資源簡介

2.2 從位移的合成到向量的加減法6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律； 2.掌握向量加法運算法則，能熟練進行加法運算； 3.掌握數的加法與向量的加法的聯系與區別. 4.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義； 5.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算； 6.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.
知識點01向量的加法
定義 求兩個向量和的運算，稱為向量的加法
向量加法的三角形法則 前提 已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點A.
作法 作＝a，＝b，連接AC
結論 有向線段表示的向量即為a與b的和，記作a+b，即a＋b＝＝．
圖形
向量加法的平行四邊形法則 前提 已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點O.
作法 作＝a，＝b，以OA，OB為鄰邊作 OACB.
結論 以O為起點的向量就是向量a與b的和，即＝a+b．
圖形
規定 對于零向量與任一向量a，我們規定a＋0＝0＋a＝a
注：1.在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．
2．三角形法則與平行四邊形法則的適用條件
　　　 法則 適用條件　 三角形法則 平行四邊形法則
兩向量位置關系 兩向量共線或不共線均可 只適用于兩向量不共線的情況
兩向量起點、終點的特點 一個向量的終點為另一個向量的起點 兩向量起點相同
【即學即練1】如圖，已知向量，，求作向量．
【解析】（1）平移，使其起點與起點重合，再應用平行四邊形法則，作出，如下圖示：
（2）平移，使其終點與起點重合，再以的起點為起點，的終點為終點作，如下圖示：
知識點02　向量加法的運算律
1．交換律：a＋b＝b+a
2．結合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）
注：1.當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．
2．我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：
一質點從點A出發，方案①先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，方案②先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，則方案①②中質點A一定會到達同一終點．
3．多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如()＋()＝()＋()；＋＝[＋()]＋()．
【即學即練2】化簡：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.
【解析】(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋
＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
【即學即練3】向量﹒化簡后等于（ ）
A. B.0 C. D.
【解析】
, 故選D.
【即學即練4】化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】對于①：，
對于②：，
對于③：，
對于④：，
所以結果為的個數是，
故選：B
【即學即練5】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
【解析】(1)　(2)　(3)　(4)
知識點03 向量的減法
1．定義：向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．幾何意義：如圖，設＝a，＝b，故a－b＝，則a－b＝a＋(－b)＝＝＝，即a－b表示為從向量b的終點B指向被減向量a的終點A的向量．
【即學即練6】如圖，在各小題中，已知，分別求作．
【解析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，
如圖，，
(1) (2)
(3) (4)
【即學即練7】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【解析】如圖，以A為起點分別作向量和，使＝a，＝B．連接CB，得向量，再以點C為起點作向量，使＝c．連接DB，得向量.則向量即為所求作的向量a－b－c．
【即學即練8】化簡－＋－得(　 　)
A．　　　　B． C．　　　　 D．0
【解析】(1)解法一：－＋－＝－＋＋
＝(＋)＋(－)＝＋＝0．
解法二：－＋－＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
題型一：向量加法法則的應用
例1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知下列各組向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)作圖見解析
(4)作圖見解析
【分析】應用向量的性質，將，作平移處理，使一個向量起點與另一個的起點或終點重合，結合三角形或平行四邊形法則畫出，注意共線向量只需將一個向量起點平移至另一個向量的終點，再連接兩向量的另一個起點和終點即可.
【詳解】（1）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：
（2）將的起點移至的終點，即可得，如下圖：
（3）以，為頂點作平行四邊形，應用平行四邊形法則可得，如下圖：
（4）將的起點移至的終點，應用三角形法則可得，如下圖：
變式1．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析
【分析】向量，，不共線中隱含著向量，，均為非零向量，因為零向量與任何一個向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.
【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

變式2．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
變式3．（21-22高一下·全國·課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡；
(2)化簡；
(3)化簡；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】（1）根據平行四邊形法則直接求解即可；
（2）根據，進行求解即可；
（3）根據，結合加法法則求解即可；
（4）根據，結合加法法則求解得，進而得模.
【詳解】（1）解：根據向量的平行四邊形法則得；
（2）解：根據題意，，所以；
（3）解：因為，所以；
（4）解：因為，所以，
所以
【方法技巧與總結】
用三角形法則求向量和，關鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點，平行四邊形法則注意“共起點”，且兩種方法中，第一個向量的起點可任意選取，可在某一個向量上，也可在其它位置．兩向量共線時，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用．
題型二：向量的加法運算
例2．（22-23高一下·新疆·期末）化簡下列各式:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）應用向量加法運算律化簡即可.
