資源簡介

6.4.1直線與平面平行
課程標準 學習目標
1、能夠用圖形、文字等方式闡述平面與平面平行的概念。 2、能夠通過觀察、實驗等方式發現直線與平面平行的特點。 3、能夠利用直線與平面平行的性質解決問題 1、掌握什么是平面與平面平行。 2、掌握什么是直線與平面平行。 3、理解直線與平面平行的充分必要條件。
知識點01 空間直線與平面的位置關系
位置關系 公共點 符號語言 圖形語言
直線在平面內 無數個公共點 a α.
直線在平面外 直線與平面相交 一個公共點 a∩α＝A
直線與平面平行 沒有公共點 a∥α
【即學即練1】（多選）（23-24高一下·重慶·期中）下列說法不正確的是（ ）
A．若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點
B．若直線面，則直線l與面內的直線平行或異面
C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
知識點02 直線與平面平行的判定定理
文字語言： 如果不在平面內的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．
符號語言： a α，b α，a∥b a∥α.
圖形語言：
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四棱錐中，BC∥平面，，E是的中點．求證：
(1)∥平面；
(2)∥平面.
知識點03 直線與平面平行的性質定理
文字語言： 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．
符號語言： 符號語言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
圖形語言：
【即學即練3】（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，平面平面
(1)證明： 平面
(2)證明：
【題型一：線面平行概念辨析】
例1.（2024·全國·三模）已知，是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式1-1.（23-24高一下·天津南開·期中）下列命題中正確的個數為（ ）
①如果直線，那么平行于經過的任何平面；②如果直線和平面滿足，那么；③如果直線和平面滿足，那么.
A．0 B．1 C．2 D．3
變式1-2.（23-24高二下·上海·階段練習）設表示空間的兩條直線，表示平面，給出下列結論：（1）若且，則；（2）若且，則；（3）若且，則；（4）若且，則，其中不正確的個數是（ ）
A．1 B．2個 C．3個 D．4個
變式1-3.(多選)（2024高一下·全國·專題練習）已知a，b是不同的直線，是平面，下列命題錯誤的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【方法技巧與總結】
判斷或證明線面平行的常用方法
1、定義法：證明直線與平面無公共點（不易操作）.
2、判定定理法：a α，b α，a ll b→a ll α
3、排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內.
【題型二：中位線法判斷線面平行】
例2．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，在四面體中，E，F，G分別是AB，BC，CD的中點，求證：

(1)∥平面EFG；
(2)∥平面EFG．
變式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點，，，四邊形為矩形.求證：平面；

變式2-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐的底面是菱形，，分別是，的中點．求證：平面.
變式2-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在三棱臺中，，分別為的中點．求證：平面.

【題型三：平行四邊形法判斷線面平行】
例3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，求證：平面；
變式3-1．（20-21高一下·全國·單元測試）在正方體中，分別是上的點，求證：平面

變式3-2．（22-23高一下·全國·單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，連接．求證：平面．

變式3-3．（22-23高一下·全國·課后作業）如圖，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分別是BC，，的中點，求證：平面.

【題型四：線面平行的性質定理】
例4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

變式4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，E是棱PC上一點，底面ABCD是正方形，平面ABE與棱PD交于點F，平面PCD與平面PAB交于直線l.求證：l∥EF.
變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．求證：；

變式4-3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．
(1)求證：平面EAC．
(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：．
【方法技巧與總結】
1.性質定理中的三個條件，a∥α，a β，α β=b，缺一不可.
2.定理揭示了當a∥α時，在一個平面內作直線a的平行線的方法，即過a作一平面與已知平面相交，交線b一定與a∥α平行。
【題型五：動點探索問題】
例5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐中，是的中點，四邊形為平行四邊形，且平面．試探究在線段上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；

變式5-1．（19-20高一下·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，Q為的中點，點M在側棱上且.若平面，試確定實數t的值.

變式5-2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖所示的一塊正四棱錐木料，側棱長和底面邊長均為13，M為側棱PA上的點．
(1)若，要經過點M和棱將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線 （請寫出必要作圖說明）
(2)若，在線段上是否存在一點N，使直線平面 如果不存在，請說明理由，如果存在，求出的值以及線段MN的長.
變式5-3．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，設平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)作出l（寫出作法，并保留作圖痕跡）；
(2)線段PB上是否存在一點E，使l平面ADE？請說明理由.
【題型六：線面平行的應用】
例6.（23-24高一下·江蘇南京·期中）在空間四邊形中，分別為上的點，且，分別為的中點，則（ ）
A．平面且為矩形 B．平面且為梯形
C．平面且為菱形 D．平面且為平行四邊形
變式6-1.（23-24高一下·福建龍巖·階段練習）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（ ）
A． B． C． D．
變式6-2.（2023·全國·模擬預測）已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，有以下四個結論：
①直線平面； ②直線平面；
③直線平面； ④直線平面CDE.
其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式6-3.（22-23高一下·浙江溫州·期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型七：線面平行性質的應用】
例7.（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在空間四邊形中、點、分別是邊、上的點，、分別是邊、上的點，，，則下列關于直線，的位置關系判斷正確的是（ ）
A．與互相平行；
B．與是異面直線；
C．與相交，其交點在直線上；
D．與相交，且交點在直線上．
變式7-1.（2023高三·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長為1，E，F是線段上的兩個動點， 平面，則的長度為（ ）

