資源簡介

6.5.2平面與平面垂直
課程標準 學習目標
1、借助長方體,通過直觀感知,了解平面與平面垂 直的關系,并歸納出面面乖直的判定與性質定理、 2、能運用直觀感覺、定理和已獲得的結論證明空 間基本圖形位置關系的命題.。 1、能夠了解用數學語言表達的面面垂直的判定與性質定理. 2、了解面面垂直的判定與性質定理的條件與結論之間的邏輯關系. 3、掌握一些基本命題的證明,并有條理地表述論證過程.
知識點01 二面角
1、二面角的概念
概念 平面內的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.
圖示及記法 棱為l，而分別為α和β的二而角記為α-l-β.如圖所示. 也可以在a和β內（棱以外的半平面部分）分別取點P，Q，將這個二而角記作P-l-Q
2、二面角的平面角
定義 在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.
圖示
范圍 0°≤∠AOB≤180°
規定 ①二面角的大小用它的平面角_的大小來度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角稱為直二面角. ②一般地，兩個平面相交時，它們所成角的大小，指的是它們所形成的4個二面角中， 不大于90°的角的大小.
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，正方體，棱長為是的中點，則二面角的正弦值為 ．
知識點02 平面與平面垂直的判定定理
1、平面與平面垂直
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
2、平面與平面垂直的判定定理（簡稱面面垂直的判定定理）：
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
圖形語言
符號語言 l⊥α，l β α⊥β
【即學即練2】（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是等邊三角形，，點分別為和的中點.
(1)求證：平面;
(2)求證：平面平面;
知識點03 平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
作用 ①面面垂直 線面垂直 ②作面的垂線
【即學即練3】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面. 求證：
(1)⊥平面；
(2).
【題型一：面面垂直的概念辨析】
例1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的是（ ）
A．若 ，則
B．若 ，則
C．若，則
D．若 ，則
變式1-1.（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知為不同的直線，為不同的平面，下列命題為假命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式1-2.（2024高一下·全國·專題練習）已知是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
變式1-3.(多選)（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，且，則 D．若，且，則
【方法技巧與總結】
理解面面垂直的判定定理注意以下幾點：
（1）定理可簡記為“線面垂直，則面面垂直”，因此要證明平面與平面垂直，只需在其中一個平面內找另一個平面的垂線，即證“線面垂直”.
（2）兩個平面垂直的判定定理，不僅僅是判定兩個平面垂直的依據，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據.
（3）要證 a⊥β，可證α經過β的某一條垂線，也可證明β經過α的某一條垂線．
【題型二：面面垂直的判定定理】
例2．（2024高一下·全國·專題練習）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．求證：平面平面．
變式2-1.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．證明：平面平面；
變式2-2．（23-24高一下·浙江金華·期中）如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為O，四邊形為梯形，.
(1)若，求證：平面；
(2)若，求證：平面平面.
變式2-3．（19-20高一下·全國·課后作業）如圖所示，在矩形中，已知，是的中點，沿將折起至的位置，使.求證：平面平面.
【方法技巧與總結】
證明平面與平面垂直
證明面面垂直的方法：
（1）證明兩個半平面構成的二面角的平面角為90°；
（2）證明一個平面經過另一個平面的一條垂線，將證明面面垂直的問題轉化為證明線面垂直的問題.
2.利用判定定理證明兩個平面垂直時，一般方法是先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖形中不存在這樣的垂線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論根據并且要有利于證明.
【題型三：面面垂直證明線面垂直】
例3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．
變式3-1．（22-23高三上·河南·期末）在平面四邊形中，，，點為的靠近的三等分點，，將沿折起，使得平面平面，已知點在線段上，且滿足，點為的中點.
(1)證明：平面；
(2)若為的中點，求點到平面的距離.
變式3-2．（2024·陜西榆林·一模）在三棱錐中，為的中點.
(1)證明：⊥平面.
(2)若，平面平面，求點到平面的距離.
變式3-3．（2023高二上·山西·學業考試）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【方法技巧與總結】
對面面垂直的性質定理的理解
①定理成立的條件有兩個：a.直線在其中一個平面內；b.直線與兩平面的交線垂直
②定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.
③處理面面垂直的問題時，通常經過此定理轉化為線面垂直.
【題型四：面面垂直證明線線垂直】
例4．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點在底面的圓周上，，是垂足．
(1)求證：；
(2)如果圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成的角的正切值．
變式4-1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，E是BC的中點，點F在側棱上，且CF＝1.求證：.
變式4-2．（2023·上海長寧·一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.

(1)求證：；
(2)若，求異面直線與所成的角的大小.
變式4-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面. 求證：
(1)⊥平面；
(2).
【題型五：動點探索問題】
例5．（22-23高一下·吉林長春·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面QAD是正三角形，側面底面，M是QD的中點．

(1)求證：平面；
(2)求側面QBC與底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在點N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，說明理由．
變式5-1．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點.

