資源簡介

6.2直觀圖
課程標準 學習目標
1、了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟 2、會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖 1、通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的三視圖與直觀圖，了解空間圖形在平面上的不同表現形式; 2、會用斜二側畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖和長方體、正方體的直觀圖; 3、會畫正棱錐、正棱柱、圓柱的直觀圖.
知識點 直觀圖與斜二測畫法
1、直觀圖：立體幾何中，用來表示空間圖形的平面圖形，習慣上稱為空間圖形的直觀圖.
2、空間圖形的直觀圖的畫法：斜二測畫法
3、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的主要步驟如下：
①在已知圖形中取水平平面，作相互垂直的軸Ox，Oy，使∠xOy＝90°；
②畫直觀圖時，把軸Ox，Oy畫成對應的軸O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所確定的平面表示水平平面；
③已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸．
并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．
④已知圖形中，平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半．
⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了水平放置的平面圖形的直觀圖．
4、 用斜二測畫法作立體圖形直觀圖的步驟：
（1）在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平面上圖形的直觀圖（保留x’軸與y’軸）。
（2）在立體圖形中，過x軸與y軸的交點取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸。過x 軸與y’軸的交點作z軸對應的z’軸，且z’軸垂直于x’軸。
圖形中與z軸平行（或重合）的線段畫成與z軸平行（或重合）的線段，且長度不變。
（3）連接有關線段，擦去有關輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線（或擦除）。
注意：水平放置的圓，其直觀圖一般用"正等測畫法"畫成橢圓.
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形
B．正方形的直觀圖為平行四邊形
C．梯形的直觀圖不是梯形
D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
【答案】B
【分析】根據斜二測畫法的性質判斷BC的正誤，根據特例可判斷AD的正誤.
【詳解】對于B，由于直角在直觀圖中有的成為，有的成為,
但直觀圖的平行關系依然保留，故B正確.
對于C，梯形的直觀圖一定是梯形，故C錯誤.
對于D，如圖等邊三角形中，為的中點，設，
則，則在直觀圖中，，，
故，，
故三角形不為等腰三角形，故AD錯誤.
故選：B.
【題型一：斜二測畫法辨析】
例1．（2024高一下·全國·專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等
B．相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等
C．不相等的線段在直觀圖中對應的線段一定不相等
D．線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點
【答案】D
【分析】根據正方體的直觀圖可判斷；利用矩形鄰邊滿足的直觀圖可判斷,易知正確.
【詳解】如圖，由正方形的直觀圖是平行四邊形可知錯誤，易知正確.
項，如圖，矩形的鄰邊滿足,
其直觀圖的鄰邊是相等的，故錯誤.
故選：D.
變式1-1．（多選）（2024高三上·全國·專題練習）關于斜二測畫法所得直觀圖的說法錯誤的是（ ）
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形 B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
【答案】ABC
【分析】根據斜二測畫法的規則即可結合選項逐一求解.
【詳解】由斜二測畫法規則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標系變成斜坐系，而平行性沒有改變，A，B，C都不正確，D正確，
故選：ABC
變式1-2．（多選）（22-23高一下·山東青島·期中）下列說法正確的是（ ）
A．平行線段在直觀圖中仍然平行 B．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體
C．相等的線段在直觀圖中仍然相等 D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
【答案】AD
【分析】利用平面圖形和直觀圖的定義的應用判斷AC；利用棱柱的定義判斷B；利用棱錐的定義判斷D.
【詳解】對于A，在斜二測畫法中，平行的線段在直觀圖中仍然平行，故A正確；
對于B，長方體是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是長方形，故不一定是長方體，故B錯誤；
對于C，水平擺放正方形的鄰邊相等，但在用斜二測畫法畫出的直觀圖中鄰邊變成了原來的2倍關系，故C錯誤；
對于D，正棱錐底面是正多邊形，側面是全等的等腰三角形，故D正確；
故選：AD
變式1-3．（多選）（22-23高一下·湖南婁底·期末）關于斜二測畫法，下列說法正確的是（ ）
A．在原圖中平行的直線，在對應的直觀圖中仍然平行
B．若一個多邊形的面積為，則在對應直觀圖中的面積為
C．一個梯形的直觀圖仍然是梯形
D．在原圖中互相垂直的兩條直線在對應的直觀圖中不再垂直
【答案】ABC
【分析】根據斜二測畫法逐項判斷，可得出合適的選項.
【詳解】對于A，根據斜二測畫法知，直觀圖中平行關系不會改變，A正確；
對于B，對于平面多邊形，不妨以三角形為例，
如圖①，
在中，，其面積，
在其直觀圖（圖②）中，
作，則直觀圖的面積
，
因為平面多邊形可由若干個三角形拼接而成，在直觀圖中，每個三角形的面積都為原三角形面積的，
故平面多邊形直觀圖的面積也為原來平面多邊形面積為，B正確；
對于C，梯形的上、下底平行且長度不相等，在直觀圖中，兩底仍然平行，且長度不相等，
故一個梯形的直觀圖仍然是梯形，C正確；
對于D，空間幾何體的直觀圖中，在原圖中互相垂直的兩條直線在對應的直觀圖中可以垂直，如長方體的長和高，D錯誤.
故選：ABC.
【方法技巧與總結】
斜二測畫法中“三變”：
坐標軸的夾角改變；與y軸平行的線段的長度變為原來的一半；圖形改變。
“三不變”：平行性不改變；與x軸、z軸平行的線段的長度不改變；對位置不改變。
【題型二：平面圖形的直觀圖的畫法】
例2．（23-24高二上·上海·期中）如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出直角梯形的直觀圖，即可得出合適的選項.
【詳解】作出直角梯形的直觀圖如下圖所示：

