資源簡介

6.1基本立體圖形
課程標準 學習目標
能夠正確識別和命名常見的立體圖形。 能夠熟練應用立體圖形的公式和計算方法。 能夠進行簡單的立體圖形拼合和拆解。 1、認知立體圖形的基本概念和種類，如三棱柱、四棱錐、圓柱、圓臺等。 2、掌握立體圖形的公式和計算方法，并能夠在實際問題中應用。 3、培養對立體圖形的觀察力和空間想象力。
知識點01 構成幾何體的基本元素
1、構成空間幾何體的基本元素有：點、線、面.
2、用運動的觀點理解空間基本圖形之間的關系：點動成線、線動成面、面動成體.
3、點、線、面的表示
如圖所示的長方體可以表示為長方體 ，它共有8
個頂點，可表示為，12條棱可以表示為
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
個面可以表示為平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即學即練1】（22-23高一下·全國·課后作業）空間中構成幾何體的基本元素是 .
【答案】點、線、面
【分析】根據空間幾何體的結構特質，即可求解.
【詳解】根據空間幾何體的結構特征知，構成幾何體的基本元素為點、線、面.
故答案為：點、線、面.
知識點02 棱柱
1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
2、圖示及表示：記作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1
3、相關概念
（1）底面：有兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，
（2）側面：其余各面叫做棱柱的側面，它們都是平行四邊形;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱;
（4）頂點：側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.
（5）高：過棱柱一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.
（6）側面積：棱柱所有側面的面積之和.
4、棱柱的圖形及名稱
底面：如圖中的多邊形 ABCDEF和多邊形A1B1C1D1E1F1，
側面：如圖中的四邊形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，
側棱：如圖中的線段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等，
頂點：如圖中的點A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側棱
B．棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同
C．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
【答案】B
【分析】根據棱柱的結構特征，判斷選項中的結論是否正確.
【詳解】A錯誤，底面和側面的公共邊不是側棱；
B正確，根據棱柱的特征知，棱柱的兩個底面一定是全等的，故棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同；
C錯誤，正六棱柱的兩個相對側面互相平行；
D錯誤，“其余各面都是平行四邊形”并不能保證“相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”，如圖所示的幾何體就不是棱柱．
故選：B.
知識點03 棱錐
1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
2、圖形及表示：可記作：棱錐S-ABCD或者S-AC
3、相關概念
（1）底面：這個多邊形面叫做棱錐的底面;
（2）側面：有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱;
（4）頂點：各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.
（5）棱錐的高：過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）.
（6）棱錐的側面積：棱錐所有側面的面積之和．
注意：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，
如圖.棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點.
4、棱錐的分類：
按照棱錐底面多邊形的邊數，可以把棱錐分成三棱錐，四棱錐，五棱錐………
5、正棱錐：
⑴定義：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．
⑵斜高：側面等腰三角形底邊上的高.
⑶特征：側面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.
注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….
【即學即練3】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法中正確的是（　　）
A．各側棱都相等的棱錐為正棱錐
B．各側面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
C．各側面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
D．底面是正多邊形且各側面是全等三角形的棱錐為正棱錐
【答案】D
【分析】根據題意，結合正棱錐的定義和幾何結構特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，各側棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，所以A錯誤；
對于B中，各側面都是面積相等的等腰三角形，但無法保證各個等腰三角形全等且腰長均為側棱長，所以B錯誤；
對于C中，各側面都是全等的等腰三角形，但無法保證等腰三角形的腰長為側棱長，所以C錯誤；
對于D中，底面是正多邊形，各側面是全等三角形，則可以保證頂點在底面的射影為底面中心，滿足正棱錐定義，所以D正確.
故選：D.
知識點04 棱臺
1、定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
2、圖形及表示：可記作：棱臺A’B’C’D’-ABCD
3、相關概念
（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面;
（2）側面：其他各面叫做棱臺的側面;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱;
（4）頂點：側面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點.
（5）棱臺的高:過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.
（6）棱臺的側面積:棱臺所有側面的面積之和．
4、棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
5、正棱臺
（1）定義：由正棱錐截得的棱臺.
（2）高：上下兩底面中心的連線.
（3）斜高：側面等腰梯形的高.
（4）特征：側面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.
【即學即練4】（多選）（2024高一下·全國·專題練習）（多選）下列說法不正確的是（　　）
A．棱臺的兩個底面相似
B．棱臺的側棱長都相等
C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺
D．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
【答案】BCD
【分析】根據題意，由棱臺、棱錐、棱柱的定義，依次分析選項，即可得到答案.
【詳解】由棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，知A正確，B，C不正確；棱柱的側棱都相等且互相平行，且側面是平行四邊形，但側面并不一定全等，D不正確.
故選：BCD
知識點05 圓柱
1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周所圍成的旋轉體叫做圓柱
2、圖示：
3、相關概念：
軸：旋轉軸叫做圓柱的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；
側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面；
圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊；
柱體：圓柱和棱柱統稱為柱體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①兩個底面互相平行，
②有無數條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練5】（23-24高二下·江西撫州·期中）中國古代建筑中的圓柱，多是根部略粗，頂部略細，這種做法稱為“收分”，柱子做出收分，既穩定又輕巧．已知某古代建筑的一根圓柱，每增高，直徑收分，若該柱子柱根直徑為，柱高，則柱頭直徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據比值關系即可求解.
