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高中數(shù)學北師大版講義(必修二)第23講5.1.1復數(shù)的概念(3知識點+6題型+強化訓練)(學生版+解析)

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高中數(shù)學北師大版講義(必修二)第23講5.1.1復數(shù)的概念(3知識點+6題型+強化訓練)(學生版+解析)

資源簡介

5.1.1復數(shù)的概念
課程標準 學習目標
教學重點:復數(shù)的有關(guān)概念,復數(shù)的表示和共軛復數(shù)的概念; 教學難點:復數(shù)概念的理解,復數(shù)與復平面上點一一對應關(guān)系的理解. 1.掌握復數(shù)的代數(shù)形式,理解虛數(shù)、純虛數(shù)、實部與虛部等有關(guān)復數(shù)的概念. 2.理解復數(shù)相等的定義,并會應用它來解決有關(guān)問題
知識點01 復數(shù)的有關(guān)概念
1、虛數(shù)單位:把平方等于-1的數(shù)用符號i表示,規(guī)定i2=-1.我們把i叫作虛數(shù)單位.
2、復數(shù)
①定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,滿足i2=-1,實部是,虛部是.
②表示方法:復數(shù)通常用字母z表示,代數(shù)形式為z=a+bi(a,b∈R).
3、復數(shù)集
①定義:全體復數(shù)所成的集合.
②表示:通常用大寫字母C表示.
【即學即練1】(2024高一·全國·專題練習)給出下列四個命題:
①兩個復數(shù)不能比較大小;
②若實數(shù)a與ai對應,則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應;
③純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集是虛數(shù)集;
④以2為實部的復數(shù)有無數(shù)個.
其中真命題是 .(填寫序號)
知識點02 復數(shù)相等的充要條件
在復數(shù)集C=中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),
我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.
【即學即練2】(23-24高一下·全國·課堂例題)求滿足下列條件的實數(shù)x,y的值:
(1);
(2);
(3);
(4).
知識點03 復數(shù)的分類
對于復數(shù)a+bi,
1、當且僅當b=0時,它是實數(shù);
2、當且僅當a=b=0時,它是實數(shù)0;
3、當b≠0時,叫做虛數(shù);
4.當a=0且b≠0時,叫做純虛數(shù).
這樣,復數(shù)z=a+bi可以分類如下:復數(shù)
【即學即練3】(多選)(23-24高一下·江蘇泰州·期中)對于復數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.若,則為純虛數(shù) B.若,則
C.若,則為實數(shù) D.若,則不是復數(shù)
【題型一:復數(shù)的概念】
例1.(22-23高一下·湖南長沙·階段練習)已知為虛數(shù)單位,下列說法正確的是( )
A.若,則 B.實部為零的復數(shù)是純虛數(shù)
C.可能是實數(shù) D.復數(shù)的虛部是
變式1-1.(20-21高二上·上海徐匯·期末)下列命題中,正確的是( )
A.任意兩個復數(shù)都能比較大小 B.任意兩個復數(shù)都不能比較大小
C.設(shè),如果,那么 D.設(shè),如果,那么
變式1-2.(多選)(2023高一·全國·專題練習)以下四個關(guān)于復數(shù)的結(jié)論,正確的是( )
A.任意兩個復數(shù)不能比大小
B.
C.
D.復數(shù)且
變式1-3.(多選)(22-23高一下·全國·課后作業(yè))(多選)下列說法不正確的是( )
A.復數(shù)的虛部是 B.形如的數(shù)一定是虛數(shù)
C.若,,則是純虛數(shù) D.若兩個復數(shù)能夠比較大小,則它們都是實數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
判斷與復數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法
(1)舉反例:判斷一個命題為假命題,只要舉一個反例即可,所以解答這種類型的題時,可按照"先特殊,后一般;先否定,后肯定"的方法進行解答.
(2)化代數(shù)形式:對于復數(shù)實部、虛部的確定,不但要把復數(shù)化為a+bi的形式,更要注意這里a,b均為實數(shù)時,才能確定復數(shù)的實、虛部.
