資源簡介

4.3二倍角的三角函數(shù)公式
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.重點：學(xué)習(xí)運用二倍角公式 2.難點：變形、逆用二倍角公式 1.了解二倍角公式的推導(dǎo)過程; 2.掌握二倍角公式、理解公式的結(jié)構(gòu)特點; 3.能用二倍角公式解題.
知識點01 二倍角公式
1、正弦二倍角：
2、余弦二倍角：
3、正切二倍角：
【即學(xué)即練1】（23-24高一上·云南·期末）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
知識點02 半角公式
1、正弦半角公式：sin ＝±，
2、余弦半角公式：cos ＝±，
3、正切半角公式：tan ＝±＝＝.
【即學(xué)即練2】（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知，，則 .
【題型一：正弦二倍角公式】
例1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）若，則的值為 .
變式1-1．（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓交于點，則的值為 ．
變式1-2．（2023高一上·全國·專題練習(xí)），則 .
變式1-3．（23-24高一上·重慶·期末）已知，則 .
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1.
2.
【題型二：正弦二倍角公式的逆用】
例2．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ．
變式2-1．（22-23高一上·吉林長春·期末）設(shè)，則“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式2-2．（23-24高一上·河北邯鄲·期末）若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．或
變式2-3．（22-23高一下·山西忻州·開學(xué)考試）彝族圖案作為人類社會發(fā)展的一種物質(zhì)文化，有著燦爛歷史．按照圖案的載體大致分為彝族服飾圖案 彝族漆器圖案 彝族銀器圖案等．其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化，如圖1，漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”是由一動點沿一條射線以等角速度轉(zhuǎn)動所形成的軌跡，這些螺線均勻分布，將其簡化抽象后得到圖2，若，則的值為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
【題型三：余弦二倍角公式】
例3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知，則 ．
變式3-1．（23-24高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）已知，且，則 .
變式3-2．（21-22高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點在第三象限，且．則（ ）
A． B． C． D．
變式3-3．（23-24高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知，則的值為 .
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1. ;
2. ;
3. ;
【題型四：余弦二倍角公式的逆用】
例4．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式4-1．（21-22高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，則的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
變式4-2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式4-3．（20-21高一上·北京·期末）如果函數(shù)的圖像可以通過的圖像平移得到，稱函數(shù)為函數(shù)的“同形函數(shù)”.在①；②；③；④中，為函數(shù)的“同形函數(shù)”的有 .（填上正確選項序號即可）
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1．降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升冪公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
【題型五：正切二倍角公式】
例5．（23-24高一上·山西長治·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式5-1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為 .
變式5-2．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，，則的值為( )
A． B． C． D．
變式5-3．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于、兩點，且，已知點的坐標(biāo)為．
(1)求的值；
(2)求的值．
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
.2.
【題型六：正切二倍角公式逆用】
例6．（22-23高一下·湖南益陽·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式6-1．（22-23高一下·北京海淀·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．或
變式6-2．（多選）（22-23高一下·湖北·期末）下列各式的值為是（ ）
A． B．
C． D．
變式6-3．（多選）（22-23高一下·全國·課時練習(xí)）若，則的值可能為（ ）
A． B．2 C． D．－2
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1.
2.
3.
【題型七：半角公式】
例7．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）已知，角的終邊在第一象限，求的值．
變式7-1．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）求和的值．
變式7-2．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）設(shè)，化簡的結(jié)果是 .
變式7-3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）化簡，其中．
【方法技巧與總結(jié)】
1.當(dāng)給出角α的范圍（某一區(qū)間）時，可先確定角的范圍，再確定各函數(shù)值的符號。
2.若沒有給出確定符號的條件，則在根號前保留正負兩個符號。
3.對于，，∈R，而對于，要注意α≠（2k＋1）π。
【題型八：湊角求值】
例8．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式8-1．（23-24高一下·安徽安慶·開學(xué)考試）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
變式8-2．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
變式8-3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若為鈍角，且，求的值．
【方法技巧與總結(jié)】
1.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．
①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．
2.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等
3.湊角基本思路
【題型九：化簡求值】
例9．（20-21高一下·四川成都·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則 .
