資源簡介

6.6簡單幾何體的再認識
課程標準 學習目標
理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，會求幾何體的表面積與體積 1、熟記柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式 2、理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，會求幾何體的表面積與體積理解球的大、小圓，直線與球相切的意義 3、掌握球的表面積和體積公式，并能解決與球有關的組合體的相關計算問題
知識點01 柱、錐、臺、球體的表面積體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【即學即練1】（2024·山東泰安·三模）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型一：表面積問題】
例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以邊長為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正三角形旋轉一周所得幾何體的側面積為（ ）
A． B． C． D．
變式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圓錐的側面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式1-2.（23-24高一下·重慶·期中）已知一個直四棱柱的高為4，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）是邊長為2的正方形，則這個直四棱柱的表面積為（ ）
A．40 B． C． D．
變式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為，切割這個正四棱柱，得到四棱錐，則這個四棱錐的表面積為 .
【題型二：公式法求體積問題】
例2.（2024·山西臨汾·三模）宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（ ）
A． B． C． D．
變式2-1.（23-24高一下·黑龍江綏化·期中）正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數值之比為 .

變式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖所示，底面邊長為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為，高為4的正四棱錐.
(1)求棱臺的體積；
(2)求棱臺的表面積.
變式2-3.（23-24高一下·河北邢臺·期中）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上靠近點A的三等分點，點E在線段上．
(1)求圓柱的表面積與體積；
(2)求三棱錐的體積；
(3)若D是的中點，求的最小值．
【題型三：輪換頂點法求體積問題】
例3.（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，直三棱柱所有的棱長都為1，，分別為和的中點．

(1)證明：平面．
(2)求三棱錐的體積．
變式3-1.（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在長方體中，，，點，分別是棱的中點．
(1)證明：三條直線相交于同一點
(2)求三棱錐的體積．
變式3-2.（2024·內蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，，點，是棱上的三等分點，點是棱的中點.，.
(1)證明：平面，且；
(2)求三棱錐的體積.
變式3-3.（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，為正三角形，點E，F分別在棱，上，且，．

(1)證明：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
【題型四：平行線換頂點法求體積問題】
例4．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐為正四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，四棱錐的高為1，點E在棱AB上，且．
(1)若點F在棱PC上，是否存在實數滿足，使得平面PDE？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由．
(2)在第（1）問的條件下，當平面PDE時，求三棱錐的體積．
變式4-1．（22-23高一下·湖南邵陽·期末）如圖，在四棱錐中，平面是的中點.

(1)證明： 面
(2)證明：平面平面；
(3)求三棱錐的體積.
變式4-2．（22-23高一下·河南開封·期末）如圖，在直四棱柱中，，，點為的中點.

(1)求證： 平面；
(2)設是直線上的動點，求三棱錐的體積.
變式4-3．（2023·江西·校聯考模擬預測）如圖，三棱柱中，是的中點，.
(1)證明：平面；
(2)若，點到平面的距離為，求三棱錐的體積.
【題型五：比例法求體積問題】
例5．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
變式5-1．（22-23高一下·湖北·階段練習）如圖，在正四棱錐中，，，、、分別為中點.

(1)求證： 平面；
(2)三棱錐的體積.
變式5-2．（2024·陜西寶雞·一模）已知四棱錐中，，，，，為的中點.

(1)求證：平面；
(2)若，，求四面體的體積.
變式5-3．（22-23高一下·遼寧沈陽·期末）在如圖所示的七面體中，底面為正方形，，，面．已知，．

(1)設平面平面，證明：平面；
(2)若二面角的正切值為，求四棱錐的體積．
【題型六：對稱法求體積問題】
例6．（2024·四川·模擬預測）如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)當時，求三棱錐的體積．
變式6-1．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD是的菱形，，點M是PC的中點．

(1)證明：//平面MDB；
(2)求三棱錐的體積．
變式6-2．（2023·陜西寶雞·一模）如圖在四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四邊形.已知，，，E是PB中點.
(1)求證： 平面ACE；
(2)求四面體的體積.
變式6-3．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．
【題型七：割補法求體積問題】
例7．（2024·四川南充·二模）已知多面體中，，且，，.

(1)證明：；
(2)若，求多面體的體積.
變式7-1．（2024·陜西咸陽·二模）如圖幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，若，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求該幾何體的體積．
變式7-2．（22-23高一下·寧夏石嘴山·期中）如圖，正三棱柱的高為，底面邊長為2，點，分別為，上的點.

(1)在棱，上是否存在點，使得平面平面？如果存在，在此條件下證明平面平面；
(2)在（1）的條件下，求幾何體的體積.
變式7-3．（21-22高一下·遼寧·期末）已知直三棱柱中，側面為正方形，分別為和的中點，為棱上的動點（包括端點）．，若平面與棱交于點．

(1)請補全平面與棱柱的截面，并指出點的位置；
(2)求證：平面；
(3)當點運動時，試判斷三棱錐的體積是否為定值 若是，求出該定值及點到平面的距離；若不是，說明理由．
【題型八：體積最值與定值問題】
例8．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面體中，已知，．
(1)證明：平面；
(2)當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．
變式8-1．（2024·四川廣安·二模）如圖，在三棱錐中，為邊上的一點，，，，.
(1)證明：平面；
(2)設點為邊的中點，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.
變式8-2．（2023高一下·全國·專題練習）如圖，四邊形中，，分別在上，.現將四邊形沿折起，使得平面平面.
(1)當時，是否在折疊后的上存在一點，使得平面？若存在，求出點位置；若不存在，說明理由；
(2)設，問當為何值時，三棱錐的體積有最大值？并求出這個最大值.
變式8-3．（20-21高一下·全國·單元測試）已知正四棱錐P﹣ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．