【詳解】（1）原式.
（2）原式
變式1．（21-22高一下·全國·課前預習）化簡
(1)；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）按照向量加法的運算律直接計算即可.
【詳解】（1）=
（2）==.
變式2．（2020高一·全國·專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【答案】①；② ；③
【解析】根據加法的三角形運算法則和基本規律首尾相連求解.
【詳解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【點睛】本題主要考查平面向量的加法運算，其規律是首尾相連，同時注意加法運算結果是向量，屬于中檔題.
變式3．（20-21高一下·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
【分析】根據向量加法法則計算．
【詳解】（1）由平行四邊形法則，；
（2）由向量加法的三角形法則，；
（3）由向量加法法則得，；
（4）由向量加法法則得，．
故答案為：；；；．
變式4．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝ .
【答案】
【分析】利用向量的加法運算即得.
【詳解】＋＋.
故答案為：.
變式5．（2023高一·全國·課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；.
（2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進而作出證明.
【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則，
因為，所以.
（2）證明：由向量加法的平行四邊形法則，
因為，
所以
.
變式6．（2018高一下·全國·專題練習）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】根據已知可得，.進而根據向量加法的多邊形法則表示出，相加即可得出證明.
【詳解】因為E，F分別是AD，BC中點，
所以，，.
因為，，
所以，.
【方法技巧與總結】
向量加法運算律的應用原則及注意點
(1)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
(2)注意點：①三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉化，達到“首尾相連”的目的．
題型三：向量加法的實際應用
例3．（20-21高一·全國·課時練習）一質點從點出發，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．
【答案】作圖見解析
【分析】根據題意可作出向量、、以及.
【詳解】根據題意，、、以及的示意圖如下圖所示：
變式1．（21-22高一·全國·課時練習）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應指向何處？實際航速為多少？
【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為
【分析】如圖所示，表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，在中，可得,從而得，，即可得答案.
【詳解】解：設表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，
則四邊形為平行四邊形.
所以，，
因為，于是，
所以，，
故船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為.
變式2．（21-22高一·全國·課前預習）一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達地，再由地沿正北方向飛行40 km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置.
【答案】直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處
【分析】根據向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解.
【詳解】如圖所示，
設，分別是直升飛機的位移，則表示兩次位移的合位移，即.
在中，.
在中，，，
即此時直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處.
變式3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【答案】分析答案見解析，OA受力最大
【分析】根據題意利用向量加法的平行四邊形法則，畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系得出拉力最大的是OA．
【詳解】設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則.
因為，的合力為，所以.
如圖在平行四邊形中，

因為，，
所以，，即，.
故細繩OA受力最大.
【方法技巧與總結】
應用向量解決平面幾何問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題．
(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題．
(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題．
題型四：向量的加減綜合運算
例4．（23-24高一·全國·假期作業）化簡
【答案】
【詳解】解：
變式1．（21-22高一·全國·課前預習）化簡：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量加法和減法的運算法則即可求解；
（2）根據向量加法和減法的運算法則即可求解；
【詳解】（1）解：；
（2）解：.
變式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）.
變式3．（2023高一·全國·專題練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】由向量的三角形法則求解即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
變式4．（22-23高一·全國·課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據平面向量線性運算法則及運算律計算可得.
【詳解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
【方法技巧與總結】
向量加、減法運算的基本方法
(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；
(2)運用減法公式＝(正用或逆用均可)；
(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題．
題型五：用已知向量表示未知向量
例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.
【答案】，
【分析】根據平面向量加、減法的定義計算可得.
【詳解】依題意，.
變式1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量減法與加法的規則即可用表示，用表示
【詳解】（1）.
（2）.
變式2．（21-22高一·全國·課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.
【答案】，
【分析】利用平面向量的線性運算可得出向量與關于向量、、的表達式.
【詳解】解：由平面向量的減法可得，.
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，解答下列各題：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1).