【詳解】柱頭直徑為．
故選：B．
知識點06 圓錐
1、定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
2、圖示：
3、相關概念：
軸：旋轉軸叫做圓錐的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；
側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面；
母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊；
錐體：棱錐和圓錐統稱錐體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①底面是圓面，
②有無數條母線，長度相等且交于一點，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，
③軸截面是全等的等腰三角形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練6】（23-24高三上·四川·期末）若某圓錐的底面半徑，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】圓錐的高和底面半徑與母線長，滿足勾股定理，再由底面的周長等于母線長，列方程求圓錐的高.
【詳解】設該圓錐的高為，依題意有，則，
解得.
故選：A
知識點07 圓臺
1、定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺
2、圖示：
3、相關概念：
軸：圓錐的軸；
底面：圓錐的底面和截面；
側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分；
母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；
臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點，
②平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，
③軸截面是全等的等腰梯形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練7】（2024高一下·全國·專題練習）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑之比為，母線長為9，則圓錐的母線長是 ．
【答案】12
【分析】根據圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結果.
【詳解】設圓臺的上底面半徑為，圓錐的母線長為，
則圓臺的下底面的半徑為，
作出圓錐的軸截面如圖，則，
所以，即．
解得，即圓錐的母線長為12．
故答案為：.

知識點08 球
1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球
2、圖示：
3、相關概念：
（1）球面
定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面.
定義2：球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.
球心：形成球面的半圓的圓心；
半徑：連接球面上一點和球心的線段.
直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段.
大圓：球面被經過球心的平面截得的圓.
（6）小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓.
【即學即練8】（23-24高二上·四川樂山·期末）一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球
【答案】D
【分析】
根據各選項中旋轉體的定義與性質逐項判斷.
【詳解】對于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；
對于B：由于圓錐的軸截面是一個等腰三角形，故B不符合題意；
對于C，圓臺軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；
對于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．
故選：D．
【題型一：棱柱的結構特征】
例1．（2023·全國·高一專題練習）“棱柱有相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要 D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【分析】利用棱柱的結構特征和充分，必要條件的定義進行求解
【詳解】若棱柱有相鄰兩個側面是矩形，則兩側面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；
若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個側面是矩形，滿足必要性；
故“棱柱有相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件，
故選:.
變式1-1．（2023·高一單元測試）如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．該幾何體的側面是平行四邊形
B．該幾何體有七個面
C．該幾何體恰有十二條棱
D．該幾何體恰有十個頂點
【答案】C
【分析】根據棱柱的定義及性質判斷即可.
【詳解】解：根據棱柱的定義可知，該幾何體的側面是平行四邊形，故A正確；
該五棱柱有七個面，十五條棱，十個頂點，故B、D正確，C錯誤；
故選：C
變式1-2．（2023·全國·高一專題練習）設{正四棱柱}，{直四棱柱}，{長方體}，{正方體}，則它們之間的關系是______.
【答案】
【分析】根據題意，由正四棱柱，直四棱柱，長方體以及正方體的定義即可得到結果.
【詳解】直四棱柱是底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱；長方體是底面為矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面為正方形的直四棱柱；正方體是側棱長與底面長相等的正四棱柱；
綜上，可得
故答案為:
變式1-3．（2021·高二課時練習）記A為所有多面體組成的集合，B為所有棱柱組成的集合，C為所有直棱柱組成的集合，D為所有正棱柱組成的集合，寫出集合A，B，C，D之間的關系.
【答案】
【分析】根據多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義，分析即得解
【詳解】由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體；
上下兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱；
側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；
底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；
由多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義可知：
【方法技巧與總結】
棱柱特征：
兩底面互相平行且全等;
各側面都是平行四邊形;
各側棱互相平行且相等.
【題型二：棱錐的結構特征】
例2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱中，分別是，的中點，連接，試判斷幾何體是什么幾何體，并指出它的底面與側面.
【答案】幾何體是三棱臺.面是下底面，面是上底面，面，面和面是側面
【解析】根據題意以及三棱臺的結構特征，可以猜想幾何體是三棱臺，再根據三棱臺的定義證明即可，然后由三棱臺定義可指出它的底面與側面．
【詳解】分別是的中點，且，，，
.
，且延長后交于一點.
又面與面平行，
∴幾何體是三棱臺.
其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是側面.
【點睛】本題主要考查三棱臺的結構特征，以及利用三棱臺定義判斷幾何體的形狀，屬于基礎題．
變式2-1．（多選）（2022·全國·高一假期作業）在正棱錐中，側面可為正三角形的是（ ）
A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐
【答案】AB
【分析】根據正棱錐底面多邊形的特點，假設側面都是正三角形，分別求出底面外接圓的半徑，再求出相應的棱錐的高，即可判斷是否成立.