A． B． C． D．2
變式7-2.（20-21高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
變式7-3.（22-23高一下·遼寧錦州·階段練習）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預測）在三棱錐中，分別是、的重心，以下與直線平行的是（ ）
A．直線 B．平面 C．平面 D．平面
2．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期末）過四棱錐任意兩條棱的中點作直線，其中與平面平行的直線有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．7條
3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，平面平面，直線平面，過點的直線分別交于點，過點的直線分別交于點．若，則（ ）

A． B．6 C． D．5
4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直線和平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
5．（22-23高一下·河南洛陽·期中）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設與SM交于點N，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示，棱柱的側面是矩形，D是上的動點，若平面，則的值為（ ）

A． B． C． D．1
7．（21-22高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，三棱柱中，，，，，為中點，為上一點，，，為側面上一點，且平面，則點的軌跡的長度為（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多選題
9．（21-22高一下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，在透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水（未滿），現將容器底面一邊BC固定在地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說法，其中正確命題的是（ ）

A．有水的部分始終呈棱柱狀 B．水面四邊形EFGH的面積為定值
C．棱始終與水面EFGH平行 D．若，，則是定值
10．（22-23高一下·河南鄭州·階段練習）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面MNP的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）圖，在正方體中，E，F，G，H分別是棱，BC，CD，的中點，則下列結論正確的是（ ）

A．平面 B．平面
C．，D，E，H四點共面 D．，D，E，四點共面
三、填空題
12．（23-24高二上·上海·期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為 ．
13．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AD，BC上的點，且AD＝3AE，BC＝3BF，設P，Q分別為線段AF，CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能成立的是 ．（填序號）
① 直線AB∥直線CD；② 直線PQ∥直線ED；③ 直線PQ∥平面ADE.
14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐的所有棱長都等于，為線段的中點，過，，三點的平面與交于點，則四邊形的周長為 .
四、解答題
15．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點.
(1)證明：平面PAD；
(2)若平面平面l，判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論.
16．（23-24高一下·江蘇南通·期中）如圖，在正方體中，若為棱的中點，
(1)判斷平面與平面是否相交．如果相交，在圖1作出這兩個平面的交線，并說明理由；
(2)如圖2，求證：平面．
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點．
(1)求證：BE∥平面ADP；
(2)求異面直線PA與CB所成的角的大小．
18．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在三棱柱中，D在線段AC上．
(1)若D是AC中點，求證：平面；
(2)若M為BC的中點，直線平面，求．
19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，正方體的棱長為分別為的中點，點滿足.

(1)若，證明：平面；
(2)連接，點在線段上，且滿足平面.當時，求長度的取值范圍.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.4.1直線與平面平行
課程標準 學習目標
1、能夠用圖形、文字等方式闡述平面與平面平行的概念。 2、能夠通過觀察、實驗等方式發現直線與平面平行的特點。 3、能夠利用直線與平面平行的性質解決問題 1、掌握什么是平面與平面平行。 2、掌握什么是直線與平面平行。 3、理解直線與平面平行的充分必要條件。
知識點01 空間直線與平面的位置關系
位置關系 公共點 符號語言 圖形語言
直線在平面內 無數個公共點 a α.
直線在平面外 直線與平面相交 一個公共點 a∩α＝A
直線與平面平行 沒有公共點 a∥α
【即學即練1】（多選）（23-24高一下·重慶·期中）下列說法不正確的是（ ）
A．若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點
B．若直線面，則直線l與面內的直線平行或異面
C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
【答案】ACD
【分析】作出圖形可判斷A；與平面沒有公共點，可判斷B；作出圖形可判斷C；由棱臺的側棱交于一點的幾何特征，可判斷D.
【詳解】對于A：如圖，，，與可能相交，故A錯誤；

對于B：直線，所以與平面沒有公共點，所以與平面內的直線平行或異面，故B正確；
對于C：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，
如圖所示，符合題意，但幾何體不是棱柱，故C錯誤；

