資源簡介

5.3復數的三角形式
課程標準 學習目標
理解復數的代數形式化為三角形式;復數的三角形式的運算法則和運算律的應用復數的代數形式化為三角形式; 2、掌握復數的三角形式的運算法則和運算律的應用 1、掌握復數的三角形式,并能與代數形式進行相互轉化: 2、掌握復數的三角形式的運算法則和運算律并能熟練應用
知識點01 復數的三角表示式及復數的輻角和輻角的主值
1、復數的代數形式：z=a＋bi（a，b ∈R）
2、復數的三角形式
定義：一般地，如果非零復數z=a＋bi（a，b ∈R）在復平面內對應點為Z（a，b），且r為向量的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，射線0Z為終邊的一個角，則r=|z|=，a=rcosθ，b=rsinθ，從而z=a＋bi=r（cosθ＋isinθ）稱為非零復數z=a＋bi的三角形式，其中θ為z的輻角
注意：任何一個復數z=a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中r 是復數z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線0Z）為終邊的角，叫做復數z=a＋bi的輻角，r（cosθ＋isinθ）叫做復數z=a＋bi 的三角表示式，簡稱三角形式.
3、復數的輻角
定義：設復數z=a＋bi的對應向量為，以x軸的非負半軸為始邊，向量 所在的射線（起點為0）為終邊的角θ，叫做復數z的輻角，記作Argz.其中，r為向量的模，cosθ=，sinθ=.
注意：根據輻角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍其中在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.
例如：復數i的輻角是”+2kπ，其中k可以取任何整數，輻角的主值argz=
注意：①當a∈R時,arga=0,arg(-a)=π, arg ai=arg(-ai)=
②因為復數0對應零向量,而零向量的方向是任意的,所以復數0的輻角是任意的
【即學即練1】（23-24高一下·福建泉州·階段練習）復數的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的輻角主值的定義進行求解.
【詳解】因為，
所以的輻角主值為.
故選：C
知識點02 復數代數形式和三角形式的互化
1、復數三角形式定義：以三角形式表示的復數z=r（cosθ＋isinθ），只要計算出三角函數值，應用a=rcosθ，b=rsinθ，就可以轉化成代數形式；反之，以代數形式表示的復數z=a＋bi≠0，若限定輻角取輻角的主值，只要應用r=，r=0，cosθ=，sinθ=計算出模及輻角的主值，就可以轉化成三角形式.
2、三角形式下復數相等:
每一個不為零的復數有唯一的模與輻角的主值并且由它的輻角的模與主值唯一確定.因此兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等。
注意：z=a＋bi（a，b ∈R）z=r（cosθ＋isinθ）
3、復數的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）的條件：
①r>0
②中間用加號連接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可為任意值
可簡記為：模非負、角相同、余弦前、加號連，此四個條件缺一不可.
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）把下列復數的代數形式化成三角形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】借助復數的三角表示的定義計算即可得.
【詳解】（1），由對應的點在第一象限，且，
故，即；
（2），由對應的點在第四象限，且，
故，即.
知識點03 復數三角形式的乘除法
設,,
1、復數的乘法：=[cos(+)]+isin(+)
2、復數的乘方：==[],這個公式叫做棣美弗公式.
3、復數乘法的幾何意義：設，對應的向量分別為，，將繞原點逆時針旋轉θ2，再將的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，如果所得向量為，則對應的復數即為.
特殊地，因為復數i=cos+isin即模為1，輻角為，所以一個復數與i相乘，從向量的角度說，就相當于把這個復數對應的向量繞原點沿逆時針旋轉
4、復數除法與幾何意義：
①復數倒數的三角形式表示：
設復數,則,由可知：
,
②復數的除法：.
=.
也就是說，對于兩個復數，來說，（≠0）
還是復數，它的模是的模除以的模，它的輻角是的輻角減去的輻角.
③兩個復數相除的幾何意義：
設，（≠0）對應的向量分別為，，將繞原點順時針旋轉θ2，再將的模變?yōu)樵瓉淼?br/>倍，如果所得向量為，則對應的復數即為.
