資源簡介

6.3空間點、直線、平面之間的位置關系
課程標準 學習目標
1、借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義， 2、了解四個基本事實(與推論)，了解等角定理 1、能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系。 2、能用圖形、文字、符號三種語言描述四個基本事實。 3、理解兩異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線。 4、能從實際問題中歸納出等角定理
知識點01 空間點、線、面
1、構成空間幾何體的基本元素有：點、線、面.
2、用運動的觀點理解空間基本圖形之間的關系：點動成線、線動成面、面動成體.
3、點、線、面的表示
如圖所示的長方體可以表示為長方體 ，它共有8
個頂點，可表示為，12條棱可以表示為
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
個面可以表示為平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的平行四邊形表示的平面不能記為（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
知識點02 空間中點與直線、點與平面的位置關系
1、點A在直線l上：A∈l
2、點A在直線l外：A l
3、點A在平面α內：A∈α
4、點A在平面α外：A α
【即學即練2】（2020·高一課時練習）根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的位置關系.
（1）點與直線；
（2）與直線；
（3）與平面；
（4）點與平面；
知識點03 空間中直線與直線的位置關系
1、直線和直線相交：
2、直線和直線不相交：
【即學即練3】（23-24高二上·上海松江·階段練習）已知a，b為兩條不同的直線，α為一個平面，且，，則直線a與b的位置關系是 .
知識點04 直線與平面的位置關系
直線在平面內：
2、直線與平面相交：
3、直線與平面平行：
【即學即練4】（21-22高二上·上海楊浦·期中）對于直線和平面，"直線不在平面上"是""的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
知識點05 兩個平面的位置關系
兩平面平行：
兩平面相交：
【即學即練5】（2020·高一課時練習）在正方體中，判斷下列直線、平面間的位置關系：
①與________； ②與________；
③與平面________； ④與平面________；
⑤平面與平面_________； ⑥平面與平面________.
知識點06空間點線面位置關系的公理
1.平面的基本事實
基本事實 （公理） 內容 圖形 符號 作用
基本事實1 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 確定平面；判定點線共面
基本事實2 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 確定直線在平面內；判定點在平面內
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定兩平面相交；判定點在直線上
基本事實4 行于同一條直線的兩條直線平行 . 基本事實4表明了平行線的傳遞性基本事實4表明了平行線的傳遞性
2.平面基本事實的推論
利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個_平面____ A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過____兩條相交直線_____，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過____兩條平行直線_____，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
【即學即練6】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，點H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別是邊AB，BC上的點，且．求證：直線相交于一點．
知識點07 異面直線
1、定義：不同在任何一個平面內的兩條直線．
2、異面直線的畫法：
②
【即學即練7】（23-24高一下·湖北武漢·期中）下列說法正確的是（ ）
A．空間中兩直線的位置關系有三種：平行、垂直和異面
B．若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面
C．和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D．若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
知識點08 空間等角定理
定理：
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 ， 或
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
【即學即練8】（23-24高二上·上海·期中）已知空間兩個角和，若，，則 ．
知識點09 異面直線所成的角
1、定義：如圖，是異面直線，在空間中任選一點，過點分別作的平行線和，則這兩條直線和所成的___銳角或直角_________，稱為異面直線所成的角．
2、異面直線所成角范圍：（0，]
3、求異面直線所成的角的步驟
一作，即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角
二證，即證明作出的角是異面直線所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角
【即學即練9】（22-23高二上·上海普陀·期中）設異面直線a、b所成的角為，經過空間一點O有且只有兩條直線與異面直線a、b成等角，則的取值范圍為 ．
【題型一：平面的基本性質及辨析】
例1．（23-24高二上·江西宜春·期末）能確定一個平面的條件是（ ）
A．空間的三點 B．一個點和一條直線
C．兩條相交直線 D．無數點
變式1-1．（21-22高一下·全國·課后作業）已知平面平面，點，點，又，過三點確定的平面為，則是（ ）
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線
變式1-2．（2024高一下·全國·專題練習）給出下列命題：①書桌面是平面； ②平面與平面相交，它們只有有限個公共點；③如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合. 正確的是 （填寫序號）.
變式1-3．（23-24高二上·廣東湛江·開學考試）若平面，直線，直線，則點與的位置關系為 ．
【方法技巧與總結】
1.確定平面的條件：
（1）不共線三點；（2）直線與直線外一點；(3)兩條相交直線；（4）兩條平行直線.
2.點、線、面位置關系判定：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
【題型二：點共面問題】
例2．（20-21高一上·寧夏固原·期末）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
變式2-1．（21-22高一·全國·課后作業）如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．，，，四點共面 B．，，，四點共面
C．，，，四點共面 D．，，，四點共面
變式2-2．（20-21高一·全國·課后作業）如圖，在三棱柱中，分別是的中點．求證：四點共面．