【題型二:復數(shù)的實部與虛部】
例2.(23-24高一下·廣西來賓·期中)復數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部為( )
A.2 B.-2 C. D.
變式2-1.(23-24高一下·吉林四平·階段練習)復數(shù)虛部是( )
A. B.1 C. D.
變式2-2.(22-23高一下·浙江杭州·期中)若復數(shù),則z的實部與虛部的和為( )
A.-1 B.1 C.5 D.-5
變式2-3.(23-24高一下·浙江寧波·期中)若復數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則復數(shù)z的虛部為 .
【方法技巧與總結(jié)】
判斷復數(shù)a+bi的實部、虛部的關(guān)鍵
(1)看形式:看復數(shù)的表示是否是a+bi的形式.
(2)看屬性:看a,b是否都是實數(shù).
【題型三:虛數(shù)i單位及其性質(zhì)】
例3.(21-22高一下·貴州銅仁·期末)復數(shù),則復數(shù)的虛部是( )
A. B.2 C. D.1
變式3-1.(23-24高一下·全國·課堂例題)計算:① ;②若,則 .
變式3-2.(22-23高一下·黑龍江牡丹江·階段練習) .
變式3-3.(22-23高三·全國·課后作業(yè))若,則 .
【方法技巧與總結(jié)】
1.i與-1的關(guān)系:i就是-1的一個平方根,即方程x2=-1的一個根,方程x2=-1的另一個根是-i
2.i的周期性:i4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n=1。
【題型四:復數(shù)的類型求參數(shù)】
例4.(23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習)已知復數(shù)為純虛數(shù),其中為虛數(shù)單位,,若,則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
變式4-1.(23-24高一下·貴州貴陽·階段練習)復數(shù)是實數(shù),則 .
變式4-2.(23-24高一下·全國·課后作業(yè))“且”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的 條件.
變式4-3.(23-24高一下·全國·課堂例題)復數(shù),當實數(shù)m取什么值時,
(1)是實數(shù);
(2)是虛數(shù);
(3)是純虛數(shù).
【方法技巧與總結(jié)】
復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系:
對于復數(shù),
當且僅當時,z是實數(shù);當時,z是虛數(shù);
當且時,z是純虛數(shù);
當且僅當時,z的值等于實數(shù)0.
【題型五:復數(shù)相等求參數(shù)】
例5.(23-24高一下·福建三明·階段練習)已知(為虛數(shù)單位),則( )
A. B.
C. D.
變式5-1.(2023·湖南岳陽·模擬預測)已知為虛數(shù)單位,為實數(shù),若,則( )
A.2 B.3 C.4 D.5
變式5-2.(22-23高一下·山西陽泉·期末)已知復數(shù),且,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
變式5-3.(21-22高一下·廣東江門·期末)實數(shù)滿足條件:,(其中為i虛數(shù)單位),則( )
A. B.2 C.3 D.
【方法技巧與總結(jié)】
復數(shù)相等的定義是求復數(shù)的值以及在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù).一般地,不全是實數(shù)的兩個復數(shù)只能說相等或不相等,而不能進行大小比較.如與就不能比較大小.
【題型六:復數(shù)的分類及辨析】
例6.(21-22高二下·河南商丘·期中)虛數(shù)單位的引入,使得數(shù)系由實數(shù)系擴充到了復數(shù)系.下面的結(jié)構(gòu)圖中,其中1,2,3三個方框中應依次填入( )
A.復數(shù) 小數(shù) 整數(shù) B.復數(shù) 無理數(shù) 自然數(shù)
C.復數(shù) 無理數(shù) 整數(shù) D.復數(shù) 整數(shù) 小數(shù)
變式6-1.(20-21高一下·全國·課后作業(yè))設(shè)集合,,,則,,間的關(guān)系為( )
