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第5章復數章末十五種?？碱}型歸類
復數的概念
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
【分析】根據復數的概念及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】易知，所以不滿足充分性，而，滿足必要性.
故選：B
2．（2024高一·全國·專題練習）給出下列命題：
①若R，則是純虛數；
②若R且，則；
③若C，則復數的實部為a，虛部為b；
④i的平方等于.
其中正確命題的序號是（　?。?br/>A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【分析】利用復數的概念逐一判斷各個命題即得.
【詳解】對于復數（R），當且時為純虛數，
在①中，若，則不是純虛數，①錯誤；
在②中，兩個虛數不能比較大小，②錯誤；
在③中，只有當R時，復數的實部才為a，虛部為b，③錯誤；
在④中，i的平方等于，④正確.
故選：D
3．（20-21高一下·全國·課后作業）下列命題中：
①若，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1；
②純虛數集相對于復數集的補集是虛數集；
③若，則.
正確命題的個數是（　?。?br/>A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據復數的概念及復數相等判斷各命題.
【詳解】對于①，因為，取，則，但不成立，故①錯誤；
對于②，純虛數集相對于復數集的補集是實數集合和虛數集中的非純虛數集，故②錯誤；
對于③，因為，若，則不一定相等，比如，，滿足，此時不相等，故③錯誤；
故選：A.
4．（多選）（21-22高一·全國·課后作業）下列命題中，不正確的是（ ）
A．是一個復數 B．形如的數一定是虛數
C．兩個復數一定不能比較大小 D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據復數的概念逐項分析即得.
【詳解】由復數的定義可知A命題正確；
形如的數，當時，它不是虛數，故B命題錯誤；
若兩個復數全是實數，則可以比較大小，故C命題錯誤；
兩個虛數不能比較大小，故D命題錯誤．
故選：BCD．
5．（多選）（21-22高一·全國·課后作業）（多選）已知為復數，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據復數的定義以及復數模的概念對選型分別判斷即可.
【詳解】若，則為實數，當時，滿足，但，故C項不正確；
因為兩個虛數之間只有等與不等，不能比較大小，所以D項不正確；
當兩個復數不相等時，它們的模有可能相等，比如，但，所以B項不正確；
因為當兩個復數相等時，模一定相等，所以A項正確．
故選:BCD．
復數的實部與虛部
6．（23-24高一下·廣東梅州·期中）復數的實部和虛部分別是（ ）
A．1，1 B．1， C．， D．，
【答案】A
【分析】由復數代數形式的運算化簡即可.
【詳解】，
所以數的實部和虛部分別是1,1，
故選：A.
7．(多選)（23-24高一下·廣東茂名·期中）設復數，則下列命題結論正確的是（ ）
A．的實部為1 B．復數的虛部是2
C．復數的模為 D．在復平面內，復數對應的點在第四象限
【答案】ACD
【分析】先根據復數的除法運算求出復數，再根據復數的實部和虛部的定義即可判斷AB；根據復數的模的計算公式即可判斷C；根據復數的幾何意義即可判斷D.
【詳解】，
所以的實部為，虛部為，故A正確，B錯誤；
，故C正確；
在復平面內，復數對應的點為，在第四象限，故D正確.
故選：ACD.
8．（23-24高一下·安徽·期中）已知復數的實部為5，虛部為-1，則 .
【答案】
【分析】根據題意，得到，由復數的運算法則，利用模的計算公式，即可求解.
【詳解】由復數的實部為，虛部為，可得，
則，所以.
故答案為：.
9．（22-23高一下·浙江嘉興·階段練習）復數，其中為虛數單位，則的實部是 ．
【答案】
【分析】利用復數的乘法運算法則以及復數實部的定義求解.
【詳解】，則的實部是，
故答案為：．
10．（2024高一·全國·專題練習）已知復數的實部與虛部的差為．
(1)若，且，求復數的虛部；
(2)當取得最小值時，求復數的實部．
【答案】(1)6；
(2)
【分析】（1）由復數的實部、虛部的運算，可得，再結合題意可得，再確定虛部即可.
（2）先求出函數取最小值時對應的值，再代入即可得解.
【詳解】（1）依題意，，由，得，而，解得，
則，，所以的虛部是6.
（2）由（1）知，，則當時，取得最小值，
此時，，所以的實部為.
復數相等求參數
11．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為虛數單位，為實數，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由復數相等可列出方程組求解.
【詳解】由題意，
所以，解得，所以.
故選：D.
12．（2024·全國·模擬預測）已知，其中，i為虛數單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據復數相等求解出，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
因此所選方程的兩根為，僅有符合要求，
故選：A.
13．（21-22高三上·陜西延安·期中）已知a，，復數，（i為虛數單位），若，則（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
【答案】B
【分析】根據復數相等的定義列方程求解即可．
【詳解】解：由得
，
，
，
解得，
．
故選：B．
14．（20-21高一·全國·課后作業）定義：復數是()的轉置復數，已知，i是虛數單位，若，則復數的轉置復數是 .
