資源簡介

5.2.2復數的乘法與除法
課程標準 學習目標
1、理解復數代數形式的乘、除法運算，復數范圍內一元二次方程的解法 2.掌握靈活運用復數除法法則解決相關問題 1、掌握復數的乘、除法的運算法則以及復數乘法的運算律，并能運用運算法則與運算律解決相關問題。 2．掌握共軛復數的應用以及在復數范圍內一元二次方程的解法。 3、在學習過程中，感受運算法則的合理性，感受事物是不斷變化和發展的。
知識點01 復數的乘法與乘方
1、復數乘法運算法則
兩個復數的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i2換成－1，并把最后結果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
顯然兩個復數的積仍是復數．
2、復數乘法的運算律
對于任意z1、z2、z3∈C，有
(1)z1·z2＝z2·z1(交換律)；
(2)z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結合律)；
(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
注意：實數范圍內的乘法公式在復數范圍內仍然成立．
3、復數的乘方
復數的乘方也就是相同復數的乘積，根據乘法的運算律，實數范圍內正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立．
即對復數z1、z2、z和自然數m、n有
(1)zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
(2)i為虛數單位，則
注意：實數范圍內的乘方公式、運算律在復數范圍內仍然成立．
【即學即練1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數（i為虛數單位），則復數z在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知識點02 共軛復數的性質
復數z＝a＋bi的共軛復數為＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：
1、兩個共軛復數的對應點關于實軸對稱且|z|＝||；
2、實數的共軛復數是它本身，即z＝(z∈R)z是實數；
3、z·＝|z|2＝||2；
4、=Z
5、=-Z且z是純虛數；
6、;
7、z+=2a,z-=2bi;z·=
8、
【即學即練2】（多選）（20-21高一下·浙江·期末）已知為復數，是其共軛復數，則下列命題一定正確的是（ ）
A． B．
C．若為純虛數，則 D．復數是實數的充要條件是
知識點03 復數的除法
1、復數的倒數：一般地，給定復數z≠0，稱為z的倒數．求復數的倒數的方法稱為分母實數化.
2、復數相除：如果復數z2≠0，則滿足zz2=z1的復數z稱為z1除以z2的值，并記作z =（或z=z1÷z2），z1稱為被除數，z2稱為除數.
3、規定兩個復數除法的運算法則：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝＝＋i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．
注意：在進行復數除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式，再把分子、分母同乘分母的共軛復數c－di，把分母變為實數，化簡后，就可得到所求結果．
4、復數除法的性質：
(1)兩個復數相除(除數不為0)，所得的商仍是一個復數．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是進行復數除法運算中實現分母“實數化”的一個手段．
(3)設z1、z2為任意復數，則()＝(z2≠0)．
【即學即練3】（23-24高一下·云南昆明·期中）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
知識點04 實數系一元二次方程在復數范圍內的解集
1、根的判定
當a，b，c都是實數且a≠0時，關于x的方程ax2+bx+c=0稱為實系數一元二次方程，
當4=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；
當4=b2- 4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當=b2- 4ac<0時，方程有兩個互為共軛的虛數根.
2、根與系數的關系
如果x1，x2是實系數一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
【即學即練4】（22-23高一·全國·課后作業）所有的三次方根為 ．
【題型一：簡單的乘法運算】
例1.（23-24高一下·福建寧德·期中）已知復數，則復數（ ）
A． B． C． D．
變式1-1.（23-24高一下·重慶·期中）（ ）
A． B． C． D．
變式1-2.（23-24高一下·重慶·期中）復數的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
變式1-3.（23-24高一下·河南·期中）已知為虛數單位，若為的共軛復數，則 （ ）
A．14 B．116 C． D．
【方法技巧與總結】
1、復數的乘法運算法則的記憶：
復數的乘法運算可以把i看作字母，類比多項式的乘法進行，注意要把i 化為- 1，進行最后結果的化簡.
2、復數的乘法可以按照乘法法則進行，對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數的乘法，用乘法公式更簡便，例如平方差公式，完全平方公式等.