A. B. C. D.
變式6-2.(22-23高一下·全國·課后作業(yè))設(shè)集合{復數(shù)},{實數(shù)},{純虛數(shù)},若全集,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
變式6-3.(20-21高一·全國·課后作業(yè))給出下列命題:①自然數(shù)集是非負整數(shù)集;②實數(shù)集與復數(shù)集的交集為實數(shù)集;③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是{0};④純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集.其中,假命題是 .(填序號)
【方法技巧與總結(jié)】
一、單選題
1.(23-24高一下·廣西南寧·期中)若實數(shù),滿足,則( )
A. B.3 C. D.1
2.(23-24高一下·安徽蕪湖·期中)若復數(shù)是實數(shù),則等于( )
A.1 B. C. D.不存在
3.(23-24高一下·江蘇揚州·期中)復數(shù),則復數(shù)的虛部是( )
A. B. C. D.
4.(2024·寧夏銀川·一模)已知復數(shù)表示純虛數(shù),則( )
A.1 B. C.1或 D.2
5.(2024高一下·江蘇·專題練習)下列命題:
①若,則是純虛數(shù);
②若,,且,則;
③若是純虛數(shù),則實數(shù);
④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.
其中正確的是( )
A.① B.② C.③ D.④
6.(2024高一·全國·專題練習)已知復數(shù)()的實部大于虛部,則實數(shù)的取值范圍是(  )
A. B.
C. D.
7.(2023·河北·模擬預測)已知為虛數(shù)單位,,集合,則( )
A. B. C. D.
8.(2023·湖南·一模)如果復數(shù)是純虛數(shù),是虛數(shù)單位,則( )
A.且 B.
C. D.或
二、多選題
9.(21-22高一·全國·課后作業(yè))下列命題不正確的是( )
A.復數(shù)不可能是純虛數(shù)
B.若,則復數(shù)為純虛數(shù)
C.若是純虛數(shù),則實數(shù)
D.若復數(shù),則當且僅當時,為虛數(shù)
10.(22-23高一下·黑龍江雞西·期中)若復數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(  )
A. B. C. D.
11.(22-23高一下·福建福州·期中)已知復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則的值可以為( )
A. B. C. D.
三、填空題
12.(2024·江蘇南通·二模)設(shè),i為虛數(shù)單位.若集合,,且,則m= .
13.(2024高一·全國·專題練習)設(shè)是虛數(shù)單位,若復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則實數(shù) .
14.(22-23高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習)已知復數(shù)(其中為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),寫出關(guān)于復數(shù)的一個正確結(jié)論: .
四、解答題
15.(23-24高一下·廣東江門·階段練習)已知,復數(shù),當為何值時;
(1)是純虛數(shù);
(2)?
16.(22-23高一·全國·隨堂練習)計算:
(1);
(2).
17.(22-23高一下·海南儋州·期中)已知復數(shù).
(1)若z為實數(shù),求m值:
(2)若z為虛數(shù),求m值;
(3)若z為純虛數(shù),求m值;
(4)若復數(shù)z為實數(shù)0,求m值
18.(22-23高一下·河北·期末)已知復數(shù),,其中是虛數(shù)單位,.
(1)若為純虛數(shù),求的值;
(2)若,求的取值范圍.
19.(22-23高一下·河南·階段練習)若復數(shù),,且,求的取值范圍.
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課程標準 學習目標
教學重點:復數(shù)的有關(guān)概念,復數(shù)的表示和共軛復數(shù)的概念; 教學難點:復數(shù)概念的理解,復數(shù)與復平面上點一一對應關(guān)系的理解. 1.掌握復數(shù)的代數(shù)形式,理解虛數(shù)、純虛數(shù)、實部與虛部等有關(guān)復數(shù)的概念. 2.理解復數(shù)相等的定義,并會應用它來解決有關(guān)問題
知識點01 復數(shù)的有關(guān)概念
1、虛數(shù)單位:把平方等于-1的數(shù)用符號i表示,規(guī)定i2=-1.我們把i叫作虛數(shù)單位.
2、復數(shù)
①定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,滿足i2=-1,實部是,虛部是.
②表示方法:復數(shù)通常用字母z表示,代數(shù)形式為z=a+bi(a,b∈R).
3、復數(shù)集
①定義:全體復數(shù)所成的集合.
②表示:通常用大寫字母C表示.
【即學即練1】(2024高一·全國·專題練習)給出下列四個命題:
①兩個復數(shù)不能比較大小;
②若實數(shù)a與ai對應,則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應;
③純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集是虛數(shù)集;
④以2為實部的復數(shù)有無數(shù)個.
