu)，PD⊥平面ABCD，且，，．
(1)證明：平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）取中點為,證明，，進而根據(jù)線面平行以及面面平行的判定定理證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，即可證得線面平行；
（2）由已知可推出，進而推得.根據(jù)等體積法可推得，然后根據(jù)體積公式求解，即可得出答案.
【詳解】（1）
如圖，取中點為,連接.
因為，所以分別為的中點.
又為的中點，所以，.
又，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
同理可得，平面.
因為平面，平面，，
所以，平面平面.
因為平面，所以平面.
（2）因為，所以.
因為
，
所以 .
72．（2023高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，，，.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，由面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論.
【詳解】，平面，平面，平面，
平面，，平面，平面平面，
又平面平面，平面平面，.
73．（19-20高一·浙江杭州·期末）如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

【答案】證明過程見解析
【分析】作出輔助線，得到線線平行，進而證明出線面平行，面面平行，從而證明出線面平行.
【詳解】在上取，使得，則，
因為平面，平面，
所以平面，
因為，所以，則，
又中，，故，
因為平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面，，
所以平面 平面，
因為平面，所以 平面.

74．（19-20高二下·湖南岳陽·期中）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A－CD－F為60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求證：平面ADE；
(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】
（1）證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）分析可知二面角的平面角為，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，可得出直線與平面所成角為，計算出、的長，即可求得的正弦值，即為所求.
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，
又∵平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，
∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，
又∵，BC，平面BCF，∴平面平面ADE，
而平面BCF，∴平面ADE；

（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE，
∴∠ADE即為二面角A－CD－F的平面角，∴∠ADE＝60°，
又∵AD∩DE＝D，平面ADE，平面ADE，∴CD⊥平面ADE，
又∵平面CDEF，∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，連接CO，
∵平面CDEF⊥平面ADE，平面CDEF∩平面ADE＝DE，平面ADE，
則AO⊥平面CDEF，所以直線AC與平面CDEF所成角為∠ACO，
可知，，
所以．
因此，直線AC與平面CDEF所成角的正弦值為．
75．（22-23高一下·黑龍江鶴崗·期末）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）求出三邊邊長，利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，由此可得出點到的距離為，即為所求.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接、，如下圖所示：