【題型二：需要設標準形式的乘法運算】
例2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）若復數z與都為純虛數，則 .
變式2-1．（2024高一下·全國·專題練習）定義運算，則符合條件的復數 ．
變式2-2．（2024·山東聊城·一模）若復數滿足，則可以為（ ）
A． B． C． D．
變式2-3．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知是復數，和均為實數，，其中是虛數單位.
(1)求復數的共軛復數;
(2)若復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.
【題型三：復數的乘方運算】
例3．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
變式3-1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式3-2．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）已知復數，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
變式3-3．（23-24高一下·北京·期中）若復數，則的虛部為 .
【方法技巧與總結】
常用結論匯總：
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N
.
若z=z是實數，若zz=0,則z是純虛數；z·＝|z|2＝||2.
【題型四：復數范圍內因式分解】
例4．（20-21高一下·上海普陀·階段練習）在復數范圍內分解因式： ．
變式4-1．（21-22高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
變式4-2．（20-21高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
變式4-3．（21-22高二上·上海楊浦·期末）已知關于x的方程在復數范圍內的兩根分別為 .
(1)若該方程沒有實根，求實數a的取值范圍；并在復數范圍內對進行因式分解；
(2)若，求實數a的值.
【題型五：簡單的除法運算】
例5．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數（i為虛數單位）則z在復平而內所對應的向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式5-1．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知i是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
變式5-2．（23-24高一下·江蘇鎮江·期中）復數，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式5-3．（23-24高一下·重慶·期中）若復數，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
復數的除法運算法則的記憶：
復數除法一般先寫成分式形式，再把分母實數化，即分子、分母同乘以分母的共軛復數，若分母為純虛數，則只需同乘以i.
【題型六：需要設標準形式的除法運算】
例6．（多選）（23-24高一下·新疆省直轄縣級單位·期中）若復數z滿足，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點在直線上 D．的虛部為
變式6-1．（多選）（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知復數滿足，且復數對應的點在第一象限，則下列結論正確的是（ ）
A．復數的虛部為 B．
C． D．復數的共軛復數為
變式6-2．（多選）（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點在實軸上 D．的最大值為
變式6-3．（23-24高一下·江蘇常州·期中）在復平面內，復數對應的點在第四象限，設．
(1)若，求；
(2)若，求．
【題型七：復數范圍內方程的根】
例7．(多選)（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，是關于的方程的兩根，其中，．若（為虛數單位），則（ ）
A． B．
C． D．
變式7-1.(多選)（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數是關于的方程的兩根，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
變式7-2．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數是關于的方程的根（是虛數單位），其中．
(1)求a，b的值．
(2)若，且復數是純虛數，求．
變式7-3．（23-24高一下·河南·期中）已知實系數方程的兩個復根分別為，，且，.
(1)求a，b的值；
(2)記集合，判斷，與集合M的關系.
【方法技巧與總結】
在復數范圍內，實數系方程ax2+bx+c=0的求解方法
1、求根公式法
①時，
②<0時，
2、利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化簡后利用復數相等的定義求解.
【題型八：復數含參問題】
例8．（2023·陜西安康·模擬預測）設復數的實部與虛部互為相反數，則（ ）
A． B． C．2 D．3
變式8-1．（2024·全國·模擬預測）已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
變式8-2．（22-23高二上·江西撫州·階段練習）已知為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
變式8-3．（23-24高一下·廣西·階段練習）已知，則的值為 ．
一、單選題
1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若為“等部復數”，則實數的值為（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知復數，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（23-24高一下·北京·期中）若復數滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
4．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）定義運算，則滿足（為虛數單位）的復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（23-24高一下·福建·期中）已知，，若復數，則z的實部是（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．i
6．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知都是復數，其共軛復數分別為，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
二、多選題
9．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數的共軛復數記為，對于任意的兩個復數，，與下列結論錯誤的是（ ）
A．若復數，則其對應復平面上的點在第二象限
B．若復數滿足，則
C．
D．
10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命題正確的是（ ）
A．若復數滿足，則或
B．
C．若是方程的一個根，則該方程的另一個根是
D．在復平面內，所對應的向量分別為，其中為坐標原點，若，則
11．（23-24高一下·福建·期中）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則中至少有1個是0
D．若且，則
三、填空題
12．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一個虛數根，則 .
