資源簡介

6.4.2平面與平面平行
課程標準 學習目標
1、重點：平面與平面平行的判定定理與性質定理以及應用 2、難點：平面與平面平行的判定定理的探究發現及應用 1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理與性質定理，達到直觀想象、邏輯推理核心素養水平二的要求 2.能準確使用數學符號語言、文字語言、圖形語言表述平面與平面平行的判定定理和性質定理，進一步培養學生的表達能力
知識點01 兩個平面的位置關系
位置關系 公共點 圖形語言 符號語言
相交 有無數個共同點 α∩β＝l
平行 沒有公共點 α∥β
【即學即練1】（多選）（21-22高一下·全國·課后作業）（多選題）下列說法中正確的是（　　）
A．一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
B．一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
C．一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
D．一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
【答案】CD
【分析】舉出相交平面的實例說明判斷AB；利用兩個平面平行的定義和判定定理判斷CD作答.
【詳解】一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，如果這兩條直線是平行的，則這兩個平面可能相交，
因為兩個相交平面，一個平面內與交線平行的所有直線都平行于另一個平面，A錯誤；
一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，如果這無數條直線是平行的，則這兩個平面可能相交，
因為兩個相交平面，一個平面內與交線平行的所有直線都平行于另一個平面，B錯誤；
一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行，由兩個平面平行的定義知，C正確；
一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行，由兩個平面平行的判定定理知，D正確.
故選：CD
知識點02 平面與平面平行的判定定理
文字語言 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”)
圖形語言
符號語言 ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P， a α，b α，∴α∥β
【即學即練2】（20-21高一下·湖南張家界·期中）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．內有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線 D．以上答案都不對
【答案】B
【分析】AC可舉出反例；B選項，根據線面平行的判定定理得到B正確.
【詳解】A選項，若這些無數條直線均平行，此時無法推出，A錯誤；
B選項，由面面平行的判定定理得到B正確，故D錯誤.
C選項，如圖，，平行于同一條直線，但，不平行，C錯誤；
故選：B
知識點03 平面與平面平行的性質定理
文字語言 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
圖形語言
符號語言 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
性質定理推論：如果兩個平面平行，其中一個平面內的__任一直線 __平行于另一個平面．
符號表示：__α∥β，a α ____ a∥β.
【即學即練3】（23-24高二上·上海閔行·期末）已知表示三個不同的平面，若，且，則直線，的位置關系是 .
【答案】
【分析】根據面面平行的性質定理可得答案.
【詳解】由題意知，且，
根據面面平行的性質定理可得，
故答案為：
【題型一：面面平行的概念辨析】
例1.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知兩個不同的平面和兩條不同的直線，下面四個命題中，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，且，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】根據空間中線線、線面、面面的位置關系一一判斷即可.
【詳解】對于A：若，，則或，故A錯誤；
對于B：當，，，且與相交時，故B錯誤；
對于C：若，，則或與異面，故C錯誤；
對于D：若，，根據面面平行的性質定理可得，故D正確.
故選：D
變式1-1.（23-24高一下·重慶·期中）已知，表示直線，，，表示平面，則下列推理正確的是（ ）
A．，
B．，，且
C．，，
D．，，，
【答案】C
【分析】由直線的位置關系判斷A；由直線與平面的位置關系判斷B；由面面平行的性質定理判斷C；平面與平面的位置關系判斷D.
【詳解】對于A，由，，得平行或相交，A錯誤；
對于B，由，，得且或 或 ，B錯誤；
對于C，由，，，根據面面平行的性質得，C正確；
對于D，由，，，，得平行或相交，D錯誤.
故選：C
變式1-2.（23-24高一下·浙江寧波·期中）為不重合的直線，為互不相同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，則或與異面
【答案】D
【分析】ABC可以舉出其他情況反駁即可，D選項易知其正確.
【詳解】對A，若，，，則或與異面，故A錯誤；
對B，若，，，則或相交；
對C，若，，則或；
對D，若，，則或與異面，正確.
故選：D.
變式1-3.（23-24高一下·重慶·期中）設有兩條不同的直線，和兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】根據空間中直線與平面、平面與平面平行的性質與判定逐個選項分析即可．
【詳解】若，，則，可以平行、相交或異面，故A錯誤；
若，，則或相交，故B錯誤；
若，，則或，故C錯誤；
若，，則，故D正確．
故選：D.
【方法技巧與總結】
解決平行關系基本問題的三個注意點
（1）判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理要求線在面外
（2）結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判別，
（3）會舉反例或用反證法探測結論是否正確.
【題型二：面面平行的證明】
例2.（23-24高一下·河北·期中）如圖，在四棱錐中，，，，設，分別為，的中點，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）連接，利用三角形中位線及平行四邊形性質證得，再利用線面平行的判定推理即得.
（2）由（1）的信息，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.
【詳解】（1）在四棱錐中，連接，由，分別為，的中點，得，
而，，則，四邊形為平行四邊形，
因此，而平面，平面，
所以平面.