因為為的中點，為的中點，則，即，
同理可得，所以，，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為、分別為、的中點，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，因此，平面.
（2）解：因為平面，、、平面，則，，，
因為，，則，
因為、分別為、的中點，則，
因為、分別為、的中點，則且，
因為，則，
由（1）可知，，所以，，
因為，則，
因為為的中點，則，
所以，，
所以，，
故，
因此，點到直線的距離為.
線面垂直的判定
76．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖（1），已知菱形中，，沿對角線將其翻折，使，設(shè)此時的中點為，如圖（2）.
圖1 圖2
(1)求證：點是點在平面上的射影；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題意可得，連接，利用勾股定理逆定理證明，即可得到平面，從而得證；
（2）設(shè)點到面的距離為，利用等體積法求出，設(shè)直線與平面所成角為，則，即可得解.
【詳解】（1）在菱形中，，
所以，均為等邊三角形，
因為，為的中點，所以，
又，所以，
連接，則，
又因為，
所以，所以，所以，
又因為，所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，所以點是點在平面上的射影；
（2）設(shè)點到面的距離為，又菱形邊長為，
則的面積，所以；
由的面積，由（1）知平面，，
所以，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值．
77．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，E是的中點．
(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明，由線面垂直的性質(zhì)證明，由線面垂直的判定定理即可得證；
（2）思路一：由線面角相等得，由等面積法求得，再求得底面梯形面積即可求解，思路二：由線面角相等得，由等體積法得，結(jié)合梯形面積公式、棱錐體積公式即可得解.
【詳解】（1）連接AC，
由，，，∴．
∵，E是的中點，所以．
∵平面，平面，∴．
又∵，平面，∴平面．
（2）過點B作交于G，交于F，
則由（1）可得平面，
∴平面．
∴為直線與平面所成的角，
又∵平面，∴為直線與平面所成的角．
又∵在和中，，是公共邊，
∴，∴．
又∵，，∴四邊形是平行四邊形，
∴．∴．
在中，，，∴，
∴由得，即，
又∵梯形的面積為，
∴四棱錐的體積為；
第（2）問解法二：
因為平面，所以是在平面內(nèi)的射影，
∠PBA是與平面所成的角，
設(shè)，則．
設(shè)B到平面的距離為d，與平面所成的角為，
則，
因為與平面所成的角與與平面所成的角相等，所以．
如圖，在梯形中，
過C作于H，則，，所以，
由可得，所以．
過E作于F，則．
由，得，
即，所以，解得．
又∵梯形的面積為，
∴四棱錐的體積為．
78．（22-23高二下·天津紅橋·期末）如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，平面，.
(1)求證：直線平面；
(2)求證：直線平面；
(3)求直線與平面所的成角.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）通過證明結(jié)合線面平行判定定理可證；
（2）由勾股定理證得，再結(jié)合可證；
（3）先說明即為直線與平面所的成角，再求得正切值可解.
【詳解】（1）證明：∵正六邊形，∴，，
∴，∴，
∵平面，平面，
∴直線平面.
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴,∴，
因為平面， 平面，故，
∵,平面，故直線平面.
（3）∵平面，
∴即為直線與平面所的成角，
在中，，，∴，
∴，
即為直線與平面所的成角為.
79．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.
【答案】證明見解析
【分析】
先證平面，得，再證，可證平面.
【詳解】
因為四邊形是菱形，所以.
因為，，平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，即.
因為，平面，且，所以平面.
80．（23-24高二上·上海長寧·期末）如圖，已知正四棱柱，
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)正四棱柱特點結(jié)合線面垂直的判定即可證明；
（2）通過平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合面面平行的判定即可證明.
【詳解】（1）因為正四棱柱，所以平面，
且四邊形為正方形，所以，
又因為平面，所以，
因為，且平面，所以平面.
（2）因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，
所以平面，
又因為，且平面，所以平面平面.
線面垂直的性質(zhì)
81．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知正方體A1C．
(1)求證：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)線線垂直的思路是證明直線垂直于另一直線所在的平面.
(2)直線與直線的平行，利用線面垂直的性質(zhì)垂直于同一平面的兩直線平行.
【詳解】（1）如下圖，連接A1C1．
因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因為四邊形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因為CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因為A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上圖，連接B1A，AD1．因為B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因為AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
82．（2022高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，.證明：平面平面.
【答案】證明見解析
【分析】先證明可得平面，再證明平面，由面面平行判定定理得證.
【詳解】證明：∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵四邊形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，且，
∴平面平面.
83．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在三棱錐中，平面，是側(cè)面上的一點，過作平面的垂線，其中，證明：平面．
【答案】證明見解析
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理證明.