變式9-1．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）求值
變式9-2．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）求值
變式9-3．（2024高一下·湖南株洲·競賽） ．
【方法技巧與總結(jié)】
1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點
一、單選題
1．（22-23高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·北京海淀·期中），則（　　）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）當(dāng)時，化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·全國·單元測試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·云南·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列公式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知,則（ ）
A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是
C．圖象的一個對稱中心是 D．上單調(diào)遞增
11．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）下列等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）化簡： ．
13．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）將邊長的矩形按如圖所示的方式折疊，折痕過點，折疊后點落在邊上，記，則折痕長度 .（用表示）

14．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．則= ；函數(shù)的最小值為 ．
四、解答題
15．（22-23高一下·四川宜賓·期末）已知為第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．（22-23高一上·黑龍江哈爾濱·期末）已知，為第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）如圖，設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點，點是單位圓上的一點，是坐標(biāo)原點，，且且.
(1)求的值；
(2)求的值．
19．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
(3)若求的值．
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課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.重點：學(xué)習(xí)運用二倍角公式 2.難點：變形、逆用二倍角公式 1.了解二倍角公式的推導(dǎo)過程; 2.掌握二倍角公式、理解公式的結(jié)構(gòu)特點; 3.能用二倍角公式解題.
知識點01 二倍角公式
1、正弦二倍角：
2、余弦二倍角：
3、正切二倍角：
【即學(xué)即練1】（23-24高一上·云南·期末）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的定義及二倍角公式計算即可.
【詳解】由題意可知，所以.
故選：
知識點02 半角公式
1、正弦半角公式：sin ＝±，
2、余弦半角公式：cos ＝±，
3、正切半角公式：tan ＝±＝＝.
【即學(xué)即練2】（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知，，則 .
【答案】
【分析】
由半角公式求解.
【詳解】，則，
由半角公式可得.
故答案為：
【題型一：正弦二倍角公式】
例1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）若，則的值為 .
【答案】/
【分析】利用同角的平方關(guān)系求出，再利用三角函數(shù)的倍角公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則.
故答案為：.
變式1-1．（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓交于點，則的值為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)任意角三角函數(shù)定義求出正弦值和余弦值，再結(jié)合二倍角正弦值公式計算即可.
【詳解】終邊與以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓交于點，則．
故答案為：.
變式1-2．（2023高一上·全國·專題練習(xí)），則 .
【答案】
【分析】把1換成，同時用二倍角公式化二倍角為單角，再開方，注意角的范圍即可．
【詳解】，，
則
，
故答案為：.
變式1-3．（23-24高一上·重慶·期末）已知，則 .
【答案】/
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式列方程組解出或，再由誘導(dǎo)公式算出結(jié)果即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，
又因為，
由以上兩式可解得或，
所以，代入以上兩種結(jié)果得到.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1.
2.
【題型二：正弦二倍角公式的逆用】
例2．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ．
【答案】
【分析】由于，所以原式可化為，乘進去后再利用降冪公式化簡可得，再逆用兩角和的正弦公式可得答案
【詳解】解：
，
故答案為：
變式2-1．（22-23高一上·吉林長春·期末）設(shè)，則“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用正弦二倍角公式得到，求出或，從而得到故“”是“，”的必要不充分條件.
【詳解】，故，故或，解得：或，
故“”是“，”的必要不充分條件.
故選：B
變式2-2．（23-24高一上·河北邯鄲·期末）若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的二倍角公式以及同角三角函數(shù)的平方式，可得答案.
【詳解】
解：因為，則，
所以．
故選：D．
變式2-3．（22-23高一下·山西忻州·開學(xué)考試）彝族圖案作為人類社會發(fā)展的一種物質(zhì)文化，有著燦爛歷史．按照圖案的載體大致分為彝族服飾圖案 彝族漆器圖案 彝族銀器圖案等．其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化，如圖1，漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”是由一動點沿一條射線以等角速度轉(zhuǎn)動所形成的軌跡，這些螺線均勻分布，將其簡化抽象后得到圖2，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圖示可得，利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式即可計算的出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)圖2可知，動點將圓周九等分，所以，
所以；
則
將代入可得，
即.
