資源簡介

6.5.1直線與平面垂直
課程標準 學(xué)習(xí)目標
1、了解直線與平面垂直的定義 2、理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線與平面垂直 3、理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面角問題 4、能利用直線與平面垂直的判定定理進行證明. 1、了解直線與平面垂直的定義。 2、掌握直線和平面垂直的判定方法 3、掌握直線和平面垂直的性質(zhì)，如相交直線垂直、角平分線垂直、垂線段定理等
知識點01 直線與平面垂直的定義
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關(guān)概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
【即學(xué)即練1】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
B．如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
C．如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
D．如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
【答案】CD
【詳解】A中兩條直線一定要是兩相交直線，如果是兩平行直線，結(jié)論不成立；B中的無數(shù)條直線如果是平行直線，結(jié)論也不成立；只有C與D才成立．
【考查意圖】
線面垂直的定義和判定
知識點02 直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言
注意：線面垂直判定定理的推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．符號語言：a∥b，__a⊥α______ b⊥α，
【即學(xué)即練2】（2022高三下·廣東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定定理可證；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)可知，然后由矩形性質(zhì)和線面垂直的判定定理可證.
【詳解】（1）因為M，N分別是PA，PB的中點,
所以.
又因為平面ABCD，
平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因為四邊形ABCD是矩形，
所以.
又，平面PAD，
所以平面PAD.
知識點03 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1、線面垂直的性質(zhì)
（1）如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線這個平面. 也垂直于這個平面
（2）過空間中一點，有且只有一條直線與已知平面垂直.
2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行 ②作平行線
3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理推論：
一條直線垂直于一個平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．
符號語言：a⊥α，__b α___ a⊥b，
如圖：
【即學(xué)即練3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，，垂足分別為.求證：．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理分別證明平面和平面，即可證明結(jié)論.
【詳解】證明：∵，，∴，
同理，
∵平面，
∴平面，
又∵，，∴，
∵，平面，
∴平面，
∴.
知識點04 直線與平面所成的角
1、直線與平面所成角定義：平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。
2、由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為具體操作方法：
①在直線 上任取一點A（通常都是取特殊點），向平面α引（通常都是找+證明）垂線A0；②連接斜足與垂足MO；
③則斜線與射影MO所成的角△AMO，就是直線與平面所成角.
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·上?！るA段練習(xí)）在正方體中，與平面所成角的大小為 .
【答案】
【分析】找到即為與平面所成角，求出大小.
【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，
因為，所以，
故與平面所成角為.
故答案為：
【題型一：線面垂直概念辨析】
例1.（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】ABD可舉出反例；C選項，利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)得到答案.
【詳解】A選項，若，，則或相交或異面，A錯誤；
B選項，若，，則或，B錯誤；
C選項，若，不妨設(shè)，則，
又，，則，所以，C正確；
D選項，若，，則，或相交，D錯誤.
故選：C
變式1-1.（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則或
【答案】C
【分析】借助于模型，完成線面關(guān)系的推理可得C項正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結(jié)論，進行對A,B,D選項的排除.
【詳解】對于A，由，，設(shè)，當時，可得，故A錯誤；
對于B，由，可得或，故B錯誤；
對于C，如圖，設(shè)，，在平面作不與重合的直線，使，
因，則，因，，則，因，則，于是，故C正確；
對于D，當，，時，若且，
則可以和平面成任意角度，故D錯誤.
故選：C.
變式1-2.（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知表示兩條不同直線，表示平面，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系一一判定選項即可.
【詳解】對于A，若，則可能相交、平行或異面，故A錯誤；
對于B，若，則可能平行，或相交，或垂直，故B錯誤；
對于C，若，則可能在中，也可能，故C錯誤；
對于D，由線面垂直的性質(zhì)定理可知D正確.
故選：D
變式1-3.(多選)（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知為兩個平面，且是兩條不重合的直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．對任意，存在，使得
D．對任意，存在，使得
【答案】BC
【分析】根據(jù)線面垂直與平行的性質(zhì)與判斷逐個選項判斷即可.
【詳解】對A，只有當時，才能存在，使得，故A錯誤；
對B，當時，結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得，故B正確；
對C，若則原命題成立；若兩平面不垂直，則對任意，設(shè)，使得為在平面上的射影，存在，使得，此時，故C正確；
對D，當時，在平面上不存在直線使得，故D錯誤.
故選：BC
【方法技巧與總結(jié)】
理解線面垂直的判定定理注意以下幾點:
(1)定理可表述為"線線垂直,則線面垂直"
(2)"兩條相交直線"是關(guān)鍵詞,一定不要忽視這個條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯誤,即"線不在多,相交就行"
(3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點無關(guān)緊要.
(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用。
【題型二：線面垂直的判定定理】
例2.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面分別是棱的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由平面，證得，再設(shè)，結(jié)合，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平而；
（2）求得，得到，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，
因為分別是棱的中點，且，
所以，且，
由，可得，且，
可得，
所以，所以，
因為，且平面，所以平而.
（2）解：因為，
且，
所以，所以，
設(shè)點到平面的距離為，則，
即，解得，
即點到平面的距離為.
變式2-1.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，已知，的直徑，點C在上，且，點D為的中點．證明：平面
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)圓中直徑所對圓周角為直角可得，由三角形中位線的性質(zhì)可得 ，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)果.
【詳解】證明：連接，則，因為點D為的中點，所以，
因為為的直徑，所以，所以，
因為為的中點，D為的中點，所以 ，所以，
因為，平面，
所以平面.
變式2-2.（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，在直三棱柱中，點在棱上，點為的中點，且平面平面，，，.
(1)求證：是的中點；
(2)求證：平面；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）添加輔助線，由平面平面，得到，由為的中點，所以是的中點；