A選項滿足要求.
故選：A.
變式2-1．（多選）（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知等腰三角形，則如圖所示的四個圖形，可能是的直觀圖的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】分和兩種情況說明.
【詳解】當時，其直觀圖是C；
當時，其直觀圖是D.
故選：CD.

變式2-2．（2024高一下·全國·專題練習）利用斜二測畫法畫出邊長為的正方形的直觀圖，正確的是圖中的 .（填序號）
【答案】③
【分析】直接根據斜二測畫法的規則求解.
【詳解】正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的比為，
故答案為：③
變式2-3．（23-24高一下·重慶·期中）如圖所示是水平放置的的直觀圖，其中，則原是一個（ ）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據斜二測畫法的規則求解即可.
【詳解】

將水平放置的的直觀圖還原，可知，
由勾股定理有，注意到，
所以三角形是等腰三角形，不是等邊三角形，
由大邊對大角可知，三角形中最大角的余弦，
即三角形中最大角是銳角，三角形是銳角三角形，不是直角三角形，
綜上所述，只有C選項符合題意，
故選：C.
【方法技巧與總結】
1、在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點.
2、畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段（平行性不變），與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.
【題型三：直觀圖中的長度問題】
例3．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結合斜二測畫法的規則，將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，結合勾股定理算出各邊長度即可求解.
【詳解】由題意，，由可得，
由，，，
可得，所以，
而，
所以，
結合斜二測畫法的規則，將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，如圖所示：
由勾股定理可得，
所以滿足題意的平面圖形的周長是.
故選：C.
變式3-1．（23-24高一下·山東泰安·期中）用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知是邊長為的等邊三角形，則頂點到軸的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點作交軸于點，利用正弦定理求得，再由斜二測畫法規則即可得到結果.
【詳解】
過點作交軸于點，如圖所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二測畫法可知，在原平面圖形中，點B到x軸的距離是.
故選：A.
變式3-2．（22-23高一下·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據斜二測畫法的規則確定原圖形，利用勾股定理求得長度．
【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，
由斜二測法則知，，
所以,
故選：C．
變式3-3．（22-23高一下·陜西西安·期中）一水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖，此直觀圖恰好是一個邊長為的正方形，則原平面四邊形的周長為 .