變式2-3．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．
【方法技巧與總結】
基本思路：
①證明四個點在兩條平行線上
②證明四個點在兩條相交線上
③證明三個點共線
④三個不共線的點確定一個平面，證明第四個點在這個平面內
【題型三：線共面問題】
例3．（2024高一·江蘇·專題練習）如圖，已知.求證：直線共面．
變式3-1．（21-22高二·全國·課后作業）如圖，已知，，，，求證：直線AD，BD，CD共面．
變式3-2．（22-23高一·全國·課后作業）已知：，，，，，．求證：直線共面于．
變式3-3．（22-23高一下·山西大同·階段練習）已知三條直線，，相交于同一點，直線與它們分別相交于點，，，（異于點），求證：，，，四條直線在同一個平面內.
【方法技巧與總結】
基本思路： 兩條直線確定一個平面，然后證明其它直線在這個平面內
【題型四：三線共點問題】
例4．（22-23高一下·安徽·階段練習）空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)求證：EH，FG，BD三線共點.
變式4-1．（2022·河南·三模）如圖，在長方體中，E，F分別是和的中點．
(1)證明：E，F，D，B四點共面．
(2)證明：BE，DF，三線共點．
變式4-2．（17-18高一·全國·課后作業）如圖所示，已知棱長為1正方體中，點分別是棱的中點．

求證：三條直線交于一點；
變式4-3．（21-22高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，在三棱柱ABC-中，E為棱AB的中點，F為棱BC的中點.
(1)求證：E，F，C1，四點共面；
(2)求證：A1E，F，B交于一點.
【方法技巧與總結】
基本思路：兩條直線交于一點，然后證明交點在其它直線上
【題型五：三點共線】
例5．（21-22高一·全國·課后作業）如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點M，，的延長線交于點N，，的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．
變式5-1．（2024高一·江蘇·專題練習）如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

變式5-2．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
變式5-3．（20-21高一下·全國·課后作業）若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且，求證O，C，D三點共線．
【方法技巧與總結】
基本思路：尋找一條特殊線，證明所有點在這條直線上或兩點確定一條直線，然后證明其它點在這條直線上
【題型六：截面問題】
例6．（23-24高二上·江西·期末）如圖，正方體的棱長為2，點E，F分別是，的中點，過點，E，F的平面截該正方體所得的截面多邊形記為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式6-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點K在棱A1B1上運動，過A，C，K三點作正方體的截面，若K為棱A1B1的中點，則截面的面積為 ．
變式6-2．（2023高一·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；
變式6-3．（22-23高一下·全國·課后作業）如圖，正方體中，試畫出過其中三條棱的中點P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀．

【方法技巧與總結】
作圖原則
（1）兩點確定一條直線.
（2）只有同一個平面的兩條直線的才會相交，作出的交點才是實際的交點.
（3）如果已知兩個不重合平面有一個共公點，則該兩個平面的交線必過此公共點.
【題型七：異面直線辨析】
例7．（2024高三·全國·專題練習）下列命題中，真命題的個數是（　　）
① 分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線；
② 和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；
③ 和兩條異面直線都相交的兩條直線必定異面；
④ 與同一條直線都異面的兩條直線也是異面直線．
A．0 B．1 C．2 D．3
變式7-1．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線
B．若，則l與m可能垂直
C．若，且，則l與m可能平行
D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直
變式7-2．（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
變式7-3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如圖，已知、、、分別是空間四邊形的邊、、、的中點．

(1)證明：四邊形為平行四邊形；
(2)證明：和是異面直線．
【題型八：異面直線所成角】
例8．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的動點，且線段的長度最小值為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式8-1．（23-24高一下·重慶·期中）如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點.則異面直線，所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
變式8-2．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式8-3．（2020·全國·模擬預測）在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
一、單選題
1．（2024高一下·全國·專題練習）在矩形中，，，為邊的中點，現將繞直線翻轉至處，如圖所示，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）

A． B．2 C． D．4
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方體，、、分別為、、的中點，則圖中與直線異面的直線是（ ）

A． B． C． D．
3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，在四面體中作截面，若，的延長線交于點，，的延長線交于點，，的延長線交于點則下列四個選項中正確的個數是（ ）
（1），，三點共線；
（2），，，四點共面；
（3）.
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024高一下·全國·專題練習）已知角的兩邊和角的兩邊分別平行，且，則（　　）
A． B．
C．或 D．不能確定
6．（2024高一下·全國·專題練習）直線，，兩兩平行且不共面，經過其中兩條直線的平面共有（ ）
A．1個 B．2個
C．3個 D．1個或3個
7．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，既與AB共面也與共面的棱的條數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024高一下·全國·專題練習）已知為平面，為點，為直線，下列推理中錯誤的是（ ）
A．，則
B．，則直線，直線
C．，則
D．，且不共線，則重合
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，點是棱上的動點，則過三點的截面圖形是（　　）
A．等邊三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．正方形
10．（23-24高一下·廣西南寧·階段練習）一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．MN與AB是異面直線 D．BF與CD成角
11．（22-23高一下·陜西西安·期末）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（ ）
A．直線與直線相交；
B．直線與直線平行；
C．直線BM與直線是異面直線；
D．直線與直線成角.
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點，則線段的長為 .
13．（23-24高一下·浙江寧波·期中）正方體棱長為2，N為線段上一動點，為線段上一動點，則的最小值為 .
14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖，在三棱錐中，，點在棱上，點在棱上，且，設表示與所成的角，表示與所成的角，則的值為 .