13．（23-24高一下·浙江·期中）已知為復數，且，則的最大值為 ．
14．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數滿足，且是純虛數，試寫出一個滿足條件的復數 .
四、解答題
15．（23-24高一下·上海·期中）已知復數是純虛數（為實數）．
(1)求的值；
(2)若，復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數的取值范圍．
16．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知復數與都是純虛數．
(1)求；
(2)若復數是關于的方程的一個根，求實數、的值．
17．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知復數在復平面上對應點在第一象限，且，的虛部為2.
(1)求復數；
(2)設復數、、在復平面上對應點分別為、、，求的值.
18．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數，m為實數．
(1)若z是純虛數，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若﹐求的值．
19．（23-24高一下·山東·階段練習）已知復數，其中是實數.
(1)若，求的值；
(2)若是實數，求的值；
(3)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)5.2.2復數的乘法與除法
課程標準 學習目標
1、理解復數代數形式的乘、除法運算，復數范圍內一元二次方程的解法 2.掌握靈活運用復數除法法則解決相關問題 1、掌握復數的乘、除法的運算法則以及復數乘法的運算律，并能運用運算法則與運算律解決相關問題。 2．掌握共軛復數的應用以及在復數范圍內一元二次方程的解法。 3、在學習過程中，感受運算法則的合理性，感受事物是不斷變化和發展的。
知識點01 復數的乘法與乘方
1、復數乘法運算法則
兩個復數的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i2換成－1，并把最后結果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
顯然兩個復數的積仍是復數．
2、復數乘法的運算律
對于任意z1、z2、z3∈C，有
(1)z1·z2＝z2·z1(交換律)；
(2)z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結合律)；
(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
注意：實數范圍內的乘法公式在復數范圍內仍然成立．
3、復數的乘方
復數的乘方也就是相同復數的乘積，根據乘法的運算律，實數范圍內正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立．
即對復數z1、z2、z和自然數m、n有
(1)zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
(2)i為虛數單位，則
注意：實數范圍內的乘方公式、運算律在復數范圍內仍然成立．
【即學即練1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數（i為虛數單位），則復數z在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用復數乘法運算求出復數z，再求出它所對應點的坐標即可得解.
【詳解】依題意，復數對應點在第一象限.
故選：A
知識點02 共軛復數的性質
復數z＝a＋bi的共軛復數為＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：
1、兩個共軛復數的對應點關于實軸對稱且|z|＝||；
2、實數的共軛復數是它本身，即z＝(z∈R)z是實數；
3、z·＝|z|2＝||2；
4、=Z
5、=-Z且z是純虛數；
6、;
7、z+=2a,z-=2bi;z·=
8、
【即學即練2】（多選）（20-21高一下·浙江·期末）已知為復數，是其共軛復數，則下列命題一定正確的是（ ）
A． B．
C．若為純虛數，則 D．復數是實數的充要條件是
【答案】BD
【分析】利用特殊值法可判斷A選項的正誤；利用復數的乘法可判斷B選項的正誤；利用復數的乘法以及復數相等可判斷C選項的正誤；利用復數的概念結合充分條件、必要條件的定義可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，取，則，，所以，，A選項錯誤；
對于B選項，，B選項正確；
對于C選項，為純虛數，則，即，C選項錯誤；
對于D選項，充分性：若為實數，即，此時，，充分性成立.
必要性：若，即，可得，即，，必要性成立.
所以，復數是實數的充要條件是，D選項正確.
故選：BD.
知識點03 復數的除法
1、復數的倒數：一般地，給定復數z≠0，稱為z的倒數．求復數的倒數的方法稱為分母實數化.