(1)求證：；
(2)在線段上是否存在一點N，使面面？并證明你的結論.
變式5-2．（22-23高一下·北京平谷·期末）如圖，幾何體中，面面，，，且，，四邊形是邊長為4的菱形，，點為的交點．

(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積；
(3)試判斷在棱上是否存在一點，使得平面平面 說明理由．
變式5-3．（2023高一·全國·專題練習）在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
【題型六：面面垂直的應用】
例6.（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，，為線段的中點，為線段（包括端點）上一點，則的面積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式6-1.（2024·四川廣安·二模）如圖，菱形的對角線與交于點，是的中位線，與交于點，已知是繞旋轉過程中的一個圖形﹐且平面.給出下列結論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
變式6-2.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，是圓O的直徑，垂直圓O所在的平面，點C是圓上的任意一點，圖中有（ ）對平面與平面垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
變式6-3.（23-24高一上·浙江紹興·期末）大善塔，位于紹興市區城市廣場東南隅，是紹興城地標性建筑，其塔頂部可以近似地看成一個正六棱錐.假設該六棱錐的側面和底面的夾角為，則該六棱錐的高和底面邊長之比為（ ）
A． B． C． D．
【題型七：二面角問題】
例7．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
變式7-1．（23-24高一下·廣東河源·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側面是正三角形，側面底面是棱的中點，.
(1)證明：平面；
(2)若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.
變式7-2．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在三棱柱中，底面側面，，，．
(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成的角的余弦值．
變式7-3．（23-24高二上·海南海口·階段練習）如圖1，在梯形中，，，，.現將梯形沿對角線折成直二面角，如圖2.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正切值.
一、單選題
1．（22-23高一下·河南洛陽·階段練習）設l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
2．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一下·陜西咸陽·階段練習）在四面體中，為正三角形，與平面不垂直，則下列說法正確的是（ ）
A．與可能垂直
B．在平面內的射影可能是
C．與不可能垂直
D．平面與平面不可能垂直
4．（23-24高二上·浙江寧波·期末）把正方形紙片沿對角線折成直二面角，為的中點，為的中點，是原正方形的中心，則折紙后的余弦值大小為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，在正方體中，點是的中點，則平面與底面所成角的正切值是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·北京平谷·模擬預測）一個邊長為10cm的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個容器側面與底面的夾角正切值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·全國·專題練習）在空間四邊形中，，那么必有（ ）
A．平面⊥平面
B．平面⊥平面
C．平面⊥平面
D．平面⊥平面
8．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點是邊長為1的正方體表面上的動點，若直線與平面所成的角大小為，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）如圖（1），在矩形中，，是的中點，沿將折起，使點到達點的位置，并滿足，如圖（2），則（ ）