【答案】
【分析】把直觀圖還原為平面圖形，根據斜二測法求出相應的線段長，即可求出原平面四邊形的周長.
【詳解】把直觀圖還原為平面圖形，如圖所示，
依題意，，
所以，，
則，
所以原平面四邊形的周長為.
故答案為：

【題型四：直觀圖中的面積問題】
例4．（23-24高一下·安徽阜陽·期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個邊長為1的正方形，則這個平面圖形的面積是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據直觀圖還原平面圖，再求出相應的線段的長度，即可求出面積.
【詳解】如圖，不妨令直觀圖中正方形為，則，
所以，
由直觀圖可得如下平面圖形，則，，
所以.
故選：A
變式4-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由斜二測畫法的規則得到平面圖形，即可得到原圖形的面積.
【詳解】依題意不妨令直觀圖如下所示：
則還原直觀圖為原圖形，如圖所示，
因為，所以，
還原回原圖形后，，，所以原圖形面積為.
故選：B
變式4-2．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，用斜二測畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】根據所給的直觀圖是一個等腰直角三角形且直角邊長是，求出直觀圖的面積，根據平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結果．
【詳解】因為是的直觀圖，且直角邊長是，
所以的面積為，
因為平面圖形與直觀圖的面積的比為，
所以的面積為，
故選：A
變式4-3．（23-24高一下·福建·期中）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】根據題意，結合斜二測畫法的規則，得到水平放置的的直觀圖，結合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】根據斜二測畫法的規則，可得水平放置的的直觀圖，如圖所示，
因為軸，軸，且，，
可得，且，
所以的面積為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
斜二側畫法的面積是原來圖形面積的倍。
原來的高變成了45°的線段，且長度是原高的一半，因此新圖形的高是這個一半線段的倍，故新高是原來高的，而橫向長度不變，所以面積變為原面積的。
【題型五：空間幾何體的直觀圖的畫法】
例5．（2024高一下·全國·專題練習）用斜二測畫法畫出正六棱錐（底面是正六邊形，點與底面正六邊形的中心的連線垂直于底面）的直觀圖（尺寸自定）．
【答案】答案見解析.
【分析】根據給定條件，利用斜二測畫法規則，按畫底面再確定頂點的步驟作出正六棱錐的直觀圖.
【詳解】（1）畫底面：
①在正六邊形中，的中點為，的中點為，
以所在直線為軸，所在直線為軸，兩軸相交于點（如圖①所示），
畫相應的軸、軸和軸，三軸交于點，使，（如圖②所示），

②在圖②中，以為中點，在軸上取，在軸上取，
以為中點畫平行于軸，并且等于；再以為中點畫平行于軸，并且等于，
③連接，得到底面正六邊形的直觀圖，
（2）畫頂點：在軸的正半軸上任意選取一點（不含點）為，
（3）成圖：連接，，，，，，并擦去軸，
加以整理（將被遮擋的線改為虛線），便得到正六棱錐的直觀圖（如圖③所示）．

變式5-1．（22-23高一·全國·隨堂練習）畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.
【答案】直觀圖見解析
【分析】根據斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形，再畫出高和上底面，即可求解.
【詳解】第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形；
第二步，取四邊形對角線中點O，建立坐標系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐標系，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形；
第四步，連接，得四棱臺即為所求，如圖：

變式5-2．（22-23高一·全國·隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．
【答案】圖形見解析
【分析】根據斜二測畫法規則，畫出該三棱柱的直觀圖即可．
【詳解】①取的中點，畫，
用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為的正三角形，其中，；
②畫平面，在上截取；
畫出，；，，且與交于點，如圖所示；
③連接、、，即得正三棱柱，
④最后將，，軸擦去，即可得到正三棱柱的直觀圖如下：

變式5-3．（22-23高一·全國·課堂例題）在初中，我們已經學習了一些空間幾何體的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖）．如圖是某幾何體的三視圖（尺寸單位：cm），試畫出它的直觀圖．

