資源簡介

2.3 從速度的倍數到向量的數乘6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及其運算規則，理解其幾何意義． (2)了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． (3)掌握向量共線定理及其證明過程，會根據向量共線定理判斷兩個向量是否共線． 1.理解數乘向量的概念及其幾何意義； 2.掌握數乘向量的運算律，能進行簡單運算. 3.掌握共線向量基本定理，并會簡單應用； 4.掌握直線的向量表示.
知識點01 數乘運算的定義
1．定義：實數λ與向量a的乘積是一個向量，記作λa，滿足以下條件：
(1)當λ>0時，向量λa與向量a的方向相同；
當λ<0時，向量λa與向量a的方向相反；
當λ＝0時，0a＝0．
(2)|λa|＝|λ||a|，這種運算稱為向量的數乘．
2．λa幾何意義：
當λ>0時，表示向量a的有向線段在原方向伸長或縮短為原來的|λ|倍．
當λ<0時，表示向量a的有向線段在反方向伸長或縮短為原來的|λ|倍．
3．非零向量a的單位向量：±．
【即學即練1】下列算式中，正確的個數為（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
【即學即練2】已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（ ）
①；②；
③若，則；④若，則．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
【即學即練3】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實數），則λ必為零；③λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線.其中錯誤的命題的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即學即練4】下列說法中，正確的是（ ）
A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λ
C．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||
知識點02　數乘運算的運算律
向量的數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么
(1)結合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
注：(1)對于非零向量，當λ＝時，λ表示方向上的單位向量．
(2)向量的數乘運算類似于代數多項式的運算．主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”及“公因式”指的是向量，實數指的是向量的系數．
【即學即練5】計算：（1）；（2）；（3）．
【即學即練6】下列運算正確的個數是（ ）
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
知識點03 共線(平行)向量基本定理
給定一個非零向量b，則對于任意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個實數λ，使a＝λb．
注：向量共線定理的理解注意點及主要應用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，則實數λ可以是任意實數；若＝，≠，則不存在實數λ，使得＝λ.
(2)這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使t＋s＝，則與共線；若兩個非零向量與不共線，且t＋s＝，則必有t＝s＝0.
【即學即練7】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【即學即練8】設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
知識點04 直線的向量表示
通?？梢杂茫絫表示過點A，B的直線l，其中稱為直線l的方向向量．
題型一：向量數乘的定義
例1．（2024高一上·遼寧錦州·期末）“實數”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件
變式1．（2024高一下·全國·課后作業）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
變式2．（2024高二下·北京·學業考試）已知平面內的兩個非零向量，滿足，則與（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
變式3．（2024高三·新疆·學業考試）已知，與的方向相反，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：向量的線性運算
例2．（2024高一·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)．
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）等于（　?。?br/>A． B． C． D．
變式2．（2024高一下·全國·課時練習）下列運算正確的個數是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
變式3．（2024高一下·重慶·階段練習）如圖，在正六邊形ABCDEF中， ．
變式4．（2024高一·全國·專題練習）若，則 ．
變式5．（2024高三上·北京朝陽·期中）已知平面內四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
變式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面內一點滿足，則的面積是的面積的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【方法技巧與總結】
向量線性運算的基本方法
(1)向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
(2)向量也可以通過列方程組來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．
題型三：用已知向量表示相關向量
例3．（2024高三上·福建龍巖·期中）在中，為的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點是的中點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024高一下·全國·單元測試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點，若，，試用表示.

變式3．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則 .
變式4．（2024高三上·湖南邵陽·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則 ．
【方法技巧與總結】
用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．
題型四：向量共線的判定
例4．（2024高一下·全國·專題練習）判斷下列各小題的向量與是否共線.
(1)；
(2)；
(3).
變式1．（2024高一·全國·課時練習）已知，是兩個共線的非零向量，且，，則向量與（ ）
A．共線 B．不共線 C．相等 D．不能確定
變式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，則“存在實數，使得”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）已知為兩個不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
向量共線的判定一般是用其判定定理，即是一個非零向量，若存在唯一一個實數λ，使得＝λ，則向量與非零向量共線．解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，由此判斷共線．
題型五：證明三點共線
例5．（2024高一下·四川資陽·期中）已知，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線
C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線
變式1．（2024高一下·廣東云浮·階段練習）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
變式2．（2024高三上·陜西銅川·期末）在中，若，則點（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上D．為的外心
變式3．（2024高一·全國·課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
變式4．（2024高一·全國·隨堂練習）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.