特殊地，因為i=cos+isin即模為1，輻角為，所以一個復數除以i，從向量的角度說，就相當于把這個復數對應的向量繞原點沿順時針旋轉
5、復數三角形式的開方：
,k=0,1,2,...,n-1
【即學即練3】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）計算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根據題意，結合復數的的三角形式的運算法則，準確運算，即可求解.
【詳解】（1）解：根據復數的的三角形式的運算法則，
可得：
.
（2）解：根據復數的的三角形式的運算法則，
可得：
.
【題型一：復數的輻角主值】
例1．（21-22高一·全國·課前預習）復數1＋i的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將代數形式化為三角形式，即可得結果.
【詳解】由，故輻角主值為.
故選：C
變式1-1．（22-23高一下·陜西·期中）歐拉是十八世紀偉大的數學家，他巧妙地把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數和聯(lián)系在一起，得到公式，這個公式被譽為“數學的天橋”，若，則稱為復數的輻角主值．根據該公式，可得的輻角主值為 ．
【答案】
【分析】根據歐拉公式與復數的相關概念求解即可.
【詳解】因為，所以，所以的輻角主值為．
故答案為:.
變式1-2．（22-23高一下·上海楊浦·期末）已知為虛數單位，，則的輻角主值為 .
【答案】
【分析】
根據復數的三角表示分析求解.
【詳解】因為，
所以的輻角主值為.
故答案為：.
變式1-3．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）復數的輻角主值是 ．
【答案】
【分析】根據復數三角形式的概念即可求解.
【詳解】，
故其輻角主值是.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
適合于[0，2π）的輻角的值稱為輻角主值，除0外每個復數有且僅有一個輻角主值，一般先用復數z 對應的點Z（a，b）確定角所在的象限，再由tan θ=確定在[0，2π）內的角θ，即為argz.
【題型二：復數三角形式的判斷】
例2．（2024高一下·全國·專題練習）下列復數是不是復數的三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)不是；
(2)是
(3)不是，
【分析】
（1）（2）（3）根據復數的三角形式的要求一一判斷每個小題中的復數表示是否為復數形式，即可求得答案.
【詳解】（1）不是復數的三角形形式，
，
即的三角形式為；
（2）是復數的三角形式；
（3）不是復數的三角形式，
，
即的三角形式為.
變式2-1．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）是不是復數的三角形式？如果不是，將它表示成三角形式．
【答案】不是三角形式，三角形式表示為.
【分析】根據三角形式的定義判斷，再根據三角形式的結構確定輻角主值即可求解.
【詳解】因為三角形式是形如的形式，
所以不是三角形式，
因為，
且，
所以，
即復數的三角形式為.
變式2-2．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）下列復數是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是三角形式，化為三角形式為；
(2)不是三角形式，化為三角形式為；
(3)不是三角形式，化為三角形式為；
(4)是三角形式.
【分析】直接利用復數的三角形式求解即可.
【詳解】（1）不是三角形式，
，
其中，故三角形式為 ；
（2）不是三角形式，
，
其中，故三角形式為 ；
（3）不是三角形式，
，
，故三角形式為 ；
（4）是三角形式.
變式2-3．（2022高一·全國·專題練習）下列復數是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)不是三角形式，
(3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【分析】(1) 由復數的三角形式的特征判斷即可；
(2) 由復數的三角形式的特征判斷，求出復數的模和輻角可得答案；
(3) 由復數的三角形式的特征判斷，求出復數的模和輻角可得答案.
【詳解】（1）解：符合三角形式的結構特征，是三角形式．
（2）解：由“加號連”知，不是三角形式．
，
模，.復數對應的點在第三象限，所以取，
所以；
（3）解：由“模非負”知，不是三角形式．
復平面上的點Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ為銳角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要變換三角函數名稱，因此可用誘導公式“π＋θ”將θ變換到第三象限．
所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【方法技巧與總結】
復數的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）條件：
①r>0
②中間用加號連接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可為任意值
可簡記為：模非負、角相同、余弦前、加號連，此四個條件缺一不可
【題型三：復數代數形式化為三角形式】
例3．（2024高一下·全國·專題練習）把下列復數表示成三角形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）（2）根據復數的三角形式直接得到答案.
