資源簡介

第六章：立體幾何初步章末綜合檢測卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·山東菏澤·期中）如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖南常德·期中）設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則是異面直線 D．若，則或，是異面直線
3．（23-24高一下·河南鄭州·期中）若一個球體的體積與其表面積的值相等，則該球體的半徑為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖①），圖②是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧、所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC＝120°，則下列關(guān)于該圓臺的說法錯誤的是（ ）
A．高為 B．母線長為3
C．側(cè)面積為 D．體積為
5．（23-24高一下·福建寧德·期中）斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，下圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，的變化規(guī)律為邊的正方形，依序拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面積為（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24高一下·重慶·期中）某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一圓錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了周，如圖，若該興趣小組已測得圓錐的底面半徑為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·安徽合肥·期中）圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線，在上底面上，在下底面上，從中點拉一條繩子，繞圓臺側(cè)面一周到點，則繩子最短距離為（ ）cm
A．10 B．12 C．16 D．20
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成幾何體，則在幾何體中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
10．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖，若點分別是正八面體棱的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．平面 B．與是異面直線
C．平面 D．與是相交直線
11．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得截面記為S，則下列命題正確的是（ ）
A．當(dāng)時，S為四邊形
B．當(dāng)時，S為等腰梯形
C．當(dāng)時，S與的交點，滿足
D．當(dāng)時，S為四邊形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，與所成的角為 ，與所成的角為 ．
13．（23-24高一下·天津北辰·期中）已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且 ，則球的表面積為 ，球的體積為 .
14．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）正方體的棱長為4，點P是棱上一點(不包括端點)，若異面直線與所成角的余弦值為，則 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點，平面與平面將該正方體截成三個多面體，其中，分別在棱，上．
(1)求證：平面平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值；
(3)求多面體的體積．
16．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為.
(1)求圓柱的表面積；
(2)求三棱錐外接球的體積.
17．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖1，四邊形ABCD為菱形，是邊長為2的等邊三角形，點M為AB的中點，將沿AB邊折起，使，連接PD，如圖2，

(1)證明：；
(2)求異面直線BD與PC所成角的余弦值；
(3)在線段PD上是否存在點N，使得∥平面MCN﹖若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
18．（23-24高一下·河南鄭州·期中）在梯形中，，是線段上一點，，，，，把沿折起至，連接使得平面平面．
(1)證明：平面；
(2)求異面直線與所成的角；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
19．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，