【詳解】對于A正四棱錐，側面為正三角形，所以側棱長與底邊長相等，設底邊長為a,
則底面外接圓半徑為，高為，
滿足要求，所以A正確；
對于B正五棱錐，側面為正三角形，所以側棱長與底邊長相等，
設底邊長為a，底面正五邊形每個內角為，
則底面外接圓半徑為，
高為，滿足要求，所以B正確；
對于C正六棱錐，側面為正三角形，所以側棱長與底邊長相等，設底邊長為a，
底面正六邊形每個內角為，則底面外接圓半徑為a，
高為，不滿足條件，所以C不正確；
對于D正八棱錐，側面為正三角形，所以側棱長與底邊長相等，設底邊長為a，
底面正八邊形每個內角為，則底面外接圓半徑為，
高為
不滿足條件，所以D不正確
故選：AB
變式2-2．（2023春·全國·高一專題練習）將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數為（ ）
①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體
A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確
【答案】B
【分析】可能出現①③⑤⑦這四種情況．
【詳解】
如圖，平面截正方體，可得到四面體；
如圖，平面截正方體，可得到四棱柱；
如圖，平面截正方體，可得到五棱柱，也是七面體.
故選：B.
個，故選A.
變式2-3．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心
B．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐
C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐
【答案】B
【分析】對于A：舉反例：有一條側棱和底面垂直的棱錐，否定結論；對于B：直接證明即可；
對于C：舉反例：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺，否定結論；對于D：由棱錐的定義，直接判斷.
【詳解】對于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條側棱和底面垂直的棱錐.故A錯誤；
對于B：當棱錐的各個側面的頂角之和是360度時,各側面構成平面圖形,構不成棱錐,由此推導出如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形,那么這個棱錐不可能為六棱錐,故B正確；
對于C：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺,故C錯誤；
對于D：由棱錐的定義，如果一個多面體的一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,才是棱錐.故D錯誤.
故選：B
【方法技巧與總結】
棱錐的結構特征：
1.僅有一個底面且是多邊形（三角形、四邊形……）
2.側面都是三角形
3.各側面有且只有一個公共頂點。
【題型三：棱臺的結構特征】
例3．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的有（ ）
①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．
③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】利用棱錐的定義和性質，結合圖形即可得到答案.
【詳解】解析
①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．
②如圖1，不正確，側棱延長線可能不交于一點.
③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：
三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面BCD為等邊三角形．三個側面ABD，
ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側棱不一定全部相等．
④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.
故選：A.
變式3-1．（2023·高一課時練習）對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是( )
A．棱柱 B．棱錐
C．棱臺 D．一定不是棱柱、棱錐
【答案】D
【分析】由棱柱、棱錐、棱臺的定義判斷
【詳解】根據棱柱、棱錐、棱臺的特征，一定不是棱柱、棱錐．
故選：D
變式3-2．（2023·高一課時練習）下列說法中，正確的個數為（ ）
（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體
（3）棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
（4）底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
A．3個 B．2個 C．1個 D．0
【答案】C
【分析】利用棱臺的定義判斷（1），利用多面體的定義判斷（2），利用正六棱錐的定義判斷（3），利用正三棱錐的定義判斷（4）
【詳解】（1）
如圖，側棱延長線可能不交于一點，故（1）錯誤
（2）正確，符合多面體的定義
（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個頂點連線，構成了6個全等的小正三角，所以正六棱錐棱長不可能與底邊相等，故（3）錯誤.
（4）錯誤 . 不一定是正三棱錐,如圖所示:
三棱錐中有. 滿足底面為等邊三角形. 三個側面 ，， 都是等腰三角形，但長度不一定等于，即三條側棱不一定全部相等．
故選：C
變式3-3．（2022·高一課時練習）下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)
【答案】③
【分析】根據棱臺的定義和性質判定.
【詳解】由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側棱延長后交于同一點.圖①中側棱延長后不能交于同一點，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結構特征.
故答案為：③
【方法技巧與總結】
棱臺的結構特征
1.上下底面是互相平行且相似的多邊形
2.側面都是梯形
3.各側棱的延長線交于一點
【題型四：圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征】
例4．（22-23高一下·河北張家口·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體
B．圓錐的頂點 圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形
C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
D．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓
【答案】B
【分析】
由幾何體的結構特征逐項判斷即可.
【詳解】以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；
因為圓錐的頂點與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點 圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線可以構成直角三角形，故B正確；
用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，故錯誤；
當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數個，故D錯誤.
故選：B.
變式4-1．（多選）（22-23高一下·河北張家口·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．圓柱的母線和它的軸可以不平行
B．圓柱 圓錐 圓臺的底面都是圓面
C．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體為圓錐
D．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括一個圓柱 兩個圓錐
【答案】BD
【分析】根據有關幾何體的性質和定義求解.
【詳解】對于A：根據圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故A錯誤；
對于B：圓柱 圓錐 圓臺的底面都是圓面，故B正確；
對于C：當以斜邊為旋轉軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故錯誤；
對于D：圖①是一個等腰梯形，為較長的底邊，
以邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，
如圖②，包括一個圓柱 兩個圓錐，正確；

故選：BD.
變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）給出下列結論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球．
其中正確結論的序號是 ．
【答案】⑤
【分析】根據旋轉體的定義可逐項判斷.