【詳解】（1）；
（2）.
變式3-1．（2024高一下·全國·專題練習）畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)作圖見解析，
(2)作圖見解析，
(3)作圖見解析，
(4)作圖見解析，
【分析】
（1）（2）（3）（4）根據復數的模長公式求解模長，即可根據復數所對應的點所在的象限求解角，即可由三角表示求解.
【詳解】（1）
復數對應的向量如圖所示，
則
因為與對應的點在x軸，
所以
于是
（2）
復數對應的向量如圖所示，
則
因為與對應的點在y軸，
所以
于是
（3）
復數對應的向量如圖所示，
則
因為與對應的點在第一象限，
所以
于是
（4）
復數對應的向量如圖所示，
則
因為與對應的點在第三象限，
所以
于是
變式3-2．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）把下列復數表示成三角形式．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根據復數的三角表示公式，可得答案.
【詳解】（1） ，
其中，故三角形式為 ；
（2）由，則，，
顯然復數對應的點在第三象限，所以的輻角，
所以.
（3） ，
其中，故三角形式為 ；
（4）因為，所以，復數對應的點在軸的負半軸上，取，
所以.
變式3-3．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，圖見詳解
(2)，圖見詳解
(3)，圖見詳解
(4)，圖見詳解
【分析】對（1）（2）（3）（4）中的復數，先畫出圖像，結合圖像求得輻角主值和模，從而求得其三角形式.
【詳解】（1）設復數的模為，輻角主值為．
6對應的向量如下圖中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）設復數的模為，輻角主值為．
對應的向量如下圖中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
【方法技巧與總結】
將復數的代數形式轉化為三角形式的
步驟：
（1）先求復數的模；（2）決定輻角所在的象限；（3）根據象限求出輻角；（4）求得復數的三角形式.
【題型四：復數三角形式化為代數形式】
例4．（22-23高一·全國·隨堂練習）把下列復數表示成代數形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由誘導公式及特殊角的三角函數化簡即可.
【詳解】（1）；
（2）.
變式4-1．（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）分別指出下列復數的模和輻角的主值，并將復數表示成代數形式．
(1)；
(2)
【答案】(1)4，，
(2)2，，
【分析】根據復數的相關概念即可求得模和輻角主值，化簡計算即可求得復數的代數形式.
【詳解】（1）的模為4，輻角主值為，
；
（2），
故的模為2，輻角主值為，
.
變式4-2．（2024高一下·全國·專題練習）將下列復數的三角形式化成代數形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）（2）利用復數的三角形式與代數形式的互化，準確計算，即可求解.
【詳解】（1）解：由復數.
（2）解：由復數
變式4-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）把下列復數的三角形式化為代數形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)－6
(2)
【分析】
運用特殊角的三角函數值計算即可.
【詳解】（1）.
（2）.
【方法技巧與總結】
將復數的三角形式化為復數代數形式的
方法是：復數三角形式z=r（cos A＋isin A），代數形式為z=x+yi，對應實部等于實部，虛部等于虛部，即x=rcos A，y=rsin A.
【題型五：復數乘除法的三角形式】
例5．（21-22高一·全國·課前預習）計算(cos＋isin)÷＝ ．
【答案】
【分析】根據復數除法的幾何意義即可得結果.
【詳解】由復數除法的幾何意義知：(cos＋isin)÷＝ .
故答案為：
變式5-1．（22-23高一·全國·課堂例題）計算下列各式，并把結果化成代數形式：
(1)，
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根據復數的三角形式運算法則即可得到答案.
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
．
變式5-2．（2024高一下·江蘇·專題練習）化簡下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】
利用復數三角形式的乘法除法法則，化簡求值.
【詳解】（1）
；
（2）
.
變式5-3．（2023高一下·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2).
【答案】(1)6；
(2).
【分析】（1）（2）根據復數三角形式的乘法運算結合條件即得.