四、解答題
15．（2024高一下·全國·專題練習）P是平面ABC外一點，，D，E分別為PC，AB的中點，且.求異面直線PA與BC所成的角的大小.
16．（2024高三·全國·專題練習）如圖，是棱長為2的正方體，為面對角線上的動點（不包括端點），平面交于點，于點．
(1)試用反證法證明直線與是異面直線；
(2)設，將長表示為的函數，并求此函數的值域；
(3)當最小時，求異面直線與所成角的正弦值．
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在正方體中，分別是的中點，則下列直線與平面、平面與平面的位置關系是什么？
(1)所在的直線與平面的位置關系；
(2)所在的直線與平面的位置關系；
(3)所在的直線與平面的位置關系；
(4)平面與平面的位置關系；
(5)平面與平面的位置關系.
18．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，
(1)與是否在同一平面內？
(2)畫出平面與平面的交線．
19．（2023高三·全國·專題練習）若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內；
(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.3空間點、直線、平面之間的位置關系
課程標準 學習目標
1、借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義， 2、了解四個基本事實(與推論)，了解等角定理 1、能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系。 2、能用圖形、文字、符號三種語言描述四個基本事實。 3、理解兩異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線。 4、能從實際問題中歸納出等角定理
知識點01 空間點、線、面
1、構成空間幾何體的基本元素有：點、線、面.
2、用運動的觀點理解空間基本圖形之間的關系：點動成線、線動成面、面動成體.
3、點、線、面的表示
如圖所示的長方體可以表示為長方體 ，它共有8
個頂點，可表示為，12條棱可以表示為
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
個面可以表示為平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的平行四邊形表示的平面不能記為（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【分析】根據平面的表示方法即可選擇正確答案.
【詳解】表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP．
由題可知A錯誤，BCD正確.
故選：A.
知識點02 空間中點與直線、點與平面的位置關系
1、點A在直線l上：A∈l
2、點A在直線l外：A l
3、點A在平面α內：A∈α
4、點A在平面α外：A α
【即學即練2】（2020·高一課時練習）根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的位置關系.
（1）點與直線；
（2）與直線；
（3）與平面；
（4）點與平面；
【答案】（1） .
（2） .
（3）平面.
（4）平面.
【解析】先判斷位置關系,再根據符號語言表示即可
【詳解】由圖,
（1）點在直線上,所以 ；
（2）點不在直線上,所以 ；
（3）點在平面上,所以平面；
（4）點不在平面上,所以平面；
【點睛】本題考查空間中點、線、面的位置關系,考查用符號語言表示空間中的位置關系
知識點03 空間中直線與直線的位置關系
1、直線和直線相交：
2、直線和直線不相交：
【即學即練3】（23-24高二上·上海松江·階段練習）已知a，b為兩條不同的直線，α為一個平面，且，，則直線a與b的位置關系是 .
【答案】平行或異面
【分析】通過畫圖得到兩直線的位置關系.
【詳解】如圖1，此時直線a與b平行，如圖2，此時直線a與b異面.