求證：M，N，C三點共線.
變式5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，為中點，為上靠近點的三等分點，求證：三點共線．
變式6．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【方法技巧與總結】
三點共線的證明問題及求解思路
1．證明三點共線，通常轉化為證明由這三點構成的兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據．
2．若A，B，C三點共線，則向量在同一直線上，因此必定存在實數，使得其中兩個向量之間存在線性關系，而向量共線定理是實現線性關系的依據．
題型六：由三點共線求參數的值
例6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知平面向量與不共線，向量，若，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
變式1．（2024高三上·湖北襄陽·期末）已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．2
變式2．（2024高一下·山東濱州·開學考試）已知和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024高三·全國·專題練習）已知向量不共線，且，，若與反向共線，則實數的值為（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
變式4．（2024高三上·北京順義·期中）在中，，是直線上的一點，若則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）設是不共線的兩個非零向量．
(1)若，求證：三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值．
【方法技巧與總結】
利用向量共線求參數，一種類型是利用向量加法、減法及數乘運算表示出相關向量，從而求得參數，另一種類型是利用三點共線建立方程求解參數．
一、單選題
1．（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·寧夏石嘴山·期末）設向量，不平行，向量與平行，則實數（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024高一上·遼寧·期末）已知與為非零向量，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·上海閔行·階段練習）已知,是平面內兩個非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2024高三上·浙江紹興·期末）設，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
7．（2024高一下·山東濱州·開學考試）若在三角形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·浙江臺州·階段練習）（多選）下列結論中正確的有 （ ）
A．對于實數m和向量，，恒有
B．對于實數m，n和向量，恒有
C．對于實數m和向量，，若，則
D．對于實數m，n和向量，若，則
11．（2024高一上·遼寧丹東·期末）在中，D在邊上，，是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一下·山東泰安·開學考試）下列各組向量中，一定能推出的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
三、填空題
13．（2024高一下·廣東惠州·開學考試）化簡： .
14．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是 .
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
16．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知點為所在平面內一點，若，則點的軌跡必通過的 .（填：內心，外心，垂心，重心）
四、解答題
17．（2024高一·全國·隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
18．（2024高一下·全國·專題練習）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．
19．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知非零向量，不共線．
(1)如果，，，求證：，，三點共線；
(2)欲使和共線，試確定實數的值．
20．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，若，，過點的直線交直線分別于兩點，且，探究之間的關系.

21．（2024高一上·北京延慶·期末）如圖，在中，，D為中點，E為上一點，且，的延長線與的交點為F.
(1)用向量與表示 和
(2)用向量與表示
(3)求出 的值
22．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.3 從速度的倍數到向量的數乘6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及其運算規則，理解其幾何意義． (2)了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． (3)掌握向量共線定理及其證明過程，會根據向量共線定理判斷兩個向量是否共線． 1.理解數乘向量的概念及其幾何意義； 2.掌握數乘向量的運算律，能進行簡單運算. 3.掌握共線向量基本定理，并會簡單應用； 4.掌握直線的向量表示.
知識點01 數乘運算的定義
1．定義：實數λ與向量a的乘積是一個向量，記作λa，滿足以下條件：
(1)當λ>0時，向量λa與向量a的方向相同；
當λ<0時，向量λa與向量a的方向相反；
當λ＝0時，0a＝0．
(2)|λa|＝|λ||a|，這種運算稱為向量的數乘．
2．λa幾何意義：
當λ>0時，表示向量a的有向線段在原方向伸長或縮短為原來的|λ|倍．
當λ<0時，表示向量a的有向線段在反方向伸長或縮短為原來的|λ|倍．
3．非零向量a的單位向量：±．
【即學即練1】下列算式中，正確的個數為（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
【解析】對于①，，①正確；
對于②，，②正確；
對于③，，③錯誤.
故選：C.
【即學即練2】已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（ ）
①；②；
③若，則；④若，則．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
【解析】對于①：根據數乘向量的法則可得：，故①正確；
對于②：根據數乘向量的法則可得：，故②正確；
對于③：由可得，當m＝0時也成立，所以不能推出，故③錯誤；
對于④：由可得，當，命題也成立，所以不能推出m＝n. 故④錯誤；
故選：B
【即學即練3】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實數），則λ必為零；③λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線.其中錯誤的命題的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.