（2）由，得是的中點，而為中點，則，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
變式2-1.（23-24高一下·天津南開·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面分別是中點.
(1)求證：平面；
(2)若為中點，求證平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點，中點且，得到四邊形為平行四邊形，得出，結合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）根據題意，證得四邊形為平行四邊形，得到，證得平面，
由（1）可得平面，結合面面平行的判定定理，即可得證.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，
因為底面是正方形，底面，且分別是的中點，
所以，且，，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面.
（2）解：因為為的中點，連接，可得且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，且平面，所以平面，
由（1）可得平面，且平面，
所以平面平面.
變式2-2.（23-24高一下·山東棗莊·期中）如圖所示，在三棱柱中，過BC的平面與上底面交于GH（GH與不重合）.
(1)求證：；
(2)若E，F，G分別是AB，AC，的中點，求證：平面平面BCHG.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據面面平行的性質定理即可求證．
（2）推導出，，由此能證明平面平面．
【詳解】（1）在三棱柱中，
平面平面，平面平面，平面平面，
故
（2）在三棱柱中，
，，分別是，，的中點，
，
四邊形是平行四邊形，，
平面，平面，
平面．
又，平面，平面，
平面．
，平面
平面平面．
變式2-3.（22-23高一下·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：
(1)E、F、D、B四點共面
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意證明，即可得結果；
（2）根據線面、面面平行的判定定理分析證明.
【詳解】（1）證明：分別是、的中點，
所以，
又，
所以四邊形是平行四邊形，
.
，
即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.
（2）（2）M、N分別是、的中點，
.又平面，平面，平面.
連接，如圖所示，則，.
四邊形是平行四邊形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.
【方法技巧與總結】
證明兩個平面平行的方法
證明兩個平面平行的關鍵在于證明線面平行，在證明線面平行時，可利用面面平行判定定理的推論：如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即證一個平面內的兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直找分別平行即可.
【題型三：面面平行證明線線平行】
例3.（2024高三·全國·專題練習）如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】根據題意，先證明平面平面，進而利用面面平行的性質定理即可得到答案.
【詳解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
變式3-1.（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，在三棱柱中，M是的中點，平面平面，平面．求證：

(1)；
(2)N為AC的中點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面面平行的性質得到線線平行；
（2）證明出四邊形為平行四邊形，從而證明出結論.
【詳解】（1）因為平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
（2）三棱柱中，，且，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
又M是的中點，
所以，
所以N為AC的中點．
變式3-2.（22-23高一下·河北承德·階段練習）如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.

(1)求證：四點共面；
(2)若平面∥平面，求證：為的中點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）在上取一點，使得，連接，可得四邊形和是平行四邊形，則，，再由題意可得是平行四邊形，從而得，所以，進而可得結論；
（2）由面面平行的性質可得，則，然后在和中可求得結果.
【詳解】（1）證明：在上取一點，使得，
連接，則，
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
同理，四邊形是平行四邊形，所以，且，
又，且，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，
所以四點共面.

（2）因為平面 平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即為的中點.
變式3-3.（2023高一·全國·專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
【答案】作圖見解析，證明見解析
【分析】通過延伸平面內的直線來作出平面與平面的交線，通過面面平行的性質定理證得、，由此證得.
【詳解】
如圖，延長交的延長線于，
連接交于，
則所在的直線即為平面與平面的交線.
證明：∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴.
又∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，∴.
【方法技巧與總結】
由兩個平面平行的性質定理可以得到兩個平面平行的其他性質：
兩個平面平行，其中一個平面內的任一條直線平行于另一個平面；
經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行；
（3）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等；
（4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例；
（5）平行于同一平面的兩個平面平行（面面平行的傳遞性）.
【題型四：面面平行證明線面平行】
例4.（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方體中，，分別是，的中點.

(1)求異面直線與所成角；
(2)求證：平面
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）連接，，即可得到，則為異面直線與所成的角，結合正方體的性質求出；
（2）取的中點，連接，，即可證明平面平面，從而得證.
【詳解】（1）連接，，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，則為異面直線與所成的角，
在正方體中，可得，即為等邊三角形，
所以，所以異面直線與所成角為；

（2）取的中點，連接，，
因為，分別是，的中點，
所以，，
而，所以，
又因為平面，平面，平面，
平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面．
變式4-1.（2024高三·全國·專題練習）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點，為上一點. 證明：平面；