2、復數相除：如果復數z2≠0，則滿足zz2=z1的復數z稱為z1除以z2的值，并記作z =（或z=z1÷z2），z1稱為被除數，z2稱為除數.
3、規定兩個復數除法的運算法則：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝＝＋i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．
注意：在進行復數除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式，再把分子、分母同乘分母的共軛復數c－di，把分母變為實數，化簡后，就可得到所求結果．
4、復數除法的性質：
(1)兩個復數相除(除數不為0)，所得的商仍是一個復數．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是進行復數除法運算中實現分母“實數化”的一個手段．
(3)設z1、z2為任意復數，則()＝(z2≠0)．
【即學即練3】（23-24高一下·云南昆明·期中）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，結合復數的除法運算化簡可得結論.
【詳解】因為，
所以，
故選：D.
知識點04 實數系一元二次方程在復數范圍內的解集
1、根的判定
當a，b，c都是實數且a≠0時，關于x的方程ax2+bx+c=0稱為實系數一元二次方程，
當4=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；
當4=b2- 4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當=b2- 4ac<0時，方程有兩個互為共軛的虛數根.
2、根與系數的關系
如果x1，x2是實系數一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
【即學即練4】（22-23高一·全國·課后作業）所有的三次方根為 ．
【答案】
【分析】
設的三次方根為，然后展開計算，再根據復數相等列方程求解即可.
【詳解】
設的三次方根為，
則，
，
，解得或或
即所有的三次方根為
故答案為：.
【題型一：簡單的乘法運算】
例1.（23-24高一下·福建寧德·期中）已知復數，則復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由復數的運算，即可得到結果.
【詳解】由復數的運算可得.
故選：B
變式1-1.（23-24高一下·重慶·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數乘法運算化簡即可.
【詳解】.
故選：C
變式1-2.（23-24高一下·重慶·期中）復數的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的乘法運算及共軛復數的定義計算即可.
【詳解】由.
故選：A
變式1-3.（23-24高一下·河南·期中）已知為虛數單位，若為的共軛復數，則 （ ）
A．14 B．116 C． D．
【答案】B
【分析】根據相等復數建立方程組，解得，進而解出，結合共軛復數的概念與復數的乘法運算即可求解.
【詳解】由，得，
所以，解得，
則，所以，
所以.
故選：B
【方法技巧與總結】
1、復數的乘法運算法則的記憶：
復數的乘法運算可以把i看作字母，類比多項式的乘法進行，注意要把i 化為- 1，進行最后結果的化簡.
2、復數的乘法可以按照乘法法則進行，對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數的乘法，用乘法公式更簡便，例如平方差公式，完全平方公式等.
【題型二：需要設標準形式的乘法運算】
例2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）若復數z與都為純虛數，則 .
【答案】
【分析】設，代入條件計算，再根據純虛數列方程求解.
【詳解】設，
則，
因為為純虛數，
所以，解得.
故答案為：.
變式2-1．（2024高一下·全國·專題練習）定義運算，則符合條件的復數 ．
【答案】
【分析】由定義建立等量關系，設，代入由復數相等計算求解即可.
【詳解】由題意得．設，
則，
所以，解得，
所以．
故答案為：.
變式2-2．（2024·山東聊城·一模）若復數滿足，則可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助復數的性質設，結合題意計算即可得.
【詳解】設，，則，故有，
即有，選項中只有A選項符合要求，故A正確，
B、C、D選項不符合要求，故B、C、D錯誤.
故選：A.
變式2-3．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知是復數，和均為實數，，其中是虛數單位.
(1)求復數的共軛復數;
(2)若復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，再根據復數的除法運算及實數的定義求出，再根據共軛復數的定義即可得解；
（2）先求出復數，再根據復數的幾何意義即可得解.
【詳解】（1）設，則，
為實數，，解得，
為實數，
，解得，
，
；
（2）由（1）可知，，
復數在復平面內對應的點在第一象限，
，解得，
故實數的取值范圍為.