【詳解】（1）
；
（2）
.
【方法技巧與總結】
乘法法則簡記為：模數相乘，幅角相加
除法法則簡記為：模數相除，幅角相減
【題型六：復數乘方的三角形式】
例6．（2023·廣東·模擬預測）棣莫弗公式（為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667－1754）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，已知復數，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用棣莫弗公式及三角函數的特殊值，結合三角函數的誘導公式即可求解.
【詳解】依題意知，，
由棣莫弗公式，得 ，
所以.
故選：C.
變式6-1．（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
將化為三角形式，根據棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
故，
所以
.
故選：B
變式6-2．（2023·江蘇南通·模擬預測）任何一個復數都可以表示成的形式，通常稱之為復數的三角形式．法國數學家棣莫弗發(fā)現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【分析】現將復數 表示為三角形式，再利用棣莫弗定理求解.
【詳解】，
；
故選：B．
變式6-3．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）設，則 ．
【答案】
【分析】將復數表示成三角形式，利用復數三角形式的乘方法則可化簡.
【詳解】因為，
所以，.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
乘方：
開方：
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北武漢·期中）設復數對應的向量分別為為坐標原點，且，若把繞原點順時針旋轉，把繞原點逆時針旋轉，所得兩向量的終點重合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把化為復數的三角形式，根據復數對應的向量旋轉所得向量，求解即可.
【詳解】由已知得，
所以繞原點順時針旋轉得
，
由繞原點逆時針旋轉，所得兩向量的終點重合得，
所以.
故選：B.
2．（23-24高一下·浙江·期中）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現了棣莫弗定理：設兩個復數，，（，）則．設，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意化簡即可得解.
【詳解】根據題意，由，
可得
.
故虛部為.
故選：C
3．（2024高一下·全國·專題練習）復數，將復數z對應向量按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數為（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】由復數的除法運算得，進一步由復數乘法的幾何意義即可運算求解.
【詳解】，又將復數z對應的向量按逆時針方向旋轉，
∴旋轉后的向量對應的復數為.
故選：A.
4．（2024高一下·全國·專題練習）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的四則運算求解即可.
【詳解】，
由于，
所以， .
故選：A.
5．（2024高一下·全國·專題練習）設復數的輻角的主值是，則的輻角的主值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據復數的除法運算及復數的輻角的主值的定義即可得解.
【詳解】
因為，
所以的輻角的主值為.
故選：D.
6．（2024高一下·全國·專題練習）將代數形式的復數改寫成三角形式為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意，結合復數的三角形式的表示方法，即可求解.
【詳解】
因為復數在復平面內所對應的點在虛軸正半軸上，可得，
所以，所以.
故選：D.
7．（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化簡結合復數的幾何意義即可得出答案.
【詳解】，
在復平面內所對應的點為，在第二象限.
故選：B.
8．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·期末）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯(lián)，在復變函數論里面占有非常重要的地位，依據歐拉公式，下列選項正確的是（ ）
A．復數為實數 B．對應的點位于第二象限
C． D．的最大值為1
【答案】C
【分析】由，逐一分析四個選項得答案．
【詳解】由，
可得，是純虛數，故A錯誤；
，對應的點的坐標為，位于第一象限，故B錯誤；
，
，故C正確；
，
，
的最大值為3，故錯誤．
故選：C．
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）已知復數z對應的向量為，復數對應的向量為，復數對應的向量為，則下列說法正確的是（ ）
A．將的模擴大為原來的2倍，再逆時針旋轉可得到
B．將的模擴大為原來的2倍，再順時針旋轉可得到
C．將的模縮小為原來的，再逆時針旋轉可得到
D．將的模縮小為原來的，再順時針旋轉可得到
【答案】AD
【分析】
根據題意，化簡得到，，結合選項，即可求解.
【詳解】
因為，
，
所以，將的模擴大為原來的2倍，再逆時針旋轉可得到，將的模縮小為原來的，再順時針旋轉可得到.
故選：AD.