【答案】/i-2
【分析】先根據復數相等得到，求出和轉置復數.
【詳解】由，得，所以復數，
故復數的轉置復數是.
故答案為：
15．（21-22高一·湖南·課后作業）已知，，則“”是“”的 條件．
【答案】充分不必要
【分析】根據充分條件，必要條件的定義即得.
【詳解】當時，必有且，解得或，
顯然“”是“”的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要.
復數類型求參數
16．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）復數，（，）為實數的充要條件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】考查復數相關概念問題，根據實數和虛數概念求解即可.
【詳解】若復數，（，）為實數，
則有， ，
故選：A.
17．（2018·江西·一模）若，則“”是復數“”為純虛數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據純虛數的概念進行判斷即可.
【詳解】若，則為純虛數；
若為純虛數，，則有，解得.
所以，當時，“”是復數“”為純虛數的充要條件.
故選：C
18．（23-24高一下·北京·階段練習）設，復數.若復數是純虛數，則 ；若復數在復平面內對應的點位于實軸上，則 .
【答案】 -1 1
【分析】由復數是純虛數或實數的充要條件即可列式求解.
【詳解】，對于第一空：若復數是純虛數，則，解得；
對于第二空：若復數在復平面內對應的點位于實軸上，則，解得.
故答案為：-1；1.
19．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）實數m取什么值時，復數是：
(1)實數？
(2)純虛數？
【答案】(1)或6；
(2).
【分析】（1）（2）利用實數、純虛數的定義列式求解即得.
【詳解】（1）復數是實數，則，解得或，
所以當或時，復數z是實數.
（2）由復數z是純虛數，得且，解得，
所以當時，復數z是純虛數.
20．（2024高一·全國·專題練習）已知，為的一個內角．若不論為何值，總存在使得是實數，求實數的取值范圍．
【答案】.
【分析】根據為實數，求得恒成立，再借助半角公式，以及正切型函數的值域，即可求得參數的范圍.
【詳解】∵是實數，，，∴，即恒成立．
又，，，
∴，∴，
∴當時，不論為何值，總存在使得是實數，
故的取值范圍為.
共軛復數問題
21．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的乘方及復數除法運算求出復數，再求出即可得解.
【詳解】由，得，
則，所以的虛部為1.
故選：A
22．（2024·全國·模擬預測）復數滿足（為虛數單位），則復數的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的除法運算和共軛復數定義計算即可
【詳解】由題知，復數．
故選:B．
23．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）設是復數，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則為純虛數
【答案】BC
【分析】根據復數的模的定義和復數的乘法法則判斷A，根據共軛復數的定義判斷B，結合復數的運算法則及復數的模的定義判斷C，結合純虛數的定義判斷D.
【詳解】設，，，，
對于A，取，則，，，A錯誤，
對于B，由，，，
可得，
所以，B正確，
對于C，因為，，
所以，
所以，
所以，又，
所以，C正確，
對于D，由，可得，所以，
因為可能為，所以不一定為純虛數，D錯誤，
故選：BC.
24．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）復數，則 .
【答案】/
【分析】根據復數的除法運算求出復數z，可得，即可求出，即可求得答案.
【詳解】由題意得，故，
可得，則，
故答案為：
25．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知復數，且為純虛數.
(1)求復數；
(2)若，求復數及.
【答案】(1)；
(2) ，.
【分析】（1）根據共軛復數的定義和復數的乘法運算，結合純虛數的定義，即可求得結果；
（2）根據（1）中所求，結合復數的除法運算，求得，再求及即可.
【詳解】（1），則， ，
又其為純虛數，故，解得，故.
（2） ，
則， .
復數的模
26．（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復數的實部與虛部互為相反數，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．8 D．
【答案】D
【分析】根據復數的有關概念即可得到結論
【詳解】因為復數的實部為2，虛部為，
由題意可得，解得，
故選：D
27．（23-24高一下·山西·期中）已知為復數，則“的實部大于0”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設出復數的代數形式，利用模的定義變形給定不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.
【詳解】設，，則，
所以z的實部大于0是的充要條件．
故選：C
28．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知，則（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不確定
【答案】C
【分析】分別求出的模，利用復數模的性質求結論.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：C.
29．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知復數在復平面內所對應的點分別為，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由復數的幾何意義和復數的模長公式求解即可.
【詳解】由復數的幾何意義可得，
所以.
故選：A.
30．（23-24高一下·河北·期中）若，則 .
【答案】2
【分析】根據復數的幾何意義可得，即可求解.
