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第四章三角恒等變換章末八種常考題型歸類
的知一求二
1．（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）已知角的終邊在直線上，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）（23-24高一下·河北衡水·開學考試）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·上海·階段練習）若，則 ．
利用平方關系求參數
6．（21-22高一上·全國·課時練習）已知若為第二象限角，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．或 D．
7．（15-16高一上·云南大理·期末）已知，， 其中，則（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則 ．
9．（23-24高三上·江蘇揚州·開學考試）已知，，且為第二象限角，則
10．（21-22高一·全國·假期作業）已知，且為第二象限角，則m的值為
齊次化問題
11．（2013高一·全國·競賽）已知，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
12．（23-24高一下·上海·階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知，則的值為
15．（23-24高一下·江西九江·階段練習）已知角的終邊經過點P，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
與的關系
16．（2012高一·全國·競賽）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
17．（23-24高一上·福建南平·期末）如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形中較小的內角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積是，則 ．
18．（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
19．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知、是方程的兩個實數根．
(1)求實數的值；
(2)求的值；
(3)若,，求的值
20．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）（1）已知是關于的方程的一個實根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
湊角求值問題
21. （2012高一·全國·競賽）若，且，則（ ）．
A． B． C． D．
22. （23-24高一下·上海·假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
23. （23-24高一上·重慶·期末）已知
(1)化簡；
(2)若，，且，，求.
24. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)求．
25. （23-24高一下·江蘇南京·階段練習）已知，，α，β均為銳角．
(1)求的值；
(2)求的值．
化簡求值問題
26. （23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）式子（ ）
A． B． C． D．
27. （23-24高一下·湖北·階段練習）著名數學家華羅庚先生被譽為“中國現代數學之父”，他倡導的“0.618優選法”在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應用．黃金分割比，現給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
28. （多選）（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
29. （多選）（23-24高一下·江西南昌·階段練習）計算下列各式，結果為的是（ ）
A． B．
C． D．
30. （23-24高一下·江西南昌·階段練習） .
輔助角公式的運用
31. （23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）1551年奧地利數學家 天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示.現已知，則該函數的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
32. （多選）（23-24高一下·四川德陽·階段練習）關于函數，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為 B．關于點中心對稱
C．最大值為 D．在區間上單調遞減
33. （23-24高一下·吉林·階段練習）設當時，函數取得最大值，則 ．
34. （23-24高一下·四川成都·階段練習）設函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的最大值，并求出取最大值時的值.
35. （23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數，其圖象關于點中心對稱．
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，然后再向右平移個單位長度得到的圖象．若，，求的值．
二倍角公式的運用
36. （23-24高一下·重慶·階段練習）我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動，如圖（2）.傘完全收攏時，傘圈D已滑到的位置，且A，B，三點共線，，B為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
37. （23-24高一下·安徽·開學考試）如圖，在扇形中，，，點P在弧上（點與點不重合），分別在點作扇形所在圓的切線，，且，交于點C，與的延長線交于點D，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
38. （23-24高一下·重慶·階段練習）重天市育才中學為美化校園將一個半圓形空地改造為一個穿梭花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B都在半圓弧上，設，其中.若在花園內鋪設一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，要使參觀的線路最長，則 .（答案請用使用弧度制表示）

39. （23-24高一下·上海·階段練習）將邊長的矩形按如圖所示的方式折疊，折痕過點，折疊后點落在邊上，記，則折痕長度 .（用表示）

40. （23-24高一下·上海金山·階段練習）對集合,,,和常數，把定義為集合,,,相對于的“正弦方差”，則集合 相對于的“正弦方差”為 .
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的知一求二
1．（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用誘導公式及同角公式求解即得.
【詳解】由，得，
所以的值為.
故選：B
2．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）已知角的終邊在直線上，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據角的終邊在直線上，可得，即可求解.
【詳解】由題意得角的終邊在直線上，所以，
又因為，且，所以，故A項正確.
故選：A.