(1)試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；
(2)當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的正切值．
【題型九：體積最值與定值問題】
例9.（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知球O為棱長為1的正四面體的外接球，若點P是正四面體ABCD的表面上的一點，Q為球O表面上的一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式9-1.（2024·全國·模擬預測）在正三棱錐中，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式9-2.（22-23高一下·山東棗莊·階段練習）已知三棱錐的所有棱長均為2，球為三棱錐的外接球，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式9-3.（22-23高一下·湖北·階段練習）在中，，，D為BC的中點，將繞AD旋轉至，使得，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（23-24高一下·貴州貴陽·期中）《五曹算經》是我國南北朝時期數學家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實用算術書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約有（ ）
A．60.08斛 B．171.24斛
C．61.73斛 D．185.19斛
2．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為6，頂點P到底面ABC的距離是，則這個正三棱錐的側面積為（ ）
A．27 B． C．9 D．
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（　　）
A．
B．
C．與平面所成的角為
D．四面體的體積為
4．（23-24高一下·天津南開·期中）廡殿頂是中國古代傳統建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”，如圖（1）所示.現有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體，其中正方形邊長為3，，且到平面的距離為2，則幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南長沙·期中）在三棱錐中，平面，，為邊長等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與圓臺的上、下底面及側面均相切，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圓為梯形的內切圓，并與，分別切于點，，如圖所示，以所在的直線為軸，梯形和圓分別旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體體積分別為，，則值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為，則該工藝品的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與是平行直線
C．三棱錐的體積為
D．平面將正方體分為兩個部分，其中較小部分的體積為
10．（23-24高一下·重慶·期中）在等腰梯形中，，，，以所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則下列說法正確的是（ ）
A．等腰梯形的高為2 B．該幾何體為圓柱
C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積為
11．（23-24高一下·山東·期中）已知直三棱柱中，， 點分別為棱的中點，是線段上（包含端點）的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半徑為2
B．三棱錐的體積與的位置無關
C．若為的中點，則過三點的平面截三棱柱所得截面為等腰梯形
D．一只蟲子由表面從點爬到點的最近距離為
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在四面體中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，，則四面體的體積為 .
14．（23-24高一下·河南鄭州·期中）已知矩形，，，沿將折起成．若點在平面上的射影落在內部，則四面體的體積取值范圍是 .
四、解答題
15．（23-24高二上·重慶梁平·開學考試）如圖，在邊長為的正方體中，為中點，
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
16．（23-24高一下·河北滄州·期中）已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長為4，寬為3的長方形．
(1)若該幾何體的高為2，求該幾何體的體積V；
(2)若該幾何體的側棱長均為，求該幾何體的側面積S．
17．（23-24高一下·山東·期中）已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.
(1)求該圓錐的側面積；
(2)求圓錐的內切球的表面積；
(3)求該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值.
18．（23-24高一下·北京·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求三棱錐的體積.
19．（23-24高一下·福建廈門·期中）如圖（1），正三棱柱，將其上底面ABC繞的中心逆時針旋轉，，分別連接得到如圖（2）的八面體

(1)若，依次連接該八面體側棱的中點分別為M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求證：共面；
（ⅱ）求多邊形的面積；
(2)求該八面體體積的最大值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.6簡單幾何體的再認識
課程標準 學習目標
理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，會求幾何體的表面積與體積 1、熟記柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式 2、理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，會求幾何體的表面積與體積理解球的大、小圓，直線與球相切的意義 3、掌握球的表面積和體積公式，并能解決與球有關的組合體的相關計算問題
知識點01 柱、錐、臺、球體的表面積體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【即學即練1】（2024·山東泰安·三模）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出圓臺的軸截面，利用其周長和兩底面圓半徑的關系列方程，求出，代入公式，即可求得圓臺的表面積.
【詳解】

如圖，作出圓臺的軸截面,設上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，
故軸截面周長為，解得，
所以上、下底面圓的面積分別為，，圓臺側面積，
所以圓臺的表面積為.
故選:C.
【題型一：表面積問題】
例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以邊長為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正三角形旋轉一周所得幾何體的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正三角形繞一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，得到幾何體是兩個同底的全等圓錐,根據圓錐的側面積公式求解．
【詳解】
如圖，正三角形繞所在直線為旋轉軸旋轉一周，得到幾何體是兩個同底的全等圓錐，
底面半徑,母線長,
由圓錐的側面積公式可得該幾何體的側面積為.
故選:C.
變式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圓錐的側面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助圓錐的側面積公式與扇形面積公式可得底面半徑，再利用圓錐表面積公式計算即可得.
【詳解】圓錐的底面半徑為，
由圓錐的側面積公式與扇形面積公式可得，
即圓錐的底面半徑，
則.
故選：A.
變式1-2.（23-24高一下·重慶·期中）已知一個直四棱柱的高為4，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）是邊長為2的正方形，則這個直四棱柱的表面積為（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【分析】分別求出側面積和底面積，即可得到表面積.
【詳解】由于直觀圖是正方形，所以ABCD是兩鄰邊分別為2與6，高為的平行四邊形，
其周長是，面積是，
所以直四棱柱的表面積是.
故選：C
變式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為，切割這個正四棱柱，得到四棱錐，則這個四棱錐的表面積為 .
【答案】
【分析】根據題意，結合正方體的幾何結構中，分求得四棱錐的各個面的面積，即可求解.
【詳解】由正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為，
可得矩形的面積為，
的面積為，
的面積為，
的面積為，
中，因為，則邊上的高為，
其面積為，
所以四棱錐的表面積為.
故答案為：.
【題型二：公式法求體積問題】
例2.（2024·山西臨汾·三模）宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出上下圓臺的高，利用臺體體積公式求出答案.
【詳解】上、下兩圓臺的高之比是，故上圓臺的高為厘米，
下圓臺的高為厘米，
故上圓臺的體積為立方厘米，
下圓臺的體積為立方厘米，
故該汝窯雙耳罐的體積為立方厘米.
故選：D
變式2-1.（23-24高一下·黑龍江綏化·期中）正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數值之比為 .