【詳解】①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯誤；
②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，②錯誤；
圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，③錯誤；
④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，那么得到的不是圓錐和圓臺，④錯誤；
只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確．
故答案為：⑤
變式4-3．（19-20高一·全國·課后作業）給出下列說法：
（1）圓柱的底面是圓面；
（2）經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；
（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體．
其中說法正確的是 ．
【答案】（1）（2）
【分析】由圓柱的性質判斷(1)、(2)、(4)；由圓臺的性質判斷(3).
【詳解】解：圓柱的底面是圓面，故（1）正確；
圓柱的母線都平行且相等，且都垂直于底面，則經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面，故（2）正確；
圓臺是由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到的，則圓臺的任意兩條母線所在的直線相交，故（3）錯誤；
當兩個截面不平行或截面平行但不與底面平行時，兩個截面間的幾何體不是旋轉體，故（4）錯誤．
故答案為：（1）（2）．
【方法技巧與總結】
圓柱、圓錐、圓臺的關系
【題型五：球體的幾何特征】
例5．（21-22高一·全國·課后作業）下列說法中正確的是（ ）
A．球的半徑可以是球面上任意一點與球心所連的線段
B．球的直徑可以是球面上任意兩點所連的線段
C．用一個平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
【答案】A
【分析】根據球的定義及性質，逐項判斷即可.
【詳解】解：根據球的定義知A正確；
因為球的直徑必過球心，所以B錯誤；
因為球的任何截面都是圓面，所以C錯誤；
球常用表示球心的字母表示，故D錯誤.
故選：A.
變式5-1．（22-23高一下·廣東湛江·期中）小明在湛江海博會參觀時，看到一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．圓臺.
【答案】C
【分析】根據球的結構特征即可求解.
【詳解】由球的結構特征可知，球的軸截面是一個圓，
圓柱的軸截面可以是矩形，圓錐的軸截面可以是等腰三角形，圓臺的軸截面可以是等腰梯形，故ABD錯誤，C正確.
故選：C.
變式5-2．（21-22高二·全國·課后作業）下列說法正確的是( )
A．到定點的距離等于定長的點的集合是球
B．球面上不同的三點可能在同一直線上
C．球面上任意兩點的連線是球的直徑
D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面
【答案】D
【分析】利用球的定義判斷選項A；利用球面上點的關系判斷選項B；利用球的直徑的概念即可判斷選項C，利用球的幾何性質即可判斷選項D．
【詳解】對于A，球是球體的簡稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個曲面，是空心的，而球是幾何體，是實心的，故選項A錯誤；
對于B，球面上不同的三點一定不共線，故選項B錯誤；
對于C，球面上任意兩點連線若過球心則為球的直徑，不過球心則不是球的直徑，故選項C錯誤；
對于D，根據球的幾何性質可知，球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面，故選項D正確．
故選：D．
變式5-3. （21-22高一下·廣東珠海·階段練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球
B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球挖去一個正方體
【答案】B
【分析】根據旋轉體的定義可得正確的選項.
【詳解】圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，
而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，
故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，
故選：B.
一、單選題
1．（23-24高一下·陜西西安·期中）有一封閉透明的正方體形容器，裝有容積一半的有顏色溶液，當你任意旋轉正方體，靜止時液面的形狀不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六邊形
【答案】A
【分析】根據題意可得無論怎樣轉動，其液面總是過正方體的中心，再分別討論液面與底面平行，液面過正方體對角線的兩個頂點和液面過正方體六條棱的中點即可判斷B，C和D是正確的，進而即可得到答案．
【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的有顏色溶液，無論怎樣轉動，其液面總是過正方體的中心．
對于B，當過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，即靜止時液面如圖（1），故B正確；
對于C，當過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，即靜止時液面如圖（2），故C正確；
對于D，當過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，即靜止時液面如圖（3），故D正確；
故選：A．
2．（23-24高一下·陜西西安·期中）將棱長為4的正方體表面涂成紅色，將其適當分成棱長為1的小正方體，則各面均沒有顏色的小正方體個數占總的小正方體個數的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方體的特征計算即可.
【詳解】
如圖所示，大正方體分割為個，各面均沒有顏色的小正方體有個，
所以答案為.
故選：B
3．（23-24高一下·福建·期中）下列說法正確的是（ ）
A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等
B．直四棱柱是長方體
C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個圓錐
D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根據幾何體的定義和性質，即可判斷選項.
【詳解】A. 圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑可能相等，故A錯誤；
B.直四棱柱是底面是四邊形，側棱和底面垂直的棱柱，不一定是長方體，故B錯誤；
C. 將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個組合體，上下是圓錐，中間是圓柱，故C錯誤；
D. 正棱錐的側面是全等的等腰三角形，故D正確.
故選：D
4．（23-24高一下·福建·期中）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（ ）
A．縣 B．市 C．聯 D．考
【答案】B
【分析】把正方體還原求解.
【詳解】解：把正方體還原如下圖：
則上面是九，下面是市，左面是縣，右面是聯，前面是考，后面是區，
故選：B
5．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側面都是等邊三角形
C．經過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側面是矩形
【答案】D
【分析】利用空間幾何體的結構，依次分析選項即可得到答案.