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由向量的加法運算求解即可；
（2）由向量的減法運算和相反向量的定義求解即可；
（3）由向量的加法運算求解即可；
（4）由向量的加法運算和相反向量的定義求解即可；
【詳解】（1）因為.
（2）因為.
（3）因為.
（4）因為.
【方法技巧與總結】
解決這類問題時，要根據圖形的幾何性質，正確運用向量的加法、減法以及共線(相等)向量，要注意向量的方向及運算式中向量之間的關系．當運用三角形法則時，要注意兩個向量起點的位置，當兩個向量共起點時，可以考慮向量的減法．
常用結論：任意一個非零向量一定可以表示為兩個不共線向量的和(差)，即 ＝ ＋ 以及 ＝ －(M，N均是與在同一平面內的任意點)．
題型六：向量加減法的綜合應用
例6．（20-21高一·全國·課時練習）證明：當向量，不共線時，
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）設，，以為鄰邊作一個平行四邊形，則在中利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案；
（2）在中，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得答案
【詳解】（1）
如圖所示，設，，且向量，不共線，
以為鄰邊作一個平行四邊形，則，
在中，因為，所以，
因為，所以，
所以.
（2）由（1）向量，不共線，在中，因為，
所以，
因為，所以，
所以．
變式1．（20-21高一下·上海·課時練習）試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.
【答案】證明見解析
【分析】利用，，兩邊平方求和，根據向量運算法則證得結論.
【詳解】證明：設平行四邊形，
即證得結論.
變式2．（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）在中，已知，且， ，求，.
【答案】4，.
【分析】由題意可知是邊長為4的等邊三角形，利用向量加法、減法的幾何意義即可求解.
【詳解】中，，由于，，
所以是等邊三角形，即.
∴.
設中點為，
根據向量和的平行四邊形法則，，
所以，.
變式3．（23-24高一·全國·課時練習）若是所在平面內一點，且滿足，試判斷的形狀.
【答案】直角三角形
【分析】由向量的加法法則得出，可得出以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，可判斷出平行四邊形的形狀，從而得出的形狀.
【詳解】，，，
以、為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，
此平行四邊形為矩形，.是直角三角形.
【點睛】本題考查利用和向量和差向量模的關系判斷三角形的形狀，解題的關鍵是要弄清楚相應平行四邊形的形狀，考查推理能力，屬于中等題.
變式4．（23-24高一·全國·課時練習）如圖，質點A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個向量的大小和方向：
（1）；
（2）.
【答案】（1）大小為N，方向為東偏南15°；（2）大小為N，方向為東偏北75°.
【分析】根據平行四邊形法則作出示意圖，進而根據平面向量的加法法則和減法法則得到答案.
【詳解】根據平行四邊形法則作出圖形，由題意，四邊形是正方形，如圖所示.
（1）如圖，，
，所以的方向為東偏南15°.
（2）如圖，，
，
所以的方向為東偏北75°.
變式5．（23-24一年級·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，設, , 則
(1)當,滿足什么條件時，與垂直
(2)當,滿足什么條件時，
(3)與可能是相等向量嗎
(4)當,滿足什么條件時，平分與所夾的角
【答案】(1)
(2)
(3)不可能相等
(4)
【分析】根據向量加減法的幾何意義，利用平行四邊形、矩形、菱形的性質即可得出答案.
【詳解】（1）由向量加減法的幾何意義可知，，，
當時，，即平行四邊形的相鄰邊長相等，故平行四邊形為菱形，而菱形的對角線與互相垂直，所以與互相垂直，
故.
（2）當時，，即平行四邊形的對角線長相等，此時平行四邊形為矩形，所以，即時，.
（3）不可能相等，
因為平行四邊形的對角線方向不同，所以與的方向一定不同，故不可能是相等向量.
（4）當時，由（1）可知平行四邊形為菱形，而菱形的對角線會平分，即會平分與所夾的角，
故.
【方法技巧與總結】
(1)平行四邊形中有關向量的以下結論，在解題中可以直接使用：①對角線的平方和等于四邊的平方和，即＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形．
(2)一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形)及正六邊形等．
一、單選題
1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的三角形法則及向量加法的運算律即可求解.
【詳解】由，故B正確.
故選：B.
2．（23-24高一下·全國·課前預習）在四邊形ABCD中，，則（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形
【答案】D
【分析】運用同起點的向量加法的平行四邊形法則易得.