【答案】證明見解析
【分析】
連接，利用三棱柱性質和面面平行的判定定理可證明平面平面，由面面平行的性質可得平面；
【詳解】證明：連接，如下圖所示：

因為，且，分別是棱的中點，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
因為，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
因為平面，
所以平面.
變式4-2.（2024高三·全國·專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
求證：∥平面.
【答案】證明見解析
【分析】根據題意先證∥平面，∥平面，可得平面∥平面，結合面面平行的性質定理分析證明.
【詳解】由題意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
變式4-3.（2023高三·全國·專題練習）在矩形ABCD中，，．點E，F分別在AB，CD上，點分別在上，且，．沿EF將四邊形AEFD翻折至四邊形，點平面BCFE．
(1)求證：平面；
(2)求證：與BC是異面直線；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）證明平面平面，利用面面平行的性質定理可證明結論；
（2）利用反證的方法，假設假設與不是異面直線，得出矛盾，即可證明結論；
【詳解】（1）證明：∵ ，平面，平面，
∴平面，
∵ ，平面，平面，
∴平面，∵，平面，
故平面平面，而平面，故平面；
（2）證明：假設與BC不是異面直線，即四點共面，
則 或相交于一點，設為Q，
若，∵平面BCFE，故平面BCFE，
而平面，平面平面 ，
故，與且，，則不平行矛盾；
若，則平面，平面，
平面平面，故，則交于一點，
由題意可知相交于FE延長線上，相交于EF延長線上一點，
即不會交于同一點，故矛盾，
由此說明即四點不共面，即與BC是異面直線．
【題型五：動點探索問題】
例5.（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，高為4，記的中點分別為．
(1)要經過點和對角線將六棱柱鋸開，請說明在六棱柱表面該怎樣劃線，并求截面面積；
(2)證明：面；
(3)直線上是否存在一個點，使得面面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見詳解；
(3)不存在，理由見詳解.
【分析】（1）取的中點，連接，四邊形即為所求截面，求其面積即可；
（2）取、的中點、，連接，根據線面平行的判定定理證明；
（3）由與相交，可證明.
【詳解】（1）取的中點，連接，
由于，又平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面與平面的交線平行于，
而，所以，
則四邊形即為所求截面，
，
等腰梯形的高為，
所以截面面積為；
（2）取、的中點、，連接，
因為分別為的中點，
，
同理，
因為正六棱柱中，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
則，
又面，面，
所以面；
（3）不存在這樣的點，使得面面，
在正六棱柱中，
所以為梯形，
連接延長交的延長線于點，
由于，且為的中點，
則，
所以，
因為，
所以與共面且不平行，即與相交，
即與面相交，
故不存在這樣的點，使得面面.
變式5-1.（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，在四棱錐中，，，平面．
(1)證明：．
(2)點在線段上，設，是否存在點，使得平面平面？若不存在，請說明理由；若存在，求出的值，并給出證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；；證明見解析
【分析】（1）由線面平行的性質證明即可；
（2）由面面平行的判定定理證明即可；先證明平面，再證明平面.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，平面平面，所以.
（2）
存在，當點F滿足時，平面平面.
證明如下：
因為，，所以.
因為平面，平面，所以平面.
由（1）知，，因為，，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
因為，所以平面平面.
變式5-2.（21-22高一上·湖南長沙·期中）如圖，在正方體中，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析
【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結合線面平行判定定理，從而得線面平行；
（2）結合面面平行判定定理來確定動點位置，并證明面面平行.
【詳解】（1）如圖，連接交于，連接.

因為為正方體，底面為正方形，對角線，交于點，
所以為的中點，又因為為的中點，
所以在中，是的中位線，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）當上的點為中點時，即滿足平面平面，理由如下：
連接，，

因為為的中點，為的中點，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
由（1）知平面，
又因為，，平面，
所以平面平面.
變式5-3.（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點．在棱上找一點，使得平面平面，并證明你的結論.
【答案】存在為棱的中點，證明見解析
【分析】由中點找中點，取棱的中點，證明兩次線面平行即得平面平面.
【詳解】
存在為棱的中點，使平面平面．
證明如下：如圖，連接．
因為分別是棱的中點，所以，
因為平面 平面，所以平面．
因為分別是棱的中點，所以，
因為平面平面，所以平面．
因為，平面，所以平面平面，得證．
【題型六：面面平行判定的應用】
例6.（2024高一下·全國·專題練習）在下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用反證法可判斷A選項；利用面面平行的判定定理可判斷B選項；利用反證法結合面面平行的性質可判斷C選項；利用面面平行的判定和性質定理、結合反證法可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若平面平面，平面，則平面，
由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿足條件；
對于B選項，如下圖所示，連接，
因為、分別為、的中點，則，
在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，
平面，平面，
平面，同理可證平面，
，面，因此平面平面，B滿足條件；
對于C選項，如下圖所示：
在正方體中，若平面平面，
又平面平面，則平面平面，
但這與平面與平面相交矛盾，
因此，平面與平面不平行，C不滿足條件；
對于D選項，在正方體中，連接、、，如下圖所示：
因為且，則四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，所以平面，同理可證平面，
，面，所以平面平面，
若平面平面，則平面平面，
這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿足條件.
故選：B.
變式6-1. （2018高一上·全國·專題練習）下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用反證法可判斷A選項；利用面面平行的判定定理可判斷B選項；利用反證法結合面面平行的性質可判斷C選項；利用面面平行的判定和性質定理、結合反證法可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若平面平面，平面，則平面，
由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿足條件；
對于B選項，如下圖所示，連接，
因為、分別為、的中點，則，
在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可證平面，，因此，平面平面，B滿足條件；
對于C選項，如下圖所示：
在正方體中，若平面平面，且平面平面，
則平面平面，但這與平面與平面相交矛盾，
因此，平面與平面不平行，C不滿足條件；
對于D選項，在正方體中，連接、、，如下圖所示：
因為且，則四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，所以，平面，
同理可證平面，，所以，平面平面，
若平面平面，則平面平面，
這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿足條件.
故選：B.
變式6-2. （2023·新疆·一模）如圖，在長方體中，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．與異面
C．平面
D．平面平面
【答案】A
【分析】根據題目信息和相似比可知，不可能平行于，與異面，可得A錯誤，B正確；再利用線面平行和面面平行的判定定理即可證明CD正確.
【詳解】如下圖所示，連接，
根據題意，由可得，，且；
同理可得，且；
由，而，所以不可能平行于，即A錯誤；
易知與不平行，且不相交，由異面直線定義可知，與異面，即B正確；
在長方體中，
所以，即四邊形為平行四邊形；
所以，又，所以；
平面，平面，
所以平面，即C正確；
由，平面，平面，所以平面；
又，平面，平面，所以平面；
又，且平面，
所以平面平面，即D正確.
故選：A
變式6-3.（18-19高一下·北京西城·期末）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】D
【分析】根據題意，結合圖形，分別判斷選項中的命題是否正確即可．
【詳解】易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項A錯誤；
易知EF∥A1B，與選項A同理，可判斷選項B錯誤；
因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；
對于，平面平面，理由是：
由，，，分別是棱，，，的中點，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故選：．
【題型七：面面平行性質的應用】
例7．（23-24高三上·北京·階段練習）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由面面平行的性質可判斷.
【詳解】如圖，在正方體中，
平面平面，平面平面，
平面平面，.
對于A，，，故A正確；
對于B，因為與相交，所以與不平行，故B錯誤；
對于C，因為與不平行，所以與不平行，故C錯誤；
對于D，因為與不平行，所以與不平行，故D錯誤；
故選：A.