（2）由題意證明出平面，進而證出，由且得出，最后由線面垂直的判定定理證明出結(jié)論即可.
【詳解】（1）
證明：如圖連接，與交于點，為的中點，連接，
因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又在中，為的中點，所以是的中點.
（2）因為底面，平面，所以，
又為棱的中點，，所以
因為，、平面，所以平面，
平面，所以，
因為，所以，又，
在和中，，
所以，
即，所以，
又，、平面，所以平面.
變式2-3.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，菱形所在的平面，，E是的中點，M是的中點．
(1)求證：平面；
(2)若，求點P到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過證明和，得證平面；
（2）由，由體積法求點P到平面AMC的距離．
【詳解】（1）證明：因為底面為菱形，，所以為正三角形，
因為E是BC的中點，所以，因為，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，平面，
所以平面.
（2）因為，則，，
所以，
設(shè)點P到平面AMC的距離為h，即
易知
所以在和中，由余弦定理得，
所以，
在中， ，，
所以，
所以，所以，
即點P到平面AMC的距離為.
【方法技巧與總結(jié)】
證明線面垂直的關(guān)鍵是分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線垂直的方法.
【題型三：線面垂直證明線線平行】
例3.（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點，且，．
求證：；
【答案】證明見解析
【分析】利用線面垂直的判定定理，證明均與平面垂直，進而證明；
【詳解】證明：如圖，連接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
變式3-1.（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【答案】證明見解析
【分析】在中，求得，結(jié)合勾股定理證得，，從而證得平面，再在和中，分別證得和，從而證得平面，即可證得.
【詳解】證明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因為，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，則，
因為，平面，所以平面，
所以.
變式3-2.（2023高三·全國·專題練習(xí)）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面
【答案】證明見解析
【分析】連接，，，可證明四邊形為平行四邊形，得到，再通過線面平行的判定定理即可證明
【詳解】證明：連接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面
變式3-3.（2022高一·全國·專題練習(xí)）在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理將問題轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD，再轉(zhuǎn)化為AE⊥DC，然后再轉(zhuǎn)化為CD⊥平面PAD，最后結(jié)合已知可證.
【詳解】證明：因為PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因為PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC．
因為AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因為l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
【方法技巧與總結(jié)】
直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法。
【題型四：線面垂直證明線線垂直】
例4.（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在直三棱柱中，，分別為線段，上的點，且平面．
(1)求證：；
(2)當為的中點，時，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面即可證明，又因為，再由平行的傳遞性即可得證；
（2）由題意易證明為的中點，從而可證，再利用直棱柱性質(zhì)可證明，所以可證明平面，問題即可得證.
【詳解】（1）
因為平面，平面，平面平面，
所以，
又在直三棱柱中，，
所以．
（2）因為為的中點，且由（1）問可知，
所以為的中點，
又，所以，
因為三棱柱是直棱柱，
所以平面．
又因為平面，所以．
因為平面，平面，，
所以平面，
因為平面，所以．
變式4-1.（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點．求證：
(1)平面PBC；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點，連結(jié)，證明四邊形是平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）連結(jié)，證明平面PDN，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.
【詳解】（1）如圖，取的中點，連結(jié)，
因為M是PD的中點，
所以，，
又，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
（2）連結(jié)，
因為，N是BC的中點，
所以，
在中，，，，
所以，
由條件，所以，
又N是BC的中點，所以，
因為DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因為平面PDN，所以．
變式4-2.（23-24高一下·云南昆明·期中）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，側(cè)面為正方形，求證：
(1) 平面；
(2).
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）連接交于點，易證明 ，問題得證；
（2）先利用直棱柱去證明平面，再利用正方形去證明，最后證明平面，問題即可得證.
【詳解】（1）
證明：連接交于點，連接，因為側(cè)面是矩形，
所以是的中點，又因為為的中點，所以 ，
又因為面面，
所以 平面.
（2）證明：因為側(cè)面為正方形，分別為的中點，
所以，所以，
又因為，所以，即，
因為為的中點，所以，
又因為直三棱柱，所以平面，又面，
所以，又因為，所以平面，
又面，所以，
又因為，所以平面，
又因為面，所以.
變式4-3.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正方體被平面截后所得的幾何體如圖所示，點E，F(xiàn)分別是棱的中點，且為的重心．
(1)證明:點在平面內(nèi)；
(2)證明:.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）借助兩平行線共面證明即可得；
（2）借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理計算即可得.
【詳解】（1）連接點與中點，連接，
由為中點，四邊形為正方形，故，
由為中點，結(jié)合正方體的性質(zhì)可得，
故，故、、、四點共面，
故點在平面內(nèi)；
（2）連接點與中點，由，，故，
故，且點在線段上，
由點E，F(xiàn)分別是棱的中點，
結(jié)合正方體的性質(zhì)可得，又，
故，又，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故.
【方法技巧與總結(jié)】
性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)。
【題型五：動點探索問題】
例5.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE將折起到的位置．連接，，M，N分別為，BE的中點，如圖②．
(1)求證：．
(2)求證：平面．
(3)在棱上是否存在一點G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)折疊過程中AE與DE垂直不變，DE與BE垂直不變，可以推出，，從而平面，即可證明．
（2）通過作輔助線，利用中位線證明線線平行，進而得到平面平面MNH，然后利用面面平行的性質(zhì)可得
（3）因為平面，即BC垂直平面內(nèi)任一直線，那么只要在平面內(nèi)找到一條過點E，且垂直的直線，則這條直線與的交點就是點G，然后利用線面垂直的判定證明即可
【詳解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE將折起到的位置，
∴，．
∵，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）取CD中點H，連接NH，MH，如圖．
∵M，N分別為，BE的中點，
∴，．
因為，平面，平面，
所以平面，
因為，平面，平面，
所以平面，
又，NH，平面MNH，平面，平面，
∴平面平面MNH，又平面MNH
∴平面．
（3）取的中點G，連接EG，如圖．
在直角梯形ABCD中，，，
所以，又，所以DCBE是矩形，所以，
因為，所以即是折后的，
∴，
由（1）知平面，
又∵，∴平面，
又平面，∴，
又，平面，∴平面．
故棱上存在中點G，使得平面，且此時．
變式5-1.（20-21高一上·河南許昌·期末）如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.