【詳解】對于同起點的向量的和一般通過作平行四邊形得到，由可知，由A，B，C，D構成的四邊形一定是平行四邊形.
故選：D.
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結合圖形，用、表示出、和即可.
【詳解】因為是的中點，所以.
故選：C
4．（2024高一下·全國·專題練習）如果一架飛機向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（ ）
A． B．
C． D．與不能比大小
【答案】A
【分析】根據向量的合成即可求解.
【詳解】路程是數量，位移是向量，從而，由位移的合成易得，故.
故選：A.
5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行四邊形法則即可求.
【詳解】以，為鄰邊作平行四邊形，可知為所作平行四邊形的對角線，
故由平行四邊形法則可知對應的向量即所求向量．
故選：B
6．（2024高一下·全國·專題練習）下列等式不正確的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
【答案】B
【分析】根據向量加法的運算律判斷即可.
【詳解】對于①，，正確；
對于②，，錯誤；
對于③，，正確.
故選：B
7．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加法的幾何意義求解即得.
【詳解】向量滿足，則，當且僅當同向時取等號；
，當且僅當反向時取等號，
所以的取值范圍是.
故選：B
二、多選題
8．（22-23高一下·河南新鄉·階段練習）化簡以下各式，結果為的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據向量的線性運算求解即可.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：ABD
9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）若平行四邊形的對角線與相交于點O，則下列結論正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】作出圖形，根據平行四邊形的性質和平面向量的線性運算即可求解.
【詳解】作出圖形，如圖所示：
因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項A錯誤；
因為四邊形為平行四邊形，所以為的中點，則，故選項B正確；
因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項C正確；
因為四邊形為平行四邊形，所以，故選項D正確；
故選：BCD.
10．（22-23高一下·湖南懷化·期中）下列各式中結果一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法運算，結合零向量的意義逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，，A是；
對于B，，不一定是零向量，B不是；
對于C，，C是；
對于D，，D是.
故選：ACD
11．（21-22高一·全國·課時練習）在平行四邊形中，下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】應用幾何圖形進行向量加減運算，結合向量的概念、三角形及平行四邊形法則，即可判斷各項正誤.
【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖，
因為，，所以，故A正確；
由向量平行四邊形法則可得，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為，故D正確.
故選：ABD.
12．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）給出下列四個結論，其中正確的結論是（ ）
A．若線段，則向量
B．若向量，則線段
C．若向量與共線，則線段
D．若向量與反向共線，則
【答案】AD
【分析】由線段AC=AB+BC，且點B在線段AC上，即可判斷A選項，根據已知條件，結合三角形的性質，即可判斷B選項，根據向量共線的性質，即可判斷C、D選項.
【詳解】對于A項，∵線段AC=AB+BC，
∴點B在線段AC上，
，故選項A正確；
對于B項，在△ABC中，，
但由三角形的性質可知，AC≠AB+BC，故選項B不成立；
對于C項，若向量與反向共線，則AC≠AB+BC，故選項C不成立；
對于D項，∵向量與反向共線，
故選項D正確.
故選：AD.
三、填空題
13．（2024高一下·全國·專題練習）已知、為非零向量，則下列命題中真命題的序號是 .
①若，則與方向相同；②若，則與方向相反；
③若，則與有相等的模；④若，則與方向相同．
【答案】①②④
【分析】利用平面向量的線性運算結合和向量、差向量模的關系可得出結論.
【詳解】對于①，若，則與方向相同，①對；
對于②③，若，則與方向相反，②對③錯；
對于④，若，則則與方向相同，④對.
故答案為：①②④.
14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知O為平行四邊形ABCD內一點，，，，則 .

【答案】
【分析】根據幾何圖形，利用相等向量轉化，結合向量的加減運算公式，即可求解.
【詳解】由已知，則.
故答案為：
15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，則 .
【答案】13
【分析】根據向量減法幾何意義，向量模的定義，結合勾股定理計算．
【詳解】由題意是直角三角形，，
故答案為：13.
16．（2023高三·全國·專題練習）若為非零向量，則不等式中等號成立的條件是 ；不等式中等號成立的條件是 ．
【答案】 向量方向相反 向量方向相同．
【分析】利用平面向量的三角不等式以及等號成立的條件可知，當同向時，有；當反向時，有.