變式7-1．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知正方體的棱長為分別是棱的中點，點為底面內（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中點，連接、、，根據題意判斷平面平面，得出是點在底面內的軌跡，計算的值即可．
【詳解】取的中點，連接、、，如圖所示：
由分別是棱的中點，得，平面，平面，則平面，
又且，于是為平行四邊形，則，
平面，平面，則平面，又，平面，
因此平面平面，由與平面無公共點，平面，則平面，
又點為底面內（包括邊界）的一動點，平面平面，
于是是點在底面內的軌跡，
又正方體的棱長為，則，
所以點的軌跡長度為.
故選：B
變式7-2．（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為底面ABCD內一動點（含邊界）．若平面，則動點F的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取AD的中點M、CD的中點N，結合題意可得平面平面，得出線段是動點F的軌跡，計算即可得.
【詳解】如圖，取AD的中點M、CD的中點N，連接，
因為E為BC的中點，M為中點，由正方體的性質可得，
，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，，又因為，，
所以，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，由正方體的性質可得,
，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又因為M為中點，N為中點，
所以，所以，
因為平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
因為平面，所以平面，
所以動點F的軌跡為線段，
又，故動點F的軌跡長度為．
故選：D．
變式7-3．（22-23高一下·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（ ）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
【答案】B
【分析】根據面面平行的判定定理證明平面平面，再由MN//平面可得點N的軌跡為線段DE，據此即可得解.
【詳解】如圖，

取的中點D，的中點E，連接MD，DE，ME，
由，，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面
所以平面平面，又平面，
故點N的軌跡為線段DE，又由，可得．
故選：B．
一、單選題
1．（23-24高一下·山東棗莊·期中）如圖所示，在棱長為1的正方體中，點E，F分別是棱BC，的中點，是側面內一點，若平面AEF.則線段長度的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形中位線可得線線平行即可求證平面平面，由題意知點必在線段上，由此可判斷在或處時最長，位于線段中點處時最短，通過解直角三角形即可求得．
【詳解】如下圖所示：
分別取棱、的中點、，連接，連接，
、、、為所在棱的中點，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面平面，
是側面內一點，且平面，
則必在線段上，
在 中，，
同理，在 中，求得，
為等腰三角形，
當在中點時，此時最短，位于、處時最長，
，
，
所以線段長度的是大值與最小值之和為，．
故選：C．
2．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在長方體中，，，點在矩形內運動（包括邊界），，分別為的中點，若平面，當取得最小值時，的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別為的中點，證明平面平面，得點在線段上，取得最小值時為線段的中點，求出，余弦定理求的余弦值即可.
【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，所以，
又分別為的中點，所以，故，
平面，平面，所以平面，
又，，所以四邊形為平行四邊形，故，
平面，平面，平面，
又平面，，故平面平面，
所以當平面時，平面，則點在線段上，
當時，取得最小值，易知，
此時為線段的中點.
由平面幾何知識可知，，，，
.
所以的余弦值為.
故選：D.
【點睛】方法點睛：平面，則點在過與平面平行的平面內，分別為的中點，由平面平面得點在線段上，且為線段的中點，三角形中余弦定理求的余弦值.
3．（23-24高一下·重慶·期中）若，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，那么下列命題成立的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據空間中線線、線面、面面的位置關系一一判斷即可.
【詳解】對于A：若，，則或與異面或與相交，故A錯誤；
對于B：若，，由面面平行的性質定理可得，故B正確；
對于C：若，，則或，故C錯誤；
對于D：若，，則或與異面，故D錯誤.
故選：B
4．（2024·全國·模擬預測）已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【分析】如圖，由題意，根據空間線面的位置關系、基本事實以及面面平行的性質定理可得，進而，結合相似三角形的性質即可求解．
【詳解】如圖，設，分別延長交于點，此時，
連接交于，連接，
設平面與平面的交線為，則，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，設，則，
此時，故 ，連接，
所以五邊形為所求截面圖形，
故選：C．