一個平行于棱錐的底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，
所以棱臺各側棱的延長線交于一點，其余各面都是梯形的幾何體側棱可能不交于一點，故D錯誤.
故選：ACD.
知識點02 直線與平面平行的判定定理
文字語言： 如果不在平面內的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．
符號語言： a α，b α，a∥b a∥α.
圖形語言：
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四棱錐中，BC∥平面，，E是的中點．求證：
(1)∥平面；
(2)∥平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用線面平行的性質證明，再根據線面平行的判定定理，即可證明結論；
（2）取的中點F，證明四邊形為平行四邊形，即可得，再根據線面平行的判定定理，即可證明結論；
【詳解】（1）證明：因為∥平面， 平面，平面平面，
所以，
又 平面，平面，
所以∥平面.
（2）取的中點F，連接，E是的中點．得，且，
由（1）知AD∥BC且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
則，
又平面，平面，
所以平面.
知識點03 直線與平面平行的性質定理
文字語言： 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．
符號語言： 符號語言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
圖形語言：
【即學即練3】（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，平面平面
(1)證明： 平面
(2)證明：
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由線段對應成比例可得，進而得到，再由線面平行的判定定理證明即可.
（2）先有線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質定理得到
【詳解】（1）連接交于，連接．
因為四邊形為直角梯形，，所以，
又因為，所以，
因為面面，所以平面.
（2）因為四邊形為直角梯形，所以．
因為面面，所以平面．
因為面，面面．
所以．
【題型一：線面平行概念辨析】
例1.（2024·全國·三模）已知，是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由直線與平面平行的判定定理和性質定理，結合充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【詳解】若，，，且，所以直線與平面平行的判定定理知；
若，，，所以直線與平面平行的性質定理知；
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
變式1-1.（23-24高一下·天津南開·期中）下列命題中正確的個數為（ ）
①如果直線，那么平行于經過的任何平面；②如果直線和平面滿足，那么；③如果直線和平面滿足，那么.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據題意，結合線面位置的判定定理、性質定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于①中，如果直線，那么平行于經過的任何平面或在此平面內，所以①錯誤；
對于②中，如果直線和平面滿足，在與平行、相交或異面，所以②錯誤；
對于③中，過直線作平面，交平面于直線，根據線面平行的性質，可得，
因為，可得，又因為，所以，所以③正確.
故選：B.

變式1-2.（23-24高二下·上海·階段練習）設表示空間的兩條直線，表示平面，給出下列結論：（1）若且，則；（2）若且，則；（3）若且，則；（4）若且，則，其中不正確的個數是（ ）
A．1 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據直線與直線平行、直線與平面平行的性質分別判斷命題真假即可得解.
【詳解】若且，則或，故命題錯誤；
若且，則或為異面直線，故命題錯誤；
若且，則或，故命題錯誤；
若且，則或相交或異面，故命題錯誤.
故選：D.
變式1-3.(多選)（2024高一下·全國·專題練習）已知a，b是不同的直線，是平面，下列命題錯誤的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】ABC
【分析】考查點線面位置關系，根據點線面位置關系類型和種類以及線面平行判定定理進行討論分析即可.
【詳解】對于A，因為，內有無數條直線與平行，故還可能是，故A錯誤；
對于B，，所以a與沒有公共點，又，所以與沒有公共點，
所以a與b的位置可平行可異面，故B錯誤；
對于C，因為,，所以或b在內，故C錯誤；
對于D，由線面平行的判定定理知D正確．
故選：ABC．
【方法技巧與總結】
判斷或證明線面平行的常用方法
1、定義法：證明直線與平面無公共點（不易操作）.
2、判定定理法：a α，b α，a ll b→a ll α
3、排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內.
【題型二：中位線法判斷線面平行】
例2．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，在四面體中，E，F，G分別是AB，BC，CD的中點，求證：

(1)∥平面EFG；
(2)∥平面EFG．
【答案】(1)詳見解析；
(2)詳見解析.
【分析】利用線面平行的判定定理證明.
【詳解】（1）證明：因為F，G分別是BC，CD的中點，
所以，又 平面EFG，平面EFG ，
所以平面EFG；
（2）因為E，F分別是AB，BC的中點，
所以，又 平面EFG，平面EFG ，
所以平面EFG；
變式2-1．（22-23高一下·天津北辰·期中）如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點，，，四邊形為矩形.求證：平面；

【答案】證明見解析
【分析】可先由中位線證明兩線平行，再證明線面平行.
【詳解】令交于,連接,

四邊形為矩形，
為中點，
又 為的中點，
，
又平面，平面.
平面，
變式2-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐的底面是菱形，，分別是，的中點．求證：平面.
【答案】證明見解析
【分析】先證明四邊形是平行四邊形，可得，再由線面平行的判定定理求解即可.
【詳解】取中點，連接，因為分別是的中點，、
所以，
又因為底面是菱形，是的中點，所以，
所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．
變式2-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在三棱臺中，，分別為的中點．求證：平面.