其中真命題是 .(填寫序號)
【答案】④
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念一一分析即可.
【詳解】①中當這兩個復數(shù)都是實數(shù)時,可以比較大小,故①為假命題;
②若,則ai不是純虛數(shù),故②為假命題;
③純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集不是虛數(shù)集,因為復數(shù)中還包含實數(shù),則③為假命題;
④對于復數(shù),a有無數(shù)個取值,故④為真命題.
故答案為:④.
知識點02 復數(shù)相等的充要條件
在復數(shù)集C=中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),
我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.
【即學即練2】(23-24高一下·全國·課堂例題)求滿足下列條件的實數(shù)x,y的值:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)
(2)
(3),或
(4)
【分析】(1)根據(jù)實部與虛部對應關(guān)系解方程即可
(2)令實部為0且虛部為0解方程即可;
(3)根據(jù)實部與虛部對應關(guān)系解方程即可;
(4)令實部為0且虛部為0解方程即可.
【詳解】(1)由,可得
(2)由,可得
(3)由,可得,或
(4)由,可得
知識點03 復數(shù)的分類
對于復數(shù)a+bi,
1、當且僅當b=0時,它是實數(shù);
2、當且僅當a=b=0時,它是實數(shù)0;
3、當b≠0時,叫做虛數(shù);
4.當a=0且b≠0時,叫做純虛數(shù).
這樣,復數(shù)z=a+bi可以分類如下:復數(shù)
【即學即練3】(多選)(23-24高一下·江蘇泰州·期中)對于復數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.若,則為純虛數(shù) B.若,則
C.若,則為實數(shù) D.若,則不是復數(shù)
【答案】ABD
【分析】A.由判斷;B.由復數(shù)的實部和虛部判斷;C.復數(shù)的分類判斷;D.由復數(shù)的分類判斷.
【詳解】A.當時,為實數(shù),故錯誤;
B.若,則,故錯誤;
C.若,則為實數(shù),故正確;
D.若,則是實數(shù),故錯誤;
故選:ABD
【題型一:復數(shù)的概念】
例1.(22-23高一下·湖南長沙·階段練習)已知為虛數(shù)單位,下列說法正確的是( )
A.若,則 B.實部為零的復數(shù)是純虛數(shù)
C.可能是實數(shù) D.復數(shù)的虛部是
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念即可求解.
【詳解】A.,說法不正確;
B.實部為零的復數(shù)可能虛部也為零,從而是實數(shù),說法不正確;
C.當時,是實數(shù),說法正確;
D.復數(shù)的虛部是1,說法不正確.
故選:.
變式1-1.(20-21高二上·上海徐匯·期末)下列命題中,正確的是( )
A.任意兩個復數(shù)都能比較大小 B.任意兩個復數(shù)都不能比較大小
C.設(shè),如果,那么 D.設(shè),如果,那么
【答案】C
【分析】利用復數(shù)的概念與性質(zhì)判斷選項的正誤,即可得到結(jié)果.
【詳解】當兩個復數(shù)有虛數(shù)時,不可以比較大小,所以A錯誤;
當兩個復數(shù)都是實數(shù)時,可以比較大小,所以B錯誤;
因為,且,所以是實數(shù),故,所以C正確;
因為,若,則,但是此時與不能比較大小,所以D錯誤.
故選:C.
變式1-2.(多選)(2023高一·全國·專題練習)以下四個關(guān)于復數(shù)的結(jié)論,正確的是( )
A.任意兩個復數(shù)不能比大小
B.
C.
D.復數(shù)且
【答案】CD
【分析】根據(jù)復數(shù)的有關(guān)定義與性質(zhì)分別判斷即可.
【詳解】對于A,當兩個復數(shù)都是實數(shù)時,才可以比較大小,所以A錯誤;
對于B,當則,故B錯誤;
對于C,因為,所以,所以由可以得到,故C正確;
對于D,若復數(shù),則且,故D正確.
故選:CD.
