資源簡介

4.2兩角和與差的三角函數公式
課程標準 學習目標
1.重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導. 2.難點:靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明. 1.能夠推導兩角差的余弦公式: 2.能夠利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式; 3.能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明:
知識點01 兩角和與差的余弦
1、兩角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R
2、兩角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R
【即學即練1】（22-23高一下·江西贛州·階段練習）計算（ ）
A． B． C． D．
知識點02 兩角和與差的正弦
1、兩角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R
2、兩角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R
【即學即練2】（21-22高一下·四川成都·期末）（ ）
A． B． C． D．
知識點03 兩角和與差的正切
1、兩角和的正切：tan(α＋β) ＝，α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
2、兩角差的正切：tan(α－β) ＝，α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【即學即練3】（22-23高一·全國·隨堂練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
知識點04 輔助角公式
輔助角公式：函數f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數)，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中）
【即學即練4】（23-24高一下·上海·階段練習）把化成的形式是 ．
知識點05 積化和差與和差化積
1、積化和差：
①；
②；
③；
④；
2、和差化積：
①；
②；
③；
④；
【即學即練5】（21-22高一·湖南·課后作業）利用和差化積公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【題型一：兩角和余弦求值】
例1．（2024高一下·江蘇·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若，( )
A．1 B． C． D．
變式1-1．（23-24高一上·浙江溫州·期末）已知，，則
變式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知為銳角，，則 .
變式1-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）化簡下列三角函數的值：
(1)；
(2).
【方法技巧與總結】
1.在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式.
2.可簡單記為“余余正正，符號相反”，即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反..
【題型二：兩角和余弦逆用】
例2．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習）=（ ）
A． B． C． D．
變式2-1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末） .
變式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos 28°cos 32°－cos 62°sin 32°= ．
變式2-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧與總結】
1.運用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.
2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數值.
【題型三：兩角和正弦求值】
例3．（22-23高一下·北京豐臺·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
變式3-1．（22-23高一上·浙江麗水·期末）若，且，，則 .
變式3-2．（22-23高一下·重慶渝中·期中）已知銳角滿足，則 ．
變式3-3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知，為第二象限角，，，求與的值．
【方法技巧與總結】
兩角和與差的正弦公式結構特征
1.a，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體。
2.記憶口訣：異名同號。
【題型四：兩角和正弦逆用】
例4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
變式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）計算（ ）
A． B． C． D．
變式4-2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）化簡，得（ ）
A． B． C． D．
變式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）（　　）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1.運用兩角差的正弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.
2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數值.
【題型五：兩角和正切求值】
例5．（23-24高一下·上海·階段練習）在中，是方程的兩個根，則 ．
變式5-1．（2024高一上·全國·專題練習）在中，，，則角 .
變式5-2．（2024高一上·全國·專題練習）已知且是第三象限角，則的值為 ．
變式5-3．（23-24高一上·浙江·階段練習）如圖，已知E是矩形ABCD的對角線AC上一動點，正方形EFGH的頂點F，H分別在邊AD，EC上，若．則的值為（ ）

A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
1.符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”。
2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋(k∈Z。
【題型六：兩角和正切逆用】
例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
變式6-1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）（ ）
A．1 B． C．3 D．
變式6-2．（21-22高一下·河南南陽·期末） ．
變式6-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求值：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧與總結】
兩角和的正切公式的常見四種變形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
③④tan α·tan β＝1－.
④1－tan αtan β＝；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
③④tan α·tan β＝-1
④1+tan αtan β＝；
【題型七：化簡求值】
例7．（22-23高一下·江蘇南通·期中）求的值為（ ）
A． B． C． D．
變式7-1．（22-23高一下·廣東惠州·期中） ．
變式7-2．（22-23高一·全國·課時練習）化簡： ．
變式7-3．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為，這是公認的最能引起美感的比例．黃金分割比的值還可以近似地表示為，則的近似值為（ ）
A． B． C． D．
【題型八：湊角求值】
例8．（23-24高一上·山東濱州·期末）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式8-1．（23-24高一上·河南鄭州·期末）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式8-2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
變式8-3．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
常見角的變換有：
α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【題型九：輔助角公式】
例9．（22-23高一下·甘肅酒泉·期末）求值：（ ）
A．0 B． C．2 D．
變式9-1．（2024高一下·江蘇·專題練習）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式9-2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若函數的最小值為1，則實數 ．
變式9-3．（23-24高一下·上海·假期作業）把下列各式化為的形式：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧與總結】
常見輔助角結論
1.;2.;
3.;4.;
【題型十：和差化積與積化和差】
例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知，，則 .