【答案】/
【分析】根據給定條件求出正八面體的表面積和體積即可計算作答.
【詳解】正八面體的表面是8個全等的正三角形組成，其中正邊長為2，
則正八面體的表面積，
而正八面體可視為兩個共底面的，
側棱長與底面邊長相等的正四棱錐與拼接而成，
正四棱錐的高，
則正八面體的體積，
于是得，
所以正八面體的體積與表面積之比為.
故答案為：.
變式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖所示，底面邊長為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為，高為4的正四棱錐.
(1)求棱臺的體積；
(2)求棱臺的表面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正四棱錐于棱臺的性質可得棱臺的高，結合棱臺體積公式計算即可得；
（2）求出棱臺各個面的面積后相加即可得.
【詳解】（1）過點作底面于點，交平面于點，
由正四棱錐及棱臺的性質可知，為底面的中心，
則，
即棱臺的高，
，
（2）連接，則，則，
作于點，則，
故
.
變式2-3.（23-24高一下·河北邢臺·期中）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上靠近點A的三等分點，點E在線段上．
(1)求圓柱的表面積與體積；
(2)求三棱錐的體積；
(3)若D是的中點，求的最小值．
【答案】(1)表面積，體積
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意，結合圓柱的表面積和體積公式，即可求解；
（2）根據題意，得到為直角三角形，且，結合棱錐的體積公式，即可求解；
（3）將平面繞旋轉到和平面共面，得到點在的延長線上，設為點，當三點共線時，取最小值，結合余弦定理，即可求解.
【詳解】（1）圓柱的底面直徑，故半徑，且高，
可得圓柱的表面積為，
圓柱的體積為．
（2）因為點是圓柱底面圓周上靠近點的三等分點，且，
而為直角三角形，
從而，得，，
所以．
（3）解：將平面繞旋轉到和平面共面，此時點在的延長線上，
設為點，可得，
即當三點共線時，取最小值，
由題意，，
所以，
故的最小值為．
【題型三：輪換頂點法求體積問題】
例3.（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，直三棱柱所有的棱長都為1，，分別為和的中點．

(1)證明：平面．
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面平行判定定理證明即可.
（2）利用等體積法求即求，利用三棱錐求體積公式即可求解.
【詳解】（1）

證明：連接，在中，D，E分別為和的中點，所以.
因為平面，平面，所以平面.
（2）因為為直三棱柱，所以平面，
又因為為邊長為的正三角形，所以，
又 .
變式3-1.（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在長方體中，，，點，分別是棱的中點．
(1)證明：三條直線相交于同一點
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)1.
【分析】（1）先通過證明且得到四點共面，且相交，再利用基本事實三可證明結論；
（2）通過以及棱錐的體積公式求解.
【詳解】（1）連接，如圖：
分別是的中點，，，
且，
∴四邊形為平行四邊形，，
在中，分別是的中點，，，
且 四點共面，
設，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三條直線相交于同一點；
（2），三棱錐的高為，
點是棱的中點， ，
點分別是棱的中點，，，
．
．
變式3-2.（2024·內蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，，點，是棱上的三等分點，點是棱的中點.，.
(1)證明：平面，且；
(2)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）借助中位線的性質可得線線平行，借助線面平行的判定定理可得線面平行，借助平行四邊形的性質可得線線平行；
（2）由題意可得為的頂點D到邊的高，為三棱錐的高，結合體積公式計算即可得.
【詳解】（1）因為，分別為，的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，
連接，在中，，
所以，且，
因為，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又，所以，
（2）由題意可知，，，，
所以，故，
又，所以，所以為的頂點D到邊的高，
因為平面，所以為三棱錐的高，
故.
變式3-3.（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，為正三角形，點E，F分別在棱，上，且，．

(1)證明：平面平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據正三角形的性質以及平行四邊形的性質，結合面面垂直的性質定理，可得答案；
（2）根據三棱錐的體積公式，結合等積變換，可得答案.
【詳解】（1）取AC的中點，過點作，交于點，連接BG，EH，如圖．
由，且，則，
由，則，所以，
由，且可知，，且，
所以四邊形BEHG是平行四邊形，所以．
因為為正三角形，點為AC的中點，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．

（2）因為，所以，又，
所以．
由（1）知平面，且，
因為三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
所以．
【題型四：平行線換頂點法求體積問題】
例4．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，四棱錐為正四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，四棱錐的高為1，點E在棱AB上，且．
(1)若點F在棱PC上，是否存在實數滿足，使得平面PDE？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由．
(2)在第（1）問的條件下，當平面PDE時，求三棱錐的體積．
【答案】(1)存在；
(2)
【分析】（1）先由線面平行的判定定理證明平面PDE，得到，再由面面平行的判定定理證明平面平面PDE即可.
（2）由等體積法結合棱錐的體積公式求解即可.
【詳解】（1）
存在實數滿足，使得平面PDE．
證明如下：取DC上一點G，滿足，連接GF，GB，BF．
因為，所以．
因為平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．
因為底面ABCD是正方形，且，所以且相等，
所以四邊形EBGD為平行四邊形，所以．
因為平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．
又因為，平面BGF，平面BGF，
所以平面平面PDE．
又因為平面BGF，所以平面PDE．
（2）已知，因為平面PDE，所以．
又因為正四棱錐的高為1，底面邊長為2，所以．
變式4-1．（22-23高一下·湖南邵陽·期末）如圖，在四棱錐中，平面是的中點.

(1)證明： 面
(2)證明：平面平面；
(3)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）取中點，連接，證即可；
（2）由得，由平面得，所以平面，從而得證；
（3），所以 平面，根據求解．
【詳解】（1）取中點，連接，
∵,,
∴,
∴為平行四邊形，則，
∵面，面，∴ 面.

（2）因為，所以，
由平面平面，所以，
又由，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
（3）由（1）可得，且平面，平面，所以 平面，
所以，
因為平面，可得，
又由，
所以，
所以，即三棱錐的體積為.
變式4-2．（22-23高一下·河南開封·期末）如圖，在直四棱柱中，，，點為的中點.