5．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（ ）．
A．截面與截面 B．截面與截面
C．截面與截面 D．截面與截面
【答案】B
【分析】
根據面面平行的判定并結合圖形判斷各選項．
【詳解】
如圖，選項A、B、C、D分別對應圖1、圖2、圖3、圖4．


對于A，與相交，截面與相交，故A錯誤；
對于B， 截面與平行．證明：因為，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可證平面，，平面，
所以平面平面．故B正確；
對于C，截面與相交于D點，故C錯誤；
對于D，與相交，截面與相交，故D錯誤；
故選：B．
6．（22-23高一下·河北張家口·期末）在棱長為2的正方體中，P，Q是，的中點，過點A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】取中點，中點，利用面面平行的判定定理確定平面，利用余弦定理及三角形面積公式求解即可.
【詳解】如圖，取中點，中點，連接，

因為，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，又，
平面，平面，所以平面平面，
即三角形為所得截面，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故選：C.
7．（22-23高二下·四川成都·期末）如圖，在正方體中，已知E，F，G，H，分別是，，，的中點，則下列結論中錯誤的是（ ）

A．C，G，，F四點共面 B．直線平面
C．平面平面 D．直線EF和HG所成角的正切值為
【答案】C
【分析】根據線線平行即可判斷A，根據面面平行得線面平行即可判斷B，根據面面平行的性質即可得矛盾判斷C，根據異面直線的幾何法找到其角，即可由三角形邊角關系求解D.
【詳解】取中點，連接,
由于是的中點，在正方體中可知,
又，所以四邊形為平行四邊形，故,
因此，故C，G，，F四點共面，故A正確，,

取中點，連接,
由于均為中點，所以
平面，平面，所以平面,
同理平面,平面,
所以平面平面，平面，故直線平面，B正確，

假若平面平面，則平面平面，平面平面，根據面面平行的性質可得平面，顯然這與與相交矛盾，故C錯誤，

由于，所以,
故為直線EF和HG所成角或其補角，
不妨設正方體的棱長為，則，
由于底面，平面，所以,
故,
直線EF和HG所成角的正切值為，D正確.
故選：C.
8．（22-23高一下·北京通州·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，點為底面上在意一點，若直線與平面無公共點，則的最小值是（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由直線與平面無公共點，知平面，由平面平面，知點在上，利用三角形為等邊三角形可得的最小值.
【詳解】

如圖：連接，
由正方體性質可知：，
因平面，平面，
所以平面，
同理，,
因平面，平面，
所以平面，
又，
平面，平面，
所以平面平面，
因直線與平面無公共點，點為底面上在意一點
所以點在上，
故最小時，，
因正方體的棱長為2，
所以三角形為邊長為的等邊三角形，
時，，
故選：B
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）已知平面平面，是、外一點，過點的直線與、分別交于點、，過點的直線與、分別交于點、，且，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由已知直線和確定一個平面，對點位置分類討論，根據面面平行的性質定理，可得線線平行，運用平行線段的比例關系，即可求解．
【詳解】∵，
∴直線和可確定一個平面，
則平面，平面．
又，∴；
當點位于平面，同側時，如圖（1），
則，∴，∴．
當點位于平面，之間時，如圖（2），
則，，
∴，∴．
故或．