故答案為：平行或異面
知識點04 直線與平面的位置關系
直線在平面內：
2、直線與平面相交：
3、直線與平面平行：
【即學即練4】（21-22高二上·上海楊浦·期中）對于直線和平面，"直線不在平面上"是""的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合線面之間的關系即可得解.
【詳解】直線不在平面上或與相交，
故"直線不在平面上"是""的必要不充分條件.
故選：B.
知識點05 兩個平面的位置關系
兩平面平行：
兩平面相交：
【即學即練5】（2020·高一課時練習）在正方體中，判斷下列直線、平面間的位置關系：
①與________； ②與________；
③與平面________； ④與平面________；
⑤平面與平面_________； ⑥平面與平面________.
【答案】 平行 異面 平行 相交 平行 垂直
【解析】根據圖形可得答案.
【詳解】由圖可知，四邊形是平行四邊形，所以與平行；
與異面；
因為，平面，平面，所以與平面平行；
與平面相交；
平面與平面平行；
平面與平面垂直.
故答案為：平行，異面，平行，相交，平行，垂直.
【點睛】本題考查的是空間中點、線、面的位置關系，較簡單.
知識點06空間點線面位置關系的公理
1.平面的基本事實
基本事實 （公理） 內容 圖形 符號 作用
基本事實1 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 確定平面；判定點線共面
基本事實2 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 確定直線在平面內；判定點在平面內
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定兩平面相交；判定點在直線上
基本事實4 行于同一條直線的兩條直線平行 . 基本事實4表明了平行線的傳遞性基本事實4表明了平行線的傳遞性
2.平面基本事實的推論
利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個_平面____ A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過____兩條相交直線_____，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過____兩條平行直線_____，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
【即學即練6】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，點H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別是邊AB，BC上的點，且．求證：直線相交于一點．
【答案】證明見解析
【分析】連接EF，GH，先證明，且，從而得到EH與FG相交，設交點為P，再證明，進而即可結論．
【詳解】如圖所示，連接EF，GH，
由H，G分別是AD，CD的中點，則，且，
又，則，且，
所以，且，所以EH與FG相交，設交點為P，
又，平面ABD，則平面ABD，
同理平面BCD，
又平面平面，則，
所以直線相交于一點．
知識點07 異面直線
1、定義：不同在任何一個平面內的兩條直線．
2、異面直線的畫法：
②
【即學即練7】（23-24高一下·湖北武漢·期中）下列說法正確的是（ ）
A．空間中兩直線的位置關系有三種：平行、垂直和異面
B．若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面
C．和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D．若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
【答案】D
【分析】對于A，空間中兩直線的位置關系有三種：平行、相交和異面；對于B，這兩直線異面或平行；對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線；對于D，以長方體為載體進行判斷求解.
【詳解】對于A，空間中兩直線的位置關系有三種：平行、相交和異面，故A錯誤；
對于B，若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面或平行，故B錯誤；
對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯誤；
對于D，如圖，在長方體中，
當所在直線為所在直線為時，與相交，
當所在直線為所在直線為時，與異面，
若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故D正確.
故選：D
知識點08 空間等角定理
定理：
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 ， 或
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
【即學即練8】（23-24高二上·上海·期中）已知空間兩個角和，若，，則 ．
【答案】或
【分析】根據空間向量等角定理求解即可.
【詳解】因為，，
當和開口方向相同時，，
當和開口方向相反時，.
故答案為：或
知識點09 異面直線所成的角
1、定義：如圖，是異面直線，在空間中任選一點，過點分別作的平行線和，則這兩條直線和所成的___銳角或直角_________，稱為異面直線所成的角．
2、異面直線所成角范圍：（0，]
3、求異面直線所成的角的步驟
一作，即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角
二證，即證明作出的角是異面直線所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角
【即學即練9】（22-23高二上·上海普陀·期中）設異面直線a、b所成的角為，經過空間一點O有且只有兩條直線與異面直線a、b成等角，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先作出直線所成角，再結合圖象以及對稱性求得的取值范圍.
【詳解】過作，則所成的角即異面直線所成角，
確定一個平面，過作，
過作直線和直線分別平分形成的兩個對頂角，
當過的直線在平面內旋轉時，與所成的角為，且；
當過的直線在平面內旋轉時，與所成的角為，且；
結合對稱性可知：若經過空間一點O有且只有兩條直線與異面直線a、b成等角，
則的取值范圍為.
故答案為：
【題型一：平面的基本性質及辨析】
例1．（23-24高二上·江西宜春·期末）能確定一個平面的條件是（ ）
A．空間的三點 B．一個點和一條直線
C．兩條相交直線 D．無數點
【答案】C
【分析】根據基本事實及其推論進行判斷即可.
【詳解】對于A，當這三個點共線時，經過這三點的平面有無數個，故A不正確；
對于B，當此點剛好在已知直線上時，有無數個平面經過這條直線和這個點，故B不正確；
對于C，根據基本事實的推論可知：兩條相交直線可唯一確定一個平面，故C正確；
對于D，給出的無數個點不一定在同一個平面內，故D不正確
故選：C．
變式1-1．（21-22高一下·全國·課后作業）已知平面平面，點，點，又，過三點確定的平面為，則是（ ）
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線
【答案】B
【分析】確定平面、的公共點，利用公理可得出平面與的交線.
【詳解】已知過三點確定的平面為，則.
又，則，又平面平面，
則，又因為，所以，
，
所以.
故選：B.
變式1-2．（2024高一下·全國·專題練習）給出下列命題：①書桌面是平面； ②平面與平面相交，它們只有有限個公共點；③如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合. 正確的是 （填寫序號）.
【答案】③
【分析】對于①：根據平面的性質分析判斷；對于②：根據公理2分析判斷；對于③：根據公理3分析判斷.
【詳解】對于①：由平面性質知，平面具有無限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①錯誤；
對于②：根據公理2可知，若兩個平面有一個共點，則有過該點的唯一交線，可知有無限個公共點，且在一條直線上，
故②錯誤；
對于③：根據公理3可知，不共線的三個點確定一個平面，
因此兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合，③正確.
故答案為：③.
變式1-3．（23-24高二上·廣東湛江·開學考試）若平面，直線，直線，則點與的位置關系為 ．
【答案】
【分析】根據基本事實3（公理2）求解即可.
【詳解】因為，
所以直線，直線，
因為直線，直線，
所以平面，平面，
又平面，
所以.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
1.確定平面的條件：
（1）不共線三點；（2）直線與直線外一點；(3)兩條相交直線；（4）兩條平行直線.
2.點、線、面位置關系判定：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
【題型二：點共面問題】
例2．（20-21高一上·寧夏固原·期末）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對于B，證明即可；而對于BCD，首先通過輔助線找到其中三點所在的平面，然后說明另外一點不在該平面中即可.
【詳解】對于選項，如下圖，點、、、確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在平面上，故、、、四點不共面；
對于選項，連結底面對角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點共面
對于選項C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內，故、、、四點不共面；
對于選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點不在直線上，故、、、四點不共面．
故選：B
變式2-1．（21-22高一·全國·課后作業）如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．，，，四點共面 B．，，，四點共面
C．，，，四點共面 D．，，，四點共面
【答案】B
【分析】根據題意，作圖，結合正方體的性質，證明線線平行，可得答案.
【詳解】因為正方體中，，，分別為棱，，的中點，，分別為四邊形，的中心，所以是的中點，所以在平面上，故A正確；
因為，，在平面上，不在平面上，所以，，，四點不共面，故B錯誤；
由已知可知，所以，，，四點共面，故C正確；
連接并延長，交于點，則為的中點，連接，則，所以，，，四點共面，故D正確．
故選：B.
【點睛】
變式2-2．（20-21高一·全國·課后作業）如圖，在三棱柱中，分別是的中點．求證：四點共面．