【詳解】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．
對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．
對于C，經過不共線的三個點只能確定一個平面，經過不共線的三個點的球有無數個，C錯誤．
對于D，直棱柱的側面是矩形，D正確．
故選：D
6．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）下列命題中正確的是（ ）
①圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個；
②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
③圓臺的兩個底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】對①，根據過圓錐頂點的截面圖形特征和截面圖的面積公式即可判斷；對②③，依次根據圓柱的母線定義和圓臺定義即可判斷.
【詳解】對①，過圓錐頂點的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長，
設該等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，顯然當，面積最大，
故當圓錐的軸截面三角形頂角大于時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故①錯；
根據圓柱的母線定義可知②錯；
根據圓臺定義：平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與圓錐底面的部分稱為圓臺，知圓臺的兩個底面平行，故③正確.
故選：C.
7．（2024高一下·全國·專題練習）下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是（ ）
A．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
B．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺
C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺
D．棱臺的各側棱延長后必交于一點
【答案】D
【分析】由棱錐的定義可判斷A，由棱臺的定義可判斷BCD.
【詳解】有一個面是多邊形，其余各面是三角形，若其余各面沒有一個共同的頂點，則不是棱錐，故A錯誤；
兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側棱的延長線交于一點，故B錯誤，D正確；
用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺，故C錯誤．
故選：D.
8．（23-24高一下·廣東梅州·期中）下列結論正確的是（ ）
A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐
C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺
D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點
【答案】D
【分析】根據正四棱錐的定義即可判斷A，舉反例即可判斷BC，根據棱臺特點即可判斷D.
【詳解】對于A，底面是正方形的棱錐且頂點在底面的射影為底面中心才是正四棱錐，故A錯誤；
對于B，以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉軸時，所形成的幾何體是兩個同底的圓錐，故B錯誤；
對于C，如圖的幾何體滿足條件，但側棱延長線不能相交于一點，不是棱臺， C錯誤；

對于D，由棱臺結構特征知側棱延長后必交于一點，D正確.
故選：D.
二、多選題
9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列說法錯誤的是（ ）
A．直四棱柱是長方體
B．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
C．棱臺的各側棱延長后必交于一點
D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
【答案】AD
【分析】根據棱柱、圓臺、棱臺的結果特征一一判斷即可.
【詳解】對于A：因為直四棱柱上下底面平行，側棱垂直于底面，
但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯誤；
對于B：圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺，故B正確；
對于C：由棱臺的定義知，棱臺的側棱延長后必交于一點，故C正確；
對于D：棱柱的兩個面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側面，故D錯誤；
故選：AD.
10．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．多面體的每條棱都是一條線段
B．在四棱臺中，四點可以不共面
C．上、下底面均為正方形的四棱臺的四條側棱長一定相等
D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線
【答案】AD
【分析】根據多面體和棱臺的定義及性質判斷ABC，根據圓錐的結特征判斷D.
【詳解】根據棱長的定義可知，故A正確；
根據棱臺的性質知四點確定的是對角面，所以四點一定是共面關系，故B錯誤；
對于四棱錐，底面是正方形，
當側棱垂直底面時，該四棱錐所截的四棱臺的側棱不相等，故C錯誤；
圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線，故D正確.
故選：AD
11．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）在正方體中，，，過E，F的平面將正方體截成兩部分，則所得幾何體可能是（ ）
A．三棱錐 B．直三棱柱
C．三棱臺 D．四棱柱
【答案】ABC
【分析】根據正方體的結構特征，結合平面圖形的性質分別分析截面形狀即可求出結果.
【詳解】如圖， 連接，則平面可截得三棱錐，故A正確；
如圖，過E作，過F作，
則過的平面可截得直三棱柱，故B正確
如圖，延長至P，連接，分別與交于兩點，
則可得平面截得三棱臺，故C正確；
將四邊形分成一個三角形和一個五邊形，所以不可能得到四棱柱.
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體；④過球面上任意兩點只能作一個以球心為圓心的圓.其中說法正確的是 （填序號）.
【答案】①②
【分析】根據題意，結合圓柱的定義和球的定義，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于①，根據圓柱的結構特征，可得圓柱的底面是圓面，所以①正確；
對于②，根據圓柱的結構特征，可得經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面，所以②正確；
對于③，夾在圓柱的兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉體，所以③不正確；
對于④，當這兩點是球的直徑的兩端點時，可以作無數個以球心為圓心的圓，所以④不正確.
故答案為：①②
13．（2024高一·江蘇·專題練習）下列關于棱錐、棱臺的說法：
①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；
②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
③棱錐的側面只能是三角形；
④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確的序號是 ．
【答案】②③④
【分析】根據棱錐和棱臺的定義、結構特征依次判斷命題即可求解.
【詳解】①：若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，
棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，故①錯誤；
②：棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形，故②正確；
③：由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形，故③正確；
④：由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，故④正確；
⑤：如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，故⑤錯誤；
故答案為：②③④.
14．（20-21高一下·全國·課后作業）給出下列說法：
①經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
②圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；
③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體是一個旋轉體．
其中說法正確的是 （填序號）．
【答案】①
【分析】根據圓柱的結構特征判斷①③, 根據圓臺的結構特征判斷②.
