資源簡介

5.1.2復數的幾何意義
課程標準 學習目標
1.理解復平面的實軸、虛軸、復數的模、共軛復數的概念. 2.理解復數的代數表示及其幾何意義 1、通過類比實數的幾何意義學習復數的幾何意義; 2、正確認知復平面以及復數的坐標關系，明確復數的兩種幾何意義; 3、逐步熟悉復數模的公式，正確認知共軛復數.
知識點01 復平面
定義：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
【即學即練1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數在復平面內對應的點在直線上，則復數在復平面對應的點在（ ）
A．實軸正半軸 B．實軸負半軸 C．虛軸正半軸 D．虛軸負半軸
【答案】C
【分析】根據復數的幾何意義，由復數對應點代入直線方程可求得，即可得出結果.
【詳解】復數在復平面內對應的點為，
代入直線，可得，即，
則，在復平面內對應的點為.
故選：C
知識點02 復數的幾何意義
1、任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
2、一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量＝(a，b)是一一對應的．
【即學即練2】（23-24高一下·重慶·期中）復數與分別表示向量與，則向量表示的復數是 ．
【答案】
【分析】由復數的幾何意義得出向量與的坐標，再由向量的運算得出的坐標，進而得出其復數.
【詳解】∵復數與分別表示向量與，
∴，，
又，
∴向量表示的復數是.
故答案為：.
知識點03 共軛復數
1、共軛復數的概念：一般地，如果兩個復數的實數相等，而虛部互為相反數，則稱這兩個復數互為共軛復數.
2、共軛復數的代數表示：復數z的共軛復數用表示，因此，當z=a+bi（a，b∈R）時，有= a- bi.
3、互為共軛復數的幾何意義：在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸_對稱；反之，如果表示兩個復數的點在復平面內關于_實軸_對稱，則這兩個復數互為 共軛復數 .
【即學即練3】（23-24高一下·北京·期中）如圖，設復平面內的點Z表示復數，則復數z的共軛復數=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定圖形，求出復數對應點的坐標，即可求出.
【詳解】依題意，點的坐標是，則，
所以.
故選：B
知識點04 復數的模
1、定義：向量的r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值
2、記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
【即學即練4】（23-24高一下·全國·課堂例題）求下列復數的模：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】借助模長定義計算即可得.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【題型一：復數的幾何意義】
例1．（20-21高一下·上?！ふn后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．實軸上的點對應的復數為實數
B．虛軸上的點對應的復數為純虛數
C．表示實數的點都在實軸上
D．表示純虛數的點都在虛軸上
【答案】B
【分析】由復平面和復數的概念逐項判斷.
【詳解】A.由復平面知：實軸上的點對應的復數為實數,故正確；
B.由復平面知：虛軸上的點除原點外，其余的點對應的復數為純虛數，故錯誤；
C.由復數的概念知：表示實數的點都在實軸上，故正確；
D.由復數的概念知：表示純虛數的點都在虛軸上，故正確；
故選：B
變式1-1．（20-21高一·全國·單元測試）實軸上的點表示實數 ；虛軸上的點表示純虛數 .
【答案】 2
【分析】根據復平面上點，直接寫出對應的復數即可.
【詳解】由復平面上的點，即表示實數2；點，即表示純虛數.
故答案為：2，
變式1-2．（22-23高一·全國·隨堂練習）設復數和復平面內的點對應，若點Z分別位于下列位置，求a，b滿足的條件：
(1)實軸上；
(2)虛軸上；
(3)實軸上方（不包括實軸）；
(4)虛軸左側（不包括虛軸）；
(5)第二象限.
【答案】(1)且
(2)且
(3)且
(4)且
(5)且
【分析】根據復數的幾何意義以及點所在的位置特點即可求解.
【詳解】（1）復數和復平面內的點對應，
因為點位于實軸上，所以且.
（2）因為點位于虛軸上，所以且.
（3）因為點位于實軸上方（不包括實軸），所以且.
（4）因為點位于虛軸左側（不包括虛軸），所以且.
（5）因為點位于第二象限，所以且.
變式1-3．（2023高一·全國·專題練習）求實數分別取何值時，復數對應的點滿足下列條件：
(1)在復平面內的軸上方；
(2)在實軸負半軸上．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）（2）利用復數的幾何意義得到點的坐標，再利用點與復平面坐標系的關系得到關于的不等式或方程，解之即可.