【答案】證明見解析
【分析】利用三棱柱的幾何性質及三角形中位線即可證明，即可得出結論.
【詳解】由分別是的中點可知，
是中邊的中位線，所以；
在三棱柱中，，
由平行性質的傳遞性可得；
所以四點共面
變式2-3．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．
【答案】證明見解析
【分析】符合同一原理，可以用同一法證明三點構成一個平面．
【詳解】假設面與棱交于．
平面，平面與其相交，
，
為中點，為中點，
與重合，即四點共面．
【方法技巧與總結】
基本思路：
①證明四個點在兩條平行線上
②證明四個點在兩條相交線上
③證明三個點共線
④三個不共線的點確定一個平面，證明第四個點在這個平面內
【題型三：線共面問題】
例3．（2024高一·江蘇·專題練習）如圖，已知.求證：直線共面．
【答案】證明見解析
【分析】由題意，根據點、線、面之間的關系，即可證明.
【詳解】因為，所以和確定一個平面，
因為，所以.
故.
又，所以和確定一個平面.
同理.
即和既在平面內又在平面內，且與相交，
故平面，重合，即直線共面．
變式3-1．（21-22高二·全國·課后作業）如圖，已知，，，，求證：直線AD，BD，CD共面．
【答案】證明見解析.
【分析】根據給定條件，利用平面基本事實的推論及平面基本事實2推理作答.
【詳解】因點，則由點D和直線l確定一個平面，有，而，則，
顯然，于是，同理，，即直線都在平面內，
所以直線共面.
變式3-2．（22-23高一·全國·課后作業）已知：，，，，，．求證：直線共面于．
【答案】證明見解析
【分析】根據平面基本性質，如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內,可證明結論.
【詳解】,
同理，
所以直線共面于.
變式3-3．（22-23高一下·山西大同·階段練習）已知三條直線，，相交于同一點，直線與它們分別相交于點，，，（異于點），求證：，，，四條直線在同一個平面內.
【答案】證明見解析
【分析】由點及直線確定一個平面，記為，根據基本事實2可得，同理可證，，即可得證.
【詳解】依題意，設點及直線確定一個平面，記為．
，，，又，，
又，，則，
同理可證，，，所以，，，四條直線在同一個平面內.
【方法技巧與總結】
基本思路： 兩條直線確定一個平面，然后證明其它直線在這個平面內
【題型四：三線共點問題】
例4．（22-23高一下·安徽·階段練習）空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)求證：EH，FG，BD三線共點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）由線段成比例證∥，∥即可；
（2）先證四邊形EFGH為梯形其腰交于一點，再證該點同屬于面BDC和面ABD即可.
【詳解】（1） ，
∥
∥
∥，所以四點共面；
（2） ∥，且，，
，
四邊形EFGH為梯形，
設，則，而平面ABD，所以平面ABD ,
又，平面BCD，所以平面BCD，
而平面平面，
，
EH，FG，BD三線共點.
變式4-1．（2022·河南·三模）如圖，在長方體中，E，F分別是和的中點．
(1)證明：E，F，D，B四點共面．
(2)證明：BE，DF，三線共點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）連接EF，BD，，易得，再由，得到證明；．
（2）由直線BE和DF相交，延長BE，DF，設它們相交于點P，然后再論證平面，平面即可.
【詳解】（1）如圖，
連接EF，BD，．
∵EF是的中位線，
∴．
∵與平行且相等，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四點共面．
（2）∵，且，
∴直線BE和DF相交．
延長BE，DF，設它們相交于點P，
∵直線BE，直線平面，
∴平面，
∵直線DF，直線平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三線共點．
變式4-2．（17-18高一·全國·課后作業）如圖所示，已知棱長為1正方體中，點分別是棱的中點．

求證：三條直線交于一點；
【答案】證明見解析
【分析】根據分別是棱的中點可得，利用等角定理可得三點共線，同理可得三點共線；即三條直線交于一點O．
【詳解】延長交的延長線于點O，如下圖所示：

易得．
在與中，
，所以
所以，由等角定理可知三點共線；
同理可得三點共線；
∴三條直線交于一點O．
變式4-3．（21-22高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，在三棱柱ABC-中，E為棱AB的中點，F為棱BC的中點.
(1)求證：E，F，C1，四點共面；
(2)求證：A1E，F，B交于一點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）連接EF，根據E，F分別為AB，BC的中點，得到，再根據三棱柱的性質證明即可；
（2）由（1）得且E，F，，四點共面，得到與必相交，設，再證明即可.
【詳解】（1）證明：如圖，
連接EF，
∵E，F分別為AB，BC的中點，
∴..
又在三棱柱中，，
∴.
則E，F，，四點共面.
（2）由（1）得且E，F，，四點共面，
則與必相交.
設.
∵ 平面，∴P∈平面.
∵ 平面，∴P∈平面..
又平面∩平面
∴.
則，，交于一點.
【方法技巧與總結】
基本思路：兩條直線交于一點，然后證明交點在其它直線上
【題型五：三點共線】
例5．（21-22高一·全國·課后作業）如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點M，，的延長線交于點N，，的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．
【答案】三點共線，理由見解析
【分析】由點共面、面共線可得答案.
【詳解】M，N，K三點共線．理由如下：
因為即在平面內又在平面內，所以在平面與平面的交線上，所以是平面與平面的交線，
即在平面內又在平面內，所以在平面與平面的交線上，所以是平面與平面的交線，
又平面與平面是同一平面，所以與是同一條直線，即M，N，K三點共線．
變式5-1．（2024高一·江蘇·專題練習）如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