【詳解】由題意得，，則，解得．
故答案為：2
復數的坐標表示
31．（2024高一下·全國·專題練習）（1）復平面內的原點表示實數 ，
（2）實軸上的點表示實數 ，
（3）虛軸上的點表示純虛數 ，
（4）點表示復數 .
【答案】 0 2 /
【分析】
根據復平面內復數的表示逐個寫出答案即可.
【詳解】由復數的幾何意義知：原點表示實數0；實軸上的點表示實數2；
虛軸上的點表示純虛數；點表示復數.
故答案為：0；2；；.
32．（22-23高一下·福建寧德·期中）已知復數，則在復平面內復數z對應的點在第 象限．
【答案】二
【分析】
根據復數的幾何意義分析即可.
【詳解】復數在復平面內復數z對應的點為，位于第二象限.
故答案為：二
33．（20-21高一下·重慶渝中·期中）復數，對應點在虛軸上，實數的值為 .
【答案】或
【分析】由條件可得，解出即可.
【詳解】因為復數對應點在虛軸上，
所以，解得或
故答案為：或.
34．（2024高三·全國·專題練習）設復數z＝a＋bi（a，b∈R，i為虛數單位）在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“ab<0”的 條件
【答案】充分不必要
【詳解】
解析：由點M在第四象限，得a>0，b<0，故ab<0，充分性成立；由ab<0，得a>0，b<0，或a<0，b>0，故點M在第二象限或第四象限，必要性不成立．
【考查意圖】
充分、必要條件的判定．
35．（2022高一·全國·專題練習）在復平面內，若復數對應的點滿足下列條件．分別求實數m的取值范圍．
(1)在虛軸上；
(2)在第二象限；
(3)在直線y＝x上．
【答案】(1)m＝2或m＝－1；
(2)－1＜m＜1；
(3)m＝2.
【分析】（1）由題可得，即求；
（2）由題可知，進而即得；
（3）由題可得，即得.
【詳解】（1）∵復數對應的點為，
由題意得，
解得m＝2或m＝－1.
（2）由題意得
∴，
∴－1＜m＜1.
（3）由題得，
∴m＝2.
復數與向量
36．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復平面內的點，分別對應的復數為和，則向量對應的復數為 .
【答案】
【分析】首先得到，，即可求出的坐標，從而寫出其對應的復數.
【詳解】因為復平面內的點，分別對應的復數為和，
所以，，
所以，
所以向量對應的復數為.
故答案為：
37.（23-24高一下·河南·期中）已知復數滿足為虛數單位，在復平面上對應的點為，定點為坐標原點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據給定條件，利用復數模的幾何意義，結合向量數量積的運算律及定義法求出向量的數量積求解即得.
【詳解】依題意，點的軌跡是復平面上以點為圓心，2為半徑的圓，
，而，
，當且僅當方向相反時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
38．（23-24高一下·山東棗莊·期中）在復平面內復數，所對應的點為，，為坐標原點，是虛數單位.
(1)，，計算與；
(2)設， ，求證：，并指出向量，滿足什么條件時該不等式取等號.
【答案】(1)，
(2)證明見解析，時取等號
【分析】（1）利用復數代數形式的乘法法則求出，再由復數的幾何意義可得，，再根據向量數量積的坐標法計算可得；
（2）利用復數運算規律分別求出、的平方，利用作差法可得，此時需滿足.
【詳解】（1）因為，，
則，
又，，
所以，，
所以；
（2）因為，
所以，
可得；
因為，
所以，，
因此
，
所以，
當且僅當時取等號，此時向量滿足.
39．（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知復數對應的向量分別為和，其中為復平面的原點.
(1)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數的取值范圍；
(2)求在上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，根據復數在復平面內對應的點在第二象限，可得，求解即可；
（2）由，可求在上的投影向量
【詳解】（1）復數，，
則，
因為復數在復平面內對應的點在第二象限，則有，解得，
所以實數 的取值范圍為 ．
（2）依題意，，
所以，，
所以在上的投影向量為.
40．（2024高一下·全國·專題練習）設復數對應的向量為，，為坐標原點，且，若把繞原點逆時針旋轉，把繞原點順時針旋轉，所得兩向量恰好重合，求復數.
【答案】
【分析】
根據復數的三角表示的幾何意義及運算法則計算即可.
【詳解】
依題意得，
所以
.
幾何圖形問題
41. （22-23高一下·河北保定·期中）已知復數是關于的方程（，）的一個根，若復平面內滿足的點的集合為圖形，則圍成的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由是方程的根求出，，然后由復數減法的幾何意義求解即可.
【詳解】∵是關于的方程（，）的一個根，
∴（，），化簡得，
∴，解得，
∴，
如圖所示復平面內，復數和表示的點為和，表示的向量為和，
則由復數減法的幾何意義，復數表示的向量為，
若，則，
∴點的集合圖形是以為圓心，半徑為的圓，
∴圍成的面積為.
故選：A.