10．（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．復數的輻角的主值為
B．復數的輻角的主值為
C．復數的代數形式為
D．復數的三角形式為
【答案】AC
【分析】
根據輻角主值的定義可判斷AB的正誤，根據代數形式和三角形式的轉化規(guī)則可判斷CD的正誤.
【詳解】對于A，因為，故的輻角的主值為，故A正確；
對于B，而，故的輻角的主值不是，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故，故D錯誤.
故選：AC.
11．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）1748年，瑞士數學家歐拉發(fā)現了復指數函數和三角函數的關系，并寫下公式（為虛數單位），這個公式在復變函數中有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，據此公式，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據題設中的公式和復數運算法則，逐項計算后可得正確的選項.
【詳解】對于A，當時，因為，所以，故選項A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，由，，所以,得出，故選項C正確；
對于D，由C選項的分析得，推不出，故選項D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
12．（2022春·廣西欽州·高一校考期末）arg＝________．
【答案】##
【分析】將復數轉化為三角形式，結合輻角的范圍，即可得結果.
【詳解】由，而，
所以arg＝.
故答案為：
13．（2024高一下·全國·專題練習）任意復數（，為虛數單位）都可以的形式，其中，該形式為復數的三角形式，其中稱為復數的輻角主值.若復數，則的輻角主值為 ．
【答案】/
【分析】把復數代為代數形式再化為三角形式后可得輻角主值．
【詳解】，
所以輻角主值為．
故答案為：.
14．（2024高一下·全國·專題練習） (用代數形式表示)．
【答案】
【分析】
由復數除法的三角表示運算即可求解.
【詳解】
.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·重慶·期中）我們知道復數有三角形式，，其中為復數的模，為輻角主值.由復數的三角形式可得出，若，，則.其幾何意義是把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?
已知圓半徑為1，圓的內接正方形的四個頂點均在圓上運動，建立如圖所示坐標系，設點所對應的復數為，點所對應的復數為，點所對應的復數為，點所對應的復數為.
(1)若，求出，；
(2)如圖，若，以為邊作等邊，且在上方.
（ⅰ）求線段長度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)①1；②
【分析】（1）由題意，根據復數的乘法運算即可求解；
（2）（ⅰ）解法一：設，根據三角恒等變換化簡和復數的乘法計算求出，進而表示的坐標，結合模長公式計算即可；解法二：連接，設，，求出，進而，利用換元法化簡計算即可求解；
（ⅱ）設，則D，利用向量的線性運算和三角恒等變換化簡可得，進而求解.
【詳解】（1），
.
（2）（ⅰ）解法一：設，，
所表示的復數為，所表示的復數為
有，
，
故，
得
，
其中，故線段長度的最小值為1.
解法二：連接，設，，
由可得，則，
當時，
化簡得，令，.
則
.
同理可得：當時，
（ⅱ）設，則，即點坐標為，
此時，，.
由（，）得：
，
即，解得，
故，
，其中，
可得.
【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.
16．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知：
①任何一個復數都可以表示成的形式．其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形式．
②被稱為歐拉公式，是復數的指數形式．
③方程（為正整數）有個不同的復數根．
(1)設，求；
(2)試求出所有滿足方程的復數的值所組成的集合；
(3)復數，求．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據給定的定義，轉化為復數的三角形式求解即得.
（2）設，利用指數運算，結合定義求得，進而求出得解.
（3）利用給定的定義求出方程根的形式，再借助方程根的意義列出等式，賦值計算即得.
【詳解】（1）依題意，，
所以.
（2）設，則，
因此，，解得，
由終邊相同的角的意義，取，則對應的依次為，
因此對應的依次為，
所以所求的集合是.
（3）當時，，，
則，，
因此關于的方程的根為，
則，
又，
由此可得，
則，
令，得，而為奇數，
所以.
17．（2024高一下·全國·專題練習）計算下列各式，并用三角形式表示：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
根據復數三角形式的乘法公式和乘方公式計算即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3）原式.
18．（22-23高一下·福建三明·階段練習）在復平面內，O為坐標原點，復數是關于x的方程的一個根.