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
10．（23-24高一下·河南·期中）已知棱長為2的正方體中，動點在棱上，記平面截正方體所得的截面圖形為，平面與線段AD的交點為N，則（ ）
A．平面平面 B．不存在點，使得直線平面
C．直線，，交與同一點 D．的最小值為
11．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知正方體的棱長為2，棱、、分別是，，的中點，過、、三點作正方體的截面，是中點，則（ ）
A．截面多邊形的周長為 B．截面多邊形的面積為
C．截面多邊形存在外接圓 D．的正弦值為
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在三棱錐中，若是的中點，則平面與平面的關系是 .
13．（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕折成四面體．當四面體中滿足平面平面時，則
（1）；
（2）平面平面；
（3）為等腰直角三角形
以上結論中正確的是 （填寫你認為正確的結論序號）．
14．（22-23高一下·重慶·期末）在四面體中，平面于點，點到平面的距離為，點為的重心，二面角的大小為，則 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·江西景德鎮·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的菱形，是的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大?。?br/>16．（23-24高一下·安徽六安·期中）已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求直線和平面所成角的正弦值.
17．（23-24高一下·湖南長沙·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，于點．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正切值．
18．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.
(1)若點是的中點，
（i）求證：平面；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在一點，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
19．（23-24高一下·廣東茂名·期中）如圖，在三棱柱中，側面為矩形．
(1)設為中點，點在線段上，且，求證：平面；
(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.5.2平面與平面垂直
課程標準 學習目標
1、借助長方體,通過直觀感知,了解平面與平面垂 直的關系,并歸納出面面乖直的判定與性質定理、 2、能運用直觀感覺、定理和已獲得的結論證明空 間基本圖形位置關系的命題.。 1、能夠了解用數學語言表達的面面垂直的判定與性質定理. 2、了解面面垂直的判定與性質定理的條件與結論之間的邏輯關系. 3、掌握一些基本命題的證明,并有條理地表述論證過程.
知識點01 二面角
1、二面角的概念
概念 平面內的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.
圖示及記法 棱為l，而分別為α和β的二而角記為α-l-β.如圖所示. 也可以在a和β內（棱以外的半平面部分）分別取點P，Q，將這個二而角記作P-l-Q
2、二面角的平面角
定義 在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.
圖示
范圍 0°≤∠AOB≤180°
規定 ①二面角的大小用它的平面角_的大小來度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角稱為直二面角. ②一般地，兩個平面相交時，它們所成角的大小，指的是它們所形成的4個二面角中， 不大于90°的角的大小.
【即學即練1】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，正方體，棱長為是的中點，則二面角的正弦值為 ．
【答案】/
【分析】根據二面角平面角的定義得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可.
【詳解】
如圖，取中點，連接，
因為為正方體，所以，，
因為為中點，所以，，
因為平面平面，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
，，，
，所以二面角的正弦值為.
故答案為：.
知識點02 平面與平面垂直的判定定理
1、平面與平面垂直
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
2、平面與平面垂直的判定定理（簡稱面面垂直的判定定理）：
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
圖形語言
符號語言 l⊥α，l β α⊥β
【即學即練2】（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是等邊三角形，，點分別為和的中點.
(1)求證：平面;
(2)求證：平面平面;
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取中點，由已知條件，結合線面平行的判斷推理即得.
（2）過作于點，借助三角形全等，及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
【詳解】（1）
取中點，連接，由為的中點，為的中點，
所以，
又，
則，因此四邊形為平行四邊形，
于是，
而平面，平面，
所以平面；
（2）
過作于點，連接，
由，得≌，
則，即，
因為底面是邊長為2的菱形，是等邊三角形，
所以，
從而，
所以，
又因為，平面，平面，
則平面，
又因為平面，
所以平面平面.
知識點03 平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
作用 ①面面垂直 線面垂直 ②作面的垂線
【即學即練3】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面. 求證：
(1)⊥平面；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面面垂直的性質定理證明即可；
（2）由線面垂直判定定理和性質定理證明即可.
【詳解】（1）如圖，連接，
∵四邊形是菱形且，
∴△是正三角形，∵G為的中點，∴.
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可知，
∵△為正三角形，為的中點，
∴，又平面，
∴平面，
又平面，∴.
【題型一：面面垂直的概念辨析】
例1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的是（ ）
A．若 ，則
B．若 ，則
C．若，則
D．若 ，則
【答案】D
【分析】根據空間直線與平面位置關系結合線面平行的判定定理、性質定理及面面垂直的判定定理逐項判斷即可.
【詳解】對于A，由題意也有可能，若要 ，則需，故A錯誤；
對于B，若 ，則與沒有交點，與沒有交點，因為，
則與關系不能確定，故與可能相交、異面也可能平行，故B錯誤；
對于C，如圖：在正方體中，
若平面為平面，平面為平面，為，為，則，
故C錯誤；
對于，因為 ，所以，又 ，記且，
則 ，所以，所以，故D正確.
故選：D
變式1-1.（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知為不同的直線，為不同的平面，下列命題為假命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，線面垂直的性質即可判斷.
【詳解】由題意，對于A，由面面平行的判定定理可以證得，故A正確；
對于B，或，故B錯誤；
對于C，由面面垂直的判定定理可以證得，故C正確；
對于D，由線面垂直的性質可以證得，故D正確.
故選：B.
變式1-2.（2024高一下·全國·專題練習）已知是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】在A中，a與b可以成任意角；在B中a與b是平行的；在C中，可得b⊥α，從而得到；在D中，可得a與b可以成任意角，從而得到正確結果.
【詳解】由a，b是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，
在A中， ，因為b的方向不確定，則a與b可以成任意角，故A錯誤；
在B中，根據對應的性質可知，可知a與b是平行的，故B錯誤；
在C中，由可知，由線面垂直的性質可知，故C正確；
在D中，，因為b的方向不確定，可得a與b可以成任意角，故D錯誤．
故選：C.
變式1-3.(多選)（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，且，則 D．若，且，則
【答案】BD
【分析】根據空間中直線，平面的位置關系分別去判斷各個選項.
【詳解】對于A，若，，則與可能平行，相交或異面，故A錯誤；
對于B，若，，則，故B正確；
對于C，根據面面平行的判定定理，只有當與是平面內的兩條相交直線時，方可確定，故C錯誤；
對于D，，，或，又，，故D正確.
故選：BD.
【方法技巧與總結】
理解面面垂直的判定定理注意以下幾點：