【答案】作圖見解析
【分析】由幾何體的三視圖可知，這個幾何體是一個簡單組合體．它的下部是一個圓柱，上部是一個球，且圓柱橫截面的直徑與球的直徑相同．我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的球．
【詳解】畫法 （1）畫軸．畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使，．
（2）畫圓柱的直觀圖．如圖（1），以點O為中點，在x軸上截取，借助橢圓模板畫出下底面的直觀圖，在z軸上截取，過點分別作，．以點為中點，在軸上截取，借助橢圓模板畫出上底面的直觀圖．連接與．
（3）畫球的直觀圖．如圖（2），在軸上截取，以點為中心，分別沿三個方向（兩兩之間的夾角為120°）畫半徑為3cm的圓的直觀圖（三個橢圓）．以點為圓心畫一個半徑為3cm的圓．
（4）成圖．經過整理，就得到了所求幾何體的直觀圖，如圖（3）．

【方法技巧與總結】
1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可.
2、直觀圖畫法口訣可以總結為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關系不變.”3.直觀圖的還原和計算問題
一、單選題
1．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐
【答案】D
【分析】由圓錐的三視圖結合條件可得.
【詳解】由圓錐的三視圖可知該幾何體是底面半徑為1，高為的圓錐.
故選：D．
2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據直觀圖的作圖法則，還原三角形，即可求解.
【詳解】因為 ，由直觀圖可知，，
所以還原平面圖形中，，，在中，,
則三角形的周長為.
故選：D
3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出正三角形的直觀圖，求出高，計算面積即可.
【詳解】正三角形的直觀圖如圖：
由題意，，，
所以過點作，垂足為，
則，所以三角形的面積為：.
故選：A
4．（22-23高一下·湖北武漢·期中）圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為
【答案】D
【分析】過作交于點，求出，即可判斷B，再還原平面圖，求出相應的線段長，即可判斷.
【詳解】如圖過作交于點，
由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，
即，故B錯誤；
還原平面圖如下圖，
則，，，故A錯誤；
過作交于點，則，
由勾股定理得，
故四邊形的周長為：，即C錯誤；
四邊形的面積為：，即D正確.
故選：D.
5．（22-23高一下·山西大同·階段練習）由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為，腰長為，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點到軸的距離是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由正弦定理求出直觀圖的，再由斜二測畫法規則求出到軸的距離即可.
【詳解】

如圖，過點作′軸，交′軸于點，
在中，，，，
由正弦定理得，
于是得，且原圖中即為到軸的距離，
由斜二測畫法規則知，在原平面圖形中，頂點到軸的距離是.
故選：D.
6．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖所示直角梯形上下兩底分別為2和4，高為，則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【分析】根據題意，由梯形面積公式求出原圖的面積，結合原圖與直觀圖面積的關系，分析即可得出結果.
【詳解】根據題意，原圖直角梯形中，上下兩底分別為2和4，高為，
其面積，
則其直觀圖的面積.
故選：B.
7．（23-24高一下·山西·期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根據斜二測畫法將原圖還原為直角梯形，如圖，結合勾股定理計算即可求解.
【詳解】在直角梯形中，，
則 ，
直角梯形對應的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，，，，
所以該平面圖形的高為．
故選：C．
8．（23-24高一下·河南新鄉·期中）如圖所示，水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖為，其中，，那么為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形
【答案】B
【分析】利用斜二測畫法還原，即可分析判斷得解.
【詳解】根據斜二測畫法還原，則，且，
因此，且，
所以為等腰直角三角形.
故選：B
二、多選題
9．（22-23高一下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，.則以下正確的有（ ）

A． B．是等腰直角三角形
C． D．的面積為
【答案】ABC
【分析】根據直觀圖畫出原圖，進而判斷出正確答案.
【詳解】畫出原圖如下圖所示，
根據斜二測畫法的知識可知：，
三角形是等腰直角三角形，面積為.
所以ABC選項正確，D選項錯誤.
故選：ABC

10．（2023·浙江溫州·二模）正三角形的邊長為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（ ）

A．為銳角三角形
B．的面積為
C．的周長為
D．的面積為
【答案】CD
【分析】根據斜二測法可求出，，再利用余弦定理可求出，再逐一對各個選項分析判斷即可求出結果.
【詳解】如圖，因為正三角形的邊長為，故，所以，，
在中，，由余弦定理得，,
在中，，由余弦定理得，,
選項A，在中，因為，
由余弦定理知，故選項A錯誤；
選項B和D，，故選項B錯誤，選項D正確；
選項C，的周長為，故選項C正確.