故答案為：
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
【題型三：余弦二倍角公式】
例3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知，則 ．
【答案】
【分析】
根據(jù)二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】 ， ，即.
故答案為：.
變式3-1．（23-24高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）已知，且，則 .
【答案】/
【分析】利用倍角公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為，所以，解得，
又，所以，所以.
故答案為：.
變式3-2．（21-22高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點在第三象限，且．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由所求式化簡判斷需求，而由題設(shè)利用三角函數(shù)基本關(guān)系式易得.
【詳解】因，且是第三象限角，則，
故.
故選：C.
變式3-3．（23-24高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知，則的值為 .
【答案】
【分析】利用倍角公式變形化簡即可.
【詳解】原式
.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1. ;
2. ;
3. ;
【題型四：余弦二倍角公式的逆用】
例4．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用降冪公式和誘導(dǎo)公式即可.
【詳解】
，
故選：A．
變式4-1．（21-22高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，則的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.
【詳解】由題設(shè)，，
所以最小正周期為.
故選：B
變式4-2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)給定條件，求出，再利用二倍角的余弦公式計算即得.
【詳解】由兩邊平方得：，而，，則，
因此，
所以.
故選：D
變式4-3．（20-21高一上·北京·期末）如果函數(shù)的圖像可以通過的圖像平移得到，稱函數(shù)為函數(shù)的“同形函數(shù)”.在①；②；③；④中，為函數(shù)的“同形函數(shù)”的有 .（填上正確選項序號即可）
【答案】②③
【分析】由給定條件利用三角恒等變形化簡①，②，③中函數(shù)，再與函數(shù)比對即可判斷，分析④的定義域即可判斷并作答.
【詳解】由“同形函數(shù)”的意義知，兩個函數(shù)是“同形函數(shù)”，則它們定義域必相同，①，②，③中函數(shù)與函數(shù)的定義域均為R，
①中，需先把圖象上的每點縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變，再向上平移0.5個單位，顯然兩者的形狀不同，即①不是；
②中，的圖象可把圖象右移個單位而得，即②是；
③中，的圖象可把圖象右移個單位而得，即③是；
④中，定義域是與的定義域不同，即④不是，
綜上為函數(shù)的“同形函數(shù)”的有②③.
故答案為：②③
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1．降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升冪公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
【題型五：正切二倍角公式】
例5．（23-24高一上·山西長治·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
即，解方程得或（舍）.
因為，所以，，
所以.
故選：D
變式5-1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為 .
【答案】/
【分析】
利用正余弦的齊次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【詳解】
因為，等式左邊分子、分母同時除以得， ，解得，
所以.
故答案為：.
變式5-2．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，，則的值為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出tanA，根據(jù)正切和角公式求出tan(A+B)，再根據(jù)正切的二倍角公式即可求得答案．
【詳解】，
，
，
，
，
故選：D．
變式5-3．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于、兩點，且，已知點的坐標(biāo)為．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用誘導(dǎo)公式可求得的值，由此可得出的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【詳解】（1）解：由三角函數(shù)的定義可得，，
將因為，且角、的終邊與單位圓分別交于、兩點，且，
結(jié)合圖形可知，，故.
故.
（2）解：由（1）可知，且，
故，根據(jù)二倍角公式得．
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
.2.
【題型六：正切二倍角公式逆用】
例6．（22-23高一下·湖南益陽·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的范圍，然后利用正切的二倍角公式求解即可
【詳解】因為，所以，所以，
因為，所以，
化簡得，解得（舍去），或，
故選：C
變式6-1．（22-23高一下·北京海淀·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用二倍角的正切公式可得出關(guān)于的方程，解之即可.
【詳解】由二倍角的正切公式可得，整理可得，
解得或.
故選：D.