（1）定理可簡記為“線面垂直，則面面垂直”，因此要證明平面與平面垂直，只需在其中一個平面內找另一個平面的垂線，即證“線面垂直”.
（2）兩個平面垂直的判定定理，不僅僅是判定兩個平面垂直的依據，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據.
（3）要證 a⊥β，可證α經過β的某一條垂線，也可證明β經過α的某一條垂線．
【題型二：面面垂直的判定定理】
例2．（2024高一下·全國·專題練習）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．求證：平面平面．
【答案】證明見解析
【分析】
取的中點，連接，求出，利用勾股定理證明，再根據線面垂直的判定定理證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可得證.
【詳解】如圖，取的中點，連接，
因為是等邊三角形，為的中點，所以，
因為，所以，
因為，，，
所以四邊形為矩形，所以，
又因為，所以，即，
因為，，，平面，
所以平面，又因為平面，
所以平面平面．
變式2-1.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．證明：平面平面；
【答案】證明見解析
【分析】
根據正方形的性質，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可.
【詳解】連接，與相交于點，連接，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點，
，則，
平面，，平面，
又因為平面，所以平面平面.
變式2-2．（23-24高一下·浙江金華·期中）如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為O，四邊形為梯形，.
(1)若，求證：平面；
(2)若，求證：平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；
（2）只需證明平面，即可證明平面平面.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，
∵是菱形的對角線，的交點，
∴，且，
又∵，且，
∴，且，
從而為平行四邊形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）證明：連接，
∵四邊形為菱形，∴，
∵，是的中點，∴，
又，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面.
變式2-3．（19-20高一下·全國·課后作業）如圖所示，在矩形中，已知，是的中點，沿將折起至的位置，使.求證：平面平面.
【答案】證明見解析
【分析】取的中點，的中點，得到，易知，，得到平面，，再結合，得到平面，從而得到平面平面.
【詳解】如圖所示，取的中點，的中點，連接，
則.
，是的中點，
，即.
.
，.
在四邊形中，，
又，平面，
平面，
平面，.
且，
∴直線必與直線相交，且平面.
又，，
平面.
又平面，
∴平面平面.
【方法技巧與總結】
證明平面與平面垂直
證明面面垂直的方法：
（1）證明兩個半平面構成的二面角的平面角為90°；
（2）證明一個平面經過另一個平面的一條垂線，將證明面面垂直的問題轉化為證明線面垂直的問題.
2.利用判定定理證明兩個平面垂直時，一般方法是先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖形中不存在這樣的垂線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論根據并且要有利于證明.
【題型三：面面垂直證明線面垂直】
例3．（2022高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；理由見解析
【分析】（1）由面面垂直的性質知平面，故，再由得平面；
（2）取F為的中點，G為的中點，可證四邊形是平行四邊形，由線面平行判斷可證∥平面.
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，且，
∴四邊形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
與相交，平面，
平面．
（2）當F為的中點時，平面．理由如下：
取F為的中點，G為的中點，連接，
則，且．
∵底面為菱形，且E為的中點，
，且．
，且．
∴四邊形是平行四邊形，．
平面平面平面．
變式3-1．（22-23高三上·河南·期末）在平面四邊形中，，，點為的靠近的三等分點，，將沿折起，使得平面平面，已知點在線段上，且滿足，點為的中點.
(1)證明：平面；
(2)若為的中點，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）先由已知條件判斷四邊形為矩形，即，進而得在折起后，，，再由面面垂直的性質定理可得平面，可判斷，利用，可判斷，從而利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）取的中點，連接，MN，FN，得平面，利用余弦定理得，即，從而利用即可求解.
【詳解】（1）
證明：因為，，所以四邊形為平行四邊形，
因為，所以四邊形為矩形，得，
在折起后，，，
因為平面平面，平面平面，平面,
所以平面，
因為平面，所以，
因為，所以，，
因為點在線段上，且滿足，點為的中點，
所以，，
,
因為，
所以，即.
因為平面，平面，，
所以平面.
（2）
取的中點，連接，MN，FN，
則，所以平面，為三棱錐的高，
，，
又，，，
所以，，
所以，，
所以，
設點到平面的距離為，
由得，解得，
即點到平面的距離為.
變式3-2．（2024·陜西榆林·一模）在三棱錐中，為的中點.
(1)證明：⊥平面.
(2)若，平面平面，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由三線合一得到線線垂直，進而得到線面垂直；
（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用等體積法求出點到平面的距離.
【詳解】（1）因為，為的中點，
所以，
又因為平面，
所以⊥平面.
（2）因為平面平面，且平面平面 ，平面，
所以平面，
因為，所以均為等邊三角形，
故，故，
所以，
因為平面，平面，
所以 ，由勾股定理得，
取的中點，連接，
在中，，故⊥，
故，，
設點到平面的距離為，所以，解得.
變式3-3．（2023高二上·山西·學業考試）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）確定，，根據面面垂直得到平面，得到，得到證明.
（2）設的中點分別為，確定平面，計算，根據得到，得到答案.
【詳解】（1）
是正三角形，是中點，所以，
因為是正方形，所以，
又因為側面底面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
因為平面平面，所以平面．
（2）
設的中點分別為，根據對稱性知，故，
設，則，
因為側面底面，平面平面側面，
所以平面，
在中，因為，所以，
所以，
設點到平面的距離為，則，
因為，所以，
設直線與平面所成角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
【方法技巧與總結】
對面面垂直的性質定理的理解
①定理成立的條件有兩個：a.直線在其中一個平面內；b.直線與兩平面的交線垂直
②定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.
③處理面面垂直的問題時，通常經過此定理轉化為線面垂直.
【題型四：面面垂直證明線線垂直】
例4．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點在底面的圓周上，，是垂足．
(1)求證：；
(2)如果圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成的角的正切值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用平面得到線線垂直，再結合另一組線線垂直證明線面垂直即可.
（2）結合給定的體積比，運用幾何法求解線面角即可.
【詳解】（1）根據圓柱性質，平面．
平面，∴DA⊥EB．
是圓柱底面的直徑，點在圓周上，
，又，平面，
故得平面．
平面，．
又，且，平面，
故平面．
平面，
．
（2）
過點作，是垂足，連接．
根據圓柱性質，平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
又平面，所以是在平面上的射影，
從而是與平面所成的角．
設圓柱的底面半徑為，則，于是
，．
由，得，可知是圓柱底面的圓心，
則
，
變式4-1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，E是BC的中點，點F在側棱上，且CF＝1.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】過點E作于點N，連接，通過證明平面，即可求解.
【詳解】證明：過點E作于點N，連接，如圖，
由正三棱柱的性質可知，平面平面，
因為平面，平面平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
因為E為等邊的邊的中點，
所以，
在中，，
則，所以，
又在正方形中，，
故，
因為平面，
所以平面，而平面，
所以.
變式4-2．（2023·上海長寧·一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.