(1)若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；
(2)在（1）的條件下，問在棱上是否存在一點，使側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，是的等分點，靠近點的位置
【分析】
（1）取中點，連接、，由正四棱錐的性質(zhì)知為所求二面角的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角，設(shè)，求出的值，即可得解；
（2）延長交于，取的中點，連接、，易得平面，可得平面平面，分析出為正三角形，易證平面，取的中點，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）
連接、，
所以，為異面直線與所成的角.
平面，平面，則，
，，平面，
又平面，.
側(cè)棱與底面所成的角的正切值為，即，
設(shè)底面邊長為，則，所以，
，所以，.
（2）
延長交于，則為的中點，取的中點，連接、.
因為，為的中點，則，同理可得，
，故平面，
平面，平面平面，
又，，
所以，為正三角形，為的中點，則，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
取的中點，連接，

、分別為、的中點，則且，
因為且，、分別為、的中點，則且，
為的中點，則且，故且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，故平面.
因此，是的等分點，靠近點的位置.
變式5-2.（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點．在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】存在，
【分析】由勾股定理求出的長，證明，通過余弦定理和勾股定理證明，又，可得平面.
【詳解】存在點，使得平面，此時，證明如下：

連接，為中點，連接，
直角梯形中，，，，，
則，，四邊形為平行四邊形，有，則，
所以，
又底面，底面，則，
則，，
則，得，
又，，，
由余弦定理得，，
則，，
又，是的中點，則，
，平面，則平面，
故存在點，使得平面，此時．
變式5-3.（22-23高一下·湖南永州·期末）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，E是PA的中點．

(1)求證：平面；
(2)若，線段PC上是否存在一點F，使平面？若存在，求出PF的長度；若不存在，請說明理由．（用坐標法解答不給分）
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，通過中點，構(gòu)造中位線，即可證明；
（2）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明，，即可說明存在點，再根據(jù)等面積法求PF的長度.
【詳解】（1）證明：連接交于點，連接OE

四邊形是正方形，
點是的中點
又點是的中點，

平面，平面
平面
（2）存在
理由如下：
過點A作AF⊥PC，垂足為點F，由（1）可知

平面，平面

四邊形為正方形
又 平面，平面，
平面
又 平面ACP

又 平面，平面BDE，，
平面
，， ，
在中，由等面積法可得

存在點F，使得平面，
【題型六：線面垂直判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用】
例6.（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，是異面直線， B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直
【答案】A
【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．
【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．
下面證明與垂直：
證明：因為平面，平面，
所以，
因為，分別為的中點，連接，
所以，
因為，平面，
所以平面，
如圖：取的中點，連接，，
因為平面，所以，
又因為，所以，
因為，
所以，
又因為為的中點，所以，
因為，平面，
所以平面，
又因為平面，所以．
故選：A．
變式6-1.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點，Q為線段（包括端點）上一點，則的面積的最大值為（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，確定的最大值，即可求解△BCQ面積的最大值.
【詳解】取AB的中點E，連接CE，過Q作，垂足為M，
過M作，垂足為N，連接QN，PE，