42. （22-23高一下·上海虹口·期末）設復數的共軛復數是，且，又復數對應的點為與為定點，則函數取最大值時在復平面上以三點為頂點的圖形是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】
設，根據模長公式的表達式，從而可確定當取最大值時，的取值，從而求得，進而求出三角形的三邊長，從而可確定三角形形狀.
【詳解】，設，
，
則，
當，即時，，
則最大值為，
此時，則，
,
，，，
則，則對應三角形為等腰三角形.
故選：D.
43. （21-22高一下·廣東深圳·期中）復數滿足，則復數對應的點在復平面內表示的圖形是（ ）
A．圓 B．點 C．線段 D．直線
【答案】A
【分析】設，根據模的定義求出軌跡方程即可得解.
【詳解】設，
則由可得，
所以復數對應的點在復平面內表示的圖形是圓.
故選：A
44.（多選）（22-23高一下·四川成都·階段練習）已知是虛數單位，是復數，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，則不可能是純虛數
B．是關于x的方程的一個根
C．
D．若，則在復平面內對應的點的集合確定的圖形面積為
【答案】ABC
【分析】由純虛數的定義即可判斷A選項；將代入方程，驗證左右兩邊是否相等即可判斷B選項；記，分別計算出，，即可判斷C選項；對應的點的集合確定的圖形為以為圓心，1為半徑的圓，由此即可求出其面積.
【詳解】對于A選項：若為純虛數，則無解,
即不可能是純虛數，正確；
對于B選項：，
即是關于x的方程的一個根，正確；
對于C選項：設，則，，，
，即，C正確；
對于D選項：，即，點的集合確定的圖形為以為圓心，1為半徑的圓，
其面積為，D錯誤.
故選:ABC
45.（多選）（21-22高一下·廣東廣州·期中）設復數z在復平面上對應的點為Z，i為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．滿足|z|＝1，且的點Z有且僅有一個
B．若|z－1|＝1，則z＝2或0或1＋i或1－i
C．，則點Z構成的圖形面積為
D．非零復數，，對應的點分別為，，O為坐標原點，若，則為等腰直角三角形
【答案】ACD
【分析】根據已知條件找出Z的軌跡，從而判斷A,B;找出復數Z表示的區域計算面積，從而判斷C;
＝a+bi，=c+di,分別計算， ，，從而判斷D.
【詳解】解：對于A,因為|z|＝1，所以Z的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓；而表示到點的距離為1的復數z,此時對應點Z的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，兩圓外切于點，所以此時z=,只有一個，故正確；
對于B,由|z－1|＝1可知Z的軌跡是以（1,0）為圓心，1為半徑的圓,此時Z有無數個，故錯誤；
對于C,由可知Z的軌跡是以（0,0）為圓心，3為半徑的圓中去掉一個以2為半徑的同心圓后的圓環，所以S=(9-4) =5,故正確；
對于D,設＝a+bi，=c+di,因為，所以 ,所以，＝，＝＝，所以為等腰直角三角形，故正確.
故選：ACD.
復數的四則運算
46. （23-24高一下·云南昆明·階段練習）設復數在復平面內的對應點關于實軸對稱，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設 ，即可得到，再根據復數代數形式的運算求出、，即可得解.
【詳解】設 ，則在復平面內對應的點為，
又復數在復平面內的對應點關于實軸對稱，則在復平面內對應的點為，
所以，
所以，解得，
又，解得，
所以.
故選：A.
47. （23-24高一下·安徽·期中）在復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的乘法化簡，再由復數的幾何意義判斷對應的點所在象限.
【詳解】，所以復數對應的點的坐標為，該點在復平面內位于第四象限.
故選：D.
48. （23-24高一下·廣東江門·階段練習）復數在復平面內對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的幾何意義及共軛復數的定義、除法運算法則計算即可.
【詳解】由題意可知.
故選：A
49．（23-24高一下·四川達州·期中）已知復數滿足.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用復數和乘除運算法則計算即可；
（2）設，由已知可求得，進而可得，進而可得 ，可求最小值.
【詳解】（1） .
（2）設，則.
因為，所以，故.
.
故的最小值為.
50. （23-24高一下·四川成都·期中）在復數范圍內有關于的方程.
(1)求該方程的根；
(2)求的值；
(3)有人觀察到，得，試求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據求根公式即可求解復數根.
（2）對目標式子變形，代入即可求值.
（3）由于，結合，即可求解.
【詳解】（1）因為，
則在復數范圍內由求根公式可得方程的根為，
則，.
（2）因為，所以，則，
由（1）知，故.
（3）因為，所以，
所以
.
復數方程問題
51．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知方程有實根，且，則復數的共軛復數等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先代入實數根，即可求得的值，即可求解復數和其共軛復數.
【詳解】由題意可知，，，
即，
則，得，
所以，.