【答案】證明見解析
【分析】連接，,證明四邊形為平行四邊形，得為的中點，利用三角形中位線定理可得,即可證得.
【詳解】證明：如圖，連接，，

設，連接.
在三棱臺中，，為中點，
可得
所以四邊形為平行四邊形．
所以為的中點．又為的中點，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
【題型三：平行四邊形法判斷線面平行】
例3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，求證：平面；
【答案】證明見解析
【分析】
取的中點，連接，，可證明，再根據線面平行的判定定理可得結論.
【詳解】
取的中點，連接，，
根據題意可得，且，，可得
由三棱柱得性質知，所以，即，
則四邊形是平行四邊形，所以，
因為面，面，
所以面．
變式3-1．（20-21高一下·全國·單元測試）在正方體中，分別是上的點，求證：平面

【答案】證明見解析
【分析】根據平行線的傳遞性以及相似可得平行四邊形，即可由線面平行的判定求證.
【詳解】證明：分別過作的垂線，垂足 分別為，
則，又
∴
∵=，∴.同理.
∵.
∴四邊形是平行四邊形.
∴平面平面，
∴平面.

變式3-2．（22-23高一下·全國·單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，連接．求證：平面．

【答案】證明見解析
【分析】過點作的平行線交于點，連接，證得且，得到四邊形為平行四邊形，得到，結合線面平行的判定定理，即可得證.
【詳解】如圖所示，過點作的平行線交于點，連接,
因為，，所以，，因為，所以，
又因為，，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面．

變式3-3．（22-23高一下·全國·課后作業）如圖，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分別是BC，，的中點，求證：平面.

【答案】證明見解析
【分析】連接，ME，首先證明四邊形是平行四邊形，得到，則四邊形MNDE是平行四邊形，則，再利用線面平行的判定即可證明.
【詳解】連接，ME，
∵M，E分別是，BC的中點，
∴，且，
∵N為的中點，∴.
，，
所以，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴，
∴四邊形MNDE是平行四邊形，
∴，又平面，平面，
∴平面.

【題型四：線面平行的性質定理】
例4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，再利用線面平行的性質定理可得結論.
【詳解】因為在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
變式4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，E是棱PC上一點，底面ABCD是正方形，平面ABE與棱PD交于點F，平面PCD與平面PAB交于直線l.求證：l∥EF.
【答案】證明見解析
【詳解】
證明：∵ 底面ABCD是正方形，∴AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴ AB∥平面PCD.
又A，B，E，F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴ AB∥EF.
∵ 平面PAB與平面PCD交于直線l，∴ AB∥l，∴ l∥EF.
【考查意圖】以四棱錐為模型，考查利用線面平行的性質定理證明線線平行．
變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．求證：；

【答案】證明見解析
【分析】利用線面平行的判定定理，得到平面，再利用線面平行的性質，即可證明結果.
【詳解】證明：四棱錐的底面是菱形，，
又平面，平面，則平面，
又平面平面，平面，
所以.
變式4-3．（2024高三·全國·專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．
(1)求證：平面EAC．
(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）連接交于，連接，利用中位線證明，然后根據線面平行的判定定理完成證明；
（2）根據線面平行的性質定理完成證明.
【詳解】（1）連接交于，連接，
因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，
又因為為中點，所以是的中位線，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為平面，平面平面，平面，
所以.
【方法技巧與總結】
1.性質定理中的三個條件，a∥α，a β，α β=b，缺一不可.
2.定理揭示了當a∥α時，在一個平面內作直線a的平行線的方法，即過a作一平面與已知平面相交，交線b一定與a∥α平行。
【題型五：動點探索問題】
例5．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐中，是的中點，四邊形為平行四邊形，且平面．試探究在線段上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；

【答案】存在，為的中點，證明見解析
【分析】當為的中點時，取得中點，連接，，，先利用中位線及平行四邊形的性質得出，再根據線面平行的判定定理即可證明.
【詳解】在線段上存在點，且為的中點，使得平面.
證明如下：

取得中點，連接，，.
因為為的中點，
所以 ，且.
因為為的中點，且四邊形為平行四邊形，
所以 ，且，
所以 ，且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以 .
因為平面，平面，
所以 平面.
變式5-1．（19-20高一下·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，Q為的中點，點M在側棱上且.若平面，試確定實數t的值.