【詳解】（1）因為復數對應的點為，
所以，
因為點在軸上方，
所以，解得或，
所以或.
（2）因為復數z的對應點在實軸負半軸上，
則，解得，
所以.
【方法技巧與總結】
復平面的有關概念介紹
1、復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面也稱為復平面.
2、實軸：在復平面內，×軸上的點對應的都是實數，因此x軸稱為實軸.
3、虛軸：y軸上的點除原點外，對應的都是純虛數，為了方便起見，稱y軸為虛軸.、
【題型二：復數的坐標表示】
例2．（22-23高一下·湖南益陽·期末）設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由求出，從而可求得復數在復平面內對應的點的坐標
【詳解】由，得，
所以復數在復平面內對應的點的坐標為，
故選：C
變式2-1．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知復平面上有點和點，使得向量所對應的復數是，則點的坐標為 .
【答案】
【分析】
先求出向量的坐標，根據可得點的坐標.
【詳解】因向量所對應的復數是，
所以，
因，所以.
故答案為：.
變式2-2．（20-21高一·全國·課后作業）用表示復數的實部，用表示復數的虛部，若已知復數的共軛復數在復平面內所對應的點的坐標是，則= ，= .
【答案】 / -2
【分析】由點的坐標求出，得到，進而求出實部和虛部的和.
【詳解】由題意得，則.
則.
故答案為：，-2
變式2-3．（22-23高一·全國·課后作業）若向量，所對應的復數分別為，，則點B的坐標為 ．
【答案】
【分析】由復數的幾何意義得，，即可向量與坐標關系列方程求值即可.
【詳解】由題意可得，，∴.
設，則有，即，解得.
故答案為：.
【題型三：復數的對稱問題】
例3．（2023·甘肅·一模）復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，若為虛數單位，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求解即可.
【詳解】由題意可得：對應的點為，該點關于虛軸對稱的點為，
所以對應的點為，
.
故選：B
變式3-1．（20-21高一下·上海·課后作業）若復數、滿足，，則、在復平面上的對應點、是（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱
C．關于原點為對稱 D．關于直線對稱
【答案】B
【分析】設復數、，，依題意得到，，再根據復數的幾何意義，寫出復數在復平面內所對應的點的坐標，即可判斷；
【詳解】解：設復數、，，因為，，所以，，
所以、在復平面上的對應點、關于軸對稱，
故選：B
變式3-2．（20-21高一下·上?！ふn后作業）復數，在復平面上對應的點分別為、．
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是 ．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】直接利用復數的幾何意義即可得到.
【詳解】因為復數，在復平面上對應的點分別為、，
所以
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是，；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是，；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是，
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是，.
故答案為：（1），；（2），；（3），；（4），.
變式3-3．（20-21高二·全國·課后作業）若復數與復數在復平面內所對應的點分別滿足下列條件，試探究實數a，b，c，d之間應該滿足的關系．
（1）關于實軸對稱；
（2）關于虛軸對稱；
（3）關于直線對稱．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】根據復數的幾何意義，結合對稱軸寫出相關參數的數量關系即可.
【詳解】由題設，坐標為，坐標為，
（1）關于實軸對稱，只需即即可；
（2）關于虛軸對稱，只需即即可；
（3）關于對稱，即即可.
【題型四：復數與向量】
例4.（2024·云南曲靖·一模）在復平面內，復數對應的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數與向量坐標關系及向量減法求對應點，即可得對應復數.
【詳解】由題設，則，
所以向量對應的復數為.
故選：D
變式4-1.（2024高一下·全國·專題練習）在復平面內，是原點，向量對應的復數為，與關于軸對稱，則點對應的復數是 ．
【答案】
【分析】由對稱性結合復數的幾何意義得出點對應的復數．
【詳解】設向量對應的復數為，對應復平面的坐標為，
因為向量對應的復數為，所以對應復平面的坐標為，
因為與關于軸對稱，所以．
即向量對應的復數為，因為點為坐標原點，所以點對應的復數是．
故答案為：.
變式4-2.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，向量對應的復數是，分別作出下列運算的結果對應的向量：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】
根據題意，結合復數的幾何意義，結合向量的運算法則，即可求解.
【詳解】（1）解：如圖所示：由，則.