【詳解】如果不共線，正好能構成三角形，
分別為此三角形的三條邊長，
又三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊，
所以可得；
若共線，則當它們同向時，有；
若共線，則當它們反向時，有；
綜上所述，不等式中等號成立的條件是向量方向相反；不等式中等號成立的條件是向量方向相同．
故答案為：向量方向相反，向量方向相同
四、解答題
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，試用向量表示向量.
【答案】
【分析】由平面向量的加法和減法運算求解即可.
【詳解】因為四邊形ACDE是平行四邊形，
所以，，
故.
18．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，，，，試求：.

【答案】2
【分析】利用相等向量轉化，再求，再求模.
【詳解】作，連結，則，

而，
所以，且，
所以.
19．（22-23高一下·湖北·階段練習）如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量的加法運算求解即可.
（2）根據平面向量的加法、減法運算求解即可.
【詳解】（1）由題知：．
（2）
．
20．（21-22高二·全國·課時練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據向量的加減法法則，直接可求得（1）（2）（3）的答案;
【詳解】（1）;
（2）;
（3）.
21．（21-22高一·湖南·課時練習）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．
【答案】；；；；
【分析】根據平面向量的線性運算結合圖形即可得出答案.
【詳解】解：由四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，
可得，
，
，
，
.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2 從位移的合成到向量的加減法6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律； 2.掌握向量加法運算法則，能熟練進行加法運算； 3.掌握數的加法與向量的加法的聯系與區別. 4.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義； 5.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算； 6.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.
知識點01向量的加法
定義 求兩個向量和的運算，稱為向量的加法
向量加法的三角形法則 前提 已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點A.
作法 作＝a，＝b，連接AC
結論 有向線段表示的向量即為a與b的和，記作a+b，即a＋b＝＝．
圖形
向量加法的平行四邊形法則 前提 已知兩個不共線的向量a，b，在平面內任取一點O.
作法 作＝a，＝b，以OA，OB為鄰邊作 OACB.
結論 以O為起點的向量就是向量a與b的和，即＝a+b．
圖形
規定 對于零向量與任一向量a，我們規定a＋0＝0＋a＝a
注：1.在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．
2．三角形法則與平行四邊形法則的適用條件
　　　 法則 適用條件　 三角形法則 平行四邊形法則
兩向量位置關系 兩向量共線或不共線均可 只適用于兩向量不共線的情況
兩向量起點、終點的特點 一個向量的終點為另一個向量的起點 兩向量起點相同
【即學即練1】如圖，已知向量，，求作向量．
知識點02　向量加法的運算律
1．交換律：a＋b＝b+a
2．結合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）
注：1.當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．
2．我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：
一質點從點A出發，方案①先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，方案②先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，則方案①②中質點A一定會到達同一終點．
3．多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如()＋()＝()＋()；＋＝[＋()]＋()．
【即學即練2】化簡：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.
【即學即練3】向量﹒化簡后等于（ ）
A. B.0 C. D.
【即學即練4】化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即學即練5】如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
知識點03 向量的減法
1．定義：向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．幾何意義：如圖，設＝a，＝b，故a－b＝，則a－b＝a＋(－b)＝＝＝，即a－b表示為從向量b的終點B指向被減向量a的終點A的向量．
【即學即練6】如圖，在各小題中，已知，分別求作．
【即學即練7】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【即學即練8】化簡－＋－得(　 　)
A．　　　　B． C．　　　　 D．0
題型一：向量加法法則的應用
例1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知下列各組向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
變式1．（22-23高一·全國·隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

變式2．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
變式3．（21-22高一下·全國·課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡；
(2)化簡；
(3)化簡；
(4)求向量的模.
【方法技巧與總結】
用三角形法則求向量和，關鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點，平行四邊形法則注意“共起點”，且兩種方法中，第一個向量的起點可任意選取，可在某一個向量上，也可在其它位置．兩向量共線時，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用．
題型二：向量的加法運算
例2．（22-23高一下·新疆·期末）化簡下列各式:
(1)
(2)
變式1．（21-22高一下·全國·課前預習）化簡
(1)；
(2) .
變式2．（2020高一·全國·專題練習）化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
變式3．（20-21高一下·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
變式4．（21-22高一·江蘇·課后作業）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，則＋＋＝ .