(1)證明：平面；
(2)求點到面的距離；
(3)在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第六章：立體幾何初步章末綜合檢測卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·山東菏澤·期中）如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】計算直觀圖的面積為，再根據(jù)直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系為，計算得到答案.
【詳解】直觀圖的面積，原圖面積，
由直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系為，得.
故選：B.
2．（23-24高一下·湖南常德·期中）設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則是異面直線 D．若，則或，是異面直線
【答案】D
【分析】利用空間中線、面的位置關(guān)系一一判定選項即可.
【詳解】
對于A，可設(shè)為平面，顯然，但，故A錯誤；
對于B，可設(shè)為平面，顯然，但，故B錯誤；
對于C，可設(shè)分別為平面，平面，
顯然，但，故C錯誤；
對于D，若，則兩平面不會有交點，所以或，是異面直線，
故D正確.
故選：D
3．（23-24高一下·河南鄭州·期中）若一個球體的體積與其表面積的值相等，則該球體的半徑為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】由球的體積公式、表面積公式列式即可求解.
【詳解】設(shè)該球體的半徑為，由題意，解得.
故選：C.
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖①），圖②是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧、所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC＝120°，則下列關(guān)于該圓臺的說法錯誤的是（ ）
A．高為 B．母線長為3
C．側(cè)面積為 D．體積為
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求出圓臺的上下底面圓半徑、母線長和高，運用側(cè)面積公式和體積公式，即可一一判斷正誤即得.
【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為,依題意，解得，，解得，
圓臺的母線長為，故圓臺的高故A , B均正確；
圓臺的側(cè)面積為，故C項錯誤；
圓臺的體積為，故D項正確.
故選：C.
5．（23-24高一下·福建寧德·期中）斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，下圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，的變化規(guī)律為邊的正方形，依序拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)的規(guī)律，求出下一個圓弧的半徑和弧長，進(jìn)一步求出圓錐的的底面半徑，即可求解.
【詳解】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和，
所以接下來的圓弧所在扇形的半徑是，
對應(yīng)的弧長，
設(shè)圓錐的底面半徑為，則，即，
所以該圓錐的底面積為.
故選：.
6．（23-24高一下·重慶·期中）某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一圓錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了周，如圖，若該興趣小組已測得圓錐的底面半徑為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，由周長公式求出，即可求出圓錐的高，再由圓錐的體積公式即可得出答案.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，
又圓錐底面半徑為，則底面周長為，
故，解得，
所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積為，
故選：B.
7．（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題中條件連接，取的中點，連接,，作出異面直線所成的角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，取的中點，連接,，
由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補角），
在中，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B.
8．（23-24高一下·安徽合肥·期中）圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線，在上底面上，在下底面上，從中點拉一條繩子，繞圓臺側(cè)面一周到點，則繩子最短距離為（ ）cm
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【分析】由題意需先畫出圓臺的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點連線，根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長，再求出最短的距離．
【詳解】畫出圓臺的側(cè)面展開圖，
并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為,
由圖得：所求的最短距離是，
設(shè)，圓心角是，
則由題意知，①， ②，
由①②解得，，
∴，則．
則則繩子最短距離為20cm．
故選:D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成幾何體，則在幾何體中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
【答案】AD
【分析】利用直線、平面垂直的有關(guān)判定和性質(zhì)定理判斷即可.
【詳解】,
,又平面⊥平面，
且平面平面，平面，
又面，，
，且平面，
平面，又平面，
平面平面,
故選：AD.
10．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖，若點分別是正八面體棱的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．平面 B．與是異面直線
C．平面 D．與是相交直線
【答案】ABD
【分析】利用空間中直線的位置關(guān)系、線面平行、線面垂直的判定結(jié)合正八面體的特征一一判斷選項即可.
【詳解】如圖，連接，
易知兩兩相交且相互平分，
∴四邊形為平行四邊形，即.
又點分別是正八面體棱的中點，
∴，
且，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故B，D錯誤；
易知，平面，平面，
所以平面，
又平面，，
所以平面平面，
又平面，∴平面，故C正確；
由題意得，，
∴平面.
又平面，，∴與不垂直，
∴與平面不垂直，故A錯誤.
故選：ABD
11．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得截面記為S，則下列命題正確的是（ ）
A．當(dāng)時，S為四邊形
B．當(dāng)時，S為等腰梯形
C．當(dāng)時，S與的交點，滿足
D．當(dāng)時，S為四邊形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意作圖，利用正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合面面平行性質(zhì)定理可得線線平行，再根據(jù)相似三角形，利用相似比可得線段的長度，可得答案.
【詳解】對于A，可作圖如下：
平面平面，平面平面，
在正方體中，平面平面，則，
易知，則，由為的中點，則，即，
由，則，所以為四邊形，故A正確；
對于B，由題意作圖如下：
由A可知，由，則，即點與重合，
在正方體中，，，，
所以，則，由A可知，則為等腰梯形，故B正確；
對于C，由題意作圖如下：
在正方體中，易知，則，
由，，，則，即，
易知，則，即，解得，故C正確；
對于D，由題意作圖如下：
在正方體中，易知，則，
由，，則，由，則，
所以位于的延長線上，則，，
即為五邊形，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，與所成的角為 ，與所成的角為 ．
【答案】
【分析】借助等角定理與正方體的性質(zhì)計算即可得.
【詳解】與是異面直線，連接，交于點，易知，
所以或其補角為與所成的角．
因為為正方形，所以，
所以與所成的角是，
因為，所以或其補角是與所成的角，
因為為正方形，所以，所以與所成的角是．
故答案為：；.
13．（23-24高一下·天津北辰·期中）已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且 ，則球的表面積為 ，球的體積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即可.
【詳解】在中，由，得，則，
外接圓半徑，設(shè)球半徑為，依題意，，
即，，
所以球的表面積，體積.
故答案為：；
14．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）正方體的棱長為4，點P是棱上一點(不包括端點)，若異面直線與所成角的余弦值為，則 .
【答案】
【分析】將原正方體補形為長方體，利用線線角的定義得到為異面直線與所成的角，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】將原正方體的一側(cè)補上另一個正方體變?yōu)槿鐖D所示的長方體.
在上取點使，連接，則易得，
所以即為異面直線與所成的角(或其補角).
設(shè)，則，，
，
又，，
則，所以為銳角，
所以，解得，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點，平面與平面將該正方體截成三個多面體，其中，分別在棱，上．
(1)求證：平面平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值；
(3)求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到，平面，同理得到平面，證明出面面平行；
（2）由（1）可得為異面直線與所成角或其補角，求出三邊長，利用余弦定理求出異面直線的夾角余弦值；
（3）幾何體與幾何體的體積相等，即，設(shè)幾何體的體積為，正方體的體積為，故，作出輔助線，幾何體體積為三棱錐體積減去三棱錐體積，結(jié)合錐體體積公式求出答案.
【詳解】（1）由題意得平面平面，
又平面平面，
平面平面，所以，
同理，
又且，且，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
所以，
又為中點，所以為中點，
同理為中點，連接，，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，且平面，平面，
同理由可得平面．
且，，平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知：，
所以為異面直線與所成角或其補角，
連接，，因為正方體棱長為2且為中點，
則，，
又在正方體中，面，面，則，
即，
所以，
異面直線與所成角的余弦值為．
（3）由正方體特性可知：幾何體與幾何體的體積相等，即，
設(shè)幾何體的體積為，正方體的體積為，
故，
又為中點，為中點，將延長至點，使，
根據(jù)相似知識可知，，，
得到幾何體體積為三棱錐體積減去三棱錐體積，
則 ，
所以．
16．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為.
(1)求圓柱的表面積；
(2)求三棱錐外接球的體積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根據(jù)圓柱的表面積公式計算可得；
（2）三棱錐外接球即為圓柱的外接球，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積公式計算可得.
【詳解】（1）∵在中，，
∴，
又在中，，，∴，
而點的圓柱的底面圓上，∴，
所以，
于是由，得，
∴，
∴圓柱的表面積.
（2）三棱錐外接球即為圓柱的外接球，
則外接球的球心是的中點，半徑，
所以三棱錐外接球的體積.
17．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖1，四邊形ABCD為菱形，是邊長為2的等邊三角形，點M為AB的中點，將沿AB邊折起，使，連接PD，如圖2，