（2）解：如圖所示：由，則.

（3）解：如圖所示：由，則.

變式4-3.（22-23高一·全國·隨堂練習）在復平面內，作出表示下列各復數的點和所對應的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
(5)答案見解析
【分析】根據復數的幾何意義以及實部、虛部的概念求解即可.
【詳解】（1）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（2）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（3）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（4）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

（5）因為復數對應的點為，向量為，如圖：

【題型五：共軛復數】
例5．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）若復數z在復平面內對應的點的坐標為，則的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由復數的幾何意義求得復數，然后由共軛復數相關概念求解即可．
【詳解】由題可知，所以．
故選：D
變式5-1.（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知復數，則復數z的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用誘導公式計算可求復數，進而可求.
【詳解】因為
，
所以.
故選：D.
變式5-2.（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）在復平面內，點表示復數，則的虛部是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到，則，再求出其虛部即可.
【詳解】由復數的幾何意義得，從而，其虛部為.
故選：C
變式5-3.（2024高一下·全國·專題練習）已知，復數 (為虛數單位)，若，則 ．
【答案】
【分析】
根據題意，得到，結合，列出方程組，即可求解.
【詳解】
由，可得，
因為且，所以，解得，所以.
故答案為：.
【題型六：復數的模】
例6．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）設，則（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】利用共軛復數的定義及模長公式計算即可
【詳解】由題意可知，故.
故選：C
變式6-1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）為虛數單位，若，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
【答案】A
【分析】化簡復數，再進行求模計算即可.
【詳解】因為，
所以，
故選：A.
變式6-2．（23-24高一下·上?！て谥校┤魪蛿禎M足，則 .
【答案】5
【分析】根據復數的幾何意義直接求解即可.
【詳解】由，得.
故答案為：5
變式6-3．（23-24高一下·全國·隨堂練習）若復數的實部與虛部互為相反數，且，則 ．
【答案】或
【分析】根據給定條件，設出復數的代數形式，再由模的結果計算即得.
【詳解】依題意，設復數，由，得，解得，
所以或.
故答案為：或
【題型七：復數與軌跡】
例7．（21-22高一·全國·課后作業）在復平面內，為原點，若點對應的復數滿足，則點的集合構成的圖形是（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．單位圓以及圓的內部
【答案】D
【分析】根據復數的幾何意義確定點的軌跡即可.
【詳解】設點的坐標為，則點對應的復數為，
因為，由復數的幾何意義可知，，
所以點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓及其內部，
即點的軌跡為單位圓以及圓的內部.
故選：D
變式7-1．（22-23高一下·上海閔行·期末）在復平面上，設點、對應的復數分別為、，當由連續變到時，向量所掃過的圖形區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出取臨界值時點的坐標、，即可得到圖象，向量所掃過的圖形區域的面積是的面積與弓形的面積之和，即向量所掃過的圖形區域的面積是扇形的面積，從而求得向量所掃過的圖形區域的面積.
【詳解】由題意可得，點在單位圓上，點的坐標為，
如圖：當時，點的坐標為，當時，點的坐標為，
向量所掃過的圖形區域的面積是的面積與弓形的面積之和.
由于，關于實軸對稱，所以的面積等于的面積(因為這兩個三角形同底且等高)，
故向量所掃過的圖形區域的面積是扇形的面積，
因為，所以扇形的面積為等于.
故選：B.

變式7-2．（2021高一·浙江溫州·競賽）若復數滿足，則在復平面上對應的點集所組成的圖形面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意原式變形為，設，，表示復數在復平面內對應的點構成的圖形為：以為圓心以4為半徑的圓及其內部，進而得到答案.
【詳解】變形為
設，，所以.
上式表示復數在復平面內對應的點構成的圖形為：以為圓心以4為半徑的
圓及其內部，故在復平面上對應的點集所組成的圖形面積為，故D正確.
故選：D.
變式7-3．（22-23高一下·寧夏吳忠·期末）已知，在復平面內對應的點為為滿足的點的集合所對應的圖形，則的面積為 ．
【答案】
【分析】設，，根據復數的模長公式得到，得到軌跡，求出面積.
【詳解】設，，
因為，所以，即，
表示的是以原點為圓心，2為半徑和5為半徑的兩個圓環的部分（如圖所示），
故的面積為.