【詳解】因為平面，平面，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
84．（2021高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，點Q是棱PC上異于P，C的一點．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）過點Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點F在棱PB上)，求證：QF∥BC.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）連結(jié)AC，交BD于點O，則O為BD的中點，由條件證明BD⊥平面PAC得出結(jié)論；
（2）證明AD∥平面PBC，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及線線平行的傳遞性得出結(jié)論；
【詳解】（1）因為PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PC.
記AC，BD交于點O，連結(jié)OP.
因為平行四邊形對角線互相平分，則O為BD的中點．
又△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.
又PC∩OP＝P，PC，OP 平面PAC.
所以BD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，所以BD⊥AC.
（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC.
又AD平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
又AD 平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF，
所以QF∥BC.
85．（20-21高一上·陜西延安·期末）如圖所示，為的直徑，C為上一點，平面，于E，于F.求證：平面.
【答案】證明見解析
【解析】C為⊙O上點，所以，根據(jù)條件平面，可得，從而面，則，然后可證明平面，即得到，從而得證.
【詳解】證明：為⊙O的直徑，C為⊙O上點，所以
因為平面，平面，所以
又,所以 面
又平面，則
又，，所以平面
又平面，所以
又因為，
所以平面
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查線面垂直的證明，解答本題的關(guān)鍵是由線面垂直得線線垂直，從而得到線面垂直，即先證明面，從而得到，再證明平面，得到，屬于中檔題.
面面垂直的判定與性質(zhì)
86．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在四棱柱中，是邊長為2的菱形，且，側(cè)面底面為中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知易證，利用線面垂直可得，進而可證，利用線線垂直可得平面，可證結(jié)論成立；
（2）求得的面積，到平面距離，利用可求體積.
【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，
由為中點，知 ，
是邊長為的菱形且為中點，
，故，
又由平面，
平面平面，
又四邊形為平行四邊形，
，
又平面，
平面平面平面平面.
（2）由（1）知的面積為
側(cè)面底面，又，
到平面距離為，即到平面距離為
三棱錐的體積.
87．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線且，點是圓柱底面圓周上的點．
(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；
(2)證明：平面平面；
(3)若是的中點，點在線段上，求的最小值．
【答案】(1)側(cè)面積，體積
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）確定圓柱的底面半徑和高，結(jié)合圓柱的側(cè)面積與體積公式計算即可求解；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（3）如圖，確定當(dāng)三點共線時取得最小值.求出，結(jié)合余弦定理計算即可求解.
【詳解】（1）圓柱的底面半徑，高，
圓柱的側(cè)面積．
圓柱的體積．
（2）由題意知，平面，又平面，
所以，而平面，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（3）將繞著旋轉(zhuǎn)到使其與平面共面，且在的反向延長線上．
當(dāng)三點共線時取得最小值，為.
∵，，
，，
∴在三角形中，由余弦定理得，
∴的最小值等于．
88．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，.
(1)證明：平面平面；
(2)若，與平面的夾角為，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)，連接，即可證明、，從而得到平面，即可得證；
（2）過點作交于點，即可證明平面，則即為與平面所成的角，即可求出，過點作交于點，連接，即可證明平面，從而得到即為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計算可得.
【詳解】（1）設(shè)，連接，因為為正方形，所以且為的中點，
又，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）在平面中過點作交于點，
因為平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面，
所以即為與平面所成的角，即，
又，所以，
過點作交于點，連接，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即為二面角的平面角，
又，所以
因為為正方形，所以，則，
所以，即，解得，
又平面，平面，所以，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值為.
89．（23-24高一下·河南·期中）如圖1，在矩形中，，是與的交點，將沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐.
圖1 圖2
(1)證明：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，證得，得出，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）由三棱錐的體積取最大值時需平面，求得，再求得，結(jié)合錐體的體積公式，即可求解.
【詳解】（1）在矩形中，，是與的交點，
可得，所以，
因為，且，
所以，可得，所以，
在圖（2）中，可得，
因為，且平面，所以平面；
又因為平面，所以平面平面；
（2）若三棱錐的體積取最大值，則需平面，
又因為，且，所以，
可得，所以，
在圖（1）中，連接，由,可得相似比為，
設(shè)邊的高為，邊的高為，可得，
因為，可得，
則，
又由，
所以三棱錐的體積.
90．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，四邊形為矩形，平面平面，為線段的中點，且.