變式10-1．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知．
(1)利用三角函數的積化和差或和差化積公式，求的值；
(2)求的值．
變式10-2．（21-22高一·湖南·課后作業）利用和差化積公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
變式10-3．（21-22高一·湖南·課時練習）利用積化和差公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【方法技巧與總結】
1、積化和差公式的巧記口訣
余余相乘余和加，
正正相乘余減反，
正余相乘正相加，
余正相乘正相減。
注意前提是（）在前面，在后面。
2、和差化積公式的特點
①同名函數的和或差才可化積。
②余弦函數的和或差化為同名函數之積。
③正弦函數的和或差化為異名函數之積。
④等式左邊為單角α和β，等式右邊為與的形式。
⑤只有余弦函數的差化成積式后的符號為負，其余均為正。
一、單選題
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數，則可以化簡為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·廣東·期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知點在角的終邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，角的終邊經過點，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習）已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
7．（23-24高一上·重慶·期末）請運用所學三角恒等變換公式，化簡計算，并從以下選項中選擇該式子正確的值（ ）
A． B． C．2 D．1
8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）在銳角三角形中，以下各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（20-21高一下·全國·課時練習）滿足 的一組的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江溫州·開學考試）已知且為第四象限角，若，則值是 ．
13．（23-24高一下·上海·假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
14．（2023高一·全國·專題練習）如圖，在中，，為垂足，在的外部，且，則 .

四、解答題
15．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數．
(1)求的值；
(2)求在區間的值域；
(3)若且，求的值．
16．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知的三個內角滿足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
17．（22-23高一下·上海松江·階段練習）在平面直角坐標系中，已知是第二象限角，其終邊上有一點．
(1)若將角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的條件下，將OP繞坐標原點順時針旋轉至，求點的坐標．
18．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知.
(1)求；
(2)求.
19．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知函數.
(1)化簡；
(2)若，是第一象限角，求.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)4.2兩角和與差的三角函數公式
課程標準 學習目標
1.重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導. 2.難點:靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明. 1.能夠推導兩角差的余弦公式: 2.能夠利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式; 3.能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明:
知識點01 兩角和與差的余弦
1、兩角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R
2、兩角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R
【即學即練1】（22-23高一下·江西贛州·階段練習）計算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將看成，根據誘導公式以及兩角和的正弦公式，化簡計算，即可得出答案.
【詳解】 .
故選：D．
知識點02 兩角和與差的正弦
1、兩角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R
2、兩角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R
【即學即練2】（21-22高一下·四川成都·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用兩角差的正切公式計算可得；
【詳解】
故選：A
知識點03 兩角和與差的正切
1、兩角和的正切：tan(α＋β) ＝，α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
2、兩角差的正切：tan(α－β) ＝，α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【即學即練3】（22-23高一·全國·隨堂練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1），由兩角和的余弦公式即可求解；
（2）由誘導公式可得，，由兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】（1）
.
（2）
.
知識點04 輔助角公式
輔助角公式：函數f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數)，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中）
【即學即練4】（23-24高一下·上海·階段練習）把化成的形式是 ．
【答案】
【分析】
逆用兩角和正弦公式即可得解.
【詳解】由
.
故答案為：
知識點05 積化和差與和差化積
1、積化和差：
①；
②；
③；
④；
2、和差化積：
①；
②；
③；
④；
【即學即練5】（21-22高一·湖南·課后作業）利用和差化積公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)0；
(3).
【分析】(1)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值計算得解.
(2)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值結合誘導公式求解作答.
(3)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值結合誘導公式求解作答.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）
.
【題型一：兩角和余弦求值】
例1．（2024高一下·江蘇·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若，( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據角與的終邊關于y軸對稱及可知角與角終邊在第一二象限，分情況討論即可得到答案．
【詳解】
∵角與的終邊關于y軸對稱，，
∴和不可能在三、四象限，
①若終邊在第一象限，則，
由，得，
∴，
，
∴ ；
②若在第二象限，則，
∴，即，
∴，
，
∴ ．
故選：C
變式1-1．（23-24高一上·浙江溫州·期末）已知，，則
【答案】
【分析】
先求得，再利用兩角和的余弦公式求解即可．
【詳解】
因為，，
所以，
則．
故答案為：．
變式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知為銳角，，則 .
【答案】/
【分析】根據題意得到，進而結合同角三角函數關系得到的值，利用配角法求得答案即可.
【詳解】因為為銳角，所以，所以，
所以，
又因為，所以，
所以
.
故答案為：
變式1-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）化簡下列三角函數的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據特殊角的三角函數及兩角差的余弦公式化簡求值；
（2）根據兩角和的余弦公式求值.