3．（22-23高三上·天津靜海·階段練習）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同角三角函數平方關系和角的范圍可構造方程求得，進而得到，由同角三角函數商數關系可求得結果.
【詳解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故選：C.
4．（多選）（23-24高一下·河北衡水·開學考試）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據平方公式可得的值，再利用誘導公式逐項化簡求值即可得結論.
【詳解】，則，
，故A正確；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤；
故選：AC.
5．（23-24高一下·上海·階段練習）若，則 ．
【答案】
【分析】利用三角函數的誘導公式與基本關系式即可得解.
【詳解】由，得，則，
而，則，
所以.
故答案為：.
利用平方關系求參數
6．（21-22高一上·全國·課時練習）已知若為第二象限角，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根據同角平方和關系即可結合角的范圍求解.
【詳解】由可得或，
由于為第二象限角，所以，
故當時，不符合要求，
則符合要求，
故選：D
7．（15-16高一上·云南大理·期末）已知，， 其中，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角關系式結合條件即得.
【詳解】由得，
解得或，
當時，，，不滿足，
當時，，，滿足，
.
故選：D.
8．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則 ．
【答案】0或
【分析】根據，代入整理求解得出的值，進而得出的值，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
當時，，，；
當時，，，.
綜上所述，或.
故答案為：0或.
9．（23-24高三上·江蘇揚州·開學考試）已知，，且為第二象限角，則
【答案】/
【分析】根據三角函數值在各象限內的符號可求得范圍，由同角三角函數平方關系可構造方程求得的值，由此可得，根據同角三角函數商數關系可求得結果.
【詳解】為第二象限角，，解得：或；
，即，
，解得：（舍）或，
，，.
故答案為：.
10．（21-22高一·全國·假期作業）已知，且為第二象限角，則m的值為
【答案】4
【分析】利用同角三角函數的基本關系式列方程，求得的可能取值，根據為第二象限角求得的值.
【詳解】由得，
，
或，
又為第二象限角，
，，
把m的值代入檢驗得，.
故答案為：
齊次化問題
11．（2013高一·全國·競賽）已知，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子和分母同時除以，即可求解.
【詳解】，解得．
故選：A
12．（23-24高一下·上海·階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用正余弦的齊次式法即可得解.
【詳解】
因為，
所以
.
故選：D
13．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出，將轉化為求解.
【詳解】
因為，所以，
因為，
所以，
故選：D．
14．（23-24高一下·遼寧阜新·階段練習）已知，則的值為
【答案】3
【分析】根據給定條件，利用誘導公式及齊次式法計算即得.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：3
15．（23-24高一下·江西九江·階段練習）已知角的終邊經過點P，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用誘導公式化簡目標式，結合三角函數定義，即可求得結果；
（2）將目標式化為二次齊次式，再根據同角三角函數關系，即可求得結果.
【詳解】（1）角的終邊經過點P，故；
故.
（2） .
與的關系
16．（2012高一·全國·競賽）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和立方和公式即可得出答案.
【詳解】，
．
故選: A.
17．（23-24高一上·福建南平·期末）如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形中較小的內角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積是，則 ．
【答案】
【分析】直角三角形的兩條直角邊分別為，可得小正方形的邊長為，利用同角三角函數基本關系即可求解.
【詳解】直角三角形中較小的內角為，
則直角三角形的兩條直角邊分別為，
所以小正方形的邊長為，
所以，
即，
即，
所以，
所以.
故答案為：.
18．（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）兩邊平方，結合平方關系得由此即可進一步求解.
（2）首先得，進一步由即可求解.
（3）首先分別求得，然后由商數關系即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以
所以；
（2）因為，所以，所以，
又因為，
所以；
（3）由，可得．
所以．
19．（23-24高一下·上海閔行·階段練習）已知、是方程的兩個實數根．
(1)求實數的值；
(2)求的值；
(3)若,，求的值
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用韋達定理結合平方關系即可求解；
（2）切化弦化簡即可求解；
（3）由韋達定理求出即可求解.
【詳解】（1）因為、是方程的兩個實數根，
由韋達定理得，，
由，
則，
所以；滿足.
