資源簡(jiǎn)介

5.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解復(fù)數(shù)的加法和減法法則 2、掌握復(fù)數(shù)的減法法則 1、學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法和減法運(yùn)算法則 2、會(huì)利用運(yùn)算法則進(jìn)行加、減法運(yùn)算.
知識(shí)點(diǎn)01 復(fù)數(shù)的加法
1、加法法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù)．
注意：對(duì)于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法運(yùn)算律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意的z1、z2、z3∈C，有
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1，②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即學(xué)即練1】（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)02 復(fù)數(shù)的減法
1、相反數(shù)
已知復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，存在唯一的復(fù)數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．
2、減法運(yùn)算法則
規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法法則，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，
則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是一個(gè)復(fù)數(shù)．
【即學(xué)即練2】（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)..．
知識(shí)點(diǎn)03 復(fù)數(shù)加法與減法幾何意義
1、復(fù)數(shù)可以用向量來(lái)表示，已知復(fù)數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其對(duì)應(yīng)的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如圖1，且和不共線，以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，根據(jù)向量的加法法則，對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的向量＝＋，而＋所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是(x1＋x2，y1＋y2)，這正是兩個(gè)復(fù)數(shù)之和z1＋z2所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)．
2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，如圖2，復(fù)數(shù)z1－z2與向量－(等于)對(duì)應(yīng)，
這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義．
【即學(xué)即練3】（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)，試在復(fù)平面上作出下列運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的向量：
(1)；
(2)．
【題型一：直接法進(jìn)行加減運(yùn)算】
例1．（22-23高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
變式1-1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）復(fù)數(shù) .
變式1-2．（22-23高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知復(fù)數(shù)，，則 ．
變式1-3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）已知復(fù)數(shù)與，試求它們的和與差．
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算
（1）復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算類似于合并同類項(xiàng)，實(shí)部與實(shí)部合并，虛部與虛部合并，注意符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果仍是復(fù)數(shù)；
（3）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的加法（或減法）可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減）的混合運(yùn)算；
（4）實(shí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍適用
【題型二：需要設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式】
例2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式2-1．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
變式2-2．（22-23高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式2-3．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【題型三：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義】
例3．（21-22高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若向量分別表示復(fù)數(shù)，則=（ ）
A． B． C． D．
變式3-1.（19-20高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，設(shè)向量，，所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
變式3-2.（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)向量， (O為原點(diǎn)).
(1)若向量表示的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍；
(2)若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值.
變式3-3.（19-20高二下·上海·課后作業(yè)）在復(fù)平面上，如果，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 .
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)數(shù)加法的幾何意義 （1）意義：復(fù)數(shù)z1＋z2是以和 為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （2）結(jié)論：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
復(fù)數(shù)減法的幾何意義 意義：z1－z2是從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （2）結(jié)論：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【題型四：模長(zhǎng)問(wèn)題】
例4．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．4
變式4-1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，則（ ）
A． B． C．26 D．50
變式4-2．（多選）（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則或
變式4-3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）若向量分別表示復(fù)數(shù)，則= ．
【題型五：復(fù)數(shù)與三角形相關(guān)問(wèn)題】
例5．（19-20高一下·全國(guó)·課后作業(yè)），分別是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).若，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
變式5-1.（11-12高二下·浙江嘉興·期中）的三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的復(fù)數(shù)分別為，復(fù)數(shù)z滿足 ，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
變式5-2.(多選)（22-23高一下·湖北荊州·期中）已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（ ）
A．的虛部為
B．為純虛數(shù)
C．
D．以為三邊長(zhǎng)的三角形為鈍角三角形
變式5-3.（19-20高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知分別是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則是 三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
【題型六：復(fù)數(shù)加減法與含參問(wèn)題】
例6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A． B． C．6 D．7
變式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 ．
變式6-2．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·期末）已知，，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若，則的值為 ．
變式6-3．（22-23高一下·江蘇南京·期末）若定義一種運(yùn)算：.已知為復(fù)數(shù)，且.
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，求的最大值.
一、單選題
1．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河北·期中）已知，則的虛部為（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
4．（22-23高一下·廣西·期末）已知，，，則（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
5．（22-23高一下·四川涼山·期末）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·陜西商洛·期末）若復(fù)數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·期末）實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（22-23高一下·江蘇常州·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則下列命題是真命題的是（ ）
A．的虛部為
B．為純虛數(shù)
C．若與復(fù)數(shù) 相等，則
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
10．（22-23高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（ ）
A． B．的虛部是4
C．是純虛數(shù) D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
11．（22-23高一下·廣東廣州·期中）設(shè)復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C． D．
三、填空題
12．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則點(diǎn)之間的距離是 ．
13．（23-24高一下·天津·期中）復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為 .