(1)求證：；
(2)若，求異面直線與所成的角的大小.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直的性質、線面垂直的性質推理即得.
（2）分別取的中點，利用幾何法求出異面直線與所成的角.
【詳解】（1）在三棱錐中，由為的中點，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）分別取的中點，連接，于是，
則是異面直線與所成的角或其補角，

由（1）知，，又，，
則，于是，
令，則，又，
則有，
，又平面，平面，
則，，，
由分別為的中點，得，
顯然，即有，，則，
所以異面直線與所成的角的大小.
變式4-3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，是四邊形所在平面外的一點，G為邊中點，四邊形是且邊長為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面. 求證：
(1)⊥平面；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面面垂直的性質定理證明即可；
（2）由線面垂直判定定理和性質定理證明即可.
【詳解】（1）如圖，連接，
∵四邊形是菱形且，
∴△是正三角形，∵G為的中點，∴.
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可知，
∵△為正三角形，為的中點，
∴，又平面，
∴平面，
又平面，∴.
【題型五：動點探索問題】
例5．（22-23高一下·吉林長春·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面QAD是正三角形，側面底面，M是QD的中點．

(1)求證：平面；
(2)求側面QBC與底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在點N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據面面垂直的性質可得面，再根據線面垂直的性質可得，再根據線面垂直的判定定理即可得證；
（2）取的中點，的中點，連接，證明平面，從而可得即為側面QBC與底面所成二面角的平面角，進而可得答案；
（3）連接交于點，連接，易得，當面，證明此時平面平面，再根據相似比即可求出.
【詳解】（1）因為側面QAD是正三角形，M是QD的中點，
所以，
因為，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中點，的中點，連接，
則且，，
故，
因為面面，面面，面，
所以面，
因為面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
則即為側面QBC與底面所成二面角的平面角，
設，則，故，
所以，
即側面QBC與底面所成二面角的余弦值為；
（3）當面時，平面平面，證明如下：
如圖，連接交于點，連接，
因為底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因為面，所以，
因為面時，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因為，所以，
因為，所以，
所以在棱QC上是否存在點N，當時，平面平面AMC.

【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：
（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：
①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質；
（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.
變式5-1．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點.

(1)求證：；
(2)在線段上是否存在一點N，使面面？并證明你的結論.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點，當為中點時面面，證明見解析
【分析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質得到平面，從而得證；
（2）當為中點時，面面，首先證明，由線面垂直的性質得到，從而得到平面，即可得證.
【詳解】（1），為的中點．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
（2）存在點，當為中點時，面面；
證明如下：
四邊形是正方形，為的中點，則，
所以，又，所以
，
由（1）知，平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，
平面平面．

變式5-2．（22-23高一下·北京平谷·期末）如圖，幾何體中，面面，，，且，，四邊形是邊長為4的菱形，，點為的交點．

(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積；
(3)試判斷在棱上是否存在一點，使得平面平面 說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，理由見解析
【分析】（1）取中點，連接，易證為平行四邊形，從而有，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）由，利用線面平行的判定定理得到面，從而得到到面的距離為，再由菱形，求得，然后利用三棱錐的體積公式求解；
（3）由三角形為等邊三角形，點為棱的中點，，由面面，得到面，從而面，然后利用面面垂直的判定定理證明.
【詳解】（1）證明：取中點，連接．
菱形為中點，
且，
且，
，
為平行四邊形，，
面面，
平面；
（2）面面，
面，
到面的距離為，
菱形對角線，
，
三棱錐的體積；
（3）在棱上存在一點，使得平面平面，且點為棱的中點．
證明：三角形為等邊三角形，點為棱的中點，
，
面面，面面，面，
面，又面，
所以，
又，面，面，
面，
平面，
平面平面.
變式5-3．（2023高一·全國·專題練習）在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
【答案】存在；證明見解析
【分析】根據面面垂直的性質定理可證平面，進而可得結果.
【詳解】存在，當M為的中點時，平面平面，證明如下：
取AD的中點M，連接，
因為是等邊三角形，可得，
由平面平面，平面，平面平面，
平面，且平面，
所以平面平面.
．
【題型六：面面垂直的應用】
例6.（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，，為線段的中點，為線段（包括端點）上一點，則的面積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的高的范圍即可.
【詳解】如圖，連接，過作，垂足為．
在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，異面直線間垂線段最短
故．
過作于點，連接，易得平面，
則，又，所以．
因為，，，，
所以，則．
當與重合時，，；
當與重合時，由，，,得平面，
所以，所以，．
所以的面積的取值范圍為，
故選：B
變式6-1.（2024·四川廣安·二模）如圖，菱形的對角線與交于點，是的中位線，與交于點，已知是繞旋轉過程中的一個圖形﹐且平面.給出下列結論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】利用線面平行的判定判斷①；利用面面垂直的判定推理判斷②；舉例說明判斷③.
【詳解】菱形的對角線與交于點，是的中位線，則，
而平面，平面，因此平面，①正確；
連接，由，得，而平面，
則平面，又平面，因此平面平面，②正確；
顯然是二面角的平面角，由繞旋轉過程中，
從逐漸減小到（不包含和），當時，，
平面，則平面，而平面，于是，③錯誤，
所以所有正確結論的序號為①②.
故選：B
變式6-2.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，是圓O的直徑，垂直圓O所在的平面，點C是圓上的任意一點，圖中有（ ）對平面與平面垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據面面垂直的判定定理進行證明判斷．
【詳解】由⊥平面，平面，
∴平面⊥平面，同理，平面⊥平面.
由⊥平面，平面，得，
又，且，∴平面，
由平面，從而平面⊥平面，故圖中相互垂直的平面有3對．
故選：C．
變式6-3.（23-24高一上·浙江紹興·期末）大善塔，位于紹興市區城市廣場東南隅，是紹興城地標性建筑，其塔頂部可以近似地看成一個正六棱錐.假設該六棱錐的側面和底面的夾角為，則該六棱錐的高和底面邊長之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖正六棱錐中，取的中點，則為側面和底面的夾角，根據的值可求得的值.
【詳解】
如圖正六棱錐中，底面中心為，取的中點，連接，
則，所以為側面和底面的夾角，即
因為底面， 底面，
所以，所以，
又，所以，
所以.
故選：C
【題型七：二面角問題】
例7．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點，平面.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由題意可證四邊形為平行四邊形，則，結合線面平行的判定定理即可證明；
（2）如圖，易證，根據線面垂直的性質與判定定理可得平面，結合面面垂直的判定定理即可證明；
（3）根據線面垂直的性質與判定定理可得為二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性質確定為直線與平面所成的角，即可求解.
【詳解】（1）因為且，所以四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
連接，由且，
所以四邊形為平行四邊形，又，
所以平行四邊形為正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面 平面；
（3）由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故為二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足為M，
由（2）知，平面 平面，平面 平面 ，平面，
所以平面，則為直線在平面上的投影，
所以為直線與平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直線與平面所成角的正弦值為.