變式1-3.(多選)(22-23高一下·全國·課后作業(yè))(多選)下列說法不正確的是( )
A.復數(shù)的虛部是 B.形如的數(shù)一定是虛數(shù)
C.若,,則是純虛數(shù) D.若兩個復數(shù)能夠比較大小,則它們都是實數(shù)
【答案】AB
【分析】
根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念逐一判斷即可.
【詳解】
復數(shù)的虛部是3,故A中說法不正確;
形如的數(shù)不一定是虛數(shù),例如,當,時,不是虛數(shù),故B中說法不正確;
只有當,,即時,是純虛數(shù),故C中說法正確;
因為虛數(shù)不能比較大小,所以若兩個復數(shù)能夠比較大小,則它們都是實數(shù),故D中說法正確.
故選:AB.
【方法技巧與總結(jié)】
判斷與復數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法
(1)舉反例:判斷一個命題為假命題,只要舉一個反例即可,所以解答這種類型的題時,可按照"先特殊,后一般;先否定,后肯定"的方法進行解答.
(2)化代數(shù)形式:對于復數(shù)實部、虛部的確定,不但要把復數(shù)化為a+bi的形式,更要注意這里a,b均為實數(shù)時,才能確定復數(shù)的實、虛部.
【題型二:復數(shù)的實部與虛部】
例2.(23-24高一下·廣西來賓·期中)復數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部為( )
A.2 B.-2 C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)虛部的定義求解即可.
【詳解】復數(shù)的虛部為,即虛部為.
故選:B.
變式2-1.(23-24高一下·吉林四平·階段練習)復數(shù)虛部是( )
A. B.1 C. D.
【答案】A
【分析】直接計算虛部即可.
【詳解】復數(shù)虛部是.
故選:A.
變式2-2.(22-23高一下·浙江杭州·期中)若復數(shù),則z的實部與虛部的和為( )
A.-1 B.1 C.5 D.-5
【答案】B
【分析】直接由實部虛部的定義計算即可.
【詳解】由知實部為3,虛部為,故實部與虛部的和為.
故選:B.
變式2-3.(23-24高一下·浙江寧波·期中)若復數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則復數(shù)z的虛部為 .
【答案】
【分析】令,由復數(shù)相等可求出復數(shù)z,從而得到虛部.
【詳解】令,
所以,可得
,其虛部為.
故答案為:
【方法技巧與總結(jié)】
判斷復數(shù)a+bi的實部、虛部的關(guān)鍵
(1)看形式:看復數(shù)的表示是否是a+bi的形式.
(2)看屬性:看a,b是否都是實數(shù).
【題型三:虛數(shù)i單位及其性質(zhì)】
例3.(21-22高一下·貴州銅仁·期末)復數(shù),則復數(shù)的虛部是( )
A. B.2 C. D.1
【答案】A
【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的定義以及復數(shù)的相關(guān)概念運算求解.
【詳解】由題意可得:,
所以復數(shù)的虛部是.
故選:A.
變式3-1.(23-24高一下·全國·課堂例題)計算:① ;②若,則 .
【答案】 -1
【分析】①根據(jù)規(guī)定可得,②設(shè) ,根據(jù)復數(shù)相等解方程即可
【詳解】根據(jù)規(guī)定知;
設(shè) ,
得,或,
所以
故答案為:-1;
變式3-2.(22-23高一下·黑龍江牡丹江·階段練習) .
【答案】/
【分析】利用的性質(zhì)計算可得答案.
【詳解】∵,∴,
則,故原式.
故答案為:.
變式3-3.(22-23高三·全國·課后作業(yè))若,則 .
【答案】
【分析】
根據(jù)虛數(shù)單位的運算法則計算可得.
【詳解】.
故答案為:
【方法技巧與總結(jié)】
1.i與-1的關(guān)系:i就是-1的一個平方根,即方程x2=-1的一個根,方程x2=-1的另一個根是-i
2.i的周期性:i4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n=1。
【題型四:復數(shù)的類型求參數(shù)】
例4.(23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習)已知復數(shù)為純虛數(shù),其中為虛數(shù)單位,,若,則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根據(jù)純復數(shù)的定義:實部為0,虛部不等于0,列出方程即可求得,代入式子化簡,根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件即可列出式子進行求解.