故選：B
52．（23-24高一下·重慶長壽·階段練習）若是關于的實系數方程的一個復數根，設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據虛根成對原理得到另一個復數根為，利用韋達定理求出、即可.
【詳解】因為是關于的實系數方程的一個復數根，
則另一個復數根為，
所以，即，解得，
所以.
故選：D
53. （23-24高一下·廣東江門·期中）計算： .
【答案】
【分析】由復數的除法和復數的乘方，化簡計算.
【詳解】.
故答案為：
54. （23-24高一下·上海·期中）若是方程的一個虛數根，則 .
【答案】
【分析】根據公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以方程的根為，
即或.
故答案為：
55. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知復數滿足，的虛部是2.
(1)求復數；
(2)若是關于的實系數方程的一個復數根，求的值；
(3)若復數的實部大于0，設在復平面上的對應點分別為，求△ABC的面積.
【答案】(1)或
(2)或 2
(3)2
【分析】（1）設復數的代數形式，由題設列出方程組，解之即得復數；
（2）根據實系數一元二次方程的根的特點，利用韋達定理易求的值；
（3）先求出對應的點的坐標，利用向量坐標的夾角公式求出的正弦值，代入三角形面積公式計算即得.
【詳解】（1）設，,由可得： ①，由，依題， ②，
聯立① ② ，解得或，故或.
（2）當時，依題可知，也是方程的一個復數根，
由韋達定理，，，故；
當時，也是方程的一個復數根，
由韋達定理，，，故.
（3）由上分析，因的實部大于0，故，
則
依題意得，則,
設,則，則，
于是△ABC的面積為.
復數的三角形式與運算
56．（21-22高一·全國·課后作業）復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的三角形式結合誘導公式即可.
【詳解】,
故選：D.
57．（21-22高一·全國·課后作業）如果，那么復數的三角形式是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根據復數的三角形式公式，利用復數的乘法以及三角函數的運算，可得答案.
【詳解】
因為，，
所以 .
故選：A.
58. （22-23高一下·全國·課后作業）若（為虛數單位），則是的 條件．
【答案】充分不必要
【分析】根據充要條件的知識及復數的運算法則即可得解.
【詳解】當時，
，
所以；
當取，
此時，且，，
所以推不出，
綜上：是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
59. （22-23高一·全國·隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據復數三角表示的乘法和除法的運算法則，進行適當變形和整理逐一計算即可得出（1）~（3）的結果.
【詳解】（1）
（2）
（3）
60. （22-23高一·全國·隨堂練習）將復數對應的向量旋轉，求所得向量對應的復數．
【答案】
【分析】利用歐拉公式表達出原復數，利用旋轉即可得出旋轉后所得向量對應的復數.
【詳解】由題意，
旋轉后，變為，
∴旋轉后所得向量對應的復數為.
歐拉公式問題
61．（22-23高一下·安徽·階段練習）歐拉公式（為虛數單位，）是由瑞土著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，根據此公式可知，下面結論中正確的是（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點位于第二象限 D．
【答案】D
【分析】由歐拉公式，代入對應的值，即可判斷A和C；由得，兩式聯立，解出即可判斷B；由二倍角公式即可判斷D．
【詳解】對于A：由歐拉公式得，所以，故A錯誤；
對于B：由得，
兩式聯立得，兩式相減消去得，，
所以，故B錯誤；
對于C：由歐拉公式得，，在復平面對應點的坐標為，
因為，
所以，
所以在復平面內對應的點位于第四象限，故C錯誤；
對于D：，故D正確，
故選：D．
62．（2023·福建福州·模擬預測）歐拉公式由瑞士數學家歐拉發現，其將自然對數的底數，虛數單位與三角函數，聯系在一起，被譽為“數學的天橋”，若復數，則z的虛部為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由歐拉公式化簡復數z，再由復數的定義即可得出答案.
【詳解】因為，
因為，所以z的虛部為.
故選：D.
63．（22-23高一下·廣東深圳·期中）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，下列選項中正確的是（ ）
A．對應的點位于第二象限 B．為實數
C．的共軛復數為 D．的模長等于
【答案】D
【分析】根據歐拉公式結合復數在復平面內對應的點的特征、純虛數的概念、復數的模長公式、以及共軛復數的概念逐項分析即可得出結論.
【詳解】對于A：，對應的點位于第一象限，故A不正確；
對于B：，為純虛數，故B不正確；
對于C：，所以的共軛復數為，故C錯誤.
對于D：，故D正確.
故選：D.
64.（多選）（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，下列選項中正確的是（ ）
A．對應的點位于第二象限 B．為純虛數
C．的模長等于 D．的共軛復數為
【答案】ABC
【分析】根據歐拉公式結合復數在復平面內對應的點的特征、純虛數的概念、復數的模長公式、以及共軛復數的概念逐項分析即可得出結論.