【題型三：復數的乘方運算】
例3．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的乘方運算和除法運算化簡復數，然后根據共軛復數的概念求解即可.
【詳解】由題，所以，
所以.
故選：D
變式3-1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數的乘方法則計算出，，，，，發現數列的周期性，利用周期性即可求得所求式的值.
【詳解】由，，，，，
故是一個周期數列，最小正周期為4，
且，
則
.
故選：B.
變式3-2．（23-24高一下·安徽銅陵·期中）已知復數，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】借助復數的運算法則及復數的模的定義計算即可得.
【詳解】∵，
∴ ．
故選：C.
變式3-3．（23-24高一下·北京·期中）若復數，則的虛部為 .
【答案】
【分析】根據復數的乘方化簡復數，即可判斷其虛部.
【詳解】因為，，
所以，
所以的虛部為.
故答案為：
【方法技巧與總結】
常用結論匯總：
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N
.
若z=z是實數，若zz=0,則z是純虛數；z·＝|z|2＝||2.
【題型四：復數范圍內因式分解】
例4．（20-21高一下·上海普陀·階段練習）在復數范圍內分解因式： ．
【答案】
【分析】將原式配成完全平方式，再根據，即可得解；
【詳解】解：
故答案為：
變式4-1．（21-22高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）結合復數運算求得正確答案.
【詳解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
變式4-2．（20-21高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
【答案】(1)(x＋2i)(x－2i)
(2)(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
【分析】（1）利用復數范圍內的因式分解即可求解.
（2）利用復數范圍內的因式分解即可求解.
【詳解】（1）x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．
（2）x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
變式4-3．（21-22高二上·上海楊浦·期末）已知關于x的方程在復數范圍內的兩根分別為 .
(1)若該方程沒有實根，求實數a的取值范圍；并在復數范圍內對進行因式分解；
(2)若，求實數a的值.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）若該方程沒有實根，則，解之即可，由，可得，即可在復數范圍內對進行因式分解；
（2）分和兩種情況討論，結合韋達定理從而可得出答案.
【詳解】（1）解：若該方程沒有實根，
則，解得，
由，得，
所以，即，
所以在復數范圍內對 ；
（2）解：當，即時，
則都是實數，
由韋達定理可知，
故都是非負數，
所以，所以；
當，即時，方程有兩個共軛虛根，設為，
則，
故，解得或（舍去），
綜上所述，或.
【題型五：簡單的除法運算】
例5．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數（i為虛數單位）則z在復平而內所對應的向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的除法運算化簡，即可由幾何意義求解.
【詳解】由題，
所以復數所對應的向量的坐標為.
故選：D
變式5-1．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知i是虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數模的運算法則求解即可.
【詳解】由題意.
故選：A
變式5-2．（23-24高一下·江蘇鎮江·期中）復數，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由復數的運算化簡已知等式，再由共軛復數和復數的關系求出共軛復數的模長即可.
【詳解】由已知可得，
所以，
所以，
故選：A.
變式5-3．（23-24高一下·重慶·期中）若復數，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的四則運算法則化簡，再由共軛復數的定義即可求解.
【詳解】，
所以.
故選：B.
【方法技巧與總結】
復數的除法運算法則的記憶：
復數除法一般先寫成分式形式，再把分母實數化，即分子、分母同乘以分母的共軛復數，若分母為純虛數，則只需同乘以i.
【題型六：需要設標準形式的除法運算】
例6．（多選）（23-24高一下·新疆省直轄縣級單位·期中）若復數z滿足，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點在直線上 D．的虛部為
【答案】BCD
【分析】設，，由條件求出復數的代數形式，結合復數的模的公式求，判斷A，求的共軛復數，根據復數運算法則求，，判斷B，D，根據復數的幾何意義求在復平面內對應的點，判斷C.
【詳解】設，，則，
因為，
所以，
化簡可得，，
所以，
所以，所以
因為，所以A錯誤，
因為，所以B正確；
因為，
所以的虛部為，D正確，
在復平面內對應的點的坐標為，
點在直線上，C正確，
故選：BCD.