則，且，點E到BC的距離為.
由直三棱柱的性質(zhì)知平面ABC，
所以平面ABC，MN，平面ABC，
則，，且，QM，平面QMN，
所以平面QMN，且平面QMN，
則，可知，
當且僅當點Q與點P重合時，等號成立，
所以面積的最大值為.
故選：A.
變式6-2.（2024·四川眉山·三模）如圖，該組合體由一個正四棱柱和一個正四棱錐組合而成，已知，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】C
【分析】借助線面平行的判斷定理可得平面，即可得A錯誤，同理可得B錯誤；借助線面垂直的判定定理可得平面，又，即可得C正確、D錯誤.
【詳解】對A、B：如圖，因為，
在平面中有，
所以平面不平行于平面，故A錯誤；
同理不平行于平面，故B錯誤；
對C、D：，，
有，所以，
又，,,平面，
所以平面，又因為平面，
所以，又，、平面，
所以平面，故C正確；
又因為，且過一點有且僅有一條直線與平面垂直，
所以不垂直于平面，故D錯誤.
故選：C.
變式6-3.（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（ ）
A．該截面多邊形是四邊形
B．該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點
C．平面
D．平面平面
【答案】B
【分析】將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，可判斷A；利用相似比可得，可判斷B；證明平面即可判斷C；通過證明平面，可判斷D.
【詳解】對于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，
連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；
對于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，
所以，即，點是棱的一個三等分點，B正確；
對于C，因為平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因為平面，所以，同理可證，
因為平面，所以平面，
因為平面與平面相交，所以與平面不垂直，C錯誤；
對于D，易知，所以，
又 ，所以平面，
結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯誤.
故選：B．
【題型七：直線與平面所成的角】
例7.（2024·四川雅安·三模）如圖，在正方體中，已知點為底面的中心，為棱的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A． 平面
B．平面
C．異面直線與所成的角等于
D．直線與平面所成的角等于
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形即可得線線平行，進而可判斷A，根據(jù)，即可判斷B,根據(jù)異面直線的夾角即可求解C，根據(jù)線面角的幾何法即可求解D.
【詳解】對于A，連接，，交于，則四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；
對于B，連接，為底面的中心，為棱的中點，，
由于平面，平面，所以，
又,且都在面內(nèi)，則平面，
有平面，故，同理可得，
再由平面,平面，則平面，B正確；
對于C，，為異面直線與所成的角所成的角，
△為等邊三角形，，故C正確；
對于D，因為平面， 為直線與平面所成的角，
由于，故不等于，故D不正確
故選：D