變式7-1．（23-24高一下·廣東河源·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側面是正三角形，側面底面是棱的中點，.
(1)證明：平面；
(2)若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定義求出其正切值.
【詳解】（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，
由側面底面，側面底面平面，
得平面，又平面，則，
又側面是正三角形，是的中點，則，
又平面，所以平面.
（2）如圖，
在平面內，過點作，垂足為，顯然，
由側面底面，交線為，得底面，底面，
則，過作，垂足為，連接，顯然，
平面，則平面，而平面，因此，
則即為二面角的平面角，其大小為，
在中，，則，
由 ，得四邊形為平行四邊形，則，
由 ，得（或其補角）為異面直線與所成角，
由（1）知平面，則為直角三角形，，
所以異面直線與所成角的正切值為.
變式7-2．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在三棱柱中，底面側面，，，．
(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成的角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用菱形的性質、面面垂直的性質、線面垂直的性質及判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，再在直角三角形中計算即得.
【詳解】（1）在三棱柱中，由，得四邊形是菱形，則，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，而平面，則，又，
因此，而平面,
所以平面.
（2）在平面內過點作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，則，
在平面內過作于，連接，又平面，
于是平面，而平面，則，從而是二面角的平面角，
由，得，由，得，，
則，顯然，，，
所以平面與平面所成的角的余弦值是.
變式7-3．（23-24高二上·海南?？凇るA段練習）如圖1，在梯形中，，，，.現將梯形沿對角線折成直二面角，如圖2.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再利用面面垂直的性質、線面垂直的性質判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，利用幾何法求出正切值即得.
【詳解】（1）在梯形中，由，得，
在中，，
則，有，即，由直二面角，
得平面平面，而平面平面，平面，
于是平面，而平面，則，又平面，
所以平面.
（2）取中點，過作于，連接，
由，得，又，則，
又平面平面，而平面平面，平面，則平面，
而平面，則，又平面，
于是平面，而平面，則，因此是二面角的平面角，
，在中，，
所以二面角的正切值是.
一、單選題
1．（22-23高一下·河南洛陽·階段練習）設l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
【答案】B
【分析】對于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯誤性，B選項可以直接證明其正確性.
【詳解】對于A，若，，，此時與可能相交，如下圖所示：

對于C與D，若，，，則與均可能發生，如下圖所示：


對于B，若，，則，
又因為，故.
故選：B.
2．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圖形，根據二面角的定義，結合正方體的線面關系判斷出待求二面角的平面角即可求解.
【詳解】如圖，由正方體的性質易知平面，平面，平面，
則，
而平面平面，
則為二面角的平面角，
又因為四邊形為正方形，
所以，即二面角的大小是.
故選：B.
3．（22-23高一下·陜西咸陽·階段練習）在四面體中，為正三角形，與平面不垂直，則下列說法正確的是（ ）
A．與可能垂直
B．在平面內的射影可能是
C．與不可能垂直
D．平面與平面不可能垂直
【答案】A
【分析】A選項只需滿足即可，選項與題干矛盾，C選項與A選項矛盾， D選項只需滿足平面即可.
【詳解】如圖所示：取的中點，連接，