②錯誤，當＝0時，不論λ為何值，λ＝0.
③錯誤，當λ＝μ＝0時，λ＝μ＝，此時，與可以是任意向量.
故錯誤的命題有3個.
故選；D
【即學即練4】下列說法中，正確的是（ ）
A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λ
C．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||
【解析】A. 當時，結論不成立；
B. 當時，結論不成立；
C. 當||＝2||，與2不一定共線；
D. 因為＝±2，所以||＝2||，故正確；
故選：D
知識點02　數乘運算的運算律
向量的數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么
(1)結合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
注：(1)對于非零向量，當λ＝時，λ表示方向上的單位向量．
(2)向量的數乘運算類似于代數多項式的運算．主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”及“公因式”指的是向量，實數指的是向量的系數．
【即學即練5】計算：（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【即學即練6】下列運算正確的個數是（ ）
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①，由數乘運算知正確；
②，由向量的運算律知正確；
③，向量的加法，減法和數乘運算結果是向量，故錯誤.
故選：C
知識點03 共線(平行)向量基本定理
給定一個非零向量b，則對于任意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個實數λ，使a＝λb．
注：向量共線定理的理解注意點及主要應用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，則實數λ可以是任意實數；若＝，≠，則不存在實數λ，使得＝λ.
(2)這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使t＋s＝，則與共線；若兩個非零向量與不共線，且t＋s＝，則必有t＝s＝0.
【即學即練7】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】對于①，，，故兩向量共線；
對于②，，，故兩向量共線；
對于③，，
假設存在
，因為，是不共線向量，
故得到無解.
故選：A.
【即學即練8】設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
【解析】(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共線，又它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線．
(2)∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個不共線的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
知識點04 直線的向量表示
通常可以用＝t表示過點A，B的直線l，其中稱為直線l的方向向量．
題型一：向量數乘的定義
例1．（2024高一上·遼寧錦州·期末）“實數”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據“”與“”的互相推出情況判斷出結果.
【詳解】當時，顯然成立，
當時，此時不一定成立，例如時可取任意實數，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
變式1．（2024高一下·全國·課后作業）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及數乘運算一一判定即可.
【詳解】對于A，當時，與的方向相同，當時，與的方向相反，故A不正確；對于B，顯然，即B正確；
對于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關系不確定，故C不正確；
對于D，是向量，而表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
變式2．（2024高二下·北京·學業考試）已知平面內的兩個非零向量，滿足，則與（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
【答案】D
【分析】根據向量的共線及模的關系確定選項即可.
【詳解】因為兩個非零向量，滿足，
所以為共線反向向量，且模不相等，
所以ABC錯誤，D正確.
故選：D
變式3．（2024高三·新疆·學業考試）已知，與的方向相反，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】確定方向和大小關系即可得答案.
【詳解】由，得，
又與的方向相反，所以.
故選：C.
題型二：向量的線性運算
例2．（2024高一·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）應用向量的運算律化簡即可.
【詳解】（1）原式．
（2）原式.
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的運算法則，準確運算，即可求解.
【詳解】根據向量的運算法則，可得.
故選：B.
變式2．（2024高一下·全國·課時練習）下列運算正確的個數是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運算逐個選項分析求解即可.
【詳解】根據向量數乘運算和加減運算規律知①②正確；
在③中，，顯然該運算錯誤.
所以運算正確的個數為2.
故選：C
變式3．（2024高一下·重慶·階段練習）如圖，在正六邊形ABCDEF中， ．
【答案】
【分析】根據正六邊形的性質與平面向量運算即可得答案.
【詳解】由題意，根據正六邊形的性質
.
故答案為：
變式4．（2024高一·全國·專題練習）若，則 ．
【答案】
【分析】根據向量的線性運算求得結果.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
故答案為：.
變式5．（2024高三上·北京朝陽·期中）已知平面內四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】將條件變形，得到的關系，進而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
變式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面內一點滿足，則的面積是的面積的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【答案】A
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可．
【詳解】設的中點為，因為，
所以，所以，
所以點是線段的五等分點，
所以,
所以的面積是的面積的5倍．
故選：A.
【方法技巧與總結】
向量線性運算的基本方法
(1)向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
(2)向量也可以通過列方程組來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．
題型三：用已知向量表示相關向量
例3．（2024高三上·福建龍巖·期中）在中，為的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】
.