故答案為：
【題型八：復數與含參問題】
例8．(多選)（23-24高一下·四川成都·期中）復數在復平面內對應的點位于第四象限，則實數的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】BC
【分析】寫出復數對應點的坐標，由點在所象限列不等式組得范圍．
【詳解】由題意對應的點的坐標為，該點在第四象限，則，解得，
故選：BC．
變式8-1.（23-24高一下·湖南衡陽·期中）若（）在復平面內所對應的點在第一象限，則整數 ．
【答案】1
【分析】根據對應的點所在象限列出限制條件得出答案.
【詳解】由題意可得解得．因為，所以．
故答案為: 1
變式8-2.（23-24高一下·河北·期中）若，則 .
【答案】2
【分析】根據復數的幾何意義可得，即可求解.
【詳解】由題意得，，則，解得．
故答案為：2
變式8-3.（23-24高一下·全國·課堂例題）若復數，滿足，則的值為 .
【答案】
【分析】根據復數的模的概念得，從而求的值.
【詳解】因為，所以 .
故答案為：
一、單選題
1．（23-24高二下·遼寧·開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據復數的定義即可判斷AB，根據復數的模的計算公式即可判斷CD.
【詳解】由復數，可得兩個復數不能比較大小，故AB錯誤，
，所以，故C錯誤，D正確.
故選：D.
2．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知是虛數單位，當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】變形后，結合得到實部和虛部均大于0，得到所在象限.
【詳解】，
又，
，
所對應的點在第一象限.
故選：A.
3．（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知復數在復平面內對應的點為，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根據復數的幾何意義，寫出復數的標準式，結合虛部的定義，可得答案.
【詳解】由題意可知，則其虛部為.
故選：A.
4．（23-24高一下·重慶·期中）若復數滿足，則在復平面內復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義可解.
【詳解】復數在復平面內對應的點為，
其位于第二象限.
故選：B
5．（2024·湖北武漢·模擬預測）復數滿足，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先待定結合復數相等求得，結合模長公式即可求解.
【詳解】由題意不妨設，所以，
所以，解得，所以.
故選：C.
6．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知復數（為虛數單位），則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根據復數模長公式計算.
【詳解】由復數得，.
故選：A
7．（2022·河南信陽·模擬預測）若為第四象限角，則復數（為虛數單位）對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
【答案】D
【分析】根據三角函數的定義，結合復數的幾何意義，即可判斷選項.
【詳解】因為為第四象限角，所以，，
復數對應的點為，為第四象限角.
故選：D
8．（23-24高一下·福建福州·期中）已知復數滿足，則最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用復數模的幾何意義求解即得.
【詳解】是復平面內復數對應點的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓，
是上述圓上的點到復數對應點的距離，
而，所以的最小值是.
故選：A

二、多選題
9．（23-24高一下·江蘇揚州·期中）設復數的共軛復數為為虛數單位，則下列命題正確的是（ ）
A．若復數，則在復平面內對應的點在第四象限
B．復數的模
C．若，則或
D．若復數是純虛數，則或
【答案】AB
【分析】利用復數模的含義，純虛數的概念及復數的幾何意義可得答案.
【詳解】因為，所以在復平面內對應的點為，位于第四象限，A正確；
若，則，B正確；
因為，，所以C不正確；
因為是純虛數，所以，
解得，D不正確.
故選：AB
10．（2024高一下·江蘇·專題練習）在復平面內，一個平行四邊形的3個頂點對應的復數分別是，，，則第四個頂點對應的復數可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
結合平行四邊形的性質討論第四個頂點的三種位置，根據向量相等的坐標運算計算即可.
【詳解】
①假設平行四邊形的三點對應的三個復數分別為：，，，
則＝，∴＝，則點D對應的復數可以是；
②假設平行四邊形的三點對應的三個復數分別為：，，，
則＝，∴＝，
則點C對應的復數可以是；
③假設平行四邊形的三點對應的三個復數分別為：，，，
則＝，∴＝+＝，則點B對應的復數可以是．
故選：BCD
11．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）已知復數在復平面內對應的點為，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則z為純虛數 B．若，則z為實數
C．若，則點Z在直線上 D．若，則點Z在第三象限
【答案】BC
【分析】時，可得判斷A；時，可得判斷B；時，可判斷C；若點在第三象限，可得且，求解可判斷D.