變式7-1.（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
連接，證明平面，則即為直線與平面所成角的平面角，即可得解.
【詳解】連接，則，
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以即為直線與平面所成角的平面角，
在等腰直角三角形中，，
所以直線與平面所成的角為.
故選：B.
變式7-2.(多選)（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，為的中點.下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線是異面直線
B．在直線上存在點，使平面
C．直線與平面所成角是
D．點到平面的距離是
【答案】BD
【分析】證明與在平面上，可以判斷A；連接，，取的中點，連接，證明平面可判斷B；連接交于點，連接，由平面，有平面，可判斷C和D.
【詳解】
對于A，正方體， ，，
四邊形是平行四邊形， 四點共面，
由圖可知直線與直線都在平面中，
直線與直線不可能是異面直線，故A錯誤；
對于B，連接，，取的中點，連接，
又為的中點，則，
正方體， ，，
四邊形是平行四邊形， ，
，所以，
正方體， 平面，又平面，
，且，平面，
得平面，則平面，故B正確；
對于C，連接交于點，連接，
由平面，有平面，
則即為直線與平面所成的角，
正方體的棱長為1，所以，
，則，故C錯誤；
對于D， 由平面知，即為點到平面的距離，，故D正確.
故選：BD.
變式7-3.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）線段AB的長等于它在平面內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面所成的角為 .
【答案】
【分析】根據(jù)線面角的定義得到是AB所在直線與平面所成的角，然后在中可求出結(jié)果
【詳解】如圖，，則BC是AB在平面內(nèi)的射影，
則，為AB所在直線與平面所成的角．
在中，，
∴，即AB所在直線與平面所成的角為.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·福建寧德·三模）設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】借助空間中線與面的位置關(guān)系及線面垂直的性質(zhì)定理逐項判斷即可得.
【詳解】對A：若，則可能平行、相交或異面，故A錯誤；
對B：若，則可能，也可能，故B錯誤；
對C：若，則可能與相交，也可能，故C錯誤；
對D：若，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，故D正確.
故選：D.
2．（2024·河北邯鄲·二模）已知是兩個平面，是兩條直線，且，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】用平面代表平面，平面代表平面，
當如圖所示時顯然m與平面不垂直，
反之，當時，又，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：A.
3．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，為的中點，為線段上的動點，則當時，的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合勾股定理計算即可求解.
【詳解】如圖，連接，，，，
當且僅當平面時，，證明如下：
因為平面，由平面，得，
又，平面，
所以平面，由平面，得，
同理：，
又平面，所以平面，
先證充分性：當平面時，則，此時；
再證必要性，當時，
因為，平面，
所以平面，
又平面平面，所以平面與平面是同一個平面，
所以平面，此時；
由，得，
所以，故.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于判斷得當時，點的位置，從而得解.
4．（2024·云南曲靖·二模）在三棱錐中，兩兩垂直，，則直線與平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中點，作交于點，由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得就是直線與平面所成角，在中計算可得答案.
【詳解】如圖所示，取的中點為，連接，作交于點，
因為，且，平面，
所以平面，平面，所以，
因為，點為的中點，所以，
因為，平面，
所以平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以就是直線與平面所成角，
因為，
所以.
故選：D.
5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，分別是的中點，當點在線段上運動時，下列四個結(jié)論：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的為（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
【答案】A
【分析】連接，證得平面平面，得到平面，設(shè)與交于點，證得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；對于線段MN上的任意一點P時，②④不一定成立，即可求解.
【詳解】如圖所示，連接，
因為分別是的中點，所以，
又因為，且平面，平面，
所以平面平面，
因為平面，平面，所以③恒成立；
設(shè)與交于點，則為底面正方形的中心，且，
由正四棱錐，可得平面，
因為平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
所以平面，因為平面，所以，所以①恒成立；
對于②④對于線段MN上的任意一點P不一定成立.
故選：A.
6．（23-24高一下·廣東河源·期中）在正三棱錐中，頂點在底面的射影為點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正三棱錐的性質(zhì)，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高.
【詳解】正三棱錐中，點在平面的射影是點，即為等邊的中心，
已知，可得，
由底面，底面，可得，
則由勾股定理可得高.
故選：D.
7．（23-24高一下·北京·期中）已知點P在棱長為2的正方體表面運動，且，則線段AP的長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出正方體的對角線的中垂面截正方體所得截面多邊形，再分段求出的長范圍作答．
【詳解】點在棱長為2的正方體表面運動，且，
則點的軌跡是線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，
分別取棱，，，，，的中點，，，，，，
則，
因此四邊形均為棱長為的菱形，所以
平面，
因此點，，，，，在線段的中垂面上，點的軌跡是六邊形，如圖，
當點在線段上時，若點為線段中點，有，
于是點為線段上任意一點，，
當點在線段上時，為鈍角，
則，即，
當點在線段上時，，
為鈍角，則，即，
當點在線段上時，由，
邊上的高為，此時，
由對稱性知，當點在折線上時，，
所以線段的長的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
8．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，點為正方形的中心，平面，，是線段的中點，則（ ）
A．，且直線是相交直線 B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線 D．，且直線是異面直線
【答案】A
【分析】連接，利用正方形中心的性質(zhì)易得N為中點，所以易證明四點共面，再利用已知的空間關(guān)系就可以得證相等關(guān)系.
【詳解】如圖所示：連接，點為正方形的中心，
則經(jīng)過點，且點為中點，又因為是線段的中點，
所以在中，，所以四點共面，即直線是相交直線；
因為平面，平面，所以，
又因為，所以，
又在正方形中可得：，所以，
同理可證，所以是正三角形，即，
故選：A．
二、多選題
9．（23-24高一下·江蘇南通·期中）在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點，則下列正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．多面體是棱臺
D．平面截正方體所得截面的面積為
【答案】AC
【分析】由線面平行即可判斷A；由線面垂直即可判斷B；由棱臺的定義即可判斷C；由平面截正方體所得截面的作圖即可判斷D．
【詳解】對于A，取中點，連接，
由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，
因為點為的中點，所以，又，
所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，
因為平面，平面，所以平面，故A正確；
對于B，取中點，連接，則，所以，
所以，所以，
由正方體得，平面，又平面，
所以，
因為，，平面，，
所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯誤；
對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；
對于D，設(shè)直線與直線交于點，連接與交于點，與直線交于點，連接交于點，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，
因為，所以，，
因為，所以，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，，
所以，所以，
所以，
因為，，
所以，故D錯誤；
故選：AC．
10．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．異面直線與所成角為60°
D．平面截正方體所得截面為等腰梯形
【答案】ACD
【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結(jié)合線面平行判定定理即可判斷A；對于B，取中點，連接，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)線段長度結(jié)合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對于C，連接，根據(jù)正方體的面對角線性質(zhì)，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計算其四邊長度與位置關(guān)系，即可判斷D.
【詳解】對于A，如圖，連接，因為，分別為棱和的中點，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正確；
對于B，如圖，取中點，連接，
在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又分別為，中點，則，故，
設(shè)正方體棱長為，則，
故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯誤；
對于C，如圖，連接，
在正方體中，，即為正三角形，
又因為，分別為棱和的中點，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；
對于D，如圖，連接，
在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，
則，又，所以，所以四點共面，
故平面截正方體所得截面為四邊形，
設(shè)正方體棱長為，則，
所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.
故選：ACD.
11．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，如果菱形所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是（　?。?br/>A． B．與異面
C．與相交 D．
【答案】BD
【分析】由異面直線的判定方法可知A選項錯誤，B選項正確，C選項錯誤，而D選項，則需要由已知的線面垂直證明線線垂直，再由菱形的對角線垂直，去證明線面垂直，最后問題可得證.
【詳解】
因為平面，平面，，
所以可知MA與BD異面，即A選項錯誤，B選項正確，C選項錯誤；
連接AC，因為四邊形為菱形，所以.
又因為平面，平面，所以.
又因為平面，平面，所以平面.
又因為平面，所以，即D選項正確，
故選：BD.
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，在棱長為的正方體中，點是平面內(nèi)的動點，滿足，則直線與平面所成角正切值的最大值為 .