假設，因為為等邊三角形，所以，
又因為，所以平面，所以
又因為是中點，所以，只需滿足，即可做到，故A正確C錯誤；
對于B：若在平面內的射影為，則有平面，與題干矛盾，故B錯誤；
對于D：過點可以做出一條直線，使得該直線垂直與平面，點只需在該直線上，
即滿足平面即可達到要求，故D錯誤.
故選：A
4．（23-24高二上·浙江寧波·期末）把正方形紙片沿對角線折成直二面角，為的中點，為的中點，是原正方形的中心，則折紙后的余弦值大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求的余弦值，需求,故要構造，分別求，易得可通過余弦定理求得即可.
【詳解】
如圖，連接,則,過點作,垂足為，連接.
因平面平面,且平面平面，平面，故得：平面，
又平面,則.設正方形的邊長為4，則,
在中，由余弦定理可得： ,
在中，,又,
設,在中，由余弦定理：.
故選：C.
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，在正方體中，點是的中點，則平面與底面所成角的正切值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由正方體的性質可得，，即可得到為平面與底面所成角的平面角，再由銳角三角函數計算可得.
【詳解】依題意平面，平面，
所以，，
所以為平面與底面所成角的平面角，
設正方體的棱長為，則，，
又，所以，
即平面與底面所成角的正切值為.
故選：B
6．（2024·北京平谷·模擬預測）一個邊長為10cm的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個容器側面與底面的夾角正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，結合正四棱錐的結構特征，求出正四棱錐的斜高及底面邊心距即可計算得解.
【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形邊長為6，斜高為，則底面正方形邊心距為，
于是正四棱錐的高為，
所以這個容器側面與底面的夾角正切值為.
故選：B
7．（2024高一下·全國·專題練習）在空間四邊形中，，那么必有（ ）
A．平面⊥平面
B．平面⊥平面
C．平面⊥平面
D．平面⊥平面
【答案】C
【分析】
由面面垂直的判定定理判斷．
【詳解】在空間四邊形中，,
又由,且面，平面，平面，
所以平面，
又因為平面,
所以平面⊥平面，
故選：C.
8．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點是邊長為1的正方體表面上的動點，若直線與平面所成的角大小為，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，分析可得點的軌跡，分別計算各段軌跡的長度即可.
【詳解】若點P在正方形內，過點P作平面于，連接.
則為直線與平面所成的角，則，
又，則，得，
則點的軌跡為以為圓心半徑為1的圓（落在正方形內的部分），
若點P在正方形內或內，軌跡分別為線段和，
因為點P不可能落在其他三個正方形內，所以點的軌跡如圖所示：
故點P的軌跡長度為.
故選：D
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）如圖（1），在矩形中，，是的中點，沿將折起，使點到達點的位置，并滿足，如圖（2），則（ ）

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABD
【分析】首先證明平面，即可判斷A、B，在平面圖形中取的中點，連接，交于點，即可得到，連接，即可得到為二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，從而得到平面平面，即可判斷C、D.
【詳解】因為，且，平面，所以平面．
又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正確．
如圖（1），取的中點，連接，交于點，則和均為等腰直角三角形，
所以，所以，即，
如圖（2），連接，因為，，所以為二面角的平面角．
設，則，在中，，為的中點，故．
所以，所以，
所以平面平面，則平面與平面不垂直，故C錯誤，D正確．
故選：ABD．

10．（23-24高一下·河南·期中）已知棱長為2的正方體中，動點在棱上，記平面截正方體所得的截面圖形為，平面與線段AD的交點為N，則（ ）
A．平面平面 B．不存在點，使得直線平面
C．直線，，交與同一點 D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】對于A選項，由面面垂直的證明可得；對于B選項，當位于時，直線平面；對于C選項，確定點，設與的交點為，與的交點為，利用相似比證明兩點重合即可；對于D選項，由正方體的展開圖，兩點之間線段最短可得.
【詳解】A選項，
因為面，面，所以，
因為，，所以，
因為，面，所以面，
因為面，所以平面平面，故A正確；
B選項，
當位于時，，因為面，面，所以面，故B錯誤；
C選項，
在過作，交于點即為平面與線段AD的交點，
因為 ，所以，
設與的交點為，如圖
因為，所以，
設與的交點為，如圖
因為，所以，
因為，所以，所以兩點重合，即直線，，交與同一點，故C正確；
D選項，將平面和平面展開，得到
當三點共線時，最小，
所以，故D正確；
故選：ACD.
11．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知正方體的棱長為2，棱、、分別是，，的中點，過、、三點作正方體的截面，是中點，則（ ）
A．截面多邊形的周長為 B．截面多邊形的面積為
C．截面多邊形存在外接圓 D．的正弦值為
【答案】ABD
【分析】根據題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據邊長關系能求出截面多邊形的周長和面積；判斷截面多邊形各邊長垂直平分線是否交于一點，即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據二面角定義和余弦定理求出截面所在平面所成角．
【詳解】正方體的棱長為2，過棱，，的中點作正方體的截面，
對A,連，延長交直線，的延長線于點，，
連交于，連交于，
連，得到截面五邊形，
由，為中點，則，，，
同理，又，，
因此周長為，故B正確．
對B,易知，，，，
又，
故，
截面多邊形的面積為，故B正確；
對C:與是公有一個項點的全等三角形，兩個三角形的外心不重合，
這個五邊形沒有外接圓，故C錯誤；
對D,，，，
，，，
根據二面角的定義得是截面與底面所成角，
，，
根據余弦定理得，，故D正確．
故選：ABD．
【點睛】關鍵點點睛:本題考查正方體的截面問題，關鍵是利用平面延展確定平面形狀，并結合對稱性確定跟各棱的交點位置并計算.
三、填空題
12．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在三棱錐中，若是的中點，則平面與平面的關系是 .
【答案】垂直
【分析】先證明平面，再由面面垂直的判定定理求解.
【詳解】因為是的中點，
所以由等腰三角形三線合一可知，
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
故答案為：垂直.
13．（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕折成四面體．當四面體中滿足平面平面時，則
（1）；
（2）平面平面；
（3）為等腰直角三角形
以上結論中正確的是 （填寫你認為正確的結論序號）．
【答案】（1）（2）
【分析】通過面面垂直的性質可判斷（1），通過證明面可判斷（2），通過證明可判斷（3）.
【詳解】AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，則，
又平移后平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，（1）正確；
由已知，且面，
所以面，又面，
所以平面平面，（2）正確；
由平面，且平面，
所以，
所以，由，
所以，
所以為等邊三角形，（3）錯誤.
故答案為：（1）（2）.
14．（22-23高一下·重慶·期末）在四面體中，平面于點，點到平面的距離為，點為的重心，二面角的大小為，則 ．
【答案】.
【分析】綜合應用立體幾何中線線垂直、線面垂直、點到平面距離、二面角等知識即可解決問題.
【詳解】設，連結，因為平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以為中點，又點為的重心，故在上，過作于，由到平面的距離為，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得， ，所以，
故答案為：.