【詳解】對于A，當時，，是實數，故A錯誤；
對于B，當時，，是實數，故B正確；
對于C，當時，，所以，所以點在直線上，故C正確；
對于D，由，得，由，得，
所以不存在點在第三象限，故D錯誤．
故選：BC.
三、填空題
12．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知復數，若復數在復平面上對應的點位于第二象限，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題在復平面上對應的點位于第二象限，即要實部小于零，虛部大于零，建立不等式組可解出.
【詳解】依題意得：，得，
∴.
故答案為：
13．（23-24高一下·山東·階段練習）已知復數滿足，則的最大值是 .
【答案】6
【分析】根據復數的幾何意義和目標式的幾何意義，即可求得結果.
【詳解】由題意，復數對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
而表示復數對應的點到點的距離，
最大的距離為，
即的最大值是.
故答案為：.
14．（23-24高一下·湖北·階段練習）若，則的最小值為
【答案】/
【分析】根據復數的模的公式求，再結合三角函數知識求其最小值.
【詳解】因為
所以，
化簡得，
所以，
設，
則，
當且僅當時等號成立，此時，
所以的最小值為，
故答案為：.
四、解答題
15．（22-23高一下·山東聊城·期中）已知，（為虛數單位）.
(1)若是純虛數，求實數的值；
(2)若在復平面上對應的點在第二象限，且，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據復數的乘法，結合純虛數的定義，可得答案；
（2）根據復數模長公式，整理不等式，根據復數的幾何意義，建立不等式組，可得答案.
【詳解】（1）
根據題意是純虛數，故，解得：；
（2）由，得：，即，從而，
由于在復平面上對應的點在第二象限，
故，解得：，
綜上，實數的取值范圍為.
16．（22-23高一·全國·隨堂練習）設復數和復平面內的點Z對應，若點Z的位置滿足下列要求，分別求實數m的取值范圍，并寫出你的求解思路：
(1)不在實軸上；
(2)在虛軸上；
(3)在實軸下方（不包括實軸）；
(4)在虛軸右側（不包括虛軸）；
(5)第三象限．
【答案】(1)且.
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據題意，結合復數的幾何意義，以及點所在的位置，列出方程（不等式），即可求解.
【詳解】（1）由復數和復平面內的點Z對應，
因為復數不在實軸上，則滿足，解得且.
（2）因為復數和復平面內的點Z對應，
因為復數在虛軸上，則滿足，解得.
（3）因為復數和復平面內的點Z對應，
因為復數在實軸下方（不包括實軸），則滿足，解得.
（4）因為復數和復平面內的點Z對應，
因為復數在虛軸右側（不包括虛軸），則滿足，解得.
（5）因為復數和復平面內的點Z對應，
因為復數第三象限，則滿足，解得.
17．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中．
(1)若為純虛數，求的共軛復數；
(2)若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據復數類型得到方程組，再利用共軛復數概念即可；
（2）根據復數的幾何意義得到不等式組，解出即可.
【詳解】（1）由題意可得，
解得，則，
所以的共軛復數為．
（2）由題意可得，
即，
解得，即的取值范圍是．
18．（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知復數．
(1)若復數為純虛數，求的值；
(2)若在復平面上對應的點在第三象限，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據純虛數的定義，限制實部虛部求解即可.
（2）根據共軛復數的定義限制實部虛部的范圍，解不等式組求解即可.
【詳解】（1）由題意得，
因為為純虛數，
所以解得
（2）復數
它在復平面上對應的點在第三象限，所以，
解得或,
所以實數的取值范圍為．
19．（23-24高一下·安徽安慶·期中）已知復平面內表示復數（）的點為.
(1)若點在函數圖像上，求實數的值；
(2)若為坐標原點，點，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由復數的幾何意義求出點，再代入直線方程解出即可；
（2）由向量的夾角為鈍角時數量積小于零且除去共線反向的情況解出即可.
【詳解】（1）因為點在函數圖像上，
所以，解得.
（2），，
因為與的夾角為鈍角，所以，
所以，
即，即，
當兩向量共線且反向時，設，
即，解得，
所以實數的取值范圍為.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)5.1.2復數的幾何意義
課程標準 學習目標
1.理解復平面的實軸、虛軸、復數的模、共軛復數的概念. 2.理解復數的代數表示及其幾何意義 1、通過類比實數的幾何意義學習復數的幾何意義; 2、正確認知復平面以及復數的坐標關系，明確復數的兩種幾何意義; 3、逐步熟悉復數模的公式，正確認知共軛復數.