故選：A.
變式1．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點是的中點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據平面向量線性運算的幾何意義，結合平面向量基本定理進行求解即可.
【詳解】因為即，點為的中點，
所以，
所以.
故選：D.
變式2．（2024高一下·全國·單元測試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點，若，，試用表示.

【答案】.
【分析】連接，則四邊形是平行四邊形，再根據平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】解析：如圖所示，連接，則四邊形是平行四邊形.

則，
,
.
變式3．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則 .
【答案】1
【分析】利用向量線性運算求得，與題干對照即可求解.
【詳解】，則，，
所以.
故答案為：1
變式4．（2024高三上·湖南邵陽·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】
，
所以，，.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．
題型四：向量共線的判定
例4．（2024高一下·全國·專題練習）判斷下列各小題的向量與是否共線.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)共線
(2)共線
(3)不共線
【分析】根據題意，結合向量的共線定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，可得，所以向量與共線.
（2）解：由向量，可得，所以向量與共線.
（3）解：由向量，
設，即，可得，此時方程組無解，
所以向量與不共線.
變式1．（2024高一·全國·課時練習）已知，是兩個共線的非零向量，且，，則向量與（ ）
A．共線 B．不共線 C．相等 D．不能確定
【答案】A
【分析】根據共線向量定理判斷可得答案.
【詳解】因為，是兩個共線的非零向量，所以存在實數，使得，
則，，
所以與共線，與共線，又，
所以與共線，故A正確，BD錯誤.
當，即時，，
當，即時，，
故C錯誤.
故選：A
變式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，則“存在實數，使得”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據充分性必要性的定義，結合向量共線的結論進行判斷.
【詳解】因為分別表示與方向相同的單位向量，所以由可知，方向相同；
“存在實數，使得”即共線，包含方向相同或方向相反兩種情況．
所以，“存在實數，使得”不能推出是“”；
“” 可以推出“存在實數，使得”，
所以“存在實數，使得”是“”的必要不充分條件．
故選：B.
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）已知為兩個不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量線性運算表示，然后利用共線向量基本定理求解即可.
【詳解】因為向量，，所以．
又，所以與共線．
故選：B．
【方法技巧與總結】
向量共線的判定一般是用其判定定理，即是一個非零向量，若存在唯一一個實數λ，使得＝λ，則向量與非零向量共線．解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，由此判斷共線．
題型五：證明三點共線
例5．（2024高一下·四川資陽·期中）已知，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線
C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線
【答案】A
【分析】利用向量共線定理即可判斷各選項.
【詳解】對于A，，
又，所以，則與共線，
又與有公共點B，所以A、B、D三點共線，A正確；
對于B，令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即A，B，C三點不共線，B錯誤；
對于C，令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即B，C，D三點不共線，C錯誤；
對于D，，
令，即，所以，不存在，
所以與不共線，即A，C，D三點不共線，D錯誤.
故選：A．
變式1．（2024高一下·廣東云浮·階段練習）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共線定理一一判斷即可.
【詳解】對A，,
所以，則三點共線，A正確；
對B，,
則不存在任何，使得，所以不共線,B錯誤；
對C，,
則不存在任何，使得，所以不共線，C錯誤；
對D，,
則不存在任何，使得，所以不共線，D錯誤；
故選:A.
變式2．（2024高三上·陜西銅川·期末）在中，若，則點（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上D．為的外心
【答案】A
【分析】根據向量的減法法則將已知條件化簡，再利用向量共線定理可得結論.
【詳解】因為，
所以，
所以和共線，
因為和有公共端點，
所以三點共線，
所以點在直線上，
故選：A
變式3．（2024高一·全國·課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】分別用，表示和，根據和的關系即可證明.
【詳解】證明:因為，
，
所以，
因此，A，B，C三點共線．
變式4．（2024高一·全國·隨堂練習）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.

求證：M，N，C三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】利用向量證明三點共線.
【詳解】設，
則
所以，
又因為有公共起點C，所以M，N，C三點共線.
變式5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，為中點，為上靠近點的三等分點，求證：三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】根據三點共線要求，證明即可.