【答案】證明見解析
【分析】由題意可證平面，平面，進而，即可證明.
【詳解】因為，且平面，所以平面，
同理平面，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面∩平面，所以成立．
所以點三點共線．
變式5-2．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由中位線性質和線段成比例即可得證.
（2）利用兩個平面內的公共點在兩個平面的交線上，即可得證.
【詳解】（1） 、分別是、的中點，
，
，，
.
（2）因為，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面與平面的公共點，
又平面 平面，
所以，所以三點共線
變式5-3．（20-21高一下·全國·課后作業）若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且，求證O，C，D三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】根據“兩條平行的直線確定一個平面”以及“兩平面相交，則交線為一條直線”推理.
【詳解】 ，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則，
，又直線 ，
∴O，C，D三點共線．
【方法技巧與總結】
基本思路：尋找一條特殊線，證明所有點在這條直線上或兩點確定一條直線，然后證明其它點在這條直線上
【題型六：截面問題】
例6．（23-24高二上·江西·期末）如圖，正方體的棱長為2，點E，F分別是，的中點，過點，E，F的平面截該正方體所得的截面多邊形記為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，得到五邊形即為截面，根據三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面周長.
【詳解】延長，與直線相交于，
連接與分別交于點，連接，
則五邊形即為截面，
正方體的棱長為2，點分別是的中點，
所以，
由 得，
，，
所以分別為靠近的三等分點，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周長為.
故選：C.
變式6-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點K在棱A1B1上運動，過A，C，K三點作正方體的截面，若K為棱A1B1的中點，則截面的面積為 ．
【答案】
【詳解】
如圖，取B1C1的中點M，連接KM，MC，易證四邊形KMCA為等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰長AK＝MC＝，則其高為KH＝，所以計算可得其面積為.
【考查意圖】判斷截面圖形的形狀，截面的面積．
變式6-2．（2023高一·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；
【答案】答案見解析
【分析】
由平面的基本性質作圖.
【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.
作法如下：連接并延長交的延長線于點，
連接交于點，交的延長線于點，
連接交于點，連接，，
所以五邊形即為所求截面.
變式6-3．（22-23高一下·全國·課后作業）如圖，正方體中，試畫出過其中三條棱的中點P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀．

【答案】答案見解析
【分析】根據給定條件，利用平面基本事實確定截面與正方體對應棱的公共點作出截面即可.
【詳解】在正方體中，畫直線與的延長線分別交于點，如圖，

畫直線交棱于，與的延長線交于點，連接交分別于點，
連接，因此六邊形是過點三點的正方體的截面，如圖，

【方法技巧與總結】
作圖原則
（1）兩點確定一條直線.
（2）只有同一個平面的兩條直線的才會相交，作出的交點才是實際的交點.
（3）如果已知兩個不重合平面有一個共公點，則該兩個平面的交線必過此公共點.
【題型七：異面直線辨析】
例7．（2024高三·全國·專題練習）下列命題中，真命題的個數是（　　）
① 分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線；
② 和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；
③ 和兩條異面直線都相交的兩條直線必定異面；
④ 與同一條直線都異面的兩條直線也是異面直線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】略
變式7-1．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線
B．若，則l與m可能垂直
C．若，且，則l與m可能平行
D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直
【答案】B
【分析】根據空間中線、面位置關系分析逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：若l與不平行，則l與的位置關系有：相交或直線在平面內，
且，則l與m的位置關系有：平行、相交或異面，故A錯誤；
對于選項B：若，則l與m可能垂直，
如圖所示：，可知：，故B正確；

對于選項C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；
對于選項D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，
如圖，取為平面，，

符合題意，但，故D錯誤；
故選：B.
變式7-2．（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.
【詳解】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，
其中，所以與共面、與共面、與共面．
故選：C

變式7-3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如圖，已知、、、分別是空間四邊形的邊、、、的中點．

(1)證明：四邊形為平行四邊形；
(2)證明：和是異面直線．
【答案】(1)證明過程見解析.
(2)證明過程見解析.
【分析】第一問利用三角形中位線性質，結合平行公理推理作答.第二問利用反證法來證明.
【詳解】（1）證明：因為已知、、、分別是空間四邊形的邊、、、的中點．所以線段是的中位線，所以且，同理可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形.
（2）反證法：假設和不是異面直線，則和平行或相交，所以和可以確定一個平面，所以，這與是空間四邊形矛盾，故和是異面直線.
【題型八：異面直線所成角】
例8．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的動點，且線段的長度最小值為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據即可求解最小值時，即可求解，利用平移可得為其補角即為異面直線與所成角，由余弦定理即可求解.
【詳解】由于三棱柱為直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故當時，此時最小，線段的長度最小值，
由于線段的最小值為，故此時，為中點，故，
連接,則,故為其補角即為異面直線與所成角，
,
,
故異面直線與所成角的余弦值為
故選：A
變式8-1．（23-24高一下·重慶·期中）如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點.則異面直線，所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】為中點，可知即為異面直線，所成角（或其補角），余弦定理求解即可.
【詳解】連結，取中點，連結，，如圖所示，

則，可知即為異面直線，所成角（或其補角），
，，
，，
所以，即異面直線，所成角的余弦值為.
故選：D
變式8-2．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題中條件連接，取的中點，連接,作出異面直線的平面角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，取的中點，
連接,
由題意知，,
則異面直線與所成角為（或其補角），
在中，,
則,
則異面直線與所成角的余弦值為，
故選：C.
變式8-3．（2020·全國·模擬預測）在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，利用三角形中位線性質，結合異面直線的定義求解即得.
【詳解】在正方體中，連接，由分別為的中點，得分別為中點，
而分別為的中點，則，，
因此或其補角是異面直線與所成的角，
在中，，則，
所以異面直線與所成角的大小是.
故選：C
【方法技巧與總結】
把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
一、單選題
1．（2024高一下·全國·專題練習）在矩形中，，，為邊的中點，現將繞直線翻轉至處，如圖所示，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）

A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】借助等角定理可得為異面直線與所成的角，借助正切定義計算即可得.
【詳解】取的中點，連接，，
因為是的中點，所以，
且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以為異面直線與所成的角，
在直角中，.
故選：A.