【詳解】（1）
（2）
【方法技巧與總結】
1.在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式.
2.可簡單記為“余余正正，符號相反”，即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反..
【題型二：兩角和余弦逆用】
例2．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據兩角差的余弦公式，化簡求值.
【詳解】
.
故選：A
變式2-1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末） .
【答案】/
【分析】利用誘導公式和兩角和的余弦公式計算可得；
【詳解】
.
故答案為：
變式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos 28°cos 32°－cos 62°sin 32°= ．
【答案】/0.5
【分析】先利用誘導公式將化簡成，再利用和差公式化簡.
【詳解】因為，所以.
故答案為：.
變式2-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根據題意，結合兩角和與差的三角函數公式，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由.
（2）解：由 .
（3）解：由
.
（4）解：由
，
【方法技巧與總結】
1.運用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.
2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數值.
【題型三：兩角和正弦求值】
例3．（22-23高一下·北京豐臺·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據同角三角函數關系求出,再根據兩角差的正弦公式求解即可.
【詳解】因為,,
所以,
則.
故選：A.
變式3-1．（22-23高一上·浙江麗水·期末）若，且，，則 .
【答案】
【分析】
根據同角的三角函數關系式，結合兩角和的正弦公式進行求解即可.
【詳解】因為且，所以，
又因為且，所以，
所以，
故答案為：
變式3-2．（22-23高一下·重慶渝中·期中）已知銳角滿足，則 ．
【答案】/
【分析】由同角基本關系求得，，而，利用差角正弦公式即可求解.
【詳解】由得，即，又，
且為銳角，所以，
因為為銳角，所以，則，
所以
.
故答案為：.
變式3-3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知，為第二象限角，，，求與的值．
【答案】 ，
【分析】先利用同角三角函數的關系求出的值，再利用兩角和與差的正弦公式求解即可.
【詳解】因為為第二象限角，所以．
又，所以．
因為，所以．
又，所以．
所以
，
．
【方法技巧與總結】
兩角和與差的正弦公式結構特征
1.a，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體。
2.記憶口訣：異名同號。
【題型四：兩角和正弦逆用】
例4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】逆用和角正弦公式化簡三角函數式，即可求值.
【詳解】，故A正確.
故選：A.
變式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）計算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由兩角和的正弦公式求解即可.
【詳解】因為 .
故選：B
變式4-2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）化簡，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用誘導公式與兩角和的正弦公式化簡求值.
【詳解】
.
故選：A
變式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩角和的正弦公式，結合特殊角的三角函數，化簡得到，即可求解.
【詳解】由.
故選：A.
【方法技巧與總結】
1.運用兩角差的正弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.
2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數值.
【題型五：兩角和正切求值】
例5．（23-24高一下·上海·階段練習）在中，是方程的兩個根，則 ．
【答案】1
【分析】
利用韋達定理、誘導公式及和角的正切計算即得.
【詳解】方程中，，則，
在中，.
故答案為：1
變式5-1．（2024高一上·全國·專題練習）在中，，，則角 .
【答案】
【分析】根據條件，利用正切的和角公式得到，再根據的范圍，即可求出結果.
【詳解】因為，，
所以，
又，得到,
又，所以，
故答案為：.
變式5-2．（2024高一上·全國·專題練習）已知且是第三象限角，則的值為 ．
【答案】/
【分析】根據三角函數的基本關系式，求得，再利用兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】因為且是第三象限角，可得，
所以，則.
故答案為：.
變式5-3．（23-24高一上·浙江·階段練習）如圖，已知E是矩形ABCD的對角線AC上一動點，正方形EFGH的頂點F，H分別在邊AD，EC上，若．則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據銳角三角函數，結合正切和差角公式即可求解.
【詳解】由于，所以,
不妨設小正方形的邊長為，則，所以，
由于,所以，
所以,
故選：A

【方法技巧與總結】
1.符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”。
2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋(k∈Z。
【題型六：兩角和正切逆用】
例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【詳解】
，
，
．
故選：C
變式6-1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由利用兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：B
變式6-2．（21-22高一下·河南南陽·期末） ．
【答案】23
【分析】根據正切的和角公式可得 ，然后根據對數的運算性質即可求解.
【詳解】因為
，
同理可得：， ，
故
故答案為：23
變式6-3．（2024高一下·江蘇·專題練習）求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根據兩角和的正切公式求解；
（2）由特殊角的三角函數值及兩角差的正切公式求解；
（3）兩角和的正切公式變形求解.
【詳解】（1）.
（2）原式.
（3）因為，
所以，
所以.