變式6-1．（多選）（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知復數滿足，且復數對應的點在第一象限，則下列結論正確的是（ ）
A．復數的虛部為 B．
C． D．復數的共軛復數為
【答案】BC
【分析】由待定系數法，根據模長公式可得，即可結合選項逐一求解.
【詳解】解：設，
由，得，解得或（舍去）．
，復數的虛部為，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤．
故選：BC．
變式6-2．（多選）（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點在實軸上 D．的最大值為
【答案】ABD
【分析】先設，代入中化簡，根據為純虛數得出：，且即可判斷選項A、C；由可判斷選項B；根據復數的幾何意義可判斷選項D.
【詳解】由題意設，
則.
因為為純虛數，
所以，且，即，且.
因此，故選項A正確；，所以故選項B正確；
因為在復平面內對應的點為，
所以在復平面內對應的點不在實軸上，故選項C錯誤；
因為表示圓上的點到點的距離，
且最大距離為，故選項D正確.
故選：ABD.
變式6-3．（23-24高一下·江蘇常州·期中）在復平面內，復數對應的點在第四象限，設．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，根據復數除法運算和加減法運算化簡，再根據復數的分類列出方程組，解之即可；
（2）根據，可得等式左邊化簡后得復數虛部等于零，可得出關系，再根據復數的模的計算公式即可得解.
【詳解】（1）設，
由，得，
即，整理得，
因為，即，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）結合，
可得，所以，
所以.
【題型七：復數范圍內方程的根】
例7．(多選)（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，是關于的方程的兩根，其中，．若（為虛數單位），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】將代入方程后結合虛數的意義解得可得AB正確；由韋達定理可判斷C錯誤；由虛數的模長和虛數的運算可得D錯誤.
【詳解】A/B：由題意可得
，
即，
所以，故，
故A、B正確；
C：利用AB解析可得，故C錯誤；
D：利用AB解析由可得，
所以，而，故D錯誤；
故選：AB.
變式7-1.(多選)（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數是關于的方程的兩根，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】ACD
【分析】利用求根公式得到，，韋達定理得到，分別計算，，即可選出答案.
【詳解】，所以方程的根為，不妨設，，
可知，故A正確；
由韋達定理知，所以，故C正確；
所以，因為，所以，故B錯誤；
時，，，
計算可得，，
，，
所以，故D正確；
故選：ACD.
變式7-2．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知復數是關于的方程的根（是虛數單位），其中．
(1)求a，b的值．
(2)若，且復數是純虛數，求．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）將代入方程，根據復數相等列方程組求解可得；
（2）設，根據復數模公式和純虛數概念列方程組求解即可.
【詳解】（1）是方程的根，，
即，
，解得；
（2）設，則，所以①，
又為純虛數，所以②，
由①②聯立，解得或，
或．
變式7-3．（23-24高一下·河南·期中）已知實系數方程的兩個復根分別為，，且，.
(1)求a，b的值；
(2)記集合，判斷，與集合M的關系.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據實系數的一元二次方程的韋達定理，列出方程組，即可求解；
（2）分別轉化求得和，結合集合，即可得解.
【詳解】（1）實系數方程的兩個復根分別為，，且，，
結合實系數的一元二次方程的韋達定理，可得，解得.
（2）依題意，，，則，且，
所以，
又因為，即.
【方法技巧與總結】
在復數范圍內，實數系方程ax2+bx+c=0的求解方法
1、求根公式法
①時，
②<0時，
2、利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化簡后利用復數相等的定義求解.
【題型八：復數含參問題】
例8．（2023·陜西安康·模擬預測）設復數的實部與虛部互為相反數，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據復數的乘法運算化簡復數z，根據實部與虛部互為相反數列式計算，即得答案.
【詳解】，
由已知得，解得，
故選：D
變式8-1．（2024·全國·模擬預測）已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據復數的四則運算、復數相等的概念即可求得的值，可得結果.