【詳解】對于A：，
在復平面內對應的點為位于第二象限，故A正確；
對于B：，為純虛數，故B正確；
對于C：，
所以，故C正確；
對于D：，所以的共軛復數為，故D錯誤.
故選：ABC.
65. （22-23高一下·安徽合肥·期末）歐拉公式（i為虛數單位，）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，它被譽為“數學中的天橋”.根據此公式可知， ，
【答案】 1
【分析】根據復數的模的定義可求解答題空1，利用復數的加法運算可求解答題空2.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，
故答案為:1; .
復數范圍內的因式分解
66．（21-22高三下·上海浦東新·期中）在復數范圍內分解因式： .
【答案】
【分析】配湊二次三項式，結合平方差公式，即可求得結果.
【詳解】因為.
故答案為：.
67．（20-21高一下·山西呂梁·期中）在復數范圍內，將多項式分解成為一次因式的積，則 ．
【答案】
【分析】根據平方差公式在復數范圍內分解因式即可.
【詳解】解：
故答案為：
68．（20-21高一下·上?！ふn后作業）（1）在實數集中分解因式： ；
（2）在復數集中分解因式： ； ．
【答案】
【分析】（1）利用十字相乘法與平方差公式進行因式分解即可得解；
（2）利用十字相乘法與平方差公式進行因式分解可將代數式進行因式分解，利用完全平方公式結合平方差公式可將代數式化簡.
【詳解】（1）；
（2），
.
故答案為：（1）；（2），.
69. （21-22高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）結合復數運算求得正確答案.
【詳解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
70. （21-22高一·湖南·課后作業）利用公式，把下列各式分解為一次因式的乘積：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據所給等式，直接可得答案；
（2）利用平方差公式結合所給等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化簡，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方變為平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.
【詳解】（1）;
（2）,
（3）
（4）
復數運算相關概念問題
71．（多選）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知為復數，，則以下說法正確的有（ ）
A．
B．
C．互為共軛復數
D．若，則的最大值為6
【答案】ACD
【分析】利用復數代數形式的四則運算，結合復數模、共軛復數的意義計算判斷AC；舉例說明判斷B；利用復數的幾何意義求出最大值判斷D.
【詳解】設復數，
對于A，，
，A正確；
對于B，取，則，B錯誤；
對于C，，
，互為共軛復數，C正確；
對于D，在復平面內，是表示復數的點的軌跡為以原點為圓心，1為半徑的圓，
是上述圓上的點與復數對應點的距離，
而點到原點的距離為，的最大值為，D正確.
故選：ACD
72．（多選）（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數是關于的方程的兩根，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】ACD
【分析】利用求根公式得到，，韋達定理得到，分別計算，，即可選出答案.
【詳解】，所以方程的根為，不妨設，，
可知，故A正確；
由韋達定理知，所以，故C正確；
所以，因為，所以，故B錯誤；
時，，，
計算可得，，
，，
所以，故D正確；
故選：ACD.
73．（多選）（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）設為復數，則下列說法一定成立的有（ ）
A． B．若，則 C． D．
【答案】BCD
【分析】設，對于A：舉反例說明即可；對于B：根據復數的乘法運算分析判斷；對于B：根據復數的加法運算的幾何意義分析判斷；對于D：根據共軛復數結合復數的乘法運算分析判斷.
【詳解】設，
對于選項A：例如，則，
可知，即，故A錯誤；
對于選項B：若，
可得，解得，即，故B正確；
對于選項C：設，
若同向，可知，
即；
若不共線，可知，
即；
綜上所述：，故C正確；
對于選項D：，
，
所以，故D正確；
故選：BCD.
74．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）下面四個命題中的真命題為（ ）
A．若復數滿足，則
B．若復數滿足，則
C．已知，若，則
D．已知，若，則
【答案】AB
【分析】對于A，由實數四則運算的封閉性可判斷；對于B，由共軛復數的概念、復數乘法以及模的計算公式即可啊、判斷；對于CD，舉反例即可判斷.
【詳解】對于A，由于，而是實數的倒數，所以，故A正確；
對于B，若，，則有，則，故B正確；
對于C，取，顯然滿足，但不成立，故C錯誤；
對于D，，顯然有，但不成立，故D錯誤.
故選：AB.
75．（多選）（23-24高一下·安徽合肥·期中）設是非零復數，是其共軛復數，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】取，即可判斷A；設，根據復數的乘法運算和共軛復數的概念與運算，結合復數的幾何意義即可判斷BCD.
【詳解】A：取，則，故A錯誤；
B：設，則
，故B正確；
C：設，
則，故C正確；
D：設，
則，故D正確；
故選：BCD.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第5章復數章末十五種常考題型歸類
復數的概念
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
2．（2024高一·全國·專題練習）給出下列命題：
①若R，則是純虛數；
②若R且，則；
③若C，則復數的實部為a，虛部為b；
④i的平方等于.