(1)求證： 平面；
(2)設是直線上的動點，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）利用平行四邊形的性質得線線平行，再根據線面平行的判定即可證明；
（2）利用等體積法求解即可.
【詳解】（1）如圖所示，分別取的中點，連接，

由題意得，且，且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又因為，所以，
又因為平面平面，所以 平面.
（2）由（1） 平面，
所以上任意一點到平面的距離都相等，所以，
由題意，又，平面，
所以平面，又，所以平面，即平面，
因為，
所以，
所以三棱錐的體積為.
變式4-3．（2023·江西·校聯考模擬預測）如圖，三棱柱中，是的中點，.
(1)證明：平面；
(2)若，點到平面的距離為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據是的中點得到，利用線面垂直的判定得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定即可證明；
（2）根據線面垂直的判定得到平面，進而得到面面垂直，利用面面垂直的性質，過點作于點，進而得到平面，求出所需的各邊長，進而計算即可求解.
【詳解】（1）因為是的中點，
所以，因為，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因為是的中點，所以，
又因為，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，
所以平面，因為，所以，
取的中點，連接，
可得，所以平面即為平面，又平面，
所以平面平面，
過點作于點，則平面，
所以，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
所以，因為，
所以，所以，所以，
又因為，所以，.
因為平面，
所以
因為，所以.
【題型五：比例法求體積問題】
例5．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，利用中位線得到線線平行，從而求出線面平行；
（2）求出，進而求出.
【詳解】（1）連接交于點，連接，
因為底面是正方形，
所以為的中點，
因為為的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為，底面是正方形，平面，
所以，
因為為的中點，所以.
變式5-1．（22-23高一下·湖北·階段練習）如圖，在正四棱錐中，，，、、分別為中點.

(1)求證： 平面；
(2)三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過證明得到 平面；
（2）先求得，通過體積轉化得，求得
【詳解】（1）證明： 連接，
∵四邊形為正方形，、分別為中點，
∴，
又五點共面，平面，平面，
∴平面，
（2）
在正四棱錐中，連接交于點，連接，
則平面，又平面，所以 ，
所以，
，
因為，為中點.
所以
，
故.
變式5-2．（2024·陜西寶雞·一模）已知四棱錐中，，，，，為的中點.

(1)求證：平面；
(2)若，，求四面體的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理結合線面平行的判定定理即得；
（2）先根據幾何關系以及線段長度找出四面體的高，再根據三棱錐的體積公式求解出結果.
【詳解】（1）取的中點，連接，，
取的中點，連接，，
，，
又，，
，又，平面，
平面，
又平面，，
又，，
四邊形為矩形，
且，
分別為中點，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，
平面；

（2）延長，過過交于，
因為，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因為平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，
所以到平面的距離為 ，
又因為為中點，
所以.

變式5-3．（22-23高一下·遼寧沈陽·期末）在如圖所示的七面體中，底面為正方形，，，面．已知，．

(1)設平面平面，證明：平面；
(2)若二面角的正切值為，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面ABFE，再由線面平行性質定理可得，從而可證得結論；
（2）由二面角的定義可得長，再根據平行得錐體底面積比例、三棱錐等體積轉換即可得四棱錐的體積.
【詳解】（1）因為底面為正方形，所以，
因為平面ABFE，平面ABEF，所以平面ABFE．
因為平面GCD，平面平面，所以
因為平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD．
（2）取中點，連接，

因為面，面，所以
因為正方形，所以，
因為平面，所以平面
又，所以平面，
因為平面，所以
則為二面角的平面角，
因為為中點，，所以，又，故四邊形為矩形，
所以，由面，得面
則，所以
因為且，所以
所以，
所以
【題型六：對稱法求體積問題】
例6．（2024·四川·模擬預測）如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)當時，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據線面垂直的判定證明平面即可；
（2）先根據線面垂直的判定證明平面，再根據求解即可.
【詳解】（1）因為，所以四點共面，
因為四邊形為菱形，所以，
因為平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面；
（2）因為平面，平面，所以，
又因為，平面，故平面，
又因為互相平分，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，
所以，
又因為，
所以三棱錐的體積為.
變式6-1．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD是的菱形，，點M是PC的中點．

(1)證明：//平面MDB；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】
（1）根據中位線可得∥，進而根據線面平行的判定定理分析證明；
（2）根據題意分析可得，再利用轉換頂點法求錐體體積.
【詳解】（1）設，連接，可知：為的中點，
因為點M是PC的中點，則∥，
且平面MDB，平面MDB，
所以//平面MDB.

（2）
因為點M是PC的中點，且平面，
則點A、C到平面的距離相等，所以，
又因為平面ABCD，則三棱錐的高為，
可得，
所以三棱錐的體積為.
變式6-2．（2023·陜西寶雞·一模）如圖在四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四邊形.已知，，，E是PB中點.
(1)求證： 平面ACE；
(2)求四面體的體積.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）連接BD交AC于點O，連接OE，然后利用平行四邊形的性質及線面平行的判斷即可；
（2）利用等體積法求解即可，即.
【詳解】（1）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，如圖所示：
∵ABCD是平行四邊形，
∴O為BD中點，且E為PB中點，
∴，且PD平面ACE內，平面ACE，
∴ 平面ACE.
（2）∵，
∴的面積，
又∵面ABCD，∴，
又∵E為PB中點，∴，
所以四面體的體積為.
變式6-3．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．
【答案】（1）詳見解析；（2）1
【解析】試題分析：（1）取中點，由等腰三角形及等比三角形性質得，，再根據線面垂直判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，結合平幾知識確定，再根據錐體體積公式得，兩者體積比為1:1. []
試題解析：（1）證明：取中點，連
∵，為中點，
∴，
又∵是等邊三角形，
∴，
又∵，∴平面，平面，
∴.
【考點】線面垂直判定及性質定理，錐體體積
【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.
【題型七：割補法求體積問題】
例7．（2024·四川南充·二模）已知多面體中，，且，，.