【詳解】①正確，經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
②不正確，圓臺的母線延長后必相交于一點；
③不正確，夾在圓柱兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉體．
故答案為：①
四、解答題
15．（23-24高一下·浙江杭州·期中）由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數，為棱數，為面數.我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點 棱 面之間的一些數量關系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數和棱數.一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據歐拉公式，，可以得到頂點數.
(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數；
(2)證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；
(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數均相同.試利用歐拉公式，討論正多面體棱數的所有可能值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）設此足球有個正五邊形，分別得頂點與棱數，再利用歐拉公式解得的值.
（2）當凸多面體每個面均為三角形時，棱數最多，此時棱數與面數有關系.
（3）設正多面體每個頂點有條棱，每個面都是正邊形，根據歐拉公式列出表達式，再由得不等式，分類取值即可.
【詳解】（1）設足球有個正五邊形，則有個正六邊形，
足球的頂點，棱數，
由歐拉公式得，
解得，即此足球中有個面為正五邊形，
所以此足球的棱數.
（2）由個頂點的凸多面體，其面數盡可能多，那么相當于每一個面盡可能均為三角形，
當棱數最多時，該凸多面體每一個面均為三角形，此時，即，
又，即，解得，
故個頂點的凸多面體，至多有條棱.
（3）設正多面體每個頂點有條棱，每個面都是正邊形，
則此多面體棱數，，即，
由歐拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
當時，，所以，，；
當時，，所以，，；
當時，，所以，，；
綜上：棱數可能為.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，討研得點與棱、點與面、棱與面的數量之間的關系，從而得解.
16．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）一個圓臺的母線長為13cm，兩底面面積分別為和.求：
(1)圓臺的高；
(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.
【答案】(1)12cm
(2)cm
【分析】（1）易求兩圓的半徑，利用圓臺的軸截面是等腰梯形，再根據勾股定理即可算出圓臺的高.
（2）將等腰梯形的兩腰延長相交得等腰三角形，其腰即為圓錐的母線長，利用相似三角形的知識即可求解.
【詳解】（1）圓臺的軸截面是等腰梯形，如圖所示：
由已知可得上底半徑，下底半徑，
又腰長， 所以圓臺的高為.
（2）如圖所示，延長交于點S，
設截得此圓臺的圓錐母線長為l，
則由，可得，
解得：，
所以截得此圓臺的圓錐的母線長為cm.
17．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）如圖，在邊長為8的正方形中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？這個幾何體共有幾個面？
(2)每個面的三角形有何特點？每個面的三角形面積為多少？
【答案】(1)三棱錐，4個面
(2)為等腰三角形，為等腰直角三角形，和均為直角三角形，，，.
【分析】（1）根據棱錐的定義判斷該幾何體的形狀，再判斷該幾何體的面數，
（2）根據各面的相關數據判斷其形狀特征，結合三角形面積公式求各面面積.
【詳解】（1）如圖，折起后的幾何體是三棱錐，
這個幾何體共有4個面.
（2）由已知，，，，
所以， ，
所以為等腰三角形，為等腰直角三角形，
和均為直角三角形.
，
，
.
18．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在一個透明的正三棱柱形狀的容器中，盛上一些水，固定這個容器的一邊加以傾斜，不斷更改傾斜程度，從中盡可能多地找出其中的數量與圖形的各種關系，并思考其中的道理．
【答案】答案見解析
【詳解】可以得到如下結論：
（1）側面積是定值；
（2）水面通過定點；
（3）水面的形狀是三角形；
（4）兩側的面積相等；
（5）；
（6）水面與桌面平行．
19．（20-21高一·江蘇·課后作業）如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由見解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根據棱柱的定義判斷即可；
（2）根據棱柱的定義以及棱柱的表示方法求解即可.
【詳解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側面)，且相鄰側面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．因為底面是四邊形，所以長方體是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四邊形和是底面.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.1基本立體圖形
課程標準 學習目標
能夠正確識別和命名常見的立體圖形。 能夠熟練應用立體圖形的公式和計算方法。 能夠進行簡單的立體圖形拼合和拆解。 1、認知立體圖形的基本概念和種類，如三棱柱、四棱錐、圓柱、圓臺等。 2、掌握立體圖形的公式和計算方法，并能夠在實際問題中應用。 3、培養對立體圖形的觀察力和空間想象力。
知識點01 構成幾何體的基本元素
1、構成空間幾何體的基本元素有：點、線、面.
2、用運動的觀點理解空間基本圖形之間的關系：點動成線、線動成面、面動成體.
3、點、線、面的表示
如圖所示的長方體可以表示為長方體 ，它共有8
個頂點，可表示為，12條棱可以表示為
AB,BC,CD,DA,A,B,C,D,A,,,，6
個面可以表示為平面ABCD，平面 AB，平面 BC，平面，平面CD，平面AD。
【即學即練1】（22-23高一下·全國·課后作業）空間中構成幾何體的基本元素是 .
知識點02 棱柱
1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
2、圖示及表示：記作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1
3、相關概念
（1）底面：有兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，
（2）側面：其余各面叫做棱柱的側面，它們都是平行四邊形;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱;
（4）頂點：側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.
（5）高：過棱柱一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.
（6）側面積：棱柱所有側面的面積之和.