【答案】
【分析】連接交于點，交于點，連接，首先設菱形的邊長為，表示出，然后由線面平行的性質、截平行線段成比例即可求解.
【詳解】如圖，連接交于點，交于點，連接，易知為的中點．

因為分別為正三角形的邊上的中線，
所以為正三角形的中心．
設菱形的邊長為，
則，.
因為平面，平面，平面平面，
所以.
所以.
即，所以實數的值為.
變式5-2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習）如圖所示的一塊正四棱錐木料，側棱長和底面邊長均為13，M為側棱PA上的點．
(1)若，要經過點M和棱將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線 （請寫出必要作圖說明）
(2)若，在線段上是否存在一點N，使直線平面 如果不存在，請說明理由，如果存在，求出的值以及線段MN的長.
【答案】(1)答案見解析
(2)存在，，7
【分析】（1）作，連接，利用平行公理可得共面，即可說明如何畫線；
（2）連接并延長交于E，連接，利用線面平行的性質定理推出，結合線段成比例，即可推出結論；利用余弦定理求出，結合線段成比例，即可求得線段MN的長.
【詳解】（1）因為，所以M為的中點，
作，交于G，則G為的中點，連接，
則，由題意知四邊形為平行四邊形，則，
故，即共面，
故要經過點M和棱將木料鋸開，在木料表面沿線段畫線即可；
（2）存在，，說明如下：
假設在線段上存在一點N，使直線平面，
連接并延長交于E，連接，
因為平面，平面，平面平面，
故，則，
由題意知四邊形為正方形，故，
則，即假設成立，
故在線段上存在一點N，使直線平面，此時；
由于，，故，故，
中，，則
，
即，而，，
故，則.
變式5-3．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，設平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)作出l（寫出作法，并保留作圖痕跡）；
(2)線段PB上是否存在一點E，使l平面ADE？請說明理由.
【答案】(1)作法：延長BA，CD，相交于點Q，連接PQ，則直線PQ就是所求的直線l，作圖痕跡見解析
(2)存在，理由見解析
【分析】（1）延長相交于點，連接，，即可得到所求直線;
（2）根據線線平行，證明線面平行，從而得到結論.
【詳解】（1）作法：延長相交于點Q，連接，則直線就是所求的直線，圖形如下：
（2）當點是線段的中點時，可使平面，理由如下：
由（1）知為中點，又是的中點，
∴，
又平面， 平面，
∴平面，
故當點E是線段PB的中點時，可使平面．
【題型六：線面平行的應用】
例6.（23-24高一下·江蘇南京·期中）在空間四邊形中，分別為上的點，且，分別為的中點，則（ ）
A．平面且為矩形 B．平面且為梯形
C．平面且為菱形 D．平面且為平行四邊形
【答案】B
【分析】根據平行線等分線段定理、線面平行的判定定理、三角形中位線定理，結合矩形、梯形、菱形、平行四邊形的定義進行判斷即可.
【詳解】在平面內，，
．
又平面平面，
平面．
又在平面內，
分別是的中點，
．
又，
．
在四邊形中，且，
四邊形為梯形．
故選：B．
變式6-1.（23-24高一下·福建龍巖·階段練習）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對于A，根據結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于B,根據結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于C，根據，結合線面平行的判斷定理即可判斷；對于D，根據四邊形是等腰梯形，與所在的直線相交，即可判斷.
【詳解】對于A,如下圖所示，
易得,
則，
又平面,平面,
則平面，故A滿足；
對于B，如下圖所示，
為所在棱的中點，連接,
易得,
則四邊形為平行四邊形，
四點共面，
又易知，
又平面,平面,
則平面，故B滿足；
對于C,如下圖所示，
點為所在棱的中點，連接,
易得四邊形為平行四邊形，四點共面，
且,
又平面,平面,
則平面，故C滿足；
對于D，連接,
由條件及正方體的性質可知四邊形是等腰梯形，
所以與所在的直線相交，
故不能推出與平面不平行，故D不滿足，
故選：D.
變式6-2.（2023·全國·模擬預測）已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，有以下四個結論：
①直線平面； ②直線平面；
③直線平面； ④直線平面CDE.
其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據題意，由線面平行的判定定理，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】
對于①：如圖1，連接，交于點F，連接DF，則點F是的中點，又D是AB的中點，所以，因為平面，平面，所以直線平面，所以①正確.
對于②：如圖2，取BC的中點F，連接DF，，因為D是AB的中點，所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面，故②正確.
對于③：如圖3，取BC的中點F，連接DF，因為D是AB的中點，所以，且，又，，所以，，連接EF，所以四邊形是平行四邊形，所以，顯然EF與平面相交，則與平面相交，故③錯誤.
對于④：如圖4，連接，交EC于點F，連接DF，則平面平面，若直線平面CDE，則，由于D是AB的中點，所以點F是的中點，而顯然點F不是的中點，矛盾，故④錯誤.
故選：B.
變式6-3.（22-23高一下·浙江溫州·期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由與平面MNP相交，判斷A；由，結合不在平面判斷B；由線面平行的判定判斷C；由中位線定理判斷D.
【詳解】對于A：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿足平面，故A錯誤；