(1)證明：；
(2)若，求多面體的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）利用余弦定理及線面垂直的判定定理，結合線面垂直的定義即可求證；
（2）利用勾股定理的逆定理及等面積法，結合線面垂直的判定定理及椎體的體積公式即可求解.
【詳解】（1）連接BD，DF，如圖所示

在中，，，，
則，
所以，即，
同時 ，可得，
同理可得，
又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；
又因為平面BDF，所以．
（2）由（1）知，又，則，
作于點，則,解得.
又平面BDF，，所以平面BDF，
又平面BDF，所以，
又，平面，所以平面，
多面體 三棱錐 四棱錐
矩形 .
變式7-1．（2024·陜西咸陽·二模）如圖幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，若，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求該幾何體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設分別為，邊的中點，證得四邊形為平行四邊形，得到，再由和，證得平面，進而得到平面，即可證得平面平面；
（2）過點作平行于底面的平面，分別求得三棱柱和四棱錐的體積，進而求得該幾何體的體積.
【詳解】（1）證明：設分別為，邊的中點，連接，
因為平面，且，，，，
所以，且，
即四邊形為平行四邊形，可得，
在底面正三角形中，為邊的中點，則，
又因為平面，且平面，所以，
由于，且平面，所以平面，
因為，且平面，則平面，
又平面，則平面平面．
（2）解：過點作平行于底面的平面，
由 是邊長為2的正三角形，且平面，
可得點到平面的距離為，
因為，所以平面，平面，
又由，
可得三棱柱的體積為，
又因為梯形的面積為，
可得四棱錐的體積為，
所以該幾何體的體積為.
變式7-2．（22-23高一下·寧夏石嘴山·期中）如圖，正三棱柱的高為，底面邊長為2，點，分別為，上的點.

(1)在棱，上是否存在點，使得平面平面？如果存在，在此條件下證明平面平面；
(2)在（1）的條件下，求幾何體的體積.
【答案】(1)存在，證明見解析
(2)2
【分析】
（1）根據正三棱柱的幾何性質，結合線面平行的判定定理和面面平行的判定定理進行證明即可；
（2）利用幾何體之間的體積關系，結合棱柱和棱錐的體積公式進行求解即可.
【詳解】（1）與的中點，可以使得平面平面，
證明：在三棱柱中，
∵與為與的中點，
∴與平行且相等，
故四邊形為平行四邊形，∴，
∵與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形 故，
因為，平面，平面，
所以平面，同理可證平面，
而， 平面，平面，
∴平面平面；

（2）∵，
，
.
變式7-3．（21-22高一下·遼寧·期末）已知直三棱柱中，側面為正方形，分別為和的中點，為棱上的動點（包括端點）．，若平面與棱交于點．

(1)請補全平面與棱柱的截面，并指出點的位置；
(2)求證：平面；
(3)當點運動時，試判斷三棱錐的體積是否為定值 若是，求出該定值及點到平面的距離；若不是，說明理由．
【答案】(1)答案見解析，點為的中點；
(2)證明見解析；
(3)是定值，到平面的距離為.
【分析】（1）取的中點，連接，依題意可得，即可得到，即可得解；
（2）先證明，結合，利用線面垂直的判定定理即可得證；
（3）先證明平面，又，則到平面的距離等于到平面的距離，再用等體積法求出點到面的距離.
【詳解】（1）如圖，點為的中點，連接，

由為中點，則，又，
所以，所以四點共面，
故平面與棱柱的截面為．
（2）證明：因為在與中，，
所以，又，
所以，
所以，
，且平面，
所以平面，
即平面；
（3）由（2）知平面，又平面，
所以，又，
所以，
又，且平面，
所以平面，
又，所以到平面的距離等于到平面的距離，
所以
，
所以三棱錐的體積為定值．
中，，
所以，
由，
可得，
所以點到平面的距離為．
【題型八：體積最值與定值問題】
例8．（23-24高三上·河北保定·期末）在平行六面體中，已知，．
(1)證明：平面；
(2)當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設，連接，根據題意證明，，即可得結果；
（2）根據題意可知，分析可知：當且僅當為正方體時，三棱錐體積最大，進而結合二面角的定義分析可知二面角的平面角為，即可得結果.
【詳解】（1）設，則為的中點，連接，
因為，可知，
可得，則，
又因為為菱形，則，
且，平面，所以平面.
（2）設，則為的中點，連接，
設到的距離為，

則，
當且僅當，即平面時，等號成立，
又因為，即，
可得，
當且僅當時，等號成立，
綜上所述：當且僅當為正方體時，三棱錐體積最大，
由題意可知：，為的中點，

則，可知二面角的平面角為，
在中，，
可得，
所以二面角的余弦值為.
變式8-1．（2024·四川廣安·二模）如圖，在三棱錐中，為邊上的一點，，，，.
(1)證明：平面；
(2)設點為邊的中點，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】（1）由，，，求得AC，進而求得AM，然后利用余弦定理求得BM，從而得到，進而得到，然后利用線面垂直的判定定理證明；
（2）根據點為邊的中點，得到，從而有，由平面，得到平面平面，得到點P到平面ABC的距離，即為點P到BM的距離，再根據為定值，由高最大時，體積最大求解.
【詳解】（1）解：因為，，，
所以，由射影定理得，
所以，由余弦定理得，
所以，則，即，
又因為，，
所以平面；
（2）因為點為邊的中點，
所以，又，
所以，
因為平面，所以平面平面，
所以點P到平面ABC的距離，即為點P到BM的距離，設為h，
因為為定值，
當h最大時，所以三棱錐的體積最大，
而，則，
當h=1時，.
變式8-2．（2023高一下·全國·專題練習）如圖，四邊形中，，分別在上，.現將四邊形沿折起，使得平面平面.
(1)當時，是否在折疊后的上存在一點，使得平面？若存在，求出點位置；若不存在，說明理由；
(2)設，問當為何值時，三棱錐的體積有最大值？并求出這個最大值.
【答案】(1)答案見解析
(2)，最大值為3
【分析】（1）先找到點，再證明此時平面.
（2），，體積的表達式為得到答案.
【詳解】（1）存在點，使得平面，此時.
當時，，
過點作，交于點，連接，如圖，則.
∵在四邊形中，
∴，∴.
∵，
∴，且，故四邊形為平行四邊形，
∴.
∵平面平面，
∴平面.
（2）∵平面平面，平面平面平面平面.
∵，∴，
故三棱錐的體積，
當時，三棱錐的體積有最大值，最大值為3
變式8-3．（20-21高一下·全國·單元測試）已知正四棱錐P﹣ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．