【方法技巧與總結】
兩角和的正切公式的常見四種變形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
③④tan α·tan β＝1－.
④1－tan αtan β＝；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
③④tan α·tan β＝-1
④1+tan αtan β＝；
【題型七：化簡求值】
例7．（22-23高一下·江蘇南通·期中）求的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知結合和差角公式進行化簡即可求解．
【詳解】
故選：A．
變式7-1．（22-23高一下·廣東惠州·期中） ．
【答案】
【分析】
根據觀察我們發現角關系，再用輔助角公式將化為，則結果可知.
【詳解】
故答案為：.
變式7-2．（22-23高一·全國·課時練習）化簡： ．
【答案】/
【分析】利用差角的正弦余弦正切公式化簡即得解.
【詳解】 .
故答案為：
變式7-3．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為，這是公認的最能引起美感的比例．黃金分割比的值還可以近似地表示為，則的近似值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題可得，利用展開化簡可得.
【詳解】由題可得，
.
故選：D.
【題型八：湊角求值】
例8．（23-24高一上·山東濱州·期末）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據同角關系以及和差角公式即可求解.
【詳解】由于，所以，所以，
由可得，
故，
故選：A
變式8-1．（23-24高一上·河南鄭州·期末）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據誘導公式、同角三角函數關系及兩角和余弦公式求解即可.
【詳解】由誘導公式得，因為，，
所以，
所以.
故選：A
變式8-2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】由兩角和的正余弦公式求解和進而判斷角所在象限.
【詳解】 ，
，
，
，
，
，
是第二象限角．
故選：B．
變式8-3．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合角的范圍，利用同角三角函數基本關系及兩角和差的正弦公式即可求解.
【詳解】因為所以，
又，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以 .
故選：A
【方法技巧與總結】
常見角的變換有：
α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【題型九：輔助角公式】
例9．（22-23高一下·甘肅酒泉·期末）求值：（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式計算即可.
【詳解】
，
故選：
變式9-1．（2024高一下·江蘇·專題練習）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】結合同角三角函數的商數關系及輔助角公式化簡求解即可.
【詳解】
故選：C
變式9-2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若函數的最小值為1，則實數 ．
【答案】3
【分析】利用輔助角公式與正弦函數的性質得到關于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為，其中，，
所以，解得．
故答案為：3．
變式9-3．（23-24高一下·上海·假期作業）把下列各式化為的形式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據輔助角公式將其配成兩角差的正弦展開式，逆用公式即得；
（2）將看成整體角，利用輔助角公式將其配成兩角和的正弦展開式，逆用公式即得；
（3）根據輔助角公式將其配成兩角和的正弦展開式，逆用公式即得.
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3） .
【方法技巧與總結】
常見輔助角結論
1.;2.;
3.;4.;
【題型十：和差化積與積化和差】
例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知，，則 .
【答案】
【分析】由和差化積和積化和差公式求得，，進而求得，即可求解.
【詳解】，可得；，可得；
則； .
故答案為：.
變式10-1．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知．
(1)利用三角函數的積化和差或和差化積公式，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）利用積化和差公式化簡可得答案；
（2）展開可得，再看作分母為1的分數，再除以可得答案．
【詳解】（1）
，
可得；
（2）因為，
所以，
則，
解得或3．
變式10-2．（21-22高一·湖南·課后作業）利用和差化積公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)0；
(3).
【分析】(1)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值計算得解.
(2)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值結合誘導公式求解作答.
(3)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數值結合誘導公式求解作答.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）
.
變式10-3．（21-22高一·湖南·課時練習）利用積化和差公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用積化和差公式求解.
【詳解】（1）解：由積化和差公式得：
，
，
，
；
（2）由積化和差公式得：
，
，
，
，
，
.
【方法技巧與總結】
1、積化和差公式的巧記口訣
余余相乘余和加，
正正相乘余減反，
正余相乘正相加，
余正相乘正相減。
注意前提是（）在前面，在后面。
2、和差化積公式的特點
①同名函數的和或差才可化積。
②余弦函數的和或差化為同名函數之積。
③正弦函數的和或差化為異名函數之積。
④等式左邊為單角α和β，等式右邊為與的形式。
⑤只有余弦函數的差化成積式后的符號為負，其余均為正。
一、單選題
1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據正弦的和差角公式即可化簡求解.
【詳解】,
故選：B
2．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數，則可以化簡為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用輔助角公式求出答案.
【詳解】，C正確；
其他選項不滿足要求.
故選：C
3．（23-24高一上·廣東·期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
逆用正切和角公式求值即可.
【詳解】.
故選：C
4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知點在角的終邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根據正切函數的定義計算，然后再由兩角和的正切公式計算.