2．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方體，、、分別為、、的中點，則圖中與直線異面的直線是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據異面直線的定義逐項判斷.
【詳解】根據已知，可得，而，所以，A錯誤；
平面，平面，，
所以與是異面直線，B正確；
因為，所以四點共面，C錯誤；
，D錯誤.
故選：B
3．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，在四面體中作截面，若，的延長線交于點，，的延長線交于點，，的延長線交于點則下列四個選項中正確的個數是（ ）
（1），，三點共線；
（2），，，四點共面；
（3）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】證明，，三點都在平面與平面的交線上，可判斷（1）；由平面，可判斷（2）；由，可判斷（3）.
【詳解】因為，直線平面，
，直線平面，
所以是平面與平面的一個公共點，
所以在平面與平面的交線上，
同理可證，也在平面與平面的交線上，
所以三點共線，所以（1）正確；
平面，所以（2）錯誤；
由于，所以（3）錯誤.
故選：B.
4．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平面的性質公理1可判斷A，由平面的性質公理2，可判斷B，由線面的位置關系可判斷CD.
【詳解】由 ，，，根據公理1可得，故A選項正確，
由，，，根據公理2可得，故B選項正確，
由，可能與相交，可能有，故C選項錯誤，
由，根據公理1可得，故D選項正確，
故選：C.
5．（2024高一下·全國·專題練習）已知角的兩邊和角的兩邊分別平行，且，則（　　）
A． B．
C．或 D．不能確定
【答案】C
【分析】根據等角定理確定角與角的關系，即可得.
【詳解】由等角定理可知角的兩邊和角的兩邊分別平行，則兩角相等或互補，
故或，所以或.
故選：C.
6．（2024高一下·全國·專題練習）直線，，兩兩平行且不共面，經過其中兩條直線的平面共有（ ）
A．1個 B．2個
C．3個 D．1個或3個
【答案】C
【分析】由平面的公理2及其推論可得正確答案.
【詳解】兩條平行直線確定一個平面，所以經過直線，，直線，，直線，的平面各有一個，
故直線，，兩兩平行且不共面，經過其中兩條直線的平面共有共3個．
故選：C
7．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，既與AB共面也與共面的棱的條數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分與AB平行且與相交，與AB相交且與平行，與AB相交也與相交，列舉出滿足要求的直線，得到答案.
【詳解】AB與不共面，因此沒有同時與這兩條直線平行的直線，
與AB平行且與相交的有CD，，與AB相交且與平行的有，，
與AB相交也與相交的有BC，所以共有5條．
故選：C．
8．（2024高一下·全國·專題練習）已知為平面，為點，為直線，下列推理中錯誤的是（ ）
A．，則
B．，則直線，直線
C．，則
D．，且不共線，則重合
【答案】C
【分析】根據題意，結合平面的基本性質，以及確定平面的依據，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，根據直線上有兩個點在平面內，則這條直線在這個平面內，可得，所以A正確；
對于B中，由，根據直線上有兩個點在平面內，則這條直線在這個平面內，可得直線，直線，所以B正確；
對于C中，由，則平面和平面是一條經過點的直線，所以C不正確；
對于D中，由，且不共線，根據過不共線的三點唯一確定一個平面，可得重合，所以D正確.
故選：C.
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，點是棱上的動點，則過三點的截面圖形是（　　）
A．等邊三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．正方形
【答案】ABC
【分析】分點與點，重合及點不與點重合，分別作出平面，即可得答案.
【詳解】解：當點與點重合時，截面圖形為等邊三角形，如圖（1）；
當點與點重合時，截面圖形為矩形，如圖（2）；
當點不與點重合時，當分別為的中點，
則截面圖形為等腰梯形，不可能為正方形，如圖（3）．
故選：ABC.
10．（23-24高一下·廣西南寧·階段練習）一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．MN與AB是異面直線 D．BF與CD成角
【答案】ACD
【分析】根據給定的展開圖，還原正方體，再結合線線垂直、平行及異面直線的意義判斷即可.
【詳解】將正方體的展開圖還原，如圖，
對于A，連接，顯然，則四邊形是平行四邊形，
，而，因此，A正確；
對于B，由，得，
則，而，因此，B錯誤；
對于C，平面，平面，，平面，
因此MN與AB是異面直線，C正確；
對于D，由選項B知，，因此BF與CD成角，D正確.
故選：ACD
11．（22-23高一下·陜西西安·期末）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（ ）
A．直線與直線相交；
B．直線與直線平行；
C．直線BM與直線是異面直線；
D．直線與直線成角.
【答案】CD
【分析】將正方體的平面展開圖，復原為正方體，根據異面直線的定義，可判定A、B不正確；C正確；再結合異面直線所成的角的定義與求解，可判定D正確.
【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復原為正方體，
對于A中，直線與不同在任何一個平面內，否則四點共面，（矛盾），
所以直線與為異面直線，所以A不正確；
對于B中，直線與不同在任何一個平面內，否則四點共面，（矛盾），
所以直線與為異面直線，所以B不正確；
對于C中，平面平面，平面，平面，
所以直線與不相交，連接，則，而與相交，
所以與不平行，否則，不合題意，
所以直線與是異面直線，所以C正確；
對于D中，連接，則為正三角形，可得，
又由，則為直線與直線所成的角，
即直線與直線所成的角為，所以D正確.
故選：CD.
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點，則線段的長為 .
【答案】或
【分析】取的中點，連接、，即可得到為異面直線與所成的角或其補角，即或，再利用余弦定理計算可得.
【詳解】取的中點，連接、，
、分別為、的中點，且，
同理可得且，
為異面直線與所成的角或其補角，則或.
在中，，，
若，由余弦定理可得
；
若，由余弦定理可得
；
綜上所述，或.
故答案為：或.
13．（23-24高一下·浙江寧波·期中）正方體棱長為2，N為線段上一動點，為線段上一動點，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】先明確MN最小值情況，進而得到MN最小時MN位置，然后把空間兩根線段和等價轉化成共面的兩根線段和即可求解.
【詳解】如圖，連接MC，MA，
則由題意可知當為等腰三角形，當MN垂直于AC時MN最短，
此時N為AC中點，面，
如圖延長至G，使得，連接GM，
則面，且，
所以面，故當三點共線時最小，
此時.
故答案為：.
14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖，在三棱錐中，，點在棱上，點在棱上，且，設表示與所成的角，表示與所成的角，則的值為 .