知識點01 復平面
定義：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
【即學即練1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數在復平面內對應的點在直線上，則復數在復平面對應的點在（ ）
A．實軸正半軸 B．實軸負半軸 C．虛軸正半軸 D．虛軸負半軸
知識點02 復數的幾何意義
1、任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
2、一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量＝(a，b)是一一對應的．
【即學即練2】（23-24高一下·重慶·期中）復數與分別表示向量與，則向量表示的復數是 ．
知識點03 共軛復數
1、共軛復數的概念：一般地，如果兩個復數的實數相等，而虛部互為相反數，則稱這兩個復數互為共軛復數.
2、共軛復數的代數表示：復數z的共軛復數用表示，因此，當z=a+bi（a，b∈R）時，有= a- bi.
3、互為共軛復數的幾何意義：在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸_對稱；反之，如果表示兩個復數的點在復平面內關于_實軸_對稱，則這兩個復數互為 共軛復數 .
【即學即練3】（23-24高一下·北京·期中）如圖，設復平面內的點Z表示復數，則復數z的共軛復數=（ ）
A． B． C． D．
知識點04 復數的模
1、定義：向量的r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值
2、記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
【即學即練4】（23-24高一下·全國·課堂例題）求下列復數的模：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【題型一：復數的幾何意義】
例1．（20-21高一下·上海·課后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．實軸上的點對應的復數為實數
B．虛軸上的點對應的復數為純虛數
C．表示實數的點都在實軸上
D．表示純虛數的點都在虛軸上
變式1-1．（20-21高一·全國·單元測試）實軸上的點表示實數 ；虛軸上的點表示純虛數 .
變式1-2．（22-23高一·全國·隨堂練習）設復數和復平面內的點對應，若點Z分別位于下列位置，求a，b滿足的條件：
(1)實軸上；
(2)虛軸上；
(3)實軸上方（不包括實軸）；
(4)虛軸左側（不包括虛軸）；
(5)第二象限.
變式1-3．（2023高一·全國·專題練習）求實數分別取何值時，復數對應的點滿足下列條件：
(1)在復平面內的軸上方；
(2)在實軸負半軸上．
【方法技巧與總結】
復平面的有關概念介紹
1、復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面也稱為復平面.
2、實軸：在復平面內，×軸上的點對應的都是實數，因此x軸稱為實軸.
3、虛軸：y軸上的點除原點外，對應的都是純虛數，為了方便起見，稱y軸為虛軸.、
【題型二：復數的坐標表示】
例2．（22-23高一下·湖南益陽·期末）設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式2-1．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知復平面上有點和點，使得向量所對應的復數是，則點的坐標為 .
變式2-2．（20-21高一·全國·課后作業）用表示復數的實部，用表示復數的虛部，若已知復數的共軛復數在復平面內所對應的點的坐標是，則= ，= .
變式2-3．（22-23高一·全國·課后作業）若向量，所對應的復數分別為，，則點B的坐標為 ．
【題型三：復數的對稱問題】
例3．（2023·甘肅·一模）復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，若為虛數單位，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3-1．（20-21高一下·上?！ふn后作業）若復數、滿足，，則、在復平面上的對應點、是（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱
C．關于原點為對稱 D．關于直線對稱
變式3-2．（20-21高一下·上?！ふn后作業）復數，在復平面上對應的點分別為、．
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是 ；
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是 ．
變式3-3．（20-21高二·全國·課后作業）若復數與復數在復平面內所對應的點分別滿足下列條件，試探究實數a，b，c，d之間應該滿足的關系．
（1）關于實軸對稱；
（2）關于虛軸對稱；
（3）關于直線對稱．
【題型四：復數與向量】
例4.（2024·云南曲靖·一模）在復平面內，復數對應的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
變式4-1.（2024高一下·全國·專題練習）在復平面內，是原點，向量對應的復數為，與關于軸對稱，則點對應的復數是 ．
變式4-2.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，向量對應的復數是，分別作出下列運算的結果對應的向量：
(1)
(2)
(3)
變式4-3.（22-23高一·全國·隨堂練習）在復平面內，作出表示下列各復數的點和所對應的向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【題型五：共軛復數】
例5．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）若復數z在復平面內對應的點的坐標為，則的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
變式5-1.（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知復數，則復數z的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
變式5-2.（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）在復平面內，點表示復數，則的虛部是（ ）
A．3 B． C． D．
變式5-3.（2024高一下·全國·專題練習）已知，復數 (為虛數單位)，若，則 ．
【題型六：復數的?！?br/>例6．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）設，則（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
變式6-1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）為虛數單位，若，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
變式6-2．（23-24高一下·上?！て谥校┤魪蛿禎M足，則 .