14．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)向量，（為原點(diǎn)）.若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 .
四、解答題
15．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，之間的距離.
（2）求復(fù)平面內(nèi)下列兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：
①；
②.
16．（22-23高一下·遼寧·期末）已知復(fù)數(shù)，，．
(1)若是純虛數(shù)，求；
(2)若，求．
17．（22-23高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，求，．
18．（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，且，又，求的值和的取值范圍.
19．（22-23高一下·重慶·期中）歐拉(1707-1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問(wèn)題：
(1)將復(fù)數(shù)表示成(，i為虛數(shù)單位)的形式；
(2)求的最大值.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)5.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解復(fù)數(shù)的加法和減法法則 2、掌握復(fù)數(shù)的減法法則 1、學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法和減法運(yùn)算法則 2、會(huì)利用運(yùn)算法則進(jìn)行加、減法運(yùn)算.
知識(shí)點(diǎn)01 復(fù)數(shù)的加法
1、加法法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù)．
注意：對(duì)于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法運(yùn)算律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意的z1、z2、z3∈C，有
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1，②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即學(xué)即練1】（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)加法規(guī)則進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
由題意可得：.
故選：B
知識(shí)點(diǎn)02 復(fù)數(shù)的減法
1、相反數(shù)
已知復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，存在唯一的復(fù)數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．
2、減法運(yùn)算法則
規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法法則，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，
則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是一個(gè)復(fù)數(shù)．
【即學(xué)即練2】（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)..．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
知識(shí)點(diǎn)03 復(fù)數(shù)加法與減法幾何意義
1、復(fù)數(shù)可以用向量來(lái)表示，已知復(fù)數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其對(duì)應(yīng)的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如圖1，且和不共線，以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，根據(jù)向量的加法法則，對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的向量＝＋，而＋所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是(x1＋x2，y1＋y2)，這正是兩個(gè)復(fù)數(shù)之和z1＋z2所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)．
2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，如圖2，復(fù)數(shù)z1－z2與向量－(等于)對(duì)應(yīng)，
這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義．
【即學(xué)即練3】（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)，試在復(fù)平面上作出下列運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的向量：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）在復(fù)平面上作出對(duì)應(yīng)的向量，再作出對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)減法的幾何意義及向量（復(fù)數(shù)）相等的定義，即為
（2）再作出對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)減法的幾何意義及向量（復(fù)數(shù)）相等的定義，即為．
【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為．
　　　圖1
設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量的差，如圖①所示，即為
（2）設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量的差，如②所示，即為．
圖2
【題型一：直接法進(jìn)行加減運(yùn)算】
例1．（22-23高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】講復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算可知：，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
位于第二象限.
故選：B
變式1-1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）復(fù)數(shù) .
【答案】
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則求解即可.
【詳解】
.
故答案為：
變式1-2．（22-23高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知復(fù)數(shù)，，則 ．
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的減法可求得復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，則.
故答案為：.
變式1-3．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）已知復(fù)數(shù)與，試求它們的和與差．
【答案】=，
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得
，
．
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算
（1）復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算類似于合并同類項(xiàng)，實(shí)部與實(shí)部合并，虛部與虛部合并，注意符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果仍是復(fù)數(shù)；
（3）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的加法（或減法）可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減）的混合運(yùn)算；
（4）實(shí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍適用
【題型二：需要設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式】
例2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
設(shè)，然后代入化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件可求出，從而可求出復(fù)數(shù).
【詳解】設(shè)，則，
所以，即，
所以， 解得，
因此，
故選：C．
變式2-1．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，，根據(jù)，解出即可.
【詳解】設(shè)，，，解得
，所以，
故選：B
變式2-2．（22-23高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，，則由，可得，后由兩復(fù)數(shù)相等可得答案.
【詳解】設(shè)，，則.
因?yàn)椋裕?br/>則，解得，，則．
故選：A.
變式2-3．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可求得、的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
由可得，所以，，解得，
因此，復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B.
【題型三：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義】
例3．（21-22高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若向量分別表示復(fù)數(shù)，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求得，再根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋窒蛄糠謩e表示復(fù)數(shù)，
所以表示復(fù)數(shù)，
所以.