【詳解】由，
可得，，
因此．
故選：B．
變式8-2．（22-23高二上·江西撫州·階段練習）已知為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由復數的除法運算公式將其化為可求得a，b的值，再由分數指數冪與根式互化公式 可求得結果.
【詳解】∵
∴
∴
故選：B.
變式8-3．（23-24高一下·廣西·階段練習）已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據復數模長的性質與計算求解即可.
【詳解】，則，解得，因為，所以 ．
故答案為：4
一、單選題
1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若為“等部復數”，則實數的值為（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】D
【分析】先運用復數的四則運算法則化簡，再根據等部復數的定義列方程計算即得.
【詳解】因，依題意得，.
故選：D.
2．（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知復數，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的乘法運算及復數模的計算得解.
【詳解】依題意，復數，所以.
故選：C
3．（23-24高一下·北京·期中）若復數滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用復數除法求出，再求出復數的模.
【詳解】依題意，，所以.
故選：B
4．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）定義運算，則滿足（為虛數單位）的復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根據定義結合復數的乘法運算求出復數，再根據復數的幾何意義即可得解.
【詳解】由題意可得，
即，
所以復數在復平面內對應的點為，在第一象限.
故選：A.
5．（23-24高一下·福建·期中）已知，，若復數，則z的實部是（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．i
【答案】A
【分析】根據復數相等可求的值可解.
【詳解】由于，則，
則，所以z的實部是1.
故選：A
6．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據復數的除法運算求，再結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】由題意可得：，
所以復數在復平面內對應的點為，位于第四象限.
故選：D.
7．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數除法的運算法則直接計算即可.
【詳解】，
故選：B
8．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習）已知都是復數，其共軛復數分別為，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】C
【分析】設，利用復數的運算及共軛復數的概念判斷AD，根據復數乘積運算及模的運算判斷B，舉反例判斷C.
【詳解】對于A，設，
則，而，
故，故A正確；
對于B，，
則
，
又，
所以，故B正確；
對于C，令，則，所以，
但是，故C錯誤；
對于D，，又，
所以，故D正確.
故選：C
二、多選題
9．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數的共軛復數記為，對于任意的兩個復數，，與下列結論錯誤的是（ ）
A．若復數，則其對應復平面上的點在第二象限
B．若復數滿足，則
C．
D．
【答案】ABD
【分析】對于A：根據復數的幾何意義分析判斷；對于B：根據復數的除法和共軛復數的定義分析判斷；對于C：根據復數模長的性質分析判斷；對于D：舉反例說明即可.
【詳解】對于選項A：因為復數在復平面上對應的點為，位于第四象限，故A錯誤；
對于選項B：因為，則，
所以，故B錯誤；
對于選項C：因為，所以，故C正確；
對于選項D：例如，則，
則，即，故D錯誤；
故選：ABD.
10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命題正確的是（ ）
A．若復數滿足，則或
B．
C．若是方程的一個根，則該方程的另一個根是
D．在復平面內，所對應的向量分別為，其中為坐標原點，若，則
【答案】CD
【分析】由復數模長的幾何意義可判斷A；由向量加法和減法的幾何意義可判斷BD；根據復數范圍內，兩個虛數根互為共軛復數可判斷C.
【詳解】解：對于，若，則在復平面內對應的點的集合是以原點為圓心，
1為半徑的圓，有無數個點與復數對應，故選項A錯誤；
對于B，設所對應的向量分別為，
由向量加法的幾何意義可知，故選項B錯誤；
對于，根據復數范圍內，實系數一元二次方程的求根公式知，
兩個虛數根互為共軛復數，所以若是方程的根，
則該方程的另一個根是，故選項C正確；
對于D，若，則復平面內以為鄰邊的平行四邊形是矩形，
根據矩形的對角線相等和復數加法 減法的幾何意義可知，選項D正確，
故選：CD.