【詳解】∵，
∴．
∵是上靠近點的三等分點，
∴．
∵在平行四邊形中，，
∴．①
∵為的中點，∴．②
由①②可得．
由向量共線定理知．又∵與有公共點，
∴三點共線．
變式6．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

【方法技巧與總結】
三點共線的證明問題及求解思路
1．證明三點共線，通常轉化為證明由這三點構成的兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據．
2．若A，B，C三點共線，則向量在同一直線上，因此必定存在實數，使得其中兩個向量之間存在線性關系，而向量共線定理是實現線性關系的依據．
題型六：由三點共線求參數的值
例6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知平面向量與不共線，向量，若，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】根據平面共線定理，由向量平行，求得滿足滿足的方程，求解即可.
【詳解】由，且均不為零向量，則，
可得，則，
整理得，解得或．
故選：C．
變式1．（2024高三上·湖北襄陽·期末）已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用平面向量基本定理求解即得.
【詳解】向量不共線，則，由共線，得，，
于是，則且，解得，
所以實數的值為.
故選：C
變式2．（2024高一下·山東濱州·開學考試）已知和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三點共線可得，列出方程組即可得解.
【詳解】因為，
且，，三點共線，
所以存在實數，使得，即，
則，解得.
故選：B
變式3．（2024高三·全國·專題練習）已知向量不共線，且，，若與反向共線，則實數的值為（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【分析】因為與反向共線，所以，建立等量關系，求解即可.
【詳解】因為與反向共線，所以，
即，因為向量不共線，
所以，解得：或，因為且，所以.
故選：B
變式4．（2024高三上·北京順義·期中）在中，，是直線上的一點，若則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依題意可得，根據平面向量共線定理的推論及平面向量基本定理計算可得.
【詳解】因為，所以，
又是直線上的一點，所以，
又，
所以，所以.
故選：B
變式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）設是不共線的兩個非零向量．
(1)若，求證：三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質求出參數即可.
【詳解】（1）由，
得,
,
所以，且有公共點B，
所以三點共線.
（2）由與共線，
則存在實數，使得，
即，又是不共線的兩個非零向量，
因此，解得，或，
實數k的值是
【方法技巧與總結】
利用向量共線求參數，一種類型是利用向量加法、減法及數乘運算表示出相關向量，從而求得參數，另一種類型是利用三點共線建立方程求解參數．
一、單選題
1．（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接由向量的線性運算即可求解.
【詳解】由題意.
故選：D.
2．（2024高二下·寧夏石嘴山·期末）設向量，不平行，向量與平行，則實數（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用向量共線列式計算即得.
【詳解】由向量與平行，得，而向量不平行，
于是，所以.
故選：A
3．（2024高一上·遼寧·期末）已知與為非零向量，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據三點共線可得向量共線，由此結合向量的相等列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知，三點共線，故,
且共線，
故不妨設，則，
所以，解得，
故選：D
4．（2024高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定，得到，根據計算得到答案.
【詳解】，故，則，
又是上一點，所以，解得.
故選：A.
5．（2024高三下·上海閔行·階段練習）已知,是平面內兩個非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據向量的模長關系以及共線，即可結合必要不充分條件進行判斷.
【詳解】若∥，則則存在唯一的實數μ≠0，使得
故 ，
而 ，
存在λ 使得成立，
所以“∥”是“存在，使得 ”的充分條件，
若且 ，則與方向相同,故此時∥，
所以“∥”是“存在， 使得 的必要條件，
故∥”是“存在，使得| 的充分必要條件，
故選: C
6．（2024高三上·浙江紹興·期末）設，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】A中，舉例說明選項A錯誤；B中，當時，，但與不一定平行，可判斷選項B錯誤；C中，兩邊平方得出，可判斷與共線，從而判斷C正確；D中，兩邊平方得出，不能得出,可判斷D錯誤.
【詳解】對于A，當，時，滿足，但，選項A錯誤；
對于B，當時，，則與不一定平行，選項B錯誤；
對于C，由，
則，即，
所以，所以與同向，即，選項C正確；
對于D，若，則，所以，不能得出，選項D錯誤．
故選：C
7．（2024高一下·山東濱州·開學考試）若在三角形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據圖形，由向量的線性運算及減法運算求解即可.
【詳解】如圖，
因為，，
所以，
所以，
故選：A
8．（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量共線的性質分別設，，結合條件依次表示出，，對應解出，即可求解.
【詳解】設，，
則，
而與不共線，∴，解得，∴.