故選：B
變式3-1.（19-20高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，設(shè)向量，，所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【答案】D
【分析】由向量，結(jié)合向量減法運(yùn)算得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】由題圖可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題
變式3-2.（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)向量， (O為原點(diǎn)).
(1)若向量表示的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍；
(2)若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合第四象限的點(diǎn)的特征即可求解，
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義，由純虛數(shù)的定義即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，向量表示的點(diǎn)在第四象限，
所以解得.
所以a的取值范圍是.
（2）因?yàn)? ，
所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
根據(jù)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得且，
解得.
變式3-3.（19-20高二下·上海·課后作業(yè)）在復(fù)平面上，如果，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 .
【答案】
【解析】由，得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的差，即可求解.
【詳解】對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)數(shù)加法的幾何意義 （1）意義：復(fù)數(shù)z1＋z2是以和 為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （2）結(jié)論：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
復(fù)數(shù)減法的幾何意義 意義：z1－z2是從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （2）結(jié)論：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【題型四：模長(zhǎng)問(wèn)題】
例4．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模的公式求解.
【詳解】解：設(shè)，
則，
解得，故，則，
故選：B．
變式4-1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，則（ ）
A． B． C．26 D．50
【答案】B
【分析】由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，
則．
故選：B．
變式4-2．（多選）（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則或
【答案】ABC
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，所以，，
即，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，，，由，得，
即，，所以，即，故C正確；
對(duì)于D，取，，則，，此時(shí)且，故D不正確．
故選：ABC
變式4-3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）若向量分別表示復(fù)數(shù)，則= ．
【答案】
【分析】由復(fù)數(shù)減法的幾何意義以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋窒蛄糠謩e表示復(fù)數(shù)，
所以表示復(fù)數(shù)，
所以.
故答案為：.
【題型五：復(fù)數(shù)與三角形相關(guān)問(wèn)題】
例5．（19-20高一下·全國(guó)·課后作業(yè)），分別是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).若，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)加（減）法的幾何意義及，
知以,為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線相等，
則此平行四邊形為矩形，故為直角三角形.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)加減的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.
變式5-1.（11-12高二下·浙江嘉興·期中）的三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的復(fù)數(shù)分別為，復(fù)數(shù)z滿足 ，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】利用到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得到是三角形的外接圓的圓心.
【詳解】∵
∴到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴是三角形的外接圓的圓心，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)差的幾何意義，注意表示復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，本題屬于基礎(chǔ)題.
變式5-2.(多選)（22-23高一下·湖北荊州·期中）已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（ ）
A．的虛部為
B．為純虛數(shù)
C．
D．以為三邊長(zhǎng)的三角形為鈍角三角形
【答案】BCD
【分析】計(jì)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可判斷A、B；由已知得出，求解數(shù)量積即可判斷C；由已知求出的長(zhǎng)，根據(jù)三邊之間的關(guān)系，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋缘奶摬繛椋訟錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋詾榧兲摂?shù)，所以B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?br/>所以，所以，所以C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得，，，
且，所以，，所以D正確.
故選：BCD.
變式5-3.（19-20高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知分別是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則是 三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
【答案】直角
【解析】由題可知,則以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度相等,即可求解
【詳解】因?yàn)?
所以,
故以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度相等,即該平行四邊形為矩形,
所以是直角三角形
故答案為:直角
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想
【題型六：復(fù)數(shù)加減法與含參問(wèn)題】
例6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】
由復(fù)數(shù)運(yùn)算和分類可解.
【詳解】由題意，，
因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，
所以，得，
所以.
故選：A.
變式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 ．
【答案】
【分析】設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】設(shè)，
由，得，
所以，解得（舍去）
所以.
故答案為：.
變式6-2．（21-22高一下·河南安陽(yáng)·期末）已知，，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組解出即可.
【詳解】由題意可得，即，
根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，解得，
故答案為：.
變式6-3．（22-23高一下·江蘇南京·期末）若定義一種運(yùn)算：.已知為復(fù)數(shù)，且.
(1)求復(fù)數(shù)；
(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，可求，由條件可得，解得，的值，即可得到的值；
（2）由題意可求為純虛數(shù)，根據(jù)實(shí)部為0，虛部不為0即可求解的表達(dá)式，根據(jù)三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即刻求解最值．
【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù),，是虛數(shù)單位），則，
因?yàn)椋?br/>解得，，
可得．
（2），
由題意可得，
當(dāng)時(shí)，取最大值
一、單選題
1．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)及向量的復(fù)數(shù)表示，運(yùn)算得到答案.