故選：CD.
11．（22-23高一下·湖北·階段練習）已知一個矩形ABCD，用斜二測畫法得到其直觀圖的周長為2，設，，下列說法正確的是（　　）

A．xy的最大值為1 B．的最小值為
C．的最大值為2 D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】根據斜二測畫法可得，再有均值不等式及重要不等式判斷ABC，由二次函數求最值判斷D.
【詳解】由斜二測畫法知，，
又的周長為2，所以，即，
對A，，，即，當且僅當時等號成立，所以A錯誤；
對B，
，當且僅當時，即時等號成立，故B正確；
對C，由可知，，
即，所以，即，當且僅當，即時等號成立，故C正確；
對D，，其中，即解得，
由二次函數圖象開口向下，對稱軸方程為可知，
當取對稱軸時，的最大值為，故D正確.
故選：BCD
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，，點在x軸上，且，則的邊 .

【答案】
【分析】在直觀圖中，作，交軸于點，求出和的值，在原圖中，由斜二測畫法求出和的長，由勾股定理計算可得答案.
【詳解】根據題意，如圖①，在直觀圖中，作，交軸于點，
易得，，，
則，
如圖②，在原圖中，，，，
則.
故答案為：.

13．（23-24高二上·上海·期中）一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且，則原梯形的面積為 .

【答案】8
【分析】由直觀圖作出原圖形，為直角梯形，確定出各邊長后計算面積．
【詳解】在坐標系中作出原圖形，它是直角梯形，其中，，,
面積為，
故答案為：8.

14．（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直觀圖是一個如圖所示的等腰直角三角形，點是斜邊的中點，且，則底邊的高為 .

【答案】
【分析】把的直觀圖在平面直角坐標系中還原即可求解.
【詳解】在等腰直角三角形中，點是斜邊的中點，且，
所以，把平面直觀圖還原為原圖形，如圖所示：

則底邊的高為，且.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024高三上·全國·專題練習）（1）已知的直觀圖是邊長為a的正三角形，求原的面積．
（2）如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，試判斷的形狀．

（3）若（2）中的，，則中AB的長度是多少？
（4）若已知一個三角形的面積為S，則它的直觀圖的面積是多少？
【答案】（1）；（2）為直角三角形；（3）10；（4）
【分析】（1）根據直觀圖求出原面積的表達式即可得出結果；
（2）由直觀圖可知，即為直角三角形；
（3）由直觀圖中線段長并利用勾股定理即可求得結果；
（4）利用直觀圖與原圖面積表達式的關系即可求得結果.
【詳解】（1）由直觀圖與原圖之間的關系可得 ．
（2）由斜二測畫法規則知，故原為直角三角形．
（3）由已知可得在中，，，故．
（4）原三角形面積為（a為三角形的底，h為三角形a邊上的高），
畫直觀圖后，，，
．
16．（23-24高二上·上海寶山·階段練習）畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

【答案】答案見解析，的面積為
【分析】根據斜二測畫法的規則，即可求得四邊形的直觀圖.
【詳解】根據題意，結合斜二測畫法的規則，可得水平放置的四邊形的直觀圖，
如圖所示，則的面積為.

17．（21-22高一·全國·課后作業）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，側棱．在給定的坐標系中，用斜二測畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標上字母，并保留作圖痕跡）