【答案】
【分析】在正方體上“堆疊”一個與之全等的正方體，連接、，設(shè)在平面的射影為，連接，則即為直線與平面所成角，在平面上的射影為，求出點的軌跡，再結(jié)合平面幾何的性質(zhì)即可得解．
【詳解】如圖所示，
在正方體上“堆疊”一個與之全等的正方體，
連接、，易知四邊形是菱形，
設(shè)在平面的射影為，
由正三棱錐可知，點是△的外心，
，則，
由，得，
所以，再結(jié)合，得，
從而的軌跡是（平面上）以為圓心，為半徑的圓，記為圓，
同理，在平面（即平面上的射影為的外心，
連接，則在平面上的射影為，
進而即為直線與平面所成角，記，
則，其中為定值，
而對于，由圓的幾何知識可知，當運動到線段且與圓相交時，
取得最小值，記相交于Q,易知，
則，
此時取得最大值為．
故答案為：．

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查空間中點的軌跡及線面角，關(guān)鍵是確定在平面上的軌跡為圓.
13．（23-24高一下·湖南長沙·期中）在棱長為1的正方體中，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一個動點，且平面，則線段的長的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】證明平面平面，得點的軌跡，由此可得的最大值為的長，最小值為到平面的距離，求出距離后可得．
【詳解】連接，正方體中由與平行且相等得是平行四邊形，從而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，則平面，
所以動點的軌跡形成的區(qū)域為的邊界及內(nèi)部，的最大值為即的長，
的最小值為到平面的距離，
連接交于點，連接交于點，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因為，平面，所以平面，
同理可證，所以，從而，
故線段的長的取值范圍是．
故答案為：．
14．（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，在邊長為4的正方體中，為的中點，點在正方體的表面上移動，且滿足，當在上時， .設(shè)點和滿足條件的所有點構(gòu)成的平面圖形為，則直線與平面所成角正弦值的取值范圍是 .
【答案】 6
【分析】取的中點分別為，連結(jié)，再證明平面可得點的運動軌跡為梯形，計算當在上時的值以及當在上時的值，求出與平面夾角的正弦值的范圍.
【詳解】取的中點分別為，連結(jié)，
由于，所以四點共面，且四邊形為梯形，
連接，在正方體中， ，，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，所以
所以故，又，
又平面，所以平面，
又平面，所以
又平面，所以平面，
因為點在正方體表面上移動，所以點的運動軌跡為梯形，
如圖所示：因為正方體的邊長為，
所以當點在上時，點為的中點，，
在中，,，
所以，由，設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
而到平面的邊的距離最小值為，最大值為.
設(shè)與平面夾角為，則當?shù)狡矫娴倪叺木嚯x最小值為，
此時線面角的最大值為，
當?shù)狡矫娴倪叺木嚯x最大值為，
此時線面角的最小值為，即.
所以與平面夾角的正弦值范圍為.
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高一下·寧夏石嘴山·期中）如圖，在三棱柱中，平面，是的中點，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與的所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造線線平行，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，再根據(jù)幾何關(guān)系判斷位置關(guān)系已經(jīng)邊長，即可求解.
【詳解】（1）證明：連接交于點M，連接MD，
MD為的中位線，故，
平面，不在平面內(nèi)，
所以平面．
（2）因為平面ABC，D是BC的中點，，，
所以，△ABC為直角三角形，
所以，
因為平面ABC，AC，平面ABC，
所以，，
所以，，
在中，，，，
直線與所成的角為與所成的角，即為，
，.
所以直線與的所成角的余弦值為.
16．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，且，是的中點．