對于B：如圖所示，分別是所在棱的中點，連接
則平面MNP和平面為同一平面，因為，
因為與平面相交，所以不滿足平面，故B錯誤；

對于C：連接，交與點，連接，因為，分別為中點，
所以，由線面平行的判定定理可知，平面，故C正確；

對于D：分別是所在棱的中點，連接，，
平面與平面為同一平面，
取的中點為，連接，由中位線定理可知，，
因為與平面相交，所以不滿足平面，故D錯誤；

故選：C
【題型七：線面平行性質的應用】
例7.（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在空間四邊形中、點、分別是邊、上的點，、分別是邊、上的點，，，則下列關于直線，的位置關系判斷正確的是（ ）
A．與互相平行；
B．與是異面直線；
C．與相交，其交點在直線上；
D．與相交，且交點在直線上．
【答案】D
【分析】推導出四邊形是梯形，從而判斷AB，推導出平面，平面，再由平面平面，得，從而平面，判斷C；推導出與相交，與相交，與平面相交，且只有一個交點，判斷D.
【詳解】因為，，
所以四邊形是梯形，
所以與共面，且不平行，AB錯誤；
則與相交，
對于C，因為平面，平面，
平面，平面，
所以平面，平面，
又平面平面，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，故C錯；
對于D，若與平行，平面，平面，
則，又平面，且平面平面，
則，所以，與四邊形是梯形矛盾，
所以與不平行，
又平面，
所以與相交，與不平行，平面，
所以與相交，
綜上，與平面相交，且只有一個交點，
所以與相交，且交點在直線上，D正確.
故選：D
變式7-1.（2023高三·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長為1，E，F是線段上的兩個動點， 平面，則的長度為（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據線面平行的性質定理得出結果.
【詳解】正方體，連接交于點O，連接，如圖所示，

∴平面，平面平面，平面，
∴，
又，∴為平行四邊形，
則.
故選：B.
變式7-2.（20-21高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】連接CD，交PE于點G，連接FG，由線面平行性質證明，再利用重心性質求解即可.
【詳解】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.
故選：C.
變式7-3.（22-23高一下·遼寧錦州·階段練習）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，由線面平行的性質定理可得，再借助比例式可得答案.
【詳解】如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，
因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，
而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故選：C.

一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預測）在三棱錐中，分別是、的重心，以下與直線平行的是（ ）
A．直線 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】B
【分析】取中點為，由，分別是 和的重心，證得，結合不平行，可判定A錯誤；利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定B正確；結合平面，平面和平面，平面，可判定C、D錯誤．
【詳解】如圖所示，取中點為，連結、，
由，分別是 和的重心，可得，，
則，，即，所以，
又由不平行，故A錯誤；
由，且平面，平面，所以平面，
所以B正確；
因為平面，平面，所以與平面不平行，所以C錯誤；
因為平面，平面，所以與平面不平行，所以D錯誤．
故選：B．
2．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期末）過四棱錐任意兩條棱的中點作直線，其中與平面平行的直線有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．7條
【答案】C
【分析】根據線面平行的判定定理分析求解.
【詳解】如圖，設為相應棱的中點，
則//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：與平面平行，
由圖可知：其他的任意兩條棱的中點的連線與平面相交或在平面內，
所以與平面平行的直線有6條.
故選：C.

3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，平面平面，直線平面，過點的直線分別交于點，過點的直線分別交于點．若，則（ ）

A． B．6 C． D．5
【答案】C
【分析】由線面平行得線線平行，再由平行線分割線段成比例可得，解出即可.
【詳解】①當直線m，n共面時，因為平面平面，直線平面，面，面，，
所以，
根據平行線分割線段成比例可得，
又，解得，
②當為異面直線時，連接，如圖

由①證明可知，，
所以，
又，解得.
故選：C.
4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知直線和平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【答案】D
【分析】A.利用平面與平面的位置關系判斷；B.利用直線與直線的位置關系判斷；C.利用平面與平面的位置關系判斷；D.過a作，有，過a作，有，利用線面平行的判定定理和性質定理判斷.
【詳解】A. 若，，，，或相交，故錯誤；
B.若，，，則或異面或相交，故錯誤；
C.若，，，則或相交，故錯誤；
D. 如圖所示：
過a作，有，過a作，有，
因為，所以，因為，所以，所以，
因為，，所以，又，
所以，則，故正確；
故選：D
5．（22-23高一下·河南洛陽·期中）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設與SM交于點N，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接交于點，連接，根據線面平行得性質證明，再根據可得，進而可得出答案.
【詳解】連接交于點，連接，則平面即為平面，
因為，平面，平面，
所以，
因為AB為底面圓的直徑，點M，C將弧AB三等分，
所以，，
所以且，
所以，
又，所以，
所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：根據線面平行得性質及平行線分線段成比例定理得到是解決本題得關鍵.
6．（22-23高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示，棱柱的側面是矩形，D是上的動點，若平面，則的值為（ ）