4、棱柱的圖形及名稱
底面：如圖中的多邊形 ABCDEF和多邊形A1B1C1D1E1F1，
側面：如圖中的四邊形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，
側棱：如圖中的線段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，FF1等，
頂點：如圖中的點A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側棱
B．棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同
C．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
知識點03 棱錐
1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
2、圖形及表示：可記作：棱錐S-ABCD或者S-AC
3、相關概念
（1）底面：這個多邊形面叫做棱錐的底面;
（2）側面：有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱;
（4）頂點：各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.
（5）棱錐的高：過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）.
（6）棱錐的側面積：棱錐所有側面的面積之和．
注意：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，
如圖.棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點.
4、棱錐的分類：
按照棱錐底面多邊形的邊數，可以把棱錐分成三棱錐，四棱錐，五棱錐………
5、正棱錐：
⑴定義：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．
⑵斜高：側面等腰三角形底邊上的高.
⑶特征：側面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.
注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….
【即學即練3】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法中正確的是（　　）
A．各側棱都相等的棱錐為正棱錐
B．各側面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
C．各側面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐
D．底面是正多邊形且各側面是全等三角形的棱錐為正棱錐
知識點04 棱臺
1、定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
2、圖形及表示：可記作：棱臺A’B’C’D’-ABCD
3、相關概念
（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面;
（2）側面：其他各面叫做棱臺的側面;
（3）側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱;
（4）頂點：側面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點.
（5）棱臺的高:過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.
（6）棱臺的側面積:棱臺所有側面的面積之和．
4、棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
5、正棱臺
（1）定義：由正棱錐截得的棱臺.
（2）高：上下兩底面中心的連線.
（3）斜高：側面等腰梯形的高.
（4）特征：側面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.
【即學即練4】（多選）（2024高一下·全國·專題練習）（多選）下列說法不正確的是（　　）
A．棱臺的兩個底面相似
B．棱臺的側棱長都相等
C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺
D．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
知識點05 圓柱
1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周所圍成的旋轉體叫做圓柱
2、圖示：
3、相關概念：
軸：旋轉軸叫做圓柱的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；
側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面；
圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊；
柱體：圓柱和棱柱統稱為柱體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①兩個底面互相平行，
②有無數條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練5】（23-24高二下·江西撫州·期中）中國古代建筑中的圓柱，多是根部略粗，頂部略細，這種做法稱為“收分”，柱子做出收分，既穩定又輕巧．已知某古代建筑的一根圓柱，每增高，直徑收分，若該柱子柱根直徑為，柱高，則柱頭直徑為（ ）
A． B． C． D．
知識點06 圓錐
1、定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
2、圖示：
3、相關概念：
軸：旋轉軸叫做圓錐的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；
側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面；
母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊；
錐體：棱錐和圓錐統稱錐體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①底面是圓面，
②有無數條母線，長度相等且交于一點，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，
③軸截面是全等的等腰三角形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練6】（23-24高三上·四川·期末）若某圓錐的底面半徑，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
知識點07 圓臺
1、定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺
2、圖示：
3、相關概念：
軸：圓錐的軸；
底面：圓錐的底面和截面；
側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分；
母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；
臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體
4、側面展開圖：
5、結構特征：
①上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點，
②平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，
③軸截面是全等的等腰梯形.
6、軸截面：在旋轉體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.
【即學即練7】（2024高一下·全國·專題練習）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑之比為，母線長為9，則圓錐的母線長是 ．
知識點08 球
1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球
2、圖示：
3、相關概念：
（1）球面
定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面.
定義2：球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.
球心：形成球面的半圓的圓心；
半徑：連接球面上一點和球心的線段.
直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段.
大圓：球面被經過球心的平面截得的圓.
（6）小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓.
【即學即練8】（23-24高二上·四川樂山·期末）一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球
【題型一：棱柱的結構特征】
例1．（2023·全國·高一專題練習）“棱柱有相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要 D．既非充分又非必要條件
變式1-1．（2023·高一單元測試）如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．該幾何體的側面是平行四邊形
B．該幾何體有七個面
C．該幾何體恰有十二條棱
D．該幾何體恰有十個頂點
變式1-2．（2023·全國·高一專題練習）設{正四棱柱}，{直四棱柱}，{長方體}，{正方體}，則它們之間的關系是______.
變式1-3．（2021·高二課時練習）記A為所有多面體組成的集合，B為所有棱柱組成的集合，C為所有直棱柱組成的集合，D為所有正棱柱組成的集合，寫出集合A，B，C，D之間的關系.
【方法技巧與總結】
棱柱特征：
兩底面互相平行且全等;
各側面都是平行四邊形;
各側棱互相平行且相等.
【題型二：棱錐的結構特征】
例2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱中，分別是，的中點，連接，試判斷幾何體是什么幾何體，并指出它的底面與側面.