(1)求實數m，n的值；
(2)若復數，，，所對應的點分別為A，B，C，記的面積為，的面積為，求.
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）把代入方程，然后根據復數相等即得；或由題可知也是方程的根，根據韋達定理計算得到答案；
（2）根據復數的除法運算結合條件可得，，，進而可得，即得；或根據復數的三角形式及幾何意義可得，進而即得.
【詳解】（1）解法一：依題意，，
整理得，
于是，有，
解得，；
解法二：依題意，是方程的另一個根，
于是，有，
解得，；
（2）由（1）知，因為，
所以，
所以，，，
從而，，，
可知，所以.
解法二：由（1）知，因為，
所以，
可知，
所以.
19．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）已知復數z滿足，且是純虛數．
(1)求z；
(2)求z的輻角主值．
【答案】(1)
(2)當時，的輻角主值為；當時，的輻角主值為．
【分析】
(1)設，，由條件列方程求即可，(2)根據輻角主值的定義求解.
【詳解】（1）設，，因為，所以，所以，故，
所以，
又是純虛數， 所以，所以，
所以
（2）設復數的輻角主值為，則，
當時，，所以，，，所以，故復數的輻角主值為；
當時，，所以，，，所以，故復數的輻角主值為.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)5.3復數的三角形式
課程標準 學習目標
理解復數的代數形式化為三角形式;復數的三角形式的運算法則和運算律的應用復數的代數形式化為三角形式; 2、掌握復數的三角形式的運算法則和運算律的應用 1、掌握復數的三角形式,并能與代數形式進行相互轉化: 2、掌握復數的三角形式的運算法則和運算律并能熟練應用
知識點01 復數的三角表示式及復數的輻角和輻角的主值
1、復數的代數形式：z=a＋bi（a，b ∈R）
2、復數的三角形式
定義：一般地，如果非零復數z=a＋bi（a，b ∈R）在復平面內對應點為Z（a，b），且r為向量的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，射線0Z為終邊的一個角，則r=|z|=，a=rcosθ，b=rsinθ，從而z=a＋bi=r（cosθ＋isinθ）稱為非零復數z=a＋bi的三角形式，其中θ為z的輻角
注意：任何一個復數z=a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中r 是復數z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線0Z）為終邊的角，叫做復數z=a＋bi的輻角，r（cosθ＋isinθ）叫做復數z=a＋bi 的三角表示式，簡稱三角形式.
3、復數的輻角
定義：設復數z=a＋bi的對應向量為，以x軸的非負半軸為始邊，向量 所在的射線（起點為0）為終邊的角θ，叫做復數z的輻角，記作Argz.其中，r為向量的模，cosθ=，sinθ=.
注意：根據輻角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍其中在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.
例如：復數i的輻角是”+2kπ，其中k可以取任何整數，輻角的主值argz=
注意：①當a∈R時,arga=0,arg(-a)=π, arg ai=arg(-ai)=
②因為復數0對應零向量,而零向量的方向是任意的,所以復數0的輻角是任意的
【即學即練1】（23-24高一下·福建泉州·階段練習）復數的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
知識點02 復數代數形式和三角形式的互化
1、復數三角形式定義：以三角形式表示的復數z=r（cosθ＋isinθ），只要計算出三角函數值，應用a=rcosθ，b=rsinθ，就可以轉化成代數形式；反之，以代數形式表示的復數z=a＋bi≠0，若限定輻角取輻角的主值，只要應用r=，r=0，cosθ=，sinθ=計算出模及輻角的主值，就可以轉化成三角形式.
2、三角形式下復數相等:
每一個不為零的復數有唯一的模與輻角的主值并且由它的輻角的模與主值唯一確定.因此兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等。
注意：z=a＋bi（a，b ∈R）z=r（cosθ＋isinθ）
3、復數的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）的條件：
①r>0
②中間用加號連接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可為任意值
可簡記為：模非負、角相同、余弦前、加號連，此四個條件缺一不可.
【即學即練2】（2024高一下·全國·專題練習）把下列復數的代數形式化成三角形式：
(1)；
(2).