四、解答題
15．（23-24高二下·江西景德鎮·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的菱形，是的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)60°
【分析】（1）連接，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）由（1）可知，平面，進而可得是二面角的平面角．解即可得到二面角的大?。?br/>【詳解】（1）如圖，連接，由是菱形且知，△BCD是等邊三角形．
因為 是的中點，所以,
因為，所以 ．
因為 平面，所以 ．
因為 , 平面,
所以平面．
又平面，所以 平面平面．

（2）由（1）可知 平面，所以，
又，所以 為二面角的平面角,
在中，，，，所以．
所以 二面角的平面角為．
16．（23-24高一下·安徽六安·期中）已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求直線和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）添加輔助線構成平行四邊形按線面平行的判定定理證明即可；
（2）由題意先證明平面，再證明平面平面，即由線面垂直證明面面垂直；
（3）添加輔助線，依題意找出為和平面所成的角，結合圖形求出即可.
【詳解】（1）

證明：如圖取的中點，連接、.為的中點，
且，
由平面，平面，
，.
又，，
四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面.
（2）證明：為等邊三角形，為的中點，
.平面，平面，，
，所以，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面.
（3）

如圖：在平面內，過作于點，連接，
平面平面，平面平面，平面，
平面.為和平面所成的角，
因為，，
則，，
在中，，
直線和平面所成角的正弦值為.
17．（23-24高一下·湖南長沙·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，于點．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可證明出平面平面；
（2）先根據條件作出二面角的平面角，假設邊長后利用即可求出結果.
【詳解】（1）證明：由條件有，
且平面，，
平面，又平面，；
又，是的中點，；
又平面，，
平面，平面，．
由已知，且平面，，
平面．又平面，
平面平面．
（2）取中點，則，作于，連結．
底面，底面．
為在平面內的射影，
，，
為二面角的平面角．
設，
在中，，，
；
二面角的正切值為．
.
18．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.
(1)若點是的中點，
（i）求證：平面；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在一點，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
(2)存在，
【詳解】（1）
（?。┰O矩形的中心為，則是的中點，而是的中點，所以.
而是矩形的中心，故也是的中點，所以在平面內，又因為不在平面內，所以平面；
（ii）由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內，故平面.
所以直線與平面所成角的正弦值等于.
下面證明一個結論：在中，若的長分別為，則邊上的中線長為.
證明：設為的中點，，則由余弦定理，結合得
.
所以，即，故.
回到原題.
由于平面，而在平面內，故，.
從而，這得到，.
而，故根據之前證明的結論，我們有，，從而.
這表明，所以直線與平面所成角的正弦值等于.
（2）在平面內過作，交于，在平面內過作，交于.
由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內，故平面. 而在平面內，故.
又因為，在平面內交于，故平面.
由平面，在平面內，知.
由，，且在上，知二面角等于.
從而條件即為，即，即.
設，則，故，.
同時，.
故條件即為，即.
解得，所以.
綜上，存在滿足條件的點，.
19．（23-24高一下·廣東茂名·期中）如圖，在三棱柱中，側面為矩形．
(1)設為中點，點在線段上，且，求證：平面；
(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于，連接，由題可得，然后利用線面平行的判定定理即得；
（2）在平面中，過點C作射線，可得為二面角的平面角，過點作，可得平面，則即為直線和平面所成的角，利用銳角三角函數計算可得.
【詳解】（1）連接交于，連接，
因為側面為矩形，
所以，又為中點，
所以，
又因為，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，過點作射線，
因為底面為矩形，所以，
所以為二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，過點作，垂足為，連接，
因為平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
則即為直線和平面所成的角，
于是為點到平面的距離，且，
設直線和平面所成角為，又，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
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