【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù),所以滿足:,解得:,
所以,即;
所以.
故選:D
變式4-1.(23-24高一下·貴州貴陽·階段練習)復數(shù)是實數(shù),則 .
【答案】
【分析】由題干可得且,進行計算即可得解.
【詳解】根據(jù)題意且,
所以且,
即,
所以或(舍),
故答案為:
變式4-2.(23-24高一下·全國·課后作業(yè))“且”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的 條件.
【答案】充分不必要
【分析】根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若且,則復數(shù)是純虛數(shù),即充分性成立;
若復數(shù)是純虛數(shù),則且,即不一定成立,
利用,即必要性不成立;
綜上所述:“且”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的充分不必要條件.
故答案為:充分不必要
變式4-3.(23-24高一下·全國·課堂例題)復數(shù),當實數(shù)m取什么值時,
(1)是實數(shù);
(2)是虛數(shù);
(3)是純虛數(shù).
【答案】(1)或
(2)且且
(3)
【分析】(1)根據(jù)復數(shù)是實數(shù),列出方程,解方程即可得解;
(2)根據(jù)復數(shù)是虛數(shù),列出方程,解方程即可得出答案;
(3)根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù),列出方程,解方程即可得出答案.
【詳解】(1)因為復數(shù)為實數(shù),所以,即或,
所以或時,復數(shù)為實數(shù).
(2)因為為虛數(shù),則,解得且且,
所以且且時,復數(shù)為純虛數(shù).
(3)因為為純虛數(shù),則,解得,
所以時,復數(shù)為純虛數(shù).
【方法技巧與總結(jié)】
復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系:
對于復數(shù),
當且僅當時,z是實數(shù);當時,z是虛數(shù);
當且時,z是純虛數(shù);
當且僅當時,z的值等于實數(shù)0.
【題型五:復數(shù)相等求參數(shù)】
例5.(23-24高一下·福建三明·階段練習)已知(為虛數(shù)單位),則( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】借助復數(shù)相等求解作答
【詳解】因為,所以
故選:D
變式5-1.(2023·湖南岳陽·模擬預測)已知為虛數(shù)單位,為實數(shù),若,則( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【分析】由復數(shù)相等可列出方程組求解.
【詳解】由題意,
所以,解得,所以.
故選:D.
變式5-2.(22-23高一下·山西陽泉·期末)已知復數(shù),且,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用復數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關(guān)系可得,再根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍.
【詳解】復數(shù),且,
所以,則
因為,所以,當時,,當時,
所以的取值范圍是.
故選:B.
變式5-3.(21-22高一下·廣東江門·期末)實數(shù)滿足條件:,(其中為i虛數(shù)單位),則( )
A. B.2 C.3 D.
【答案】A
【分析】由復數(shù)相等的條件列出式子,即可求解
【詳解】因為,
所以,解得,
所以,
故選:A
【方法技巧與總結(jié)】
復數(shù)相等的定義是求復數(shù)的值以及在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù).一般地,不全是實數(shù)的兩個復數(shù)只能說相等或不相等,而不能進行大小比較.如與就不能比較大小.
【題型六:復數(shù)的分類及辨析】
例6.(21-22高二下·河南商丘·期中)虛數(shù)單位的引入,使得數(shù)系由實數(shù)系擴充到了復數(shù)系.下面的結(jié)構(gòu)圖中,其中1,2,3三個方框中應依次填入( )
A.復數(shù) 小數(shù) 整數(shù) B.復數(shù) 無理數(shù) 自然數(shù)
C.復數(shù) 無理數(shù) 整數(shù) D.復數(shù) 整數(shù) 小數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)實數(shù)和復數(shù)的概念,直接判斷即可.
【詳解】由復數(shù)的分類可得:1處填入復數(shù);
由實數(shù)的分類可得:2處填入無理數(shù);
由有理數(shù)的分類可得:3處填入整數(shù).
故選:C.
變式6-1.(20-21高一下·全國·課后作業(yè))設(shè)集合,,,則,,間的關(guān)系為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)的定義、復數(shù)的分類判斷.