其中正確命題的序號是（　?。?br/>A．① B．②
C．③ D．④
3．（20-21高一下·全國·課后作業）下列命題中：
①若，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1；
②純虛數集相對于復數集的補集是虛數集；
③若，則.
正確命題的個數是（　?。?br/>A．0 B．1
C．2 D．3
4．（多選）（21-22高一·全國·課后作業）下列命題中，不正確的是（ ）
A．是一個復數 B．形如的數一定是虛數
C．兩個復數一定不能比較大小 D．若，則
5．（多選）（21-22高一·全國·課后作業）（多選）已知為復數，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
復數的實部與虛部
6．（23-24高一下·廣東梅州·期中）復數的實部和虛部分別是（ ）
A．1，1 B．1， C．， D．，
7．(多選)（23-24高一下·廣東茂名·期中）設復數，則下列命題結論正確的是（ ）
A．的實部為1 B．復數的虛部是2
C．復數的模為 D．在復平面內，復數對應的點在第四象限
8．（23-24高一下·安徽·期中）已知復數的實部為5，虛部為-1，則 .
9．（22-23高一下·浙江嘉興·階段練習）復數，其中為虛數單位，則的實部是 ．
10．（2024高一·全國·專題練習）已知復數的實部與虛部的差為．
(1)若，且，求復數的虛部；
(2)當取得最小值時，求復數的實部．
復數相等求參數
11．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為虛數單位，為實數，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024·全國·模擬預測）已知，其中，i為虛數單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
13．（21-22高三上·陜西延安·期中）已知a，，復數，（i為虛數單位），若，則（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
14．（20-21高一·全國·課后作業）定義：復數是()的轉置復數，已知，i是虛數單位，若，則復數的轉置復數是 .
15．（21-22高一·湖南·課后作業）已知，，則“”是“”的 條件．
復數類型求參數
16．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）復數，（，）為實數的充要條件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
17．（2018·江西·一模）若，則“”是復數“”為純虛數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
18．（23-24高一下·北京·階段練習）設，復數.若復數是純虛數，則 ；若復數在復平面內對應的點位于實軸上，則 .
19．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）實數m取什么值時，復數是：
(1)實數？
(2)純虛數？
20．（2024高一·全國·專題練習）已知，為的一個內角．若不論為何值，總存在使得是實數，求實數的取值范圍．
共軛復數問題
21．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
22．（2024·全國·模擬預測）復數滿足（為虛數單位），則復數的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
23．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）設是復數，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則為純虛數
24．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）復數，則 .
25．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知復數，且為純虛數.
(1)求復數；
(2)若，求復數及.
復數的模
26．（23-24高一下·廣東茂名·期中）若復數的實部與虛部互為相反數，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．8 D．
27．（23-24高一下·山西·期中）已知為復數，則“的實部大于0”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
28．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）已知，則（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不確定
29．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知復數在復平面內所對應的點分別為，則（ ）
A． B．1 C． D．2
30．（23-24高一下·河北·期中）若，則 .
復數的坐標表示
31．（2024高一下·全國·專題練習）（1）復平面內的原點表示實數 ，
（2）實軸上的點表示實數 ，
（3）虛軸上的點表示純虛數 ，
（4）點表示復數 .
32．（22-23高一下·福建寧德·期中）已知復數，則在復平面內復數z對應的點在第 象限．
33．（20-21高一下·重慶渝中·期中）復數，對應點在虛軸上，實數的值為 .
34．（2024高三·全國·專題練習）設復數z＝a＋bi（a，b∈R，i為虛數單位）在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“ab<0”的 條件
35．（2022高一·全國·專題練習）在復平面內，若復數對應的點滿足下列條件．分別求實數m的取值范圍．
(1)在虛軸上；
(2)在第二象限；
(3)在直線y＝x上．
復數與向量
36．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復平面內的點，分別對應的復數為和，則向量對應的復數為 .
37.（23-24高一下·河南·期中）已知復數滿足為虛數單位，在復平面上對應的點為，定點為坐標原點，則的最小值為 .
38．（23-24高一下·山東棗莊·期中）在復平面內復數，所對應的點為，，為坐標原點，是虛數單位.
(1)，，計算與；
(2)設， ，求證：，并指出向量，滿足什么條件時該不等式取等號.
39．（23-24高一下·浙江紹興·期中）已知復數對應的向量分別為和，其中為復平面的原點.
(1)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數的取值范圍；
(2)求在上的投影向量.
40．（2024高一下·全國·專題練習）設復數對應的向量為，，為坐標原點，且，若把繞原點逆時針旋轉，把繞原點順時針旋轉，所得兩向量恰好重合，求復數.