知識點03 復數三角形式的乘除法
設,,
1、復數的乘法：=[cos(+)]+isin(+)
2、復數的乘方：==[],這個公式叫做棣美弗公式.
3、復數乘法的幾何意義：設，對應的向量分別為，，將繞原點逆時針旋轉θ2，再將的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，如果所得向量為，則對應的復數即為.
特殊地，因為復數i=cos+isin即模為1，輻角為，所以一個復數與i相乘，從向量的角度說，就相當于把這個復數對應的向量繞原點沿逆時針旋轉
4、復數除法與幾何意義：
①復數倒數的三角形式表示：
設復數,則,由可知：
,
②復數的除法：.
=.
也就是說，對于兩個復數，來說，（≠0）
還是復數，它的模是的模除以的模，它的輻角是的輻角減去的輻角.
③兩個復數相除的幾何意義：
設，（≠0）對應的向量分別為，，將繞原點順時針旋轉θ2，再將的模變?yōu)樵瓉淼?br/>倍，如果所得向量為，則對應的復數即為.
特殊地，因為i=cos+isin即模為1，輻角為，所以一個復數除以i，從向量的角度說，就相當于把這個復數對應的向量繞原點沿順時針旋轉
5、復數三角形式的開方：
,k=0,1,2,...,n-1
【即學即練3】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）計算：
(1)；
(2).
【題型一：復數的輻角主值】
例1．（21-22高一·全國·課前預習）復數1＋i的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
變式1-1．（22-23高一下·陜西·期中）歐拉是十八世紀偉大的數學家，他巧妙地把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數和聯(lián)系在一起，得到公式，這個公式被譽為“數學的天橋”，若，則稱為復數的輻角主值．根據該公式，可得的輻角主值為 ．
變式1-2．（22-23高一下·上海楊浦·期末）已知為虛數單位，，則的輻角主值為 .
變式1-3．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）復數的輻角主值是 ．
【方法技巧與總結】
適合于[0，2π）的輻角的值稱為輻角主值，除0外每個復數有且僅有一個輻角主值，一般先用復數z 對應的點Z（a，b）確定角所在的象限，再由tan θ=確定在[0，2π）內的角θ，即為argz.
【題型二：復數三角形式的判斷】
例2．（2024高一下·全國·專題練習）下列復數是不是復數的三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3).
變式2-1．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）是不是復數的三角形式？如果不是，將它表示成三角形式．
變式2-2．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）下列復數是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式2-3．（2022高一·全國·專題練習）下列復數是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【方法技巧與總結】
復數的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）條件：
①r>0
②中間用加號連接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可為任意值
可簡記為：模非負、角相同、余弦前、加號連，此四個條件缺一不可
【題型三：復數代數形式化為三角形式】
例3．（2024高一下·全國·專題練習）把下列復數表示成三角形式：
(1)；
(2).
變式3-1．（2024高一下·全國·專題練習）畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
變式3-2．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）把下列復數表示成三角形式．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
變式3-3．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧與總結】
將復數的代數形式轉化為三角形式的
步驟：
（1）先求復數的模；（2）決定輻角所在的象限；（3）根據象限求出輻角；（4）求得復數的三角形式.
【題型四：復數三角形式化為代數形式】
例4．（22-23高一·全國·隨堂練習）把下列復數表示成代數形式：
(1)；
(2)．
變式4-1．（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）分別指出下列復數的模和輻角的主值，并將復數表示成代數形式．
(1)；
(2)
變式4-2．（2024高一下·全國·專題練習）將下列復數的三角形式化成代數形式：
(1)；
(2)．
變式4-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）把下列復數的三角形式化為代數形式：
(1)；
(2).
【方法技巧與總結】
將復數的三角形式化為復數代數形式的
方法是：復數三角形式z=r（cos A＋isin A），代數形式為z=x+yi，對應實部等于實部，虛部等于虛部，即x=rcos A，y=rsin A.