【詳解】根據(jù)復數(shù)的定義,復數(shù)包含虛數(shù)和實數(shù),虛數(shù)包含純虛數(shù)和非純虛數(shù)的虛數(shù).
因此只有B正確.
故選:B.
變式6-2.(22-23高一下·全國·課后作業(yè))設(shè)集合{復數(shù)},{實數(shù)},{純虛數(shù)},若全集,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】
舉反例判斷選項AB,根據(jù)集合的關(guān)系,結(jié)合集合的運算性質(zhì)判斷CD.
【詳解】復數(shù),但,所以,選項A錯誤;
復數(shù),但,所以,選項B錯誤;
,選項C錯誤,
,選項D正確;
故選:D.
變式6-3.(20-21高一·全國·課后作業(yè))給出下列命題:①自然數(shù)集是非負整數(shù)集;②實數(shù)集與復數(shù)集的交集為實數(shù)集;③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是{0};④純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集.其中,假命題是 .(填序號)
【答案】③
【分析】結(jié)合數(shù)集特征和實數(shù)虛數(shù)概念判斷即可.
【詳解】①②④顯然正確,②中復數(shù)包括實數(shù)和虛數(shù),③中實數(shù)和虛數(shù)只能是并列關(guān)系,不存在交集,故③實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是空集,故③錯.
故答案為:③
【方法技巧與總結(jié)】
一、單選題
1.(23-24高一下·廣西南寧·期中)若實數(shù),滿足,則( )
A. B.3 C. D.1
【答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件求出,的值,即可得解.
【詳解】因為實數(shù),滿足,
所以,則.
故選:B
2.(23-24高一下·安徽蕪湖·期中)若復數(shù)是實數(shù),則等于( )
A.1 B. C. D.不存在
【答案】A
【分析】根據(jù)實數(shù)和復數(shù)的概念直接列式求解即可.
【詳解】因為是實數(shù),
所以,解得,
故選:A
3.(23-24高一下·江蘇揚州·期中)復數(shù),則復數(shù)的虛部是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用復數(shù)虛部的含義可得答案.
【詳解】因為,所以虛部為.
故選:C
4.(2024·寧夏銀川·一模)已知復數(shù)表示純虛數(shù),則( )
A.1 B. C.1或 D.2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合復數(shù)的相關(guān)概念列式求解即可.
【詳解】因為,
若復數(shù)表示純虛數(shù),則,解得.
故選:B.
5.(2024高一下·江蘇·專題練習)下列命題:
①若,則是純虛數(shù);
②若,,且,則;
③若是純虛數(shù),則實數(shù);
④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.
其中正確的是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】D
【分析】
對于①,當時,即可判斷;對于②,兩個虛數(shù)不能比較大小;對于③,當時,即可判斷;對于④,由復數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系即可判斷.
【詳解】對于①,若,則不是純虛數(shù),則①錯誤;
對于②,兩個虛數(shù)不能比較大小,則②錯誤;
對于③,若,則,,此時不是純虛數(shù),則③錯誤;
對于④,由復數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系可知,實數(shù)集是復數(shù)集的真子集,則④正確.
故選:.
6.(2024高一·全國·專題練習)已知復數(shù)()的實部大于虛部,則實數(shù)的取值范圍是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用復數(shù)的定義及一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】由已知可得,即,解得或,
因此,實數(shù)a的取值范圍是.
故選:B.
7.(2023·河北·模擬預測)已知為虛數(shù)單位,,集合,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根據(jù)兩復數(shù)相等,實部、虛部分別相等列方程組,求解可得結(jié)果.
【詳解】由題得,
所以,解得,所以.
故選:C
8.(2023·湖南·一模)如果復數(shù)是純虛數(shù),是虛數(shù)單位,則( )
A.且 B.
C. D.或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意復數(shù)為純虛數(shù),即得,從而求解.
【詳解】由復數(shù)是純虛數(shù),

解得:.
故選:C.
二、多選題
9.(21-22高一·全國·課后作業(yè))下列命題不正確的是( )
A.復數(shù)不可能是純虛數(shù)
B.若,則復數(shù)為純虛數(shù)
C.若是純虛數(shù),則實數(shù)
D.若復數(shù),則當且僅當時,為虛數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念逐項判斷即可.