幾何圖形問題
41. （22-23高一下·河北保定·期中）已知復數是關于的方程（，）的一個根，若復平面內滿足的點的集合為圖形，則圍成的面積為（ ）
A． B． C． D．
42. （22-23高一下·上海虹口·期末）設復數的共軛復數是，且，又復數對應的點為與為定點，則函數取最大值時在復平面上以三點為頂點的圖形是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
43. （21-22高一下·廣東深圳·期中）復數滿足，則復數對應的點在復平面內表示的圖形是（ ）
A．圓 B．點 C．線段 D．直線
44.（多選）（22-23高一下·四川成都·階段練習）已知是虛數單位，是復數，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，則不可能是純虛數
B．是關于x的方程的一個根
C．
D．若，則在復平面內對應的點的集合確定的圖形面積為
45.（多選）（21-22高一下·廣東廣州·期中）設復數z在復平面上對應的點為Z，i為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．滿足|z|＝1，且的點Z有且僅有一個
B．若|z－1|＝1，則z＝2或0或1＋i或1－i
C．，則點Z構成的圖形面積為
D．非零復數，，對應的點分別為，，O為坐標原點，若，則為等腰直角三角形
復數的四則運算
46. （23-24高一下·云南昆明·階段練習）設復數在復平面內的對應點關于實軸對稱，若，，則（ ）
A． B． C． D．
47. （23-24高一下·安徽·期中）在復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
48. （23-24高一下·廣東江門·階段練習）復數在復平面內對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
49．（23-24高一下·四川達州·期中）已知復數滿足.
(1)求；
(2)求的最小值.
50. （23-24高一下·四川成都·期中）在復數范圍內有關于的方程.
(1)求該方程的根；
(2)求的值；
(3)有人觀察到，得，試求的值.
復數方程問題
51．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知方程有實根，且，則復數的共軛復數等于（　?。?br/>A． B． C． D．
52．（23-24高一下·重慶長壽·階段練習）若是關于的實系數方程的一個復數根，設，則（ ）
A． B． C． D．
53. （23-24高一下·廣東江門·期中）計算： .
54. （23-24高一下·上海·期中）若是方程的一個虛數根，則 .
55. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知復數滿足，的虛部是2.
(1)求復數；
(2)若是關于的實系數方程的一個復數根，求的值；
(3)若復數的實部大于0，設在復平面上的對應點分別為，求△ABC的面積.
復數的三角形式與運算
56．（21-22高一·全國·課后作業）復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
57．（21-22高一·全國·課后作業）如果，那么復數的三角形式是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
58. （22-23高一下·全國·課后作業）若（為虛數單位），則是的 條件．
59. （22-23高一·全國·隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
60. （22-23高一·全國·隨堂練習）將復數對應的向量旋轉，求所得向量對應的復數．
歐拉公式問題
61．（22-23高一下·安徽·階段練習）歐拉公式（為虛數單位，）是由瑞土著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，根據此公式可知，下面結論中正確的是（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點位于第二象限 D．
62．（2023·福建福州·模擬預測）歐拉公式由瑞士數學家歐拉發現，其將自然對數的底數，虛數單位與三角函數，聯系在一起，被譽為“數學的天橋”，若復數，則z的虛部為（ ）
A． B．1 C． D．
63．（22-23高一下·廣東深圳·期中）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，下列選項中正確的是（ ）
A．對應的點位于第二象限 B．為實數
C．的共軛復數為 D．的模長等于
64.（多選）（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，下列選項中正確的是（ ）
A．對應的點位于第二象限 B．為純虛數
C．的模長等于 D．的共軛復數為
65. （22-23高一下·安徽合肥·期末）歐拉公式（i為虛數單位，）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，它被譽為“數學中的天橋”.根據此公式可知， ，
復數范圍內的因式分解
66．（21-22高三下·上海浦東新·期中）在復數范圍內分解因式： .
67．（20-21高一下·山西呂梁·期中）在復數范圍內，將多項式分解成為一次因式的積，則 ．
68．（20-21高一下·上?！ふn后作業）（1）在實數集中分解因式： ；
（2）在復數集中分解因式： ； ．
69. （21-22高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
70. （21-22高一·湖南·課后作業）利用公式，把下列各式分解為一次因式的乘積：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
復數運算相關概念問題
71．（多選）（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知為復數，，則以下說法正確的有（ ）
A．
B．
C．互為共軛復數
D．若，則的最大值為6
72．（多選）（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數是關于的方程的兩根，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
73．（多選）（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）設為復數，則下列說法一定成立的有（ ）
A． B．若，則 C． D．
74．（多選）（23-24高一下·湖北武漢·期中）下面四個命題中的真命題為（ ）
A．若復數滿足，則
B．若復數滿足，則
C．已知，若，則
D．已知，若，則
75．（多選）（23-24高一下·安徽合肥·期中）設是非零復數，是其共軛復數，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
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