(1)試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；
(2)當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的正切值．
【答案】(1)a，V最大值為；
(2)3
【分析】（1）根據棱錐體積公式寫出體積再應用基本不等式求出最值即可；
（2）根據異面直線定義得出異面直線所成角，再應用取最值時的邊長計算即可.
【詳解】（1）設正四棱錐的底面邊長為a，側面三角形的高為H，則
∴ ．
∵h2（當且僅當h，即h＝1時取等號）．
∴，即正四棱錐體積V的最大值為（當h＝1，a時取最大值）；
（2）取CD的中點Q，正方形ABCD的中心為O，連接PO，PQ，OQ．
∵AB∥CD，∴∠PDQ即為異面直線AB與PD所成角．
∵Q為CD的中點，．
即，由（1）知，．
又DQ，∴．
即異面直線AB和PD所成角的正切值為3．

【題型九：體積最值與定值問題】
例9.（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知球O為棱長為1的正四面體的外接球，若點P是正四面體ABCD的表面上的一點，Q為球O表面上的一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出正四面體外接球半徑，再分析出最大值即可外接球直徑.
【詳解】首先求出正四面體外接球的半徑：
由正四面體的對稱性與球的對稱性可知球心在正四面體的高上：
設外接球半徑為，如圖(為外接球球心，為的重心），
，
，，
中，，
即，得，
因為點P是正四面體的表面上的一點，Q為球O表面上的一點，
則的最大值相當于外接球的直徑，則最大值為.
故選：D.
變式9-1.（2024·全國·模擬預測）在正三棱錐中，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正三棱錐的結構特征可求解高的長度，進而根據勾股定理即可求解半徑，即可由表面積公式求解，或者利用空間直角坐標系求解半徑.
【詳解】方法一：如圖，取正三角形的中心為，連接，
則三棱錐的外接球球心在上，連接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
設外接球的半徑為，
由，，解得，
所以三棱錐的外接球表面積.
故選:C.

方法二：在正三棱錐中，過點作底面于點，
則為底面正三角形的中心，
因為正三角形的邊長為2，所以.
因為，所以.
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，.
設三棱錐的外接球球心為，半徑為.
由，得，解得，
所以，
則三棱錐的外接球表面積.
故選：C.
變式9-2.（22-23高一下·山東棗莊·階段練習）已知三棱錐的所有棱長均為2，球為三棱錐的外接球，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把正四面體放置在正方體中，轉化為正方體外接球問題，求出半徑，代入球的表面積公式求解即可.
【詳解】三棱錐的所有棱長均為2，
故可把三棱錐放置在正方體中，
如圖

設正方體的棱長為a，則，解得，
三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
故球的半徑，所以球的表面積.
故選：D
變式9-3.（22-23高一下·湖北·階段練習）在中，，，D為BC的中點，將繞AD旋轉至，使得，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推導出平面，計算出的外接圓的直徑，可得出三棱錐的外接球直徑為，再利用球表面積公式可求得結果.
【詳解】如下圖所示：

圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.
翻折前，在中，，，為的中點，則，
且，
翻折后，則有，，
又因為，、平面，所以，平面，
由已知，，滿足，
則是斜邊長為的等腰直角三角形，
將三棱錐置于圓柱上，使得的外接圓為圓，