（2）
；
（3）因為，所以①，，
所以，
因為,，所以，，②，
所以由①②可得，
所以．
20．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）（1）已知是關于的方程的一個實根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函數關系式能求出結果．
（2）由且，得，從而，再由，能求出結果．
【詳解】（1）解方程，得，，
是關于的方程的一個實根，且是第一象限角，則，
（2），且，
，則，而，
則，故，
。
湊角求值問題
21. （2012高一·全國·競賽）若，且，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據和差角公式即可求解.
【詳解】由于，，
所以，
則
．
故選：B
22. （23-24高一下·上海·假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
【答案】
【分析】根據旋轉方向和旋轉量可得，因題設，要求的值，則考慮按照拆角，所以求出即得.
【詳解】因為繞原點順時針旋轉后與重合，所以可令，
因為且的終邊在第四象限，所以為第一象限角，所以，
所以 .
故答案為：.
23. （23-24高一上·重慶·期末）已知
(1)化簡；
(2)若，，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運用誘導公式進行求解即可；
（2）根據同角的三角函數關系式，結合兩角差的余弦公式進行求解即可.
【詳解】（1）；
（2），因為，所以
所以，
，
因為，，所以，
因為，所以，
于是
所以
.
24. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：根據二倍角公式，同角關系將轉化為含的表達式，代入條件可得結論；
方法二：由二倍角正切公式求，再結合同角關系求；
（2）由兩角和的正切公式求，由兩角差的周期公式求，結合條件確定的范圍，由此可得結論.
【詳解】（1）方法1：
．
方法2：
．
由得
消去，得，
解得，．
因為，，
所以，所以，
所以．
所以．
（2）．
因為，
又，所以．
由（1）方法2，可知，
所以．
因為，所以．
25. （23-24高一下·江蘇南京·階段練習）已知，，α，β均為銳角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據同角三角函數關系，由求得，再根據正弦的倍角公式，即可求得結果；
（2）由求得，再根據余弦的差角公式，結合已知條件，即可求得結果.
【詳解】（1），且α為銳角，故，
則.
（2），且α，β均為銳角，故，
即，
則 ．
化簡求值問題
26. （23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）式子（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式和兩角和的正弦公式求解.
【詳解】解：，
，
.
故選：B
27. （23-24高一下·湖北·階段練習）著名數學家華羅庚先生被譽為“中國現代數學之父”，他倡導的“0.618優選法”在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應用．黃金分割比，現給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考慮，結合，整體代換即可求解.
【詳解】因為，即，令，
則，，，
即，
因為，所以，
即，整理得，
解得，
因為，所以，
故．
故選：B
28. （多選）（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據二倍角公式即可判斷AB，根據和差角公式即可求解CD.
【詳解】對于A，，A正確，
對于B，，B錯誤，
對于C，，C正確，
對于D，，D正確，
故選：ACD
29. （多選）（23-24高一下·江西南昌·階段練習）計算下列各式，結果為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用輔助角公式可判斷選項A；利用誘導公式和二倍角公式可判斷選項B；利用二倍角公式可判斷選項C；利用切化弦、輔助角公式和誘導公式可判斷選項D.
【詳解】因為
，
故選項A正確；
因為，
故選項B錯誤；
因為，
故選項C錯誤；
因為
，
故選項D正確.
故選：AD.
30. （23-24高一下·江西南昌·階段練習） .
【答案】1
【分析】依題意可得，利用和（差）角公式展開計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
輔助角公式的運用
31. （23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）1551年奧地利數學家 天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示.現已知，則該函數的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據給定的定義，利用銳角三角函數的定義轉化為角的正余弦，即，，所以，利用三角函數的圖象與性質即可求解.
【詳解】依題意，可視為某直角三角形的內角，由銳角三角函數定義可得，，所以 ，
所以，其中，，
當，則，而，，
所以；
故選：C
32. （多選）（23-24高一下·四川德陽·階段練習）關于函數，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為 B．關于點中心對稱
C．最大值為 D．在區間上單調遞減
【答案】ABC
【分析】首先化簡函數的解析式，再根據三角函數的性質，判斷選項.