【答案】/
【分析】如圖，作 ，則，進而 ，得，即可求解.
【詳解】作 交于，連接，則.
而，所以，則 .
由，得，所以，
又 ， ，
所以，故.
故答案為：

四、解答題
15．（2024高一下·全國·專題練習）P是平面ABC外一點，，D，E分別為PC，AB的中點，且.求異面直線PA與BC所成的角的大小.
【答案】.
【分析】首先取AC的中點F，連接DF，EF，證明為異面直線PA與BC所成的角，再用勾股定理證明其為直角即可.
【詳解】如圖，取AC的中點F，連接DF，EF，在中，
∵D是PC的中點，F是AC的中點，.
同理可得.
為異面直線PA與BC所成的角（或其補角）.
在中，，
又，，
，
，即異面直線PA與BC所成的角為.
16．（2024高三·全國·專題練習）如圖，是棱長為2的正方體，為面對角線上的動點（不包括端點），平面交于點，于點．
(1)試用反證法證明直線與是異面直線；
(2)設，將長表示為的函數，并求此函數的值域；
(3)當最小時，求異面直線與所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)，值域
(3)
【分析】（1）假設直線與共面，利用公理2及長方體的相鄰兩個面不重合證明；
（2）設，利用平行線解線段成比例求得，得到，進一步求得，再由勾股定理列式求解，結合二次函數求值域；
（3）當時，最小，此時，由于，又，為異面直線與所成角的平面角，通過解直角三角形得答案．
【詳解】（1）證明：假設直線與是共面直線，
設直線與都在平面上，則A、、、．
因此，平面、平面都與平面有不共線的三個公共點，
即平面和平面重合（都與平面重合），
這與長方體的相鄰兩個面不重合矛盾，
于是，假設不成立，
直線與是異面直線.
（2）解：正方體的棱長為2， ，
設，則，得，，
，得，
，
當時，有最小值為，
當趨近于時，趨近于2，當趨近于0時，趨近于，
函數的值域為；
（3）當時，最小，此時，
在底面中，，，，
又，為異面直線與所成角的角，
在中，為直角，，
∴異面直線與所成角的正弦值為．
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在正方體中，分別是的中點，則下列直線與平面、平面與平面的位置關系是什么？
(1)所在的直線與平面的位置關系；
(2)所在的直線與平面的位置關系；
(3)所在的直線與平面的位置關系；
(4)平面與平面的位置關系；
(5)平面與平面的位置關系.
【答案】(1)相交
(2)相交
(3)平行
(4)平行
(5)相交
【分析】根據直線與平面的位置關系的判定、平面與平面位置關系的判定直接判斷答案即可.
【詳解】（1）由于A點在平面內，M不在平面內，所以所在的直線與平面相交.
（2）由于C點在平面內，N不在平面內，所在的直線與平面相交.
（3）由正方體的結構特征得平面平面，，
所以所在的直線與平面平行.
（4）由正方體的結構特征得平面平面，
所以平面與平面平行.
（5）由正方體的結構特征得平面平面，
而平面平面，
所以平面與平面相交.
18．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，
(1)與是否在同一平面內？
(2)畫出平面與平面的交線．
【答案】(1)在同一平面內；
(2)作圖見解析
【分析】（1）經過兩條平行直線，有且只有一個平面，由此判斷與是在同一平面；
（2）先畫出圖象，再求出平面與平面的公共點，由此畫出兩個平面的交線.
【詳解】（1）∵，
∴與可確定平面，
∴與在同一平面內.
（2）如圖所示:
設，連接，則平面，且平面.
∵平面，且平面BC1D，
∴平面平面．
19．（2023高三·全國·專題練習）若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內；
(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據空間中直線與平面、點與平面的位置關系即可判斷；
（2）證明三點分別在平面與平面的交線上即可.
【詳解】（1）∵，
∴確定平面，
∵都在平面內，
∴平面；平面，
∵，
∴確定平面，
∵都在平面內，
∴平面；平面，
∵，
∴確定平面，
∵都在平面內，
∴平面；平面；
（2）∵，∴，
因為平面，平面，
所以點在平面與平面的交線上，
∵，∴，
因為平面，平面，
所以點在平面與平面的交線上，
∵，∴，
因為平面，平面，
所以點在平面與平面的交線上，
所以三點共線.
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