故選：AD．
10．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖是正方體的平面展開圖關于這個正方體，以下列正確的是（ ）
A．ED與NF所成的角為 B．平面AFB
C． D．平面平面NCF
【答案】ABD
【分析】將展開圖還原成正方體，根據異面直線所成角、線面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.
【詳解】把正方體的平面展開圖還原成正方體，如圖：
由，得四邊形為平行四邊形，則，
同理，，
對于A，是異面直線ED與NF所成的角或其補角，而，則，A正確；
對于B，由， 平面ABFE，平面ABFE，得平面AFB，B正確；
對于C，，而，因此，C錯誤；
對于D，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF，
則平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE，
所以平面平面NCF，D正確.
故選：ABD
11．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在直三棱柱中，分別為所在棱的中點，，三棱柱挖去兩個三棱錐后所得的幾何體記為，則（ ）
A．EG與為異面直線 B．有13條棱
C．有7個頂點 D．平面平面EFG
【答案】ABD
【分析】利用異面直線的定義容易判斷A項；對于B,C兩項，只需按一定順序去數即得；對于D項，需要運用線面平行推理得到面面平行即可.
【詳解】對于A項，因平面，平面且, 平面,故EG與為異面直線,故A項正確；
對于B項，組成幾何體的棱有；；共13條棱，故B項正確；
對于C項，幾何體的頂點有共8個，故C項錯誤；
對于D項，如圖，取中點，連接,
因,則是的中點，
又分別為所在棱的中點，故得,
因,則得,故,
則,又平面,而平面,故平面；
易證,且,故得,則,
故,又平面,而平面,故平面；
又,故得平面平面,故D項正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：本題主要考查空間想象能力和面面平行的判定方法，屬于較難題.
解題的思路即是，要充分理解和把握異面直線的定義，同時在統計頂點數和棱的條數時，應按照一定的順序進行，才能不重不漏，至于面面平行的判斷，只需按照判定定理，在一個平面內尋找兩條相交且與另一個平面平行的直線即得.
三、填空題
12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知正方體棱長為，點在正方體內部運動（包括表面），且 平面，則動點的軌跡所形成區域的面積為 ．
【答案】/
【分析】利用截面 平面，判斷出動點的軌跡在三角形及其內部，即求的面積即可得到結果.
【詳解】因為平面 平面，
所以點是該正方體表面及其內部的一動點，且 平面，
所以點的軌跡是三角形及其內部，
所以的面積為.
故答案為：．

13．（23-24高一下·浙江·期中）四棱錐的底面是邊長為1的正方形，如圖所示，點是棱上一點，，若且滿足平面，則

【答案】
【分析】連接BD，交AC于點O，連接OE，利用中位線性質和線面平行的判定證明平面ACE，結合平面ACE，則證明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性質則有，即可得到答案.
【詳解】如圖，連接BD，交AC于點O，連接OE，由是正方形，得，
在線段PE取點G，使得，由，得，
連接BG，FG，則，由平面，平面，
得平面，而平面，，平面，
因此平面平面，又平面平面，平面平面，則，
所以.
故答案為：

14．（2024高一下·全國·專題練習）已知正方體的棱長為2，P為正方形ABCD內的一動點（包含邊界），E、F分別是棱、棱的中點．若平面BEF，則AP的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】作輔助線，證明平面平面，說明線段AM即為動點P的軌跡，由此求得AM的長，即可求得答案．
【詳解】解：如圖所示：

連接，則，
又平面，平面，故平面，
設為BC的中點，連接，
由于F分別是棱的中點，故，
則四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面，
又平面，
故平面平面，
由于平面BEF，故平面，
又因為P為正方形ABCD內的一動點，且平面平面，
故AM即為動點P的軌跡，
而，故AP的取值范圍是．
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高一下·天津北辰·期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點，為的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)過點，，的平面與棱交于點，求證：是的中點.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點，連接，，即可證明平面，平面，即可得到平面平面，從而得證；
（2）首先證明平面，根據線面平行的性質得到，即，從而得證.
【詳解】（1）取的中點，連接，，
因為，分別為，的中點，
所以，，
因為底面是菱形，即，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又，平面，
所以平面平面，
又因為平面，
所以平面；
（2）因為過點，，的平面與棱交于點，
又，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，
所以，所以，
所以為的中點，即與中點重合，所以是的中點．
16．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別在上.
(1)若，求證：平面平面；
(2)若點滿足，則點滿足什么條件時，平面？并證明你的結論.
【答案】(1)證明見解析
(2)為中點，證明見解析
【分析】（1）根據平行線分線段成比例和線面平行的判定定理可證得平行于平面，由面面平行的判定可證得結論；
（2）當為中點時，取中點，根據三角形中位線性質、線面平行和面面平行的判定可證得平面平面，由面面平行性質可得結論.
【詳解】（1），，
四邊形為平行四邊形，，，
平面，平面，平面；
，，
平面，平面，平面；
，平面，平面平面.
（2）當為中點時，平面，
證明如下：設，取中點，連接，
四邊形為平行四邊形，為中點，
為中點，，為中點，，
平面，平面，平面；
分別為中點，，
平面，平面，平面，
，平面，平面平面，
平面，平面.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，正方體中，M，N，E，F分別是，，，的中點．
(1)求證：E，F，B，D四點共面；
(2)求證：平面平面EFDB；
(3)畫出平面BNF與正方體側面的交線需要有必要的作圖說明、保留作圖痕跡，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）要證，，，四點共面，只需證明；
（2）只需證明平面，平面即可；
（3）因為平面，平面，設平面平面，由線面平行的性質定理知，過作的平行線即可.
【詳解】（1）因為分別是，的中點，
所以為的中位線，所以 ，
又四邊形是矩形，所以 ，
所以 ，故，，，四點共面；
（2）由已知，為的中位線，所以 ，所以 ，
又平面，平面，所以平面，
同理 ，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以 ，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面．
（3）由過作的平行線交分別于，
則連接分別交于，連接，如圖，
由 ，則平面，平面，
設平面平面，
由線面平行的性質定理知 ，
所以過作的平行線交分別于，
連接分別交于，連接，
即可得到平面與正方體側面的交線．
18．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側棱的中點.