(1)求證：；
(2)求直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，由已知得出，則，即可證明；
（2）把三棱柱補為一個底面為正方形的四棱柱，得出四邊形為平行四邊形，則，即可求出直線與所成角的余弦值．
【詳解】（1）如圖所示，連接，
因為在和中，，且，
所以，，
則，所以，又是的中點，所以，
又，
所以．
（2）設(shè)，
因為，，所以，
在中，由余弦定理，得，
因為，
所以把三棱柱補為一個底面為正方形的四棱柱，
連接．
因為，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，則就是異面直線與所成的角，
在正方形ABDC中，，則，
所以，所以，
所以在中， ．
.
17．（2024·山東·二模）已知三棱錐中，平面，過點分別作平行于平面的直線交于點．
(1)求證：平面；
(2)若為的中點，，求直線與平面所成角的正切值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面平行的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）連接，由線面角的定義，結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.
【詳解】（1）由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）連接，由平面平面，得，
則是直線在平面內(nèi)的射影，是直線與平面所成的角，
在中，，則，
由點是的中點，得，在中，，
所以直線與平面所成角的正切值是．
18．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面， ，分別為的中點.
(1)求證：平面；
(2)設(shè)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，取的中點，證得，結(jié)合，得到，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）不妨設(shè)，由是的中點，證得，再由，證得平面，設(shè)交于點，過點作，得到為與平面所成的角，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為平面，且平面，所以，
因為，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以，
取的中點，連接，如圖所示，
因為為的中點，所以，
再由為的中位線，可得，所以，
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，
又因為平面，所以，
連接，因為，則，
所以，所以為等腰三角形，所以，
因為且平面，所以平面.
（2）解：不妨設(shè)，則，
因為，可得，
所以為等腰直角三角形，且,
又因為是的中點，所以，且，
因為，且，平面，所以平面，
設(shè)交于點，過點作交于點，則平面，
連接，所以為與平面所成的角，
由，可得，
所以，
又由，可得，
所以，即與平面所成角的正弦值為.
19．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點，證明：；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，證明出線面垂直，得到；
（2）證明出⊥平面，求出，根據(jù)等體積法求解點到平面的距離.
【詳解】（1）取中點，連接，
為等邊三角形，，
四邊形為正方形，，
，
又平面，
∴⊥平面，
∴

（2）連接，
因為平面⊥底面，平面底面 ，⊥，
所以⊥平面，
因為四邊形為正方形，所以⊥，且，
故，
因為，，所以，
由勾股定理得，
設(shè)到平面的距離為，
，
即，
解得.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)6.5.1直線與平面垂直
課程標準 學(xué)習(xí)目標
1、了解直線與平面垂直的定義 2、理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線與平面垂直 3、理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面角問題 4、能利用直線與平面垂直的判定定理進行證明. 1、了解直線與平面垂直的定義。 2、掌握直線和平面垂直的判定方法 3、掌握直線和平面垂直的性質(zhì)，如相交直線垂直、角平分線垂直、垂線段定理等
知識點01 直線與平面垂直的定義
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關(guān)概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
【即學(xué)即練1】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)下列命題正確的是（ ）
A．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
B．如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
C．如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
D．如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
知識點02 直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言
注意：線面垂直判定定理的推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．符號語言：a∥b，__a⊥α______ b⊥α，
【即學(xué)即練2】（2022高三下·廣東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
知識點03 直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1、線面垂直的性質(zhì)
（1）如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線這個平面. 也垂直于這個平面
（2）過空間中一點，有且只有一條直線與已知平面垂直.
2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行 ②作平行線
3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理推論：
一條直線垂直于一個平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．
符號語言：a⊥α，__b α___ a⊥b，
如圖：
【即學(xué)即練3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，，垂足分別為.求證：．
知識點04 直線與平面所成的角
1、直線與平面所成角定義：平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。
2、由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為具體操作方法：
①在直線 上任取一點A（通常都是取特殊點），向平面α引（通常都是找+證明）垂線A0；②連接斜足與垂足MO；
③則斜線與射影MO所成的角△AMO，就是直線與平面所成角.
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·上?！るA段練習(xí)）在正方體中，與平面所成角的大小為 .
【題型一：線面垂直概念辨析】
例1.（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知空間3條不同的直線m，n，l和平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
變式1-1.（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則或
變式1-2.（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知表示兩條不同直線，表示平面，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
變式1-3.(多選)（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知為兩個平面，且是兩條不重合的直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．對任意，存在，使得
D．對任意，存在，使得
【方法技巧與總結(jié)】
理解線面垂直的判定定理注意以下幾點:
(1)定理可表述為"線線垂直,則線面垂直"
(2)"兩條相交直線"是關(guān)鍵詞,一定不要忽視這個條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯誤,即"線不在多,相交就行"
(3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點無關(guān)緊要.
(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用。
【題型二：線面垂直的判定定理】
例2.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面分別是棱的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
變式2-1.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，已知，的直徑，點C在上，且，點D為的中點．證明：平面
變式2-2.（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，在直三棱柱中，點在棱上，點為的中點，且平面平面，，，.
(1)求證：是的中點；
(2)求證：平面；
變式2-3.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，菱形所在的平面，，E是的中點，M是的中點．
(1)求證：平面；
(2)若，求點P到平面的距離．
【方法技巧與總結(jié)】
證明線面垂直的關(guān)鍵是分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線垂直的方法.
【題型三：線面垂直證明線線平行】
例3.（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點，且，．
求證：；
變式3-1.（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
變式3-2.（2023高三·全國·專題練習(xí)）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面
變式3-3.（2022高一·全國·專題練習(xí)）在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．
【方法技巧與總結(jié)】
直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法。
【題型四：線面垂直證明線線垂直】
例4.（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，在直三棱柱中，，分別為線段，上的點，且平面．
(1)求證：；
(2)當為的中點，時，求證：．
變式4-1.（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分別是PD，BC的中點．求證：
(1)平面PBC；
(2)．
變式4-2.（23-24高一下·云南昆明·期中）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，側(cè)面為正方形，求證：
(1) 平面；
(2).
變式4-3.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正方體被平面截后所得的幾何體如圖所示，點E，F(xiàn)分別是棱的中點，且為的重心．
(1)證明:點在平面內(nèi)；
(2)證明:.
【方法技巧與總結(jié)】
性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)。
【題型五：動點探索問題】
例5.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE將折起到的位置．連接，，M，N分別為，BE的中點，如圖②．
(1)求證：．
(2)求證：平面．
(3)在棱上是否存在一點G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
變式5-1.（20-21高一上·河南許昌·期末）如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.