A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據線面平行的性質將平面轉化為線線平行，然后集合位置關系求解即可；
【詳解】
連接交于，連接，
因為平面，平面平面,
所以,又因為是的中點，
所以D是上的中點，即
故選：B.
7．（21-22高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用線面平行的判定方法逐個分析判斷即可．
【詳解】對于A，如圖，連接，則，
因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，
所以，
因為平面，平面，所以平面；
對于B，如圖連接，
因為，分別為，的中點，所以，
因為，所以，
因為平面，平面，所以平面；
對于C，如圖，連接，則，
因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，
所以，
因為平面，平面，所以平面，
對于D，如圖取底面中心，連接，
由于為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，
因為與平面相交，所以與平面相交，
故選：D．
8．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，三棱柱中，，，，，為中點，為上一點，，，為側面上一點，且平面，則點的軌跡的長度為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】在上取點，使得，在上取點，使得，則、，根據線面、面面平行的判定定理可證明平面 平面，則點M的軌跡為線段，結合余弦定理計算即可求解.
【詳解】由題意知，，在上取點，使得，
則且，所以四邊形為平行四邊形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取點，使得，
有，所以，則，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面 平面，則點M的軌跡為線段.
在中，，由余弦定理，
得，
即點M的軌跡長度為.
故選：B
二、多選題
9．（21-22高一下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，在透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水（未滿），現將容器底面一邊BC固定在地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說法，其中正確命題的是（ ）

A．有水的部分始終呈棱柱狀 B．水面四邊形EFGH的面積為定值
C．棱始終與水面EFGH平行 D．若，，則是定值
【答案】ACD
【分析】從棱柱的特征平面可判斷A；由水面四邊形EFGH的面積是改變的可判斷B；由，水面EFGH，水面EFGH，可判斷C；由體積是定值，高為定值，則底面積為定值，可判斷D.
【詳解】根據面面平行性質定理，可得BC固定時，在傾斜的過程中，始終有，
且平面平面DHGC，故水的形狀成棱柱狀，沒水的部分也始終成棱柱狀，故A正確；
因為平面，平面，則，
且，則，即為矩形，
又因為水面所在四邊形的面積，從圖中可以發現，邊長不變，而另外一條長隨著傾斜程度變化而變化，
所以所在四邊形的面積是變化的，故B錯誤；
因為，水面EFGH，水面EFGH，
所以水面EFGH正確，故C正確；
若，，由于水的形狀成棱柱，且水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，
又在矩形中，四邊形的面積為是定值，因為為定值，所以是定值，故D正確.
故選：ACD．
10．（22-23高一下·河南鄭州·階段練習）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面MNP的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.利用線面平行的判定定理判斷；C. 由平面NMP即為平面BNPM判斷；D.利用線面平行的判定定理判斷.
【詳解】A.在正方體中，易得，
又平面，平面，所以平面，
同理可證平面，
又因為且都在面ACB內，所以平面平面，
又因為平面，所以平面，故正確；
B.如圖所示：

易得，又平面，平面，所以平面，
又平面NCD與平面NMP相交，所以直線AB與平面NMP不平行，故錯誤；
C.因為 ，所以平面NMP即為平面BNPM，顯然直線AB與平面BNPM相交，故錯誤；
D.如圖所示：

易得，所以，
又平面，平面，
所以平面，故正確，
故選：AD
11．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）圖，在正方體中，E，F，G，H分別是棱，BC，CD，的中點，則下列結論正確的是（ ）

A．平面 B．平面
C．，D，E，H四點共面 D．，D，E，四點共面
【答案】AC
【分析】取的中點M，連接AM，EF，ME，利用線面平行的判定定理可判斷A，取的中點，連接，延長與交與點，連接，可得，由直線與平面相交，可判斷B；連接EH，由可判斷C；若，D，E，四點共面，則，顯然不成立可判斷D.
【詳解】
如上圖，取的中點M，連接AM，EF，ME，因為，，，，所以，，則四邊形AFEM為平行四邊形，
因為平面，平面，所以平面，A正確，

如上圖，取的中點，連接，延長與交與點，連接，
因為，所以四邊形是平行四邊形，可得，
因為平面，平面，所以直線與平面相交，
所以與平面相交，故B錯誤；
如下圖，連接EH，則，，所以，可得，D，E，H四點共面，故C正確；

