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第4章：三角恒等變換章末綜合測試卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接由兩角和的正弦公式即可求解.
【詳解】.
故選：B.
2．（23-24高一下·山東濟寧·階段練習）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用齊次式法計算即得.
【詳解】由，得.
故選：A
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知為第二象限角，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先根據角所在象限得到，，進而化簡求值．
【詳解】是第二象限角，
，，故．
故選：B．
4．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據三角函數的定義結合二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】因為角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，
所以，
所以.
故選：D.
5．（23-24高一上·廣東深圳·期末）如圖，有三個相同的正方形相接，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
設正方體邊長為1，由圖可得，結合兩角和的正切公式計算即可求解.
【詳解】
設正方體邊長為1，由圖可得，
則且，
所以.
故選：B.
6．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據誘導公式及二倍角余弦公式可得結果.
【詳解】
，
故選：D.
7．（23-24高一下·廣西·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對條件依次運用余弦定理和正弦定理，將其化成，化弦為切同時進行拆角化成，依題意進行組合相加即得.
【詳解】由和余弦定理可得，即，
由正弦定理，，
則,即,
于是有①，②，由①+②可得：.
故選：A.
8．（23-24高一下·山東·階段練習）定義平面向量的正弦積（其中為，的夾角）.已知中，，則此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【答案】A
【分析】利用給定的定義，結合正弦定理、二倍角的正弦公式化簡判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
則，由正弦定理得，
即，
而，因此，
又，于是，
所以是等腰三角形.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一下·遼寧朝陽·期中）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用誘導公式和兩角和與差的正切、正弦公式一一判斷即可.
【詳解】對A，由誘導公式可知，，故A錯誤；
對B，，故B正確；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：BD.
10．（22-23高一下·吉林長春·階段練習）密位制是度量角的一種方法，把一個周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短線，如7密位寫成“0—07”，478密位寫成“4—78”．若，則角可取的值用密位制表示正確的是（ ）
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
【答案】ABD
【分析】先利用題給條件求得角的值，再將各選項的密位制角轉化為弧度制的角即可得到正確選項.
【詳解】因為，
即，
即，所以，
所以，，或，，
解得，或，．
對于A，密位制12—50對應的角為，符合題意；
對于B，密位制2—50對應的角為，符合題意；
對于C，密位制13—50對應的角為，不符合題意；
對于D，密位制32—50對應的角為，符合題意．
故選：ABD．
11．（23-24高一下·浙江·階段練習）如圖，直線與的邊分別相交于點，設，則（ ）
A．的面積 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】A選項，由正弦定理和面積公式求出A正確；B選項，，由正弦定理得到B錯誤；CD選項，利用向量加法法則得到，進而由數量積的運算法則得到答案.
【詳解】A選項，由正弦定理得，即，
的面積，A正確；
B選項，因為，所以，
由正弦定理得，B錯誤；
CD選項，因為，所以，
即，
故，
即，
所以，C錯誤，D正確，
故選：AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·上海寶山·期末）已知，，則角的終邊在第
象限.
【答案】三
【分析】
根據，，得到角的終邊在第三象限.
【詳解】，，
故角的終邊在第三象限.
故答案為：三
13．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數的對稱中心是，則 ．
【答案】
【分析】利用輔助角公式，結合三角函數的性質可得，進而求得，從而代入求解即可得解.
【詳解】因為，其中，
又的對稱中心是知，則兩個相鄰的對稱中心相距，
故的最小正周期，即，則，
所以，解得，
故.
故答案為：.
14．（2024高一下·全國·專題練習）圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經》里記載的二十四節氣就是通過圭表測量日影長度來確定的．利用圭表測得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設表高為1米，則影差 米（參考數據：，）
【答案】2.232
【分析】
由正弦定理和三角函數得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.
【詳解】
在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．
因為，
且，
所以，所以（米）．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（21-22高一上·云南文山·期末）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據平方關系求出，再根據二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根據二倍角的余弦公式計算即可.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以；
（2）.
16．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）如圖，在平面坐標系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點，且點的縱坐標為．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的縱坐標計算出，再由，算出，即可得；
（2）將、代入即可得.
【詳解】（1）由題知，
因為，所以．
又為第二象限角，所以，
可得．
（2）.
17．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數．
(1)求函數的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；
(2)求函數在上的單調遞增區間．
【答案】(1)，對稱軸方程為；
(2)和
【分析】（1）直接對的表達式進行三角恒等變換即可求出解析式，進而得到其圖象的對稱軸方程；
（2）先考慮的單調遞增區間，然后令屬于該區間即可解得的單調區間.
【詳解】（1），
由，解得；
所以，函數的圖象的對稱軸方程為；
（2）（2）當時，有，要使單調遞增，
則需要，或，
解得，或；
故函數在上的單調遞增區間為和．
18．（21-22高一下·全國·期末）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若關于的方程在上有實根，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由函數圖象得到、，即可求出，再由函數經過點，即可求出，從而得解；
（2）依題意利用兩角差的余弦公式得到，由的取值范圍求出的范圍，從而求出的范圍，即可求出參數的范圍.
【詳解】（1）由圖知，，
∴，又∵，∴，解得.
又由圖知函數經過點，∴，
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴，
∴.
∵，∴，∴，
∴，
∴，即實數的取值范圍為.
19．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為，P，Q分別為邊AB，DA上的動點，設，且.
(1)求的值；
(2)求的面積最小值；
(3)，求實數的取值范圍.
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，由正切函數定義表示出，再由勾股定理求得，然后結合兩角和的正切公式化簡可得結論；
（2）用表示出的面積，然后利用三角恒等變換，正弦函數的性質，不等式的性質得最小值；
（3）根據不等式性質得，由數量積的運算求得，轉化不等式為，然后再分離參數，利用基本不等式轉化為關于的不等式，解之可得．
【詳解】（1），，
，
又，
，
，
故的值為4.
（2）
又
，
，，
∴時， ；
（3），
，
，
又
，
，時得，
， ，
（時等號成立），
，．
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（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·山東濟寧·階段練習）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知為第二象限角，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·廣東深圳·期末）如圖，有三個相同的正方形相接，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·廣西·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·山東·階段練習）定義平面向量的正弦積（其中為，的夾角）.已知中，，則此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一下·遼寧朝陽·期中）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·吉林長春·階段練習）密位制是度量角的一種方法，把一個周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短線，如7密位寫成“0—07”，478密位寫成“4—78”．若，則角可取的值用密位制表示正確的是（ ）
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
11．（23-24高一下·浙江·階段練習）如圖，直線與的邊分別相交于點，設，則（ ）
A．的面積 B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·上海寶山·期末）已知，，則角的終邊在第
象限.
13．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數的對稱中心是，則 ．
14．（2024高一下·全國·專題練習）圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經》里記載的二十四節氣就是通過圭表測量日影長度來確定的．利用圭表測得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設表高為1米，則影差 米（參考數據：，）
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（21-22高一上·云南文山·期末）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（23-24高一上·云南昆明·階段練習）如圖，在平面坐標系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點，且點的縱坐標為．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數．
(1)求函數的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；
(2)求函數在上的單調遞增區間．
18．（21-22高一下·全國·期末）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若關于的方程在上有實根，求實數的取值范圍.
19．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為，P，Q分別為邊AB，DA上的動點，設，且.
(1)求的值；
(2)求的面積最小值；
(3)，求實數的取值范圍.
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