(1)求證：平面；
(2)若為側棱的中點，求證：平面；
(3)設平面平面，求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）設，再證明即可；
（2）根據線面平行與面面平行的判定證明平面平面即可；
（3）根據線面平行的判定與性質證明即可.
【詳解】（1）設，連接，因為是平行四邊形，故，
又為側棱的中點，故.
又平面，平面，故平面.
（2）若為側棱的中點，，則，
又平面，平面，故平面.
又，平面，平面，故平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.
（3）因為，平面，平面，故平面.
又平面平面，平面，故

19．（23-24高一下·湖北武漢·期中）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點為棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)若為上的動點，則線段上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由；
(3)若，請在圖中作出四棱錐過點及棱中點的截面，并求出截面周長．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在為線段中點，證明見解析
(3)
【分析】（1）取線段的中點，連接，通過證明可得結論；
（2）當為線段中點時，平面，通過證明面面可得結論；
（3）取線段的中點，連接，通過證明，得到四邊形為截面，然后分別求出各邊的長即可.
【詳解】（1）取線段的中點，連接，
因為分別為線段的中點，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）當為線段中點時，平面，
證明：取線段中點，連接
因為分別為線段的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因為，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
則面面，又面，
所以面，
所以當為線段中點時，平面；
（3）取線段的中點，連接，
因為，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又分別為線段，
所以，
所以，則四邊形為四棱錐過點及棱中點的截面，
則，，，
在中，，，
所以，
則，
所以截面周長為.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)6.4.2平面與平面平行
課程標準 學習目標
1、重點：平面與平面平行的判定定理與性質定理以及應用 2、難點：平面與平面平行的判定定理的探究發現及應用 1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理與性質定理，達到直觀想象、邏輯推理核心素養水平二的要求 2.能準確使用數學符號語言、文字語言、圖形語言表述平面與平面平行的判定定理和性質定理，進一步培養學生的表達能力
知識點01 兩個平面的位置關系
位置關系 公共點 圖形語言 符號語言
相交 有無數個共同點 α∩β＝l
平行 沒有公共點 α∥β
【即學即練1】（多選）（21-22高一下·全國·課后作業）（多選題）下列說法中正確的是（　　）
A．一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
B．一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
C．一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
D．一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
知識點02 平面與平面平行的判定定理
文字語言 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”)
圖形語言
符號語言 ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P， a α，b α，∴α∥β
【即學即練2】（20-21高一下·湖南張家界·期中）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．內有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線 D．以上答案都不對
知識點03 平面與平面平行的性質定理
文字語言 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
圖形語言
符號語言 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
性質定理推論：如果兩個平面平行，其中一個平面內的__任一直線 __平行于另一個平面．
符號表示：__α∥β，a α ____ a∥β.
【即學即練3】（23-24高二上·上海閔行·期末）已知表示三個不同的平面，若，且，則直線，的位置關系是 .
【題型一：面面平行的概念辨析】
例1.（23-24高一下·福建泉州·期中）已知兩個不同的平面和兩條不同的直線，下面四個命題中，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，且，，則
C．若，，則
D．若，，則
變式1-1.（23-24高一下·重慶·期中）已知，表示直線，，，表示平面，則下列推理正確的是（ ）
A．，
B．，，且
C．，，
D．，，，
變式1-2.（23-24高一下·浙江寧波·期中）為不重合的直線，為互不相同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，則或與異面
變式1-3.（23-24高一下·重慶·期中）設有兩條不同的直線，和兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【方法技巧與總結】
解決平行關系基本問題的三個注意點
（1）判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理要求線在面外
（2）結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判別，
（3）會舉反例或用反證法探測結論是否正確.
【題型二：面面平行的證明】
例2.（23-24高一下·河北·期中）如圖，在四棱錐中，，，，設，分別為，的中點，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
變式2-1.（23-24高一下·天津南開·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面分別是中點.
(1)求證：平面；
(2)若為中點，求證平面平面.
變式2-2.（23-24高一下·山東棗莊·期中）如圖所示，在三棱柱中，過BC的平面與上底面交于GH（GH與不重合）.
(1)求證：；
(2)若E，F，G分別是AB，AC，的中點，求證：平面平面BCHG.
變式2-3.（22-23高一下·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：
(1)E、F、D、B四點共面
(2)平面平面.
【方法技巧與總結】
證明兩個平面平行的方法
證明兩個平面平行的關鍵在于證明線面平行，在證明線面平行時，可利用面面平行判定定理的推論：如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即證一個平面內的兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直找分別平行即可.
【題型三：面面平行證明線線平行】
例3.（2024高三·全國·專題練習）如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．
變式3-1.（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，在三棱柱中，M是的中點，平面平面，平面．求證：

(1)；
(2)N為AC的中點．
變式3-2.（22-23高一下·河北承德·階段練習）如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.

(1)求證：四點共面；
(2)若平面∥平面，求證：為的中點.
變式3-3.（2023高一·全國·專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
【方法技巧與總結】
由兩個平面平行的性質定理可以得到兩個平面平行的其他性質：
兩個平面平行，其中一個平面內的任一條直線平行于另一個平面；
經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行；
（3）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等；
（4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例；
（5）平行于同一平面的兩個平面平行（面面平行的傳遞性）.
【題型四：面面平行證明線面平行】
例4.（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方體中，，分別是，的中點.