【答案】作圖見解析
【分析】根據斜二測畫法的原則，可畫出直觀圖.
【詳解】如圖所示．

18．（21-22高一下·山西晉中·階段練習）如圖，梯形是一水平放置的平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖.若平行于軸，，求梯形的面積.
【答案】5
【分析】如圖，根據直觀圖畫法的規則，確定原平面圖形四邊形ABCD的形狀，求出底邊邊長以及高，然后求出面積．
【詳解】如圖，根據直觀圖畫法的規則，
直觀圖中平行于軸，， 原圖中，
從而得出AD⊥DC，且，
直觀圖中，， 原圖中，，
即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為2，3，高為2，如圖．
故其面積.
19．（21-22高一·全國·課后作業）（1）如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復成原圖形；
（2）在(1)中若，軸且，求原平面圖形△ABC的面積．
【答案】（1）答案見解析；（2）3
【分析】（1）根據斜二測畫法的規則進行作圖即可；
（2）根據斜二測畫法的規則：平行軸的線段長度不變，平行軸的線段長度減半，由此可求出原的面積.
【詳解】（1）畫法：①畫直角坐標系xOy，在x軸上取，即.
②在題圖中，過作軸，交x′軸于，在x軸上取，過D作 軸，并使.
③連接AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′原來的圖形，如圖．
（2）∵，∴BD⊥AC.
又且，
∴ .
∴.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.2直觀圖
課程標準 學習目標
1、了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟 2、會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖 1、通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的三視圖與直觀圖，了解空間圖形在平面上的不同表現形式; 2、會用斜二側畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖和長方體、正方體的直觀圖; 3、會畫正棱錐、正棱柱、圓柱的直觀圖.
知識點 直觀圖與斜二測畫法
1、直觀圖：立體幾何中，用來表示空間圖形的平面圖形，習慣上稱為空間圖形的直觀圖.
2、空間圖形的直觀圖的畫法：斜二測畫法
3、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的主要步驟如下：
①在已知圖形中取水平平面，作相互垂直的軸Ox，Oy，使∠xOy＝90°；
②畫直觀圖時，把軸Ox，Oy畫成對應的軸O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所確定的平面表示水平平面；
③已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸．
并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．
④已知圖形中，平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半．
⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了水平放置的平面圖形的直觀圖．
4、 用斜二測畫法作立體圖形直觀圖的步驟：
（1）在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平面上圖形的直觀圖（保留x’軸與y’軸）。
（2）在立體圖形中，過x軸與y軸的交點取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸。過x 軸與y’軸的交點作z軸對應的z’軸，且z’軸垂直于x’軸。
圖形中與z軸平行（或重合）的線段畫成與z軸平行（或重合）的線段，且長度不變。
（3）連接有關線段，擦去有關輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線（或擦除）。
注意：水平放置的圓，其直觀圖一般用"正等測畫法"畫成橢圓.
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形
B．正方形的直觀圖為平行四邊形
C．梯形的直觀圖不是梯形
D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形
【題型一：斜二測畫法辨析】
例1．（2024高一下·全國·專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等
B．相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等
C．不相等的線段在直觀圖中對應的線段一定不相等
D．線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點
變式1-1．（多選）（2024高三上·全國·專題練習）關于斜二測畫法所得直觀圖的說法錯誤的是（ ）
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形 B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
變式1-2．（多選）（22-23高一下·山東青島·期中）下列說法正確的是（ ）
A．平行線段在直觀圖中仍然平行 B．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體
C．相等的線段在直觀圖中仍然相等 D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
變式1-3．（多選）（22-23高一下·湖南婁底·期末）關于斜二測畫法，下列說法正確的是（ ）
A．在原圖中平行的直線，在對應的直觀圖中仍然平行
B．若一個多邊形的面積為，則在對應直觀圖中的面積為
C．一個梯形的直觀圖仍然是梯形
D．在原圖中互相垂直的兩條直線在對應的直觀圖中不再垂直
【方法技巧與總結】
斜二測畫法中“三變”：
坐標軸的夾角改變；與y軸平行的線段的長度變為原來的一半；圖形改變。
“三不變”：平行性不改變；與x軸、z軸平行的線段的長度不改變；對位置不改變。
【題型二：平面圖形的直觀圖的畫法】
例2．（23-24高二上·上海·期中）如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）

A． B．
C． D．
變式2-1．（多選）（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知等腰三角形，則如圖所示的四個圖形，可能是的直觀圖的是（　　）