【詳解】選項A中,當,時,復數(shù)是純虛數(shù),錯誤;
選項B中,時,為純虛數(shù),正確;
選項C中,若是純虛數(shù),則,即,
所以,錯誤;
選項D中,沒有給出是實數(shù),當時,
也是虛數(shù),錯誤.
故選:ACD
10.(22-23高一下·黑龍江雞西·期中)若復數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(  )
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】依題意可得與均為實數(shù),即可判斷.
【詳解】因為虛數(shù)不能比較大小,若復數(shù),
則說明與均為實數(shù),所以且.
故選:AC
11.(22-23高一下·福建福州·期中)已知復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則的值可以為( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題目條件與余弦二倍角公式得到,,求出或,
結(jié)合,求出的值.
【詳解】由條件知,,
∴,
∴或,
∵,
∴,或.
故選:ACD
三、填空題
12.(2024·江蘇南通·二模)設(shè),i為虛數(shù)單位.若集合,,且,則m= .
【答案】1
【分析】由集合的包含關(guān)系得兩個集合中元素的關(guān)系,由復數(shù)的相等解的值.
【詳解】集合,,且,
則有或,解得.
故答案為:1
13.(2024高一·全國·專題練習)設(shè)是虛數(shù)單位,若復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則實數(shù) .
【答案】5
【分析】根據(jù)已知結(jié)合復數(shù)的定義列式,即可解出答案.
【詳解】復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),
,解得.
故答案為:
14.(22-23高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習)已知復數(shù)(其中為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),寫出關(guān)于復數(shù)的一個正確結(jié)論: .
【答案】
【分析】根據(jù)復數(shù)的分類即可求解.
【詳解】由,解得,故.
故答案為:
四、解答題
15.(23-24高一下·廣東江門·階段練習)已知,復數(shù),當為何值時;
(1)是純虛數(shù);
(2)?
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)根據(jù)實部為0,虛部不為零可求參數(shù)的值;
(2)利用復數(shù)相等的條件可得關(guān)于參數(shù)的方程組,求出其解后可得參數(shù)的值.
【詳解】(1)∵是純虛數(shù),
∴,解得或,
∴當或時,是純虛數(shù).
(2)∵,∴,解得,
∴故時,.
16.(22-23高一·全國·隨堂練習)計算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)0
【分析】根據(jù)的計算公式,即可化簡求值.
【詳解】(1)原式;
(2)原式,
.
17.(22-23高一下·海南儋州·期中)已知復數(shù).
(1)若z為實數(shù),求m值:
(2)若z為虛數(shù),求m值;
(3)若z為純虛數(shù),求m值;
(4)若復數(shù)z為實數(shù)0,求m值
【答案】(1)或;
(2)且
(3)
(4)
【分析】根據(jù)復數(shù)的特征,列出關(guān)于實部和虛部的取值,即可求解.
【詳解】(1)若為實數(shù),則,解得:或;
(2)若z為虛數(shù),則,得:且;
(3)若為純虛數(shù),則,解得:;
(4)若復數(shù)為實數(shù)0,則,解得:.
18.(22-23高一下·河北·期末)已知復數(shù),,其中是虛數(shù)單位,.
(1)若為純虛數(shù),求的值;
(2)若,求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)z1為純虛數(shù),則其實部為0,虛部不為0,解得參數(shù)值;
(2)由z1=z2,實部、虛部分別相等,求得關(guān)于的函數(shù)表達式,根據(jù)的范圍求得參數(shù)取值范圍.
【詳解】(1)由z1為純虛數(shù),
則,解得m=-2.
(2)由,得

∵,
∴當時,,當時,,
∴實數(shù)的取值范圍是.
19.(22-23高一下·河南·階段練習)若復數(shù),,且,求的取值范圍.
【答案】
【分析】
利用復數(shù)相等建立等式關(guān)系可得,分,討論,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系即可確定其范圍.
【詳解】由可得
得,
因為,
所以,
當時,;
當時, .
綜上,的取值范圍為.
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