(1)求異面直線與所成角；
(2)求證：平面
變式4-1.（2024高三·全國·專題練習）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點，為上一點. 證明：平面；

變式4-2.（2024高三·全國·專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．
求證：∥平面.
變式4-3.（2023高三·全國·專題練習）在矩形ABCD中，，．點E，F分別在AB，CD上，點分別在上，且，．沿EF將四邊形AEFD翻折至四邊形，點平面BCFE．
(1)求證：平面；
(2)求證：與BC是異面直線；
【題型五：動點探索問題】
例5.（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，高為4，記的中點分別為．
(1)要經過點和對角線將六棱柱鋸開，請說明在六棱柱表面該怎樣劃線，并求截面面積；
(2)證明：面；
變式5-1.（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，在四棱錐中，，，平面．
(1)證明：．
(2)點在線段上，設，是否存在點，使得平面平面？若不存在，請說明理由；若存在，求出的值，并給出證明．
變式5-2.（21-22高一上·湖南長沙·期中）如圖，在正方體中，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明理由．
變式5-3.（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點．在棱上找一點，使得平面平面，并證明你的結論.
【題型六：面面平行判定的應用】
例6.（2024高一下·全國·專題練習）在下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（　　）
A． B．
C． D．
變式6-1. （2018高一上·全國·專題練習）下列四個正方體中，、、為所在棱的中點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
變式6-2. （2023·新疆·一模）如圖，在長方體中，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．與異面
C．平面
D．平面平面
變式6-3.（18-19高一下·北京西城·期末）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【題型七：面面平行性質的應用】
例7．（23-24高三上·北京·階段練習）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（ ）
A． B． C． D．
變式7-1．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知正方體的棱長為分別是棱的中點，點為底面內（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
變式7-2．（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為底面ABCD內一動點（含邊界）．若平面，則動點F的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
變式7-3．（22-23高一下·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（ ）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
一、單選題
1．（23-24高一下·山東棗莊·期中）如圖所示，在棱長為1的正方體中，點E，F分別是棱BC，的中點，是側面內一點，若平面AEF.則線段長度的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在長方體中，，，點在矩形內運動（包括邊界），，分別為的中點，若平面，當取得最小值時，的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·重慶·期中）若，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，那么下列命題成立的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
4．（2024·全國·模擬預測）已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
5．（2024高一下·全國·專題練習）在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（ ）．
A．截面與截面 B．截面與截面
C．截面與截面 D．截面與截面
6．（22-23高一下·河北張家口·期末）在棱長為2的正方體中，P，Q是，的中點，過點A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（22-23高二下·四川成都·期末）如圖，在正方體中，已知E，F，G，H，分別是，，，的中點，則下列結論中錯誤的是（ ）

A．C，G，，F四點共面 B．直線平面
C．平面平面 D．直線EF和HG所成角的正切值為
8．（22-23高一下·北京通州·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，點為底面上在意一點，若直線與平面無公共點，則的最小值是（ ）

A． B． C． D．2
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）已知平面平面，是、外一點，過點的直線與、分別交于點、，過點的直線與、分別交于點、，且，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖是正方體的平面展開圖關于這個正方體，以下列正確的是（ ）
A．ED與NF所成的角為 B．平面AFB
C． D．平面平面NCF
11．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在直三棱柱中，分別為所在棱的中點，，三棱柱挖去兩個三棱錐后所得的幾何體記為，則（ ）
A．EG與為異面直線 B．有13條棱
C．有7個頂點 D．平面平面EFG
三、填空題
12．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知正方體棱長為，點在正方體內部運動（包括表面），且 平面，則動點的軌跡所形成區域的面積為 ．
13．（23-24高一下·浙江·期中）四棱錐的底面是邊長為1的正方形，如圖所示，點是棱上一點，，若且滿足平面，則

14．（2024高一下·全國·專題練習）已知正方體的棱長為2，P為正方形ABCD內的一動點（包含邊界），E、F分別是棱、棱的中點．若平面BEF，則AP的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·天津北辰·期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點，為的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)過點，，的平面與棱交于點，求證：是的中點.
16．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別在上.
(1)若，求證：平面平面；
(2)若點滿足，則點滿足什么條件時，平面？并證明你的結論.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，正方體中，M，N，E，F分別是，，，的中點．
(1)求證：E，F，B，D四點共面；
(2)求證：平面平面EFDB；
(3)畫出平面BNF與正方體側面的交線需要有必要的作圖說明、保留作圖痕跡，并說明理由．
18．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側棱的中點.

(1)求證：平面；
(2)若為側棱的中點，求證：平面；
(3)設平面平面，求證：.
19．（23-24高一下·湖北武漢·期中）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點為棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)若為上的動點，則線段上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由；
(3)若，請在圖中作出四棱錐過點及棱中點的截面，并求出截面周長．
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