A． B．
C． D．
變式2-2．（2024高一下·全國·專題練習）利用斜二測畫法畫出邊長為的正方形的直觀圖，正確的是圖中的 .（填序號）
變式2-3．（23-24高一下·重慶·期中）如圖所示是水平放置的的直觀圖，其中，則原是一個（ ）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【方法技巧與總結】
1、在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點.
2、畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段（平行性不變），與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.
【題型三：直觀圖中的長度問題】
例3．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
變式3-1．（23-24高一下·山東泰安·期中）用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知是邊長為的等邊三角形，則頂點到軸的距離是（ ）
A． B． C． D．
變式3-2．（22-23高一下·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（ ）
A． B． C． D．
變式3-3．（22-23高一下·陜西西安·期中）一水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖，此直觀圖恰好是一個邊長為的正方形，則原平面四邊形的周長為 .


【題型四：直觀圖中的面積問題】
例4．（23-24高一下·安徽阜陽·期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個邊長為1的正方形，則這個平面圖形的面積是（ ）
A． B． C． D．1
變式4-1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式4-2．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，用斜二測畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（ ）
A． B． C．2 D．1
變式4-3．（23-24高一下·福建·期中）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，，則的面積為 ．
【方法技巧與總結】
斜二側畫法的面積是原來圖形面積的倍。
原來的高變成了45°的線段，且長度是原高的一半，因此新圖形的高是這個一半線段的倍，故新高是原來高的，而橫向長度不變，所以面積變為原面積的。
【題型五：空間幾何體的直觀圖的畫法】
例5．（2024高一下·全國·專題練習）用斜二測畫法畫出正六棱錐（底面是正六邊形，點與底面正六邊形的中心的連線垂直于底面）的直觀圖（尺寸自定）．
變式5-1．（22-23高一·全國·隨堂練習）畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.
變式5-2．（22-23高一·全國·隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．
變式5-3．（22-23高一·全國·課堂例題）在初中，我們已經學習了一些空間幾何體的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖）．如圖是某幾何體的三視圖（尺寸單位：cm），試畫出它的直觀圖．

【方法技巧與總結】
1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可.
2、直觀圖畫法口訣可以總結為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關系不變.”3.直觀圖的還原和計算問題
一、單選題
1．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐
2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·湖北武漢·期中）圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為
5．（22-23高一下·山西大同·階段練習）由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為，腰長為，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點到軸的距離是（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖所示直角梯形上下兩底分別為2和4，高為，則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
7．（23-24高一下·山西·期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．4 C． D．
8．（23-24高一下·河南新鄉·期中）如圖所示，水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖為，其中，，那么為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形
二、多選題
9．（22-23高一下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，.則以下正確的有（ ）

A． B．是等腰直角三角形
C． D．的面積為
10．（2023·浙江溫州·二模）正三角形的邊長為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（ ）

A．為銳角三角形
B．的面積為
C．的周長為
D．的面積為
11．（22-23高一下·湖北·階段練習）已知一個矩形ABCD，用斜二測畫法得到其直觀圖的周長為2，設，，下列說法正確的是（　　）

A．xy的最大值為1 B．的最小值為
C．的最大值為2 D．的最大值為
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，，點在x軸上，且，則的邊 .

13．（23-24高二上·上海·期中）一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且，則原梯形的面積為 .

14．（21-22高一下·浙江·期中）水平放置的的直觀圖是一個如圖所示的等腰直角三角形，點是斜邊的中點，且，則底邊的高為 .

四、解答題
15．（2024高三上·全國·專題練習）（1）已知的直觀圖是邊長為a的正三角形，求原的面積．
（2）如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，試判斷的形狀．

（3）若（2）中的，，則中AB的長度是多少？
（4）若已知一個三角形的面積為S，則它的直觀圖的面積是多少？
16．（23-24高二上·上海寶山·階段練習）畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

17．（21-22高一·全國·課后作業）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，側棱．在給定的坐標系中，用斜二測畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標上字母，并保留作圖痕跡）

18．（21-22高一下·山西晉中·階段練習）如圖，梯形是一水平放置的平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖.若平行于軸，，求梯形的面積.
19．（21-22高一·全國·課后作業）（1）如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復成原圖形；
（2）在(1)中若，軸且，求原平面圖形△ABC的面積．
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