(1)求證：平面；
(2)若，，直線與平面所成的角為，求點E到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得線線垂直，即可利用線面垂直的判定定理證明即可
（2）根據(jù)已知條件求，，利用等體積法即可求解點到平面的距離.
【詳解】（1）在中，為線段的中點，且，
∴，∴為直角三角形，且，∴.
∵底面為平行四邊形，∴，∴.
∵四邊形為矩形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
∵，，平面，∴平面.
（2）∵平面，∴，為直線與平面所成的角，∴，
∴，，∴.
由（1）知平面，又平面，∴.
∵，，∴，
∴.
在中，，，∴.
連接，由于為線段的中點，則，
由于，
設(shè)點E到平面的距離為d，
則，∴，即點到平面的距離為.

動點探索問題
91．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.
(1)若平面平面，求點到平面的距離；
(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等體積法求解點到平面的距離；
（2）根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，結(jié)合余弦值得出，利用勾股定理可得答案.
【詳解】（1）連接，則，
平面平面，平面平面＝AC，平面，
平面，又平面，
，又正方形的邊長為，
，，
設(shè)點到平面的距離為，則，
，
，即點到平面的距離；
（2）取的中點，連接，，
，
，，
為二面角的平面角，，
由題可知與全等，
在中，，，
， ，
，.
92．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在正方體中，，點E在棱上，且.
(1)求三棱錐的體積；
(2)在線段上是否存在點F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）過作，垂足為，可得中為高，求出高和底面，進而可得體積；
（2）假設(shè)在線段上存在點F，使得平面，取的三等分點，得到面面，取的三等分點（靠近），再通過線面平行的性質(zhì)得到，進而可得的位置；
（3）延長交于點，作，垂足為，連接可得為二面角的平面角，在中求解即可.
【詳解】（1）過作，垂足為，
因為，所以面即面
明顯面，
所以面，
又，，
所以
（2）假設(shè)在線段上存在點F，使得平面，
取的三等分點，使，則四邊形是平行四邊形，
所以，又面，面，
所以面，又面，，
所以面面，又面，
所以面，
取的三等分點（靠近），則，
所以面面，又面，面，
所以，又為的中點，
所以；
（3）延長交于點，作，垂足為，連接，則面，
從而，
所以為二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以.
93．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四面體中，，分別是的中點.
(1)求證：；
(2)在上能否找到一點，使平面？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；
(3)若平面平面，且，求直線與平面所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用三線合一證得，再利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；
（2）找到的中點，利用線面平行的判定定理即可得解；
（3）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，進而得到是直線與平面所成角，再分別求得，從而得解.
【詳解】（1）取的中點，連接，
在中，，同理，
而平面，平面，
又平面；
（2）在上能找到一點，使平面，此時，證明如下：
記的中點為，連接，
因為是的中點，是的中點，，
平面平面，平面，
的中點即為所求，此時.
（3）由（1）知，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中點，連接，易知故平面，
故是直線與平面所成角，
因為，所以是等邊三角形，
設(shè)，則，，
在中，，，
所以，
故，
所以直線與平面所成角的正切值為.
94．（23-24高一下·重慶·期中）如圖所示正四棱錐中，，，為側(cè)棱上的點，且，為側(cè)棱的中點．
(1)求正四棱錐的表面積；
(2)證明：平面；
(3)側(cè)棱上是否存在一點，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積的計算公式即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)，連接，可知∥，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；
（3）分析可得在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足．證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證出結(jié)論.
【詳解】（1）因為正四棱錐中，，，
則側(cè)面的高，
所以正四棱錐的表面積．
（2）設(shè)，連接，
因為分別為的中點，則∥，
且平面，平面，
所以平面.
（3）
在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足．
理由如下：
取中點為，因為，則，
過作的平行線交于，連接．
由于，即．則，
且平面，平面，所以平面，
由（2）可知：平面，
因為，平面，可得平面平面，
且平面，所以平面.
95．（23-24高一下·湖南邵陽·期中）知正方體中，、分別為對角線、上的點，且
(1)求證：平面；
(2)若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面，證明見解析
【分析】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；
（2）根據(jù)題意先證平面，結(jié)合（1）平面，分析證明.
【詳解】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，
因為四邊形為正方形，所以，
故，所以，
又因為，所以，
所以.
又平面，平面，
故平面.
（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面.
證明：因為，即有，故.所以.
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面.
二面角問題
96．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖①梯形ABCD中，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面BCDE，CE與BD相交于O，點P在AB上，且，R是CD的中點，過O，P，R三點的平面交AC于Q．
(1)證明：Q是AC的中點；
(2)證明：平面BEQ；
(3)M是AB上一點，已知二面角為45°，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）構(gòu)造線面平行證明線線平行，結(jié)合中位線定理證明即可.
（2）利用已知推出線線垂直，再證線面垂直即可.
（3）構(gòu)造二面角的平面角求出比例關(guān)系即可.
【詳解】（1）在圖①中過C作，則，
圖②中，連接BD，CE，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又R是CD的中點，∴Q是AC的中點；
（2）如圖，在直角梯形BCDE中，，∴
中，，，∴
∴，∴
又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，
∴平面BCDE，平面BCDE，∴，
又，平面ACE，
又平面ACE，∴，
在中，，，∴
∴，又由（1）Q是AC的中點，
∴，，∴平面ACD，
又平面ACD，∴
又∵，，∴平面ADE，
∴，又，∴平面BEQ；
（3）如圖，過M作，過H作于點G，連結(jié)MG，
則∠MGH為二面角的平面角，∴，
設(shè)，∴
又，∴
在中，，
由得，即，
∴，∴
97．（19-20高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．
(1)求證：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進而得到線面垂直；
（2）作出輔助線，得到線線垂直，得到就是二面角的平面角，結(jié)合邊長求出二面角的大小.
【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．
又∵，平面，
∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面．
（2）如圖所示，取的中點F，連接，
∵四邊形為矩形，
∴，
因為，所以⊥，⊥，
故就是二面角的平面角．
又⊥平面，平面，
所以⊥，
∵，
∴，
∴．
∴二面角P－AD－E的大小為．
98．（22-23高一下·河南商丘·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形.