所以，的外接圓直徑為，
所以，三棱錐的外接球直徑為，
則，
因此，三棱錐的外接球表面積為.
故選：C.
一、單選題
1．（23-24高一下·貴州貴陽·期中）《五曹算經》是我國南北朝時期數學家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實用算術書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約有（ ）
A．60.08斛 B．171.24斛
C．61.73斛 D．185.19斛
【答案】C
【分析】根據圓錐的底面周長求出底面半徑，再計算圓錐的體積，從而估算堆放的稻谷數．
【詳解】設圓錐形稻谷堆的底面半徑為尺，
則底面周長為尺，解得尺，
又高為尺，
所以圓錐的體積為（立方尺）；
又（斛），
所以估算堆放的稻谷約有（斛）．
故選：C．
2．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為6，頂點P到底面ABC的距離是，則這個正三棱錐的側面積為（ ）
A．27 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】利用已知條件求解斜高，然后求解正三棱錐的側面積．
【詳解】由題意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的邊的距離為：，
所以正三棱錐的斜高為：，
所以這個正三棱錐的側面積為：.
故選：.
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（　　）
A．
B．
C．與平面所成的角為
D．四面體的體積為
【答案】B
【分析】對于A，若，根據線面垂直的判定定理得，得出矛盾可判斷A；根據線面垂直的判定定理、性質定理可判斷B；由平面得就是與平面所成的角，求出可判斷C；求出四面體的體積可判斷D.
【詳解】對于A，因為，，所以，
若，因為，，平面，平面，所以平面，
可得，這與矛盾，故A錯誤；
對于B，因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
因為，，所以，
得，又因為，平面，
所以平面，又因為平面，
所以，所以，故B正確；
對于C，平面，所以就是與平面所成的角，
因為，所以與平面所成的角為，故C錯誤；
對于D，四面體的體積為，故D錯誤.
故選：B.
4．（23-24高一下·天津南開·期中）廡殿頂是中國古代傳統建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”，如圖（1）所示.現有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體，其中正方形邊長為3，，且到平面的距離為2，則幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中點分別為，把可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，結合柱體和錐體的體積公式，即可求解.
【詳解】取的中點分別為，連接，
可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，
將三棱柱補成一個上底面與矩形全等的矩形的平行六面體，
可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，
則三棱柱的體積為，
四棱錐的體積為，
所以該幾何體的體積為.
故選：D.
5．（23-24高一下·湖南長沙·期中）在三棱錐中，平面，，為邊長等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將三棱錐補形為一個直三棱柱,分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，求出球半徑后可得表面積．
【詳解】易知的外接圓的半徑為1，將三棱錐補形為一個直三棱柱，
如圖，分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，
由題設，易得底面外接圓半徑，，則，即外接球的半徑為，
其外接球的表面積是，
故選：D．
6．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與圓臺的上、下底面及側面均相切，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據圓臺的軸截面圖，結合圓臺和球的結構特征求解，然后代入圓臺體積公式求解即可.
【詳解】如圖，
設圓臺上、下底面圓心分別為，
則圓臺內切球的球心O一定在的中點處，
設球O與母線切于M點，
所以，
所以，
所以與全等，
所以，同理，所以，
過A作，垂足為G，
則，，
又，
所以，
所以，所以，
所以該圓臺的體積為.
故選：D.
7．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圓為梯形的內切圓，并與，分別切于點，，如圖所示，以所在的直線為軸，梯形和圓分別旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體體積分別為，，則值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先確定旋轉體的形狀，再求解幾何體的體積即可得出結果.
【詳解】梯形ABCD旋轉一周形成圓臺，且圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,
由圓O和梯形ABCD相切可得，，
所以圓臺高, 圓O半徑，
所以，,
所以，.
故選：C.
8．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期中）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為，則該工藝品的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半，結合截面圓的周長，可得，進而得到，再利用表面積公式即可求解．
【詳解】設截面圓半徑為，球的半徑為，
則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半，即此距離為2，
根據截面圓的周長可得，得，
故，
得，所以球的表面積，
如圖，，且，
則球冠的，
得所截的一個球冠表面積，
且截面圓面積為，
所以工藝品的表面積．
故選：A．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查球的截面性質，關鍵是利用勾股定理得到球的半徑和球冠的高.
二、多選題
9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與是平行直線
C．三棱錐的體積為
D．平面將正方體分為兩個部分，其中較小部分的體積為
【答案】ACD
【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項；利用反證法結合面面平行的性質，可判斷B選項；求出三棱錐的體積，可判斷C選項；分析出平面截正方體所得截面圖形為梯形，較小部分為三棱臺，計算出其體積，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為平面，平面，平面，
且，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；
對于B選項，假設直線與是平行直線，則四點共面，
因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因為，所以，，這與矛盾，
假設不成立，故與不平行，故B錯誤；
對于C選項，正方體的棱長為2，
所以
即三棱錐的體積為，故C正確；

對于D選項，連接，
在正方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為分別為、的中點，
所以，且，
故且，故四點共面，
所以，平面截正方體所得截面圖形為梯形，
將正方體分成兩部分，其中較小部分為三棱臺，
所以，
，
故D正確.
故選：ACD.
10．（23-24高一下·重慶·期中）在等腰梯形中，，，，以所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則下列說法正確的是（ ）
A．等腰梯形的高為2 B．該幾何體為圓柱
C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積為
【答案】ACD
【分析】過點作交于點，過點作交于點，求出、，即可判斷A，依題意可得該幾何體的結構特征為一個圓柱挖去上、下兩個圓錐，且圓柱的底面半徑，高為，圓錐的底面半徑，高為，再求出幾何體的表面積與體積，即可得解.
【詳解】因為在等腰梯形中，，，，

過點作交于點，過點作交于點，
則，所以，
所以等腰梯形的高為，
以所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，
則該幾何體的結構特征為一個圓柱挖去上、下兩個圓錐，
且圓柱的底面半徑，高為，圓錐的底面半徑，高為，故A正確，B錯誤．
該幾何體的表面積，
體積，故C、D正確．
故選：ACD
11．（23-24高一下·山東·期中）已知直三棱柱中，， 點分別為棱的中點，是線段上（包含端點）的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半徑為2
B．三棱錐的體積與的位置無關
C．若為的中點，則過三點的平面截三棱柱所得截面為等腰梯形
D．一只蟲子由表面從點爬到點的最近距離為
【答案】ABD
【分析】借助長方體判斷A；利用等體積法判斷B；通過中位線證明截面為梯形，利用勾股定理求出兩腰，進而判斷C；分情況討論，比較最短距離，可判斷D.
【詳解】對于A，因為，三棱柱為直三棱柱，

如圖，故該三棱柱為長方體的一半，如圖：
所以直三棱柱外接球即為長方體外接球，
因為，
所以其外接球半徑為，故A正確；
對于B，如圖：
，
因為分別為的中點，所以，
又點在上，所以到的距離為定值，
故的面積為定值，故三棱錐的體積與的位置無關，故B正確；
對于C，如圖，連接，

因為分別為的中點，
所以，且，
又因為，且，所以，且，
過三點的平面截三棱柱所得截面為梯形，
又，
所以，所以，
所以,所以，
所以四邊形不是等腰梯形，故C錯誤；
對于D，若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖1，則爬過的最小距離：為；

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖2，則爬過的最小距離為：；

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖3，則爬過的最小距離為：，

若一只蟲子由表面從點經過爬到點，如圖4，
過作，交于點，
因為為中點，所以 ，所以，
在中，則爬過的最小距離為：
，

故D正確.
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：本題D選項關鍵要找出蟲子的幾條路線，然后分別求最短距離.
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在四面體中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，，則四面體的體積為 .
【答案】/
【分析】由面面垂直性質可知平面，根據，結合棱錐體積公式可求得結果.
【詳解】平面平面，平面平面，，平面，
平面，，
是邊長為的等邊三角形，，
又，.
故答案為：.
13．（23-24高一下·福建莆田·期中）在正三棱柱中，D為棱的中點，若是面積為6的直角三角形，則此三棱錐的體積為 .
【答案】/
【分析】由題意首先求得棱長和底邊長，然后結合棱柱、棱錐體積公式根據割補法計算體積即可.
【詳解】由題，設，，截面是面積為的直角三角形，
所以，，
則由得，又 ，所以，
故，