變式6-3．（23-24高一下·全國·隨堂練習）若復數的實部與虛部互為相反數，且，則 ．
【題型七：復數與軌跡】
例7．（21-22高一·全國·課后作業）在復平面內，為原點，若點對應的復數滿足，則點的集合構成的圖形是（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．單位圓以及圓的內部
變式7-1．（22-23高一下·上海閔行·期末）在復平面上，設點、對應的復數分別為、，當由連續變到時，向量所掃過的圖形區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
變式7-2．（2021高一·浙江溫州·競賽）若復數滿足，則在復平面上對應的點集所組成的圖形面積為（ ）
A． B．
C． D．
變式7-3．（22-23高一下·寧夏吳忠·期末）已知，在復平面內對應的點為為滿足的點的集合所對應的圖形，則的面積為 ．
【題型八：復數與含參問題】
例8．(多選)（23-24高一下·四川成都·期中）復數在復平面內對應的點位于第四象限，則實數的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．1
變式8-1.（23-24高一下·湖南衡陽·期中）若（）在復平面內所對應的點在第一象限，則整數 ．
變式8-2.（23-24高一下·河北·期中）若，則 .
變式8-3.（23-24高一下·全國·課堂例題）若復數，滿足，則的值為 .
一、單選題
1．（23-24高二下·遼寧·開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·湖南·階段練習）已知是虛數單位，當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（23-24高一下·安徽淮南·期中）已知復數在復平面內對應的點為，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高一下·重慶·期中）若復數滿足，則在復平面內復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·湖北武漢·模擬預測）復數滿足，則（ ）
A． B．2 C． D．
6．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知復數（為虛數單位），則（ ）
A． B．2 C． D．1
7．（2022·河南信陽·模擬預測）若為第四象限角，則復數（為虛數單位）對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
8．（23-24高一下·福建福州·期中）已知復數滿足，則最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多選題
9．（23-24高一下·江蘇揚州·期中）設復數的共軛復數為為虛數單位，則下列命題正確的是（ ）
A．若復數，則在復平面內對應的點在第四象限
B．復數的模
C．若，則或
D．若復數是純虛數，則或
10．（2024高一下·江蘇·專題練習）在復平面內，一個平行四邊形的3個頂點對應的復數分別是，，，則第四個頂點對應的復數可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）已知復數在復平面內對應的點為，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則z為純虛數 B．若，則z為實數
C．若，則點Z在直線上 D．若，則點Z在第三象限
三、填空題
12．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知復數，若復數在復平面上對應的點位于第二象限，則的取值范圍為 ．
13．（23-24高一下·山東·階段練習）已知復數滿足，則的最大值是 .
14．（23-24高一下·湖北·階段練習）若，則的最小值為
四、解答題
15．（22-23高一下·山東聊城·期中）已知，（為虛數單位）.
(1)若是純虛數，求實數的值；
(2)若在復平面上對應的點在第二象限，且，求實數的取值范圍.
16．（22-23高一·全國·隨堂練習）設復數和復平面內的點Z對應，若點Z的位置滿足下列要求，分別求實數m的取值范圍，并寫出你的求解思路：
(1)不在實軸上；
(2)在虛軸上；
(3)在實軸下方（不包括實軸）；
(4)在虛軸右側（不包括虛軸）；
(5)第三象限．
17．（23-24高一下·河北·期中）已知，其中．
(1)若為純虛數，求的共軛復數；
(2)若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍．
18．（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知復數．
(1)若復數為純虛數，求的值；
(2)若在復平面上對應的點在第三象限，求的取值范圍．
19．（23-24高一下·安徽安慶·期中）已知復平面內表示復數（）的點為.
(1)若點在函數圖像上，求實數的值；
(2)若為坐標原點，點，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.
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