(1)若點是的中點，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)為的中點，連接，證明平面，從而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】（1）連接交于M，連接，

因為底面是菱形，所以為的中點，
又點是的中點，故為的中位線，
故，而平面，平面，
故平面；
（2）設(shè)為的中點，連接，因為，故，
因為平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
則，且N為的中點，
連接，因為平面，
故平面，平面，
故，
則即為二面角的平面角，
設(shè)，則，
，則，則，
由于為的中點，N為的中點，故，則，
而平面，平面，故，
則
所以，
即二面角的正弦值為.
99．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如圖：已知直三棱柱中，交于點O，，.

(1)求證：；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可證平面，進而可得，結(jié)合證明平面，即可得結(jié)果；
（2）可知二面角即為二面角，根據(jù)題意結(jié)合三垂線法可得二面角的平面角為，運算求解即可.
【詳解】（1）因為平面ABC，平面ABC，可得，
由題意可知：，即，
且，平面，
所以平面，且平面，所以，
又因為，則是正方形，可得，
且，平面，所以平面，
且平面，所以 .
（2）連接，可知平面即為平面，則二面角即為二面角，
取的中點，連接，
因為，且為的中點，則，
又因為平面ABC，平面ABC，可得，
，平面，所以平面，
且平面，則，
所以二面角的平面角為，
在中，，可得，
所以二面角的正切值為.

100．（22-23高一下·廣東云浮·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且有，，，E為PC中點．
(1)證明：平面BED；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，利用中位線證明，即可證明；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可證明平面ABCD，作出二面角的平面角，
即可證明.
【詳解】（1）設(shè)AC與BD交于點O連接EO，因為E，O分別為PC，AC的中點，
所以，
又因為平面，平面BED，
所以平面BED；
（2）過O作于F，連接EF，
因為，且平面
所以平面ABCD，
平面ABCD，所以，
又，平面，
所以平面EOF，又平面EOF，所以，
即∠EFO為二面角的平面角，
由，是邊長為1的等邊三角形，即，
在直角三角形EOF中，，即，．
所以所求二面角的正弦值為．
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