【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，
因?yàn)椋员硎鞠蛄康膹?fù)數(shù)為.
故選：C.
2．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解.
【詳解】若，，則.
故選：A.
3．（23-24高一下·河北·期中）已知，則的虛部為（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念直接得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則z的虛部為2.
故選：A
4．（22-23高一下·廣西·期末）已知，，，則（ ）
A．－4 B．7 C．－8 D．6
【答案】D
【分析】根據(jù) 復(fù)數(shù)相等列出方程組，解出a,b再計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)?即，
所以，解得，所以；
故選：D
5．（22-23高一下·四川涼山·期末）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.
故選：D．
6．（22-23高一下·陜西商洛·期末）若復(fù)數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以，
故選：A
7．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·期末）實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合的范圍判斷出實(shí)部和虛部的符號(hào)，從而得到答案.
【詳解】
又，故
故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：
8．（22-23高一下·江蘇常州·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算求解.
【詳解】在復(fù)平面中，設(shè)分別與向量對(duì)應(yīng)，
由題意可得，，
因?yàn)椋?br/>即，解得，即.
故選：B.
二、多選題
9．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則下列命題是真命題的是（ ）
A．的虛部為
B．為純虛數(shù)
C．若與復(fù)數(shù) 相等，則
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
【答案】AD
【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，則的虛部為，故A正確；
又，所以不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；
若與復(fù)數(shù) 相等，則，解得，故C錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.
故選：AD
10．（22-23高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（ ）
A． B．的虛部是4
C．是純虛數(shù) D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】AD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、虛部、運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】復(fù)數(shù)，所以，故A正確；
的虛部為，故B不正確；
，為實(shí)數(shù)，故C不正確；
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故D正確.
故選：AD.
11．（22-23高一下·廣東廣州·期中）設(shè)復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C． D．
【答案】AD
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.
【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；
對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，則，D正確.
故選：AD
三、填空題
12．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則點(diǎn)之間的距離是 ．
【答案】2
【分析】由，及，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則，
故答案為：2．
13．（23-24高一下·天津·期中）復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為 .
【答案】1
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，可得，運(yùn)算可得，所以的虛部為1
【詳解】因?yàn)椋裕裕缘奶摬繛?.
故答案為：1
14．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)向量，（為原點(diǎn)）.若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 .
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義表示向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，列式求解.
【詳解】因?yàn)椋詫?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，
所以，所以.
故答案為：
四、解答題
15．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，之間的距離.
（2）求復(fù)平面內(nèi)下列兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：
①；
②.
【答案】（1）（2）①；②5
【分析】
（1）利用復(fù)數(shù)的幾何意義化簡(jiǎn)，找到對(duì)應(yīng)向量，求解向量的模即可.
（2）找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
【詳解】
（1）因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，
所以點(diǎn)，之間的距離為
.
（2）①易知對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，設(shè)兩點(diǎn)間距離為，
由兩點(diǎn)間距離公式得；
②易知對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，設(shè)兩點(diǎn)間距離為，
由兩點(diǎn)間距離公式得.
16．（22-23高一下·遼寧·期末）已知復(fù)數(shù)，，．
(1)若是純虛數(shù)，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先計(jì)算，然后由其為純虛數(shù)，可得實(shí)部為零，虛部不為零，從而可求出的值；
（2）由可復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則虛部為零，實(shí)部大于零，求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求得.
【詳解】（1）由題意得，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得．
（2）因?yàn)椋裕茫?br/>故．
17．（22-23高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，求，．
【答案】，或，．
【分析】由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可聯(lián)立方程求解.
【詳解】設(shè)．因?yàn)椋裕?br/>由已知得,解得 ,
故所求的復(fù)數(shù)，或，．
18．（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，且，又，求的值和的取值范圍.
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和相等復(fù)數(shù)的概念可得，則；由題意得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，所以，
所以，
所以.
所以
.
因?yàn)椋裕?
故，的取值范圍是.
19．（22-23高一下·重慶·期中）歐拉(1707-1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問(wèn)題：
(1)將復(fù)數(shù)表示成(，i為虛數(shù)單位)的形式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和模長(zhǎng)整理得，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析運(yùn)算.
【詳解】（1）因?yàn)?，
所以.
（2）由題意可得： ，
所以，
因?yàn)椋裕虼耍?br/>所以的最大值為2.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