11．（23-24高一下·福建·期中）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則中至少有1個是0
D．若且，則
【答案】ACD
【分析】根據題意，利用復數的運算法則，以及復數的模計算，結合復數的定義，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，設復數，則，
可得，
則
，即，所以A正確；
對于B中，例如，此時滿足，但，所以B不正確；
對于C中，由，可得或，
當時，可得，可得，此時；
當時，可得，可得，此時，
所以中至少有1個是，所以C正確；
對于D中，設（其中不能同時為零），可得
因為，可得，則，
又由，所以，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題
12．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一個虛數根，則 .
【答案】
【分析】根據公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以方程的根為，
即或.
故答案為：
13．（23-24高一下·浙江·期中）已知為復數，且，則的最大值為 ．
【答案】2
【分析】設，由復數模的計算公式可解.
【詳解】設，由于，所以，
則，
由于，所以的最大值為.
故答案為：2
14．（23-24高一下·重慶·期中）已知復數滿足，且是純虛數，試寫出一個滿足條件的復數 .
【答案】或(寫出其中一個即可，答案不唯一)
【分析】設出復數的代數形式，由求出的虛部，然后由是純虛數列式即可計算作答.
【詳解】設，由，
可得，解得，又是純虛數，
設且，則，則，
解得，所以或.
故答案為：或.(寫出其中一個即可，答案不唯一)
四、解答題
15．（23-24高一下·上海·期中）已知復數是純虛數（為實數）．
(1)求的值；
(2)若，復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數的取值范圍．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由復數是純虛數的充要條件直接列式即可求解；
（2）利用復數四則運算表示出復數在復平面內對應的點的坐標，結合點在第二象限內的充要條件列出表達式組即可求解.
【詳解】（1）復數是純虛數當且僅當，解得；
（2）由（1）可得，注意到，
所以，
復數在復平面內對應的點的坐標為，
由題意點在第二象限，所以，
解得，即實數的取值范圍為.
16．（23-24高一下·陜西西安·期中）已知復數與都是純虛數．
(1)求；
(2)若復數是關于的方程的一個根，求實數、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）設，根據復數代數形式的運算法則化簡，再根據復數的類型得到方程（不等式）組，解得，從而得到，即可求出其模；
（2）由（1）可得，根據虛根成對原理得到也是方程的根，利用韋達定理計算可得.
【詳解】（1）由題意可設，
則，
又為純虛數，
則，解得，所以，則；
（2）由（1）可得，
故是關于的方程 的一個根，
則也是關于的方程 的一個根，
故，解得．
17．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知復數在復平面上對應點在第一象限，且，的虛部為2.
(1)求復數；
(2)設復數、、在復平面上對應點分別為、、，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，得到、，根據和的虛部為2聯立方程組解出、，再根據復數在復平面上對應點在第一象限得到復數；
（2）分別求出、，得到點、、的坐標，求出.
【詳解】（1）設，，，
由題意得，解得或，又因為復數在復平面上對應點在第一象限，所以.
（2），，，
所以對應的點，，，從而，，.
18．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知復數，m為實數．
(1)若z是純虛數，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若﹐求的值．
【答案】(1)；
(2)2；
(3).
【分析】（1）利用純虛數的定義列式計算得解.
（2）利用復數是實數的充要條件，結合實數大于0，列式求解即得.
（3）利用復數除法及復數模的意義求解即得.
【詳解】（1）由，得，
由z是純虛數，得，解得，
所以m的值是.
（2）由，得，解得，
所以m的值為2.
（3）當時，，則，
所以.
19．（23-24高一下·山東·階段練習）已知復數，其中是實數.
(1)若，求的值；
(2)若是實數，求的值；
(3)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據復數運算法則求，根據復數相等的定義列方程求；
（2）根據復數運算法則求，由條件列方程求；
（3）根據復數運算法則求，由條件結合復數的幾何意義列不等式求的取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以，
又，，
所以，解得，
所以實數的值為.
（2），
因為是實數，所以，解得；
（3），
所以復數在復平面內對應的點的坐標為，
由已知得，解得，
所以，所以的取值范圍為.
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