變式5．（2023高一·全國·課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
變式6．（2018高一下·全國·專題練習）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．

【方法技巧與總結】
向量加法運算律的應用原則及注意點
(1)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
(2)注意點：①三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉化，達到“首尾相連”的目的．
題型三：向量加法的實際應用
例3．（20-21高一·全國·課時練習）一質點從點出發，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．
變式1．（21-22高一·全國·課時練習）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應指向何處？實際航速為多少？
變式2．（21-22高一·全國·課前預習）一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達地，再由地沿正北方向飛行40 km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置.
變式3．（22-23高一·全國·課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【方法技巧與總結】
應用向量解決平面幾何問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題．
(2)運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關向量進行運算，解答向量問題．
(3)還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題．
題型四：向量的加減綜合運算
例4．（23-24高一·全國·假期作業）化簡
變式1．（21-22高一·全國·課前預習）化簡：
(1)；
(2).
變式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
變式3．（2023高一·全國·專題練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
變式4．（22-23高一·全國·課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【方法技巧與總結】
向量加、減法運算的基本方法
(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；
(2)運用減法公式＝(正用或逆用均可)；
(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題．
題型五：用已知向量表示未知向量
例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.
變式1．（20-21高一·全國·課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
變式2．（21-22高一·全國·課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，解答下列各題：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【方法技巧與總結】
解決這類問題時，要根據圖形的幾何性質，正確運用向量的加法、減法以及共線(相等)向量，要注意向量的方向及運算式中向量之間的關系．當運用三角形法則時，要注意兩個向量起點的位置，當兩個向量共起點時，可以考慮向量的減法．
常用結論：任意一個非零向量一定可以表示為兩個不共線向量的和(差)，即 ＝ ＋ 以及 ＝ －(M，N均是與在同一平面內的任意點)．
題型六：向量加減法的綜合應用
例6．（20-21高一·全國·課時練習）證明：當向量，不共線時，
(1)；
(2)．
變式1．（20-21高一下·上海·課時練習）試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.
變式2．（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）在中，已知，且， ，求，.
變式3．（23-24高一·全國·課時練習）若是所在平面內一點，且滿足，試判斷的形狀.
變式4．（23-24高一·全國·課時練習）如圖，質點A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個向量的大小和方向：
（1）；
（2）.
變式5．（23-24一年級·全國·課時練習）如圖，在平行四邊形中，設, , 則
(1)當,滿足什么條件時，與垂直
(2)當,滿足什么條件時，
(3)與可能是相等向量嗎
(4)當,滿足什么條件時，平分與所夾的角
【方法技巧與總結】
(1)平行四邊形中有關向量的以下結論，在解題中可以直接使用：①對角線的平方和等于四邊的平方和，即＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形．
(2)一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形(平行四邊形、矩形、菱形)及正六邊形等．
一、單選題
1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）向量 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·全國·課前預習）在四邊形ABCD中，，則（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形
3．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·全國·專題練習）如果一架飛機向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（ ）
A． B．
C． D．與不能比大小
5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·全國·專題練習）下列等式不正確的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
7．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（22-23高一下·河南新鄉·階段練習）化簡以下各式，結果為的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習）若平行四邊形的對角線與相交于點O，則下列結論正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·湖南懷化·期中）下列各式中結果一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（21-22高一·全國·課時練習）在平行四邊形中，下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）給出下列四個結論，其中正確的結論是（ ）
A．若線段，則向量
B．若向量，則線段
C．若向量與共線，則線段
D．若向量與反向共線，則
三、填空題
13．（2024高一下·全國·專題練習）已知、為非零向量，則下列命題中真命題的序號是 .
①若，則與方向相同；②若，則與方向相反；
③若，則與有相等的模；④若，則與方向相同．
14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知O為平行四邊形ABCD內一點，，，，則 .

15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，則 .
16．（2023高三·全國·專題練習）若為非零向量，則不等式中等號成立的條件是 ；不等式中等號成立的條件是 ．
四、解答題
17．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，試用向量表示向量.
18．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，，，，試求：.

19．（22-23高一下·湖北·階段練習）如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
20．（21-22高二·全國·課時練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
21．（21-22高一·湖南·課時練習）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．
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