取的中點為E，連接，則由題意，
因為平面，平面，則，
因為，平面，則平面，
又，，
所以
，
故答案為：
14．（23-24高一下·河南鄭州·期中）已知矩形，，，沿將折起成．若點在平面上的射影落在內部，則四面體的體積取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用在平面上的射影落邊和上，作為兩種臨界位置關系，這兩種位置關系剛好是平面平面和平面平面，利用空間關系可算出兩種情形的高和，從而可計算兩個臨界位置的體積，根據題意，取開區間就可得到結果.
【詳解】當平面平面，在平面上的射影落在交線上，此時體積最大，如圖：
由等面積法得，即，則.
當平面平面，在平面上的射影落在交線上，此時體積最小，如圖：
連接，由平面平面，，面，所以平面，
又因為平面，所以，則，
再由，可得，所以，
再由等面積法可得，即，則，
由于點在平面上的射影落在內部，不包括邊界，所以四面體的體積取值范圍是，
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二上·重慶梁平·開學考試）如圖，在邊長為的正方體中，為中點，
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設，交于點，連結，根據中位線的性質可得即可證明；
（2）根據錐體體積公式求解即可.
【詳解】（1）設，交于點，連結，
在邊長為的正方體中，為中點，
是中點，，
平面，平面，
平面．
（2）三棱錐的體積：．
16．（23-24高一下·河北滄州·期中）已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長為4，寬為3的長方形．
(1)若該幾何體的高為2，求該幾何體的體積V；
(2)若該幾何體的側棱長均為，求該幾何體的側面積S．
【答案】(1)8；
(2)．
【分析】（1）利用錐體的體積公式求解；
（2）先求出四棱錐對側面底邊上的高，再分別求得各側面的面積相加即可.
【詳解】（1）解：該幾何體是一個高為2，底面為矩形的四棱錐，
所以該幾何體的體積．
（2）正側面及相對側面底邊上的高．
左、右側面的底邊上的高．
故幾何體的側面面積．
17．（23-24高一下·山東·期中）已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為.
(1)求該圓錐的側面積；
(2)求圓錐的內切球的表面積；
(3)求該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，依題意可得，再由的面積求出，即可得到，從而求出側面積；
（2）作出軸截面，利用三角形相似求出內切球的半徑，即可求出球的面積；
（3）令正四棱柱的底面邊長為，高為，由三角形相似得到，再由側面積公式及基本不等式計算可得.
【詳解】（1）設圓錐母線長、底面半徑分別為、，
由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，
又，所以，
又因為的面積為，
，解得（負值舍去），
又，所以，
圓錐的側面積.
（2）作出軸截面如圖所示：
根據圓錐的性質可知內切球球心在上，設球心為，切于點，
設內切球半徑為，即，則，
所以，
由（1）可知，圓錐的高，，
則有，解得，
所以圓錐的內切球的表面積；
（3）由（1）知圓錐的高，
令正四棱柱的底面邊長為，高為，
則，
由得，
，
所以正四棱柱的側面積
，當且僅當，即時等號成立，
所以該圓錐的內接正四棱柱的側面面積的最大值為.
18．（23-24高一下·北京·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）借助中位線的性質與線面平行判定定理推導即可得；
（2）借助線面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理推導即可得；
（3）借助點為線段的中點，可得點與點到平面距離相等，即有，結合體積公式計算即可得.
【詳解】（1）連接交于點，連接，
由底面是正方形，故為中點，
又點為線段的中點，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）由點為線段的中點，，故，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故，又、平面，，
故平面；
（3）由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，
故.
19．（23-24高一下·福建廈門·期中）如圖（1），正三棱柱，將其上底面ABC繞的中心逆時針旋轉，，分別連接得到如圖（2）的八面體

(1)若，依次連接該八面體側棱的中點分別為M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求證：共面；
（ⅱ）求多邊形的面積；
(2)求該八面體體積的最大值．
【答案】(1)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）
(2)
【分析】（ⅰ）三點確定平面，證明其余務點都在內；（ⅱ）由多邊形的形狀，利用分割法求面積。
（2）八面體補成六棱柱，轉化為規則圖形求體積.
【詳解】（1）（ⅰ）證明：由基本事實1，三點共面，設這三點確定的平面為，

因為，且平面，平面，
所以平面，同理，平面，
又因為平面由棱柱上底面繞中心旋轉得到，
所以平面平面，因為平面，所以平面，
若平面與平面相交，設平面平面，則至少與中一條直線相交，
不失一般性，設，則平面，且，由基本事實3知，與矛盾，故平面平面，
若平面，則與平面相交，由平面平面，則與平面相交，
因為平面，所以與相交，與矛盾，所以平面，
即四點共面；同理，
綜上，六點共面.
（ⅱ）旋轉后俯視圖形如下，由條件知，
且，

旋轉前與夾角為，旋轉后夾角為，
由平行關系，得，同理，
聯結，所以全等且均為等腰直角三角形，
所以，又因為為正三角形且邊長為，
所以，所以截面的面積為
（2）(3)利用割補法，分別由向平面作垂線，垂足為，
由向平面作垂線，垂足為；
將八面體補成六棱柱，則八面體的體積為六棱柱的體積扣去六個全等的四面體，即，

易知這些棱柱與棱錐的高均為三棱柱的高，設，
則，
其中，的外接圓也是的外接圓，

設其圓心為O，由正弦定理，其半徑為
則，當時，距離最遠，此時，
所以八面體體積的最大值為
【點睛】方法點睛：
若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進，即將不規則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規則的幾何體求解．
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