【詳解】
由已知，.
故選：A.
5．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，角的終邊經過點，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函數定義得到，進而利用正弦差角公式求出答案.
【詳解】由三角函數定義得，，
所以.
故選：C
6．（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習）已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件利用兩角和的正弦公式化為，由此可求出，，即可求解.
【詳解】，
所以，，
則.
故選：C.
7．（23-24高一上·重慶·期末）請運用所學三角恒等變換公式，化簡計算，并從以下選項中選擇該式子正確的值（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得.
【詳解】
故選：A
8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據正切的和差角公式即可求解.
【詳解】
故選:C．
二、多選題
9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）在銳角三角形中，以下各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】通過以及三角函數誘導公式進行計算化簡即可判斷A和B；通過正弦函數單調性進而判斷C；通過兩角和的正切公式計算化簡即可判斷D.
【詳解】對于A，在斜三角形中，，所以，所以，故A正確；
對于B，在斜三角形中，，所以．故B正確；
對于C，由得，則，同理可得，則，故C錯誤；
對于D，由，
得，
即，故D正確．
故選：ABD
10．（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由同角三角函數的關系，兩角和的正弦公式，化簡可得.
【詳解】由，得，即，A選項正確，C選項錯誤；
，兩邊同時平方，得，即，化簡得，
由，則，，所以，B選項正確，D選項錯誤.
故選：AB
11．（20-21高一下·全國·課時練習）滿足 的一組的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【分析】由，利用兩角差的余弦公式整理得到，再驗證選項即可.
【詳解】因為，
所以，
即.
當，時，可得，，所以A錯誤;
當，時，可得，，所以B正確;
當，時，可得，，所以C錯誤;
當，時，可得，，所以D正確.
故選：BD.
三、填空題
12．（23-24高一下·浙江溫州·開學考試）已知且為第四象限角，若，則值是 ．
【答案】
【分析】根據已知條件求得，進而求得.
【詳解】依題意，且為第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案為：
13．（23-24高一下·上海·假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
【答案】
【分析】根據旋轉方向和旋轉量可得，因題設，要求的值，則考慮按照拆角，所以求出即得.
【詳解】因為繞原點順時針旋轉后與重合，所以可令，
因為且的終邊在第四象限，所以為第一象限角，所以，
所以 .
故答案為：.
14．（2023高一·全國·專題練習）如圖，在中，，為垂足，在的外部，且，則 .

【答案】
【分析】先利用直角三角形求出,再利用差角公式可得.
【詳解】∵且，
∴，
，
＝
＝
＝.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數．
(1)求的值；
(2)求在區間的值域；
(3)若且，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再求出函數值.
（2）利用正弦函數的性質求出值域.
（3）根據給定條件，利用同角公式、和角的余弦公式計算得解.
【詳解】（1）依題意，，
所以.
（2）由（1）知，當時，，
則當，即時，，當時，，
所以在區間的值域是.
（3）由（1）知，由，得，
而，則，于是，
當時，，而，因此，
則，
所以
.
16．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知的三個內角滿足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用誘導公式和同角三角函數基本關系式可求的值.
（2）先求出，再利用兩角和的正切公式及誘導公式可求，故可求角的大小.
【詳解】（1），
因為， ，故為銳角且.
所以.
（2）因為，，故為銳角且，
故，故，
而，故.
17．（22-23高一下·上海松江·階段練習）在平面直角坐標系中，已知是第二象限角，其終邊上有一點．
(1)若將角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的條件下，將OP繞坐標原點順時針旋轉至，求點的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）利用三角函數定義求出，再利用差角的正弦公式計算即得.
（2）利用三角函數定義求出x值.
（3）利用和差角的正余弦公式求出，再利用三角函數定義求出點的坐標.
【詳解】（1）依題意，，則，顯然點在角的終邊上，
于是，
所以.
（2）依題意，，，因此，，
所以.
（3）由（2）知，，
顯然點在角的終邊上，，
，
，
，，
所以點的坐標是.
【點睛】結論點睛：角終邊上點到原點的距離為，則點.
18．（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用同角基本關系式與角的范圍求得，再利用兩角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本關系式與角的范圍求得，再利用兩角和的正弦公式即可得解.
【詳解】（1）因為，，則，
所以.
（2）因為，所以，
又，所以，
所以
.
19．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知函數.
(1)化簡；
(2)若，是第一象限角，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）借助三角恒等變換公式化簡即可得；
（2）借助兩角和的正弦公式計算即可得.
【詳解】（1）
，
（2），由是第一象限角，則是第一或第四象限角，
又，故是第一象限角，
故，
則
.
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