故選：A.
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用三角形相似得出點E的位置，由平面向量的加法法則逐一判斷選項即可.
【詳解】
由，可得，又，N是線段OD的中點，
∴，∴，∴D錯誤；
∵，∴C正確；
∵，
∴A正確，B錯誤．
故選：AC．
10．（2024高一下·浙江臺州·階段練習）（多選）下列結論中正確的有 （ ）
A．對于實數m和向量，，恒有
B．對于實數m，n和向量，恒有
C．對于實數m和向量，，若，則
D．對于實數m，n和向量，若，則
【答案】AB
【分析】根據平面向量的數乘運算一一判定選項即可.
【詳解】由數乘向量運算律，得A，B均正確；
對于C，若m＝0，則，未必一定有，錯誤；
對于D，若，由，未必一定有，錯誤．
故選：AB．
11．（2024高一上·遼寧丹東·期末）在中，D在邊上，，是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據平面向量的線性運算可得答案.
【詳解】對于選項A: 由向量得減法法則可知，故A錯誤;
對于選項B：,故B正確;
對于選項C：,
而，所以，
故C正確;
對于選項D：,故D正確.
故選：BCD.
12．（2024高一下·山東泰安·開學考試）下列各組向量中，一定能推出的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【分析】根據共線向量定理，即可判斷選項.
【詳解】A.，即，故A正確；
B. ，即，故B正確；
C. ，，則，故C正確；
D. ，，只有當或，此時，否則，所以向量不平行，故D錯誤.
故選：ABC
三、填空題
13．（2024高一下·廣東惠州·開學考試）化簡： .
【答案】
【分析】利用向量的線性運算即可得解.
【詳解】
.
故答案為：.
14．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是 .
【答案】，，
【分析】
利用共線向量的充要條件化簡求解即可.
【詳解】
因為，
所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.
故答案為：，，
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
【答案】
【分析】設，則，可得出關于實數、的等式，即可解得實數的值.
【詳解】因為、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，
設，則，則，
所以，，解得.
故答案為：.
16．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知點為所在平面內一點，若，則點的軌跡必通過的 .（填：內心，外心，垂心，重心）
【答案】外心
【分析】為的中點，由，得，則點的軌跡必通過的外心.
【詳解】點為所在平面內一點，若，
設為的中點，，
則有，所以，
所以動點在線段的中垂線上，則點的軌跡必通過的外心.
故答案為：外心
四、解答題
17．（2024高一·全國·隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
【答案】(1)共線；
(2)共線；
(3)共線.
【分析】用向量共線定理判斷.
【詳解】（1），，所以，
所以，共線.
（2），,
所以，所以，共線.
（3）因為，，
所以，
所以.
所以，共線.
18．（2024高一下·全國·專題練習）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．
【答案】，
【分析】根據，，列方程組求解.
【詳解】解：由方程組，
解得，.
19．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知非零向量，不共線．
(1)如果，，，求證：，，三點共線；
(2)欲使和共線，試確定實數的值．
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）根據平面向量基本定理用，分別表示出，，有，且都過點，進而可證，，三點共線；
（2）根據已知條件有，求得，解出即可.
【詳解】（1）證明：因為，，
所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.
（2）因為與共線，所以存在實數，使，
則，又由于向量，不共線，只能有，
解得：
20．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，若，，過點的直線交直線分別于兩點，且，探究之間的關系.

【答案】
【分析】根據平面向量的運算可得，又有三點共線知，，根據平面向量的基本定理可得，消去即可求解.
【詳解】一方面，,
故.
另一方面，由三點共線知，.
所以，可變為.
消去，得，即.
21．（2024高一上·北京延慶·期末）如圖，在中，，D為中點，E為上一點，且，的延長線與的交點為F.
(1)用向量與表示 和
(2)用向量與表示
(3)求出 的值
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）（2）由向量的線性運算法則求解；
（3）設，求得，再利用向量共線可得結論．
【詳解】（1）是中點，
，
；
（2），則，
；
（3）設，則，，
又向量共線，而不共線，
所以，解得．
22．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意根據向量的線性運算法則得到，，再根據三點共線，求得即可求解.
（2）根據題意得到，，結合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為是線段的中點，所以，
又因為，設，則有，
因為三點共線，所以，解得，即，
所以．
（2）因為， ，
由（1）可知，，所以，
因為三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為．
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