【題型五：復數乘除法的三角形式】
例5．（21-22高一·全國·課前預習）計算(cos＋isin)÷＝ ．
變式5-1．（22-23高一·全國·課堂例題）計算下列各式，并把結果化成代數形式：
(1)，
(2)．
變式5-2．（2024高一下·江蘇·專題練習）化簡下列各式：
(1) ；
(2)
變式5-3．（2023高一下·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2).
【方法技巧與總結】
乘法法則簡記為：模數相乘，幅角相加
除法法則簡記為：模數相除，幅角相減
【題型六：復數乘方的三角形式】
例6．（2023·廣東·模擬預測）棣莫弗公式（為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667－1754）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，已知復數，則的值是（ ）
A． B． C． D．
變式6-1．（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
變式6-2．（2023·江蘇南通·模擬預測）任何一個復數都可以表示成的形式，通常稱之為復數的三角形式．法國數學家棣莫弗發(fā)現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則（ ）
A．1 B． C． D．i
變式6-3．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）設，則 ．
【方法技巧與總結】
乘方：
開方：
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北武漢·期中）設復數對應的向量分別為為坐標原點，且，若把繞原點順時針旋轉，把繞原點逆時針旋轉，所得兩向量的終點重合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現了棣莫弗定理：設兩個復數，，（，）則．設，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·全國·專題練習）復數，將復數z對應向量按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數為（ ）
A． B．
C．1 D．
4．（2024高一下·全國·專題練習）（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·全國·專題練習）設復數的輻角的主值是，則的輻角的主值為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·全國·專題練習）將代數形式的復數改寫成三角形式為（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·期末）歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯(lián)，在復變函數論里面占有非常重要的地位，依據歐拉公式，下列選項正確的是（ ）
A．復數為實數 B．對應的點位于第二象限
C． D．的最大值為1
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）已知復數z對應的向量為，復數對應的向量為，復數對應的向量為，則下列說法正確的是（ ）
A．將的模擴大為原來的2倍，再逆時針旋轉可得到
B．將的模擴大為原來的2倍，再順時針旋轉可得到
C．將的模縮小為原來的，再逆時針旋轉可得到
D．將的模縮小為原來的，再順時針旋轉可得到
10．（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．復數的輻角的主值為
B．復數的輻角的主值為
C．復數的代數形式為
D．復數的三角形式為
11．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）1748年，瑞士數學家歐拉發(fā)現了復指數函數和三角函數的關系，并寫下公式（為虛數單位），這個公式在復變函數中有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，據此公式，則有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2022春·廣西欽州·高一校考期末）arg＝________．
13．（2024高一下·全國·專題練習）任意復數（，為虛數單位）都可以的形式，其中，該形式為復數的三角形式，其中稱為復數的輻角主值.若復數，則的輻角主值為 ．
14．（2024高一下·全國·專題練習） (用代數形式表示)．
四、解答題
15．（23-24高一下·重慶·期中）我們知道復數有三角形式，，其中為復數的模，為輻角主值.由復數的三角形式可得出，若，，則.其幾何意義是把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?
已知圓半徑為1，圓的內接正方形的四個頂點均在圓上運動，建立如圖所示坐標系，設點所對應的復數為，點所對應的復數為，點所對應的復數為，點所對應的復數為.
(1)若，求出，；
(2)如圖，若，以為邊作等邊，且在上方.
（ⅰ）求線段長度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范圍.
16．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知：
①任何一個復數都可以表示成的形式．其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角形式．
②被稱為歐拉公式，是復數的指數形式．
③方程（為正整數）有個不同的復數根．
(1)設，求；
(2)試求出所有滿足方程的復數的值所組成的集合；
(3)復數，求．
17．（2024高一下·全國·專題練習）計算下列各式，并用三角形式表示：
(1)；
(2)；
(3).
18．（22-23高一下·福建三明·階段練習）在復平面內，O為坐標原點，復數是關于x的方程的一個根.
(1)求實數m，n的值；
(2)若復數，，，所對應的點分別為A，B，C，記的面積為，的面積為，求.
19．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）已知復數z滿足，且是純虛數．
(1)求z；
(2)求z的輻角主值．
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