(1)證明：；
(2)求異面直線BD與PC所成角的余弦值；
(3)在線段PD上是否存在點N，使得∥平面MCN﹖若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，PN
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由四邊形，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則；
（2）在上取點Q，使得，設(shè)，連接，，可證得或其補角為異面直線BD與PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可；
（3）設(shè)，連接，則由線面平行的性質(zhì)可得∥，從而可找出點的位置.
【詳解】（1）連接，因為是邊長為2的等邊三角形，點M為AB的中點，所以.
因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以
（2）在上取點Q，使得，設(shè)，連接，，
因為∥，所以，
在中，，所以∥，
所以或其補角為異面直線BD與PC所成的角，因為，所以，
又，
，
在中，由余弦定理得,
所以異面直線BD與PC所成角的余弦值為.
（3）假設(shè)線段上存在點，使得∥平面，
因為∥平面，平面，平面平面，
所以∥，又，所以.
所以線段PD上存在點N，使得PB∥平面MNC，且PN．

18．（23-24高一下·河南鄭州·期中）在梯形中，，是線段上一點，，，，，把沿折起至，連接使得平面平面．
(1)證明：平面；
(2)求異面直線與所成的角；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）由（1）知，異面直線與所成角就是直線與所成角，連接，得到，證得，再由平面平面AECD，證得，在中，，即可求解；
（3）設(shè)點A到平面SDE的距離為， 結(jié)合，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）證明：在梯形中，，是線段上一點，可得
因為平面SCD，平面，所以平面.
（2）解：由（1）知，異面直線與所成角就是直線與所成角，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，，
又因為，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
折疊后，，且，
連接，在中，由余弦定理得，可得，所以，
又因為平面平面AECD，平面平面，平面AECD，
所以平面SCD，因為平面SCD，所以，
在中，，
在中，，所以，
所以異面直線與所成角為.
（3）解：設(shè)與平面所成的角為，
由（2）易知，且，所以，
又因為，且平面，所以平面，
所以，
設(shè)點A到平面SDE的距離為， 可得，
因為，可得，所以.
19．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，

(1)證明：平面；
(2)求點到面的距離；
(3)在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)棱臺的性質(zhì)、長度關(guān)系和勾股定理可證得；由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得，結(jié)合可證得結(jié)論；
（2）延長交于一點，根據(jù)可求得，利用體積橋可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（3）根據(jù)線面垂直和面面垂直性質(zhì)可作出二面角的平面角，設(shè)，根據(jù)幾何關(guān)系可表示出，由二面角大小可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】（1）連接，

在三棱臺中，；
，四邊形為等腰梯形且，
設(shè)，則.
由余弦定理得：，
，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
是以為直角頂點的等腰直角三角形，，
，平面，平面.
（2）由棱臺性質(zhì)知：延長交于一點，
，，，
；
平面，即平面，
即為三棱錐中，點到平面的距離，
由（1）中所設(shè)：，，
為等邊三角形，，
，；
，，
，
設(shè)所求點到平面的距離為，即為點到面的距離，
，，解得：.
即點到平面的距離為.
（3）平面，平面，平面平面，
平面平面
取中點，在正中，，平面，
又平面，平面平面．
作，平面平面，則平面，
作，連接，則即在平面上的射影，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，即二面角的平面角.
設(shè)，
在中，作，
，，又平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，，
，，
，，
，，
若存在使得二面角的大小為，
則，解得：，
，
存在滿足題意的點，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中的垂直關(guān)系的證明、點面距離的求解、二面角問題的求解；求解二面角問題的關(guān)鍵是能夠利用三垂線法，作出二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系構(gòu)造關(guān)于長度的方程，從而求得結(jié)果.
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