變式6-2．（多選）（22-23高一下·湖北·期末）下列各式的值為是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用三角函數(shù)恒等變形，即可化簡求值.
【詳解】A. ，故A正確；
B. ，故B正確；
C.
，故C錯誤；
D. ，
，故D錯誤.
故選：AB
變式6-3．（多選）（22-23高一下·全國·課時練習(xí)）若，則的值可能為（ ）
A． B．2 C． D．－2
【答案】CD
【分析】對已知條件進行化簡運算可得，從而求得，即可得出結(jié)論.
【詳解】
，
∵，∴，
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，.
故選：CD.
【方法技巧與總結(jié)】
常見結(jié)論推廣：
1.
2.
3.
【題型七：半角公式】
例7．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）已知，角的終邊在第一象限，求的值．
【答案】
【分析】先求出，根據(jù)半角公式得出的值．
【詳解】解：因為，角的終邊在第一象限，
所以，
所以.
變式7-1．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）求和的值．
【答案】，
【分析】注意到與的關(guān)系，利用半角公式解得.
【詳解】解：，
.
變式7-2．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）設(shè)，化簡的結(jié)果是 .
【答案】
【分析】
由二倍角的余弦公式結(jié)合角的范圍即可化簡.
【詳解】，
因為，所以，
從而.
故答案為：.
變式7-3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）化簡，其中．
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，結(jié)合所在的象限化簡，利用輔助角公式計算即可.
【詳解】由，可得，
所以，
由，可知，
得原式．
【方法技巧與總結(jié)】
1.當(dāng)給出角α的范圍（某一區(qū)間）時，可先確定角的范圍，再確定各函數(shù)值的符號。
2.若沒有給出確定符號的條件，則在根號前保留正負兩個符號。
3.對于，，∈R，而對于，要注意α≠（2k＋1）π。
【題型八：湊角求值】
例8．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解.
【詳解】
．
故選：A．
變式8-1．（23-24高一下·安徽安慶·開學(xué)考試）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用兩角和的正切公式求出，再由兩角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計算可得.
【詳解】因為，解得或，
又
，
當(dāng)時；
當(dāng)時；
綜上可得.
故選：D
變式8-2．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再由兩角差的正切公式求出，即可得解；
（2）由二倍角公式求出，，再由和角公式計算可得.
【詳解】（1）因為，
所以，，
所以，，，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，
，
所以
.
變式8-3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若為鈍角，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡并結(jié)合齊次式運算求解；
（2）由二倍角公式求解，結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得，再利用二倍角和兩角差的正切求值.
【詳解】（1）因為，所以 .
（2）因為為鈍角，
由，得，
則，
，
又因為,
所以.
【方法技巧與總結(jié)】
1.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．
①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．
2.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等
3.湊角基本思路
【題型九：化簡求值】
例9．（20-21高一下·四川成都·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則 .
【答案】
【分析】將2sin18°替換t代入所求值的式子中，利用三角變換公式化簡即得.
【詳解】因t=2sin18°，則有
.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：含非特殊角三角函數(shù)式求值問題，合理選擇誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和差角的三角函數(shù)公式，二倍角公式等三角變換公式，借助通分、約分，合并等方法解決.
變式9-1．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）求值
【答案】2
【分析】
利用二倍角的余弦公式和輔助角公式以及誘導(dǎo)公式化簡即可.
【詳解】
原式
變式9-2．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）求值
【答案】
【分析】
利用二倍角的正弦公式和輔助角公式以及誘導(dǎo)公式化簡即可.
【詳解】
原式
。
變式9-3．（2024高一下·湖南株洲·競賽） ．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式及和差角公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
【方法技巧與總結(jié)】
1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點
一、單選題
1．（22-23高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通過平方的方法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
兩邊平方得，
，
所以.
故選：B
2．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求解.
【詳解】由題得.
故選：B.
3．（21-22高一下·北京海淀·期中），則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系平方求解，結(jié)合二倍角公式求解即可.
【詳解】∵，平方可得，∴，
故選：C．
4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）當(dāng)時，化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
.