【詳解】，
所以函數的最小正周期，故A正確；
由于，故函數圖象關于點中心對稱，故B正確；
由，所以函數的最大值為，故C正確；
由，，函數在區間單調遞增，
所以函數在區間上單調遞增，故D錯誤.
故選：ABC
33. （23-24高一下·吉林·階段練習）設當時，函數取得最大值，則 ．
【答案】
【分析】利用輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數性求出，進而利用差角的余弦求解即得.
【詳解】依題意，函數，
其中銳角滿足，當時，，
因此，
所以.
故答案為：
34. （23-24高一下·四川成都·階段練習）設函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的最大值，并求出取最大值時的值.
【答案】(1)
(2)當，時，
【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數，再代入周期公式；
（2）根據（1）的結果，再代入函數的最值公式，即可求解.
【詳解】（1）因為
故最小正周期，
（2）
令，得，時，.
35. （23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數，其圖象關于點中心對稱．
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，然后再向右平移個單位長度得到的圖象．若，，求的值．
【答案】(1)的單調遞減區間為
(2)
【分析】（1）通過三角恒等變換得到，再根據圖像關于點中心對稱求得，然后利用正弦函數的性質求解；
（2）先利用圖象變換得到，再得到，然后利用兩角差的余弦公式求解.
【詳解】（1），
，
因為圖象關于點中心對稱，
，，
，
，，，
，
令，
，
的單調遞減區間為；
（2）由題意得：，
，，
，，
，
，
.
二倍角公式的運用
36. （23-24高一下·重慶·階段練習）我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動，如圖（2）.傘完全收攏時，傘圈D已滑到的位置，且A，B，三點共線，，B為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的長，利用余弦定理求出，再利用二倍角余弦公式，即可求得答案.
【詳解】依題意，，當傘完全張開時，，
B為的中點，故，
當傘完全收攏時，，
在中，，
故，
故選：A
37. （23-24高一下·安徽·開學考試）如圖，在扇形中，，，點P在弧上（點與點不重合），分別在點作扇形所在圓的切線，，且，交于點C，與的延長線交于點D，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，.設，，利用直角三角函數以及切線的性質表示出，再利用三角恒等變形公式及基本不等式求最值.
【詳解】連接，.設，，
在中，，
由得，.
在中，，
，
.
令，則，且，
則
，
當且僅當，即時取等號.
故選：B.
38. （23-24高一下·重慶·階段練習）重天市育才中學為美化校園將一個半圓形空地改造為一個穿梭花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B都在半圓弧上，設，其中.若在花園內鋪設一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，要使參觀的線路最長，則 .（答案請用使用弧度制表示）

【答案】
【分析】利用直徑所對的圓周角為直角，利用三角函數把線段、、表示為的函數，利用換元和二次函數的性質求取最大值時的值.
【詳解】連接，則，
半圓的半徑，在中，，

在等腰中，，顯然，
所以參觀路線的長度，
令，即，當時取得最大值，
此時，又，于是，所以當時，參觀路線最長.
故答案為：
39. （23-24高一下·上海·階段練習）將邊長的矩形按如圖所示的方式折疊，折痕過點，折疊后點落在邊上，記，則折痕長度 .（用表示）

【答案】
【分析】
根據題意，先確定折疊后的不變量，再設，由角度關系可得，進而利用三角函數的定義求出，從而可得.
【詳解】因為折疊后點落在上為點
又，則設，則，
又，
，
且.
故答案為：.
40. （23-24高一下·上海金山·階段練習）對集合,,,和常數，把定義為集合,,,相對于的“正弦方差”，則集合 相對于的“正弦方差”為 .
【答案】/0.5
【分析】
根據新定義及三角恒等變換化簡即可得解.
【詳解】由題意得，集合 相對于的“正弦方差為，
所以，
所以，
，
，
，
所以，
故答案為：
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