若，D，E，四點共面，則，顯然不成立，所以D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
12．（23-24高二上·上海·期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為 ．
【答案】
【分析】作出輔助線，得到要使平面，則四邊形為平行四邊形，故，設，表達出，求出最小值.
【詳解】過點分別作交于點，交于點，
連接，
要想平面，則四邊形為平行四邊形，故，
設，則，故，
由勾股定理得，
其中，
當且僅當時，等號成立，
故.
故答案為：
13．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AD，BC上的點，且AD＝3AE，BC＝3BF，設P，Q分別為線段AF，CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能成立的是 ．（填序號）
① 直線AB∥直線CD；② 直線PQ∥直線ED；③ 直線PQ∥平面ADE.
【答案】②
【詳解】解析：翻折之后如圖所示：
因為AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，
因此AB∥CD，故①成立．
連接FD，由以上分析知四邊形CDEF為矩形，所以Q為FD的中點．因為P為AF的中點，所以PQ∥AD.因為PQ∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ與ED不平行，故②不成立．
因為PQ∥AD，且PQ 平面ADE，AD 平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故③成立．故選②.
14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐的所有棱長都等于，為線段的中點，過，，三點的平面與交于點，則四邊形的周長為 .
【答案】
【分析】借助線面平行的判定定理與性質定理可得點位置，即可注意計算四邊形邊長.
【詳解】由題意知，四邊形為菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
，則，
為的中點，則為的中點，，
是邊長為2的等邊三角形，則，
且， 同理可得，
因此四邊形的周長為.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點.
(1)證明：平面PAD；
(2)若平面平面l，判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論.
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）取中點，連接，根據線面平行與面面平行的判定可得平面平面，進而可得證明平面PAD；
（2）根據線面平行的判定可得平面PAD，再根據線面平行的性質證明即可.
【詳解】（1）取中點，連接.
因為分別為的中點，故，，
又平面，平面，故平面，同理平面.
又平面，，故平面平面，
又平面，故平面.
（2）因為四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.
又平面平面l，平面，故.
16．（23-24高一下·江蘇南通·期中）如圖，在正方體中，若為棱的中點，
(1)判斷平面與平面是否相交．如果相交，在圖1作出這兩個平面的交線，并說明理由；
(2)如圖2，求證：平面．
【答案】(1)解析見詳解
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據基本事實2可作兩個平面的交線.
（2）如圖可證，根據線面平行的判定定理證明.
【詳解】（1）平面與平面ABCD相交，
因為，
所以四點共面，且與不平行則必相交，
如圖，連接、并延長交于，連接，
則平面平面.
（2）連接，交與點，連接，
在中，點分別是的中點，所以，
而平面，平面，
所以平面.
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點．
(1)求證：BE∥平面ADP；
(2)求異面直線PA與CB所成的角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)60°
【分析】（1）取PD的中點取PD的中點F，連接EF，AF，利用平行四邊形證明BE∥AF即可；
（2）取CD的中點G，連接AG，PG，可得∠PAG(或其補角)為PA與CB所成的角，由等邊三角形求解即可.
【詳解】（1）取PD的中點取PD的中點F，連接EF，AF，
則在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，
由已知AB∥CD且AB＝CD，
所以AB∥EF且AB＝EF，
所以四邊形ABEF為平行四邊形，
所以BE∥AF，而AF 平面ADP，BE 平面ADP，
所以BE∥平面ADP．
（2）取CD的中點G，連接AG，PG，
所以AB∥GC且AB＝GC，
所以四邊形ABCG為平行四邊形，
所以BC∥AG，所以∠PAG(或其補角)為PA與CB所成的角，
由題意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°，
所以異面直線PA與CB所成的角的大小為60°．
18．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在三棱柱中，D在線段AC上．
(1)若D是AC中點，求證：平面；
(2)若M為BC的中點，直線平面，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）連接交于點O，連接OD，證明，證明平面；
（2）設交于點E，連接DE，得到，利用平行即可求解.
【詳解】（1）連接交于點O，連接OD，
∵三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，∴O為的中點，
又∵D為AC的中點，∴
∴平面，平面，∴平面
（2）設交于點E，連接DE,
∵平面，平面，平面平面
∴，∴
又∵四邊形為平行四邊形，M為BC的中點
∴，∴
19．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，正方體的棱長為分別為的中點，點滿足.

(1)若，證明：平面；
(2)連接，點在線段上，且滿足平面.當時，求長度的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，依題意可得為的中點，從而得到，再由正方體的性質得到，從而得到，即可得證；
（2）求出和時的長度，即可得到的取值范圍.
【詳解】（1）連接，因為為的中點，當時即，所以為的中點，
所以，
又且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
又平面，平面，所以平面.

（2）當時為的中點，連接交于點，連接，
連接交于點，取的中點，連接、，
因為分別為的中點，所以，則為的中點，所以，
又且，所以為平行四邊形，所以，
所以，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又，
此時，

當時與點重合，在上取點使得，連接，
由前述說明可知為的中點，則，
又，所以，又，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
綜上可得當時，求長度的取值范圍為.

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