變式2-1．（多選）（2022·全國·高一假期作業）在正棱錐中，側面可為正三角形的是（ ）
A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐
變式2-2．（2023春·全國·高一專題練習）將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數為（ ）
①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體
A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確
變式2-3．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心
B．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐
C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐
【方法技巧與總結】
棱錐的結構特征：
1.僅有一個底面且是多邊形（三角形、四邊形……）
2.側面都是三角形
3.各側面有且只有一個公共頂點。
【題型三：棱臺的結構特征】
例3．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的有（ ）
①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．
③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
變式3-1．（2023·高一課時練習）對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是( )
A．棱柱 B．棱錐
C．棱臺 D．一定不是棱柱、棱錐
變式3-2．（2023·高一課時練習）下列說法中，正確的個數為（ ）
（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體
（3）棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐
（4）底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
A．3個 B．2個 C．1個 D．0
變式3-3．（2022·高一課時練習）下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)
【方法技巧與總結】
棱臺的結構特征
1.上下底面是互相平行且相似的多邊形
2.側面都是梯形
3.各側棱的延長線交于一點
【題型四：圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征】
例4．（22-23高一下·河北張家口·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體
B．圓錐的頂點 圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形
C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
D．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓
變式4-1．（多選）（22-23高一下·河北張家口·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．圓柱的母線和它的軸可以不平行
B．圓柱 圓錐 圓臺的底面都是圓面
C．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體為圓錐
D．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括一個圓柱 兩個圓錐
變式4-2．（2024高三·全國·專題練習）給出下列結論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球．
其中正確結論的序號是 ．
變式4-3．（19-20高一·全國·課后作業）給出下列說法：
（1）圓柱的底面是圓面；
（2）經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；
（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體．
其中說法正確的是 ．
【方法技巧與總結】
圓柱、圓錐、圓臺的關系
【題型五：球體的幾何特征】
例5．（21-22高一·全國·課后作業）下列說法中正確的是（ ）
A．球的半徑可以是球面上任意一點與球心所連的線段
B．球的直徑可以是球面上任意兩點所連的線段
C．用一個平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
變式5-1．（22-23高一下·廣東湛江·期中）小明在湛江海博會參觀時，看到一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（ ）
A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．圓臺.
變式5-2．（21-22高二·全國·課后作業）下列說法正確的是( )
A．到定點的距離等于定長的點的集合是球
B．球面上不同的三點可能在同一直線上
C．球面上任意兩點的連線是球的直徑
D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面
變式5-3. （21-22高一下·廣東珠海·階段練習）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（ ）
　　
A．一個球
B．一個球挖去一個圓柱
C．一個圓柱
D．一個球挖去一個正方體
一、單選題
1．（23-24高一下·陜西西安·期中）有一封閉透明的正方體形容器，裝有容積一半的有顏色溶液，當你任意旋轉正方體，靜止時液面的形狀不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六邊形
2．（23-24高一下·陜西西安·期中）將棱長為4的正方體表面涂成紅色，將其適當分成棱長為1的小正方體，則各面均沒有顏色的小正方體個數占總的小正方體個數的（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·福建·期中）下列說法正確的是（ ）
A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等
B．直四棱柱是長方體
C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是一個圓錐
D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形
4．（23-24高一下·福建·期中）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（ ）
A．縣 B．市 C．聯 D．考
5．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側面都是等邊三角形
C．經過不共線的三個點的球有且只有一個 D．直棱柱的側面是矩形
6．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）下列命題中正確的是（ ）
①圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個；
②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
③圓臺的兩個底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
7．（2024高一下·全國·專題練習）下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是（ ）
A．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
B．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺
C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺
D．棱臺的各側棱延長后必交于一點
8．（23-24高一下·廣東梅州·期中）下列結論正確的是（ ）
A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐
C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺
D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點
二、多選題
9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列說法錯誤的是（ ）
A．直四棱柱是長方體
B．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
C．棱臺的各側棱延長后必交于一點
D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
10．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．多面體的每條棱都是一條線段
B．在四棱臺中，四點可以不共面
C．上、下底面均為正方形的四棱臺的四條側棱長一定相等
D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線
11．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）在正方體中，，，過E，F的平面將正方體截成兩部分，則所得幾何體可能是（ ）
A．三棱錐 B．直三棱柱
C．三棱臺 D．四棱柱
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體；④過球面上任意兩點只能作一個以球心為圓心的圓.其中說法正確的是 （填序號）.
13．（2024高一·江蘇·專題練習）下列關于棱錐、棱臺的說法：
①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；
②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
③棱錐的側面只能是三角形；
④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確的序號是 ．
14．（20-21高一下·全國·課后作業）給出下列說法：
①經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；
②圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；
③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體是一個旋轉體．
其中說法正確的是 （填序號）．
四、解答題
15．（23-24高一下·浙江杭州·期中）由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數，為棱數，為面數.我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點 棱 面之間的一些數量關系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數和棱數.一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據歐拉公式，，可以得到頂點數.
(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數；
(2)證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；
(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數均相同.試利用歐拉公式，討論正多面體棱數的所有可能值.
16．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）一個圓臺的母線長為13cm，兩底面面積分別為和.求：
(1)圓臺的高；
(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.
17．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）如圖，在邊長為8的正方形中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？這個幾何體共有幾個面？
(2)每個面的三角形有何特點？每個面的三角形面積為多少？
18．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在一個透明的正三棱柱形狀的容器中，盛上一些水，固定這個容器的一邊加以傾斜，不斷更改傾斜程度，從中盡可能多地找出其中的數量與圖形的各種關系，并思考其中的道理．
19．（20-21高一·江蘇·課后作業）如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
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