故選：B
5．（22-23高一下·全國·單元測試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式可求出結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，
故.
故選：A．
6．（22-23高一下·云南·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用降冪公式及誘導(dǎo)公式即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
7．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡等式，求得，利用求出，代入計算即得結(jié)果.
【詳解】由可得，即，解得或（舍去），
又，則，于是,故.
故選：C.
8．（21-22高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
運用切化弦及二倍角公式化簡即可求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可求得.
【詳解】因為，，
所以，
即，解得或（舍），
又因為，
所以.
故選：B.
二、多選題
9．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列公式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)兩角差的余弦公司號、二倍角公式、誘導(dǎo)公式、降次公式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由差角余弦公式有，所以A選項錯誤.
由倍角余弦公式有，B選項正確.
由誘導(dǎo)公式有，C選項正確.
由倍角余弦公式有，D選項正確.
故選：BCD
10．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知,則（ ）
A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是
C．圖象的一個對稱中心是 D．上單調(diào)遞增
【答案】ABC
【分析】因為,根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A;根據(jù)最小正周期公式判斷B;將代入驗證C的正誤;求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷D.
【詳解】因為,定義域為,
,所以是偶函數(shù),故A正確;
的最小正周期為,故B正確;
,所以是圖象的一個對稱中心,故C正確;
令,
解得,
即的單調(diào)遞增區(qū)間為,故D錯誤.
故選:ABC.
11．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）下列等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A選項，逆用正弦倍角公式進行求解；B選項，逆用余弦二倍角公式計算；C選項，逆用正切差角公式進行求解；D選項，逆用正弦和角公式計算.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C正確；
D選項，，D錯誤.
故選：AC
三、填空題
12．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）化簡： ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化成同角，然后因式分解即可化簡.
【詳解】由二倍角公式可得：.
故答案為：
13．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）將邊長的矩形按如圖所示的方式折疊，折痕過點，折疊后點落在邊上，記，則折痕長度 .（用表示）

【答案】
【分析】
根據(jù)題意，先確定折疊后的不變量，再設(shè)，由角度關(guān)系可得，進而利用三角函數(shù)的定義求出，從而可得.
【詳解】因為折疊后點落在上為點
又，則設(shè)，則，
又，
，
且.
故答案為：.
14．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．則= ；函數(shù)的最小值為 ．
【答案】 /
【分析】
先化簡，然后計算，換元，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】 ，
則，
令，
則，對稱軸為，
故最小值為.
故答案為：；.
四、解答題
15．（22-23高一下·四川宜賓·期末）已知為第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)為第二象限角，得到，進而得到正切值；
（2）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡，分子分母同時除以，代入即可.
【詳解】（1）因為為第二象限角，，
所以，
所以
（2）原式，
分子分母同時除以，
則原式.
16．（22-23高一上·黑龍江哈爾濱·期末）已知，為第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)結(jié)合已知得出，即可根據(jù)二倍角的正弦公式代入數(shù)值得出答案；
（2）根據(jù)兩角和差的余弦公式代入數(shù)值得出答案.
【詳解】（1），為第二象限角，
，
則；
（2）.
17．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用平方關(guān)系將式子化成齊次式，再將弦化切，最后代入計算可得；
（2）首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】（1）
因為，
所以
；
（2）
且，
，則，
，
，
，，且，解得（負值舍去），
，
又，，，
.
18．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）如圖，設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點，點是單位圓上的一點，是坐標(biāo)原點，，且且.
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根據(jù)三角函數(shù)定義求得，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系由求得，再根據(jù)正弦的和角公式即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所得求得，再根據(jù)二倍角的正切公式求得，進而由正切的差角公式即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得；
又，，則；
.
（2）由（1）可得，，
又，
故 .
19．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
(3)若求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（3）依題意可得，即可求出，再由利用兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】（1）因為
，
由，
得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）令， 得，
所以圖象的對稱中心的坐標(biāo)為．
（3）由，得，則．
因為，所以，所以．
所以
．
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