(1)若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；
(2)在（1）的條件下，問在棱上是否存在一點，使側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由.
變式5-2.（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點．在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

變式5-3.（22-23高一下·湖南永州·期末）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，E是PA的中點．

(1)求證：平面；
(2)若，線段PC上是否存在一點F，使平面？若存在，求出PF的長度；若不存在，請說明理由．（用坐標法解答不給分）
【題型六：線面垂直判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用】
例6.（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，是異面直線， B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直
變式6-1.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點，Q為線段（包括端點）上一點，則的面積的最大值為（ ）

A． B． C．2 D．
變式6-2.（2024·四川眉山·三模）如圖，該組合體由一個正四棱柱和一個正四棱錐組合而成，已知，則（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
變式6-3.（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（ ）
A．該截面多邊形是四邊形
B．該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點
C．平面
D．平面平面
【題型七：直線與平面所成的角】
例7.（2024·四川雅安·三模）如圖，在正方體中，已知點為底面的中心，為棱的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A． 平面
B．平面
C．異面直線與所成的角等于
D．直線與平面所成的角等于
變式7-1.（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
變式7-2.(多選)（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，為的中點.下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線是異面直線
B．在直線上存在點，使平面
C．直線與平面所成角是
D．點到平面的距離是
變式7-3.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）線段AB的長等于它在平面內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面所成的角為 .
一、單選題
1．（2024·福建寧德·三模）設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
2．（2024·河北邯鄲·二模）已知是兩個平面，是兩條直線，且，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，為的中點，為線段上的動點，則當時，的長為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南曲靖·二模）在三棱錐中，兩兩垂直，，則直線與平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，分別是的中點，當點在線段上運動時，下列四個結(jié)論：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的為（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
6．（23-24高一下·廣東河源·期中）在正三棱錐中，頂點在底面的射影為點，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·北京·期中）已知點P在棱長為2的正方體表面運動，且，則線段AP的長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，點為正方形的中心，平面，，是線段的中點，則（ ）
A．，且直線是相交直線 B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線 D．，且直線是異面直線
二、多選題
9．（23-24高一下·江蘇南通·期中）在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點，則下列正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．多面體是棱臺
D．平面截正方體所得截面的面積為
10．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．異面直線與所成角為60°
D．平面截正方體所得截面為等腰梯形
11．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，如果菱形所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是（　?。?br/>A． B．與異面
C．與相交 D．
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，在棱長為的正方體中，點是平面內(nèi)的動點，滿足，則直線與平面所成角正切值的最大值為 .

13．（23-24高一下·湖南長沙·期中）在棱長為1的正方體中，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一個動點，且平面，則線段的長的取值范圍是 ．
14．（23-24高一下·安徽六安·期中）如圖，在邊長為4的正方體中，為的中點，點在正方體的表面上移動，且滿足，當在上時， .設(shè)點和滿足條件的所有點構(gòu)成的平面圖形為，則直線與平面所成角正弦值的取值范圍是 .
四、解答題
15．（23-24高一下·寧夏石嘴山·期中）如圖，在三棱柱中，平面，是的中點，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與的所成角的余弦值．
16．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，且，是的中點．

(1)求證：；
(2)求直線與所成角的余弦值．
17．（2024·山東·二模）已知三棱錐中，平面，過點分別作平行于平面的直線交于點．
(1)求證：平面；
(2)若為的中點，，求直線與平面所成角的正切值．
18．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面， ，分別為的中點.
(1)求證：平面；
(2)設(shè)，求與平面所成角的正弦值.
19．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點，證明：；
(2)求點到平面的距離.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