資源簡介

2.1從位移、速度、力到向量4種常見考法歸類
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
(1)通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義． (2)理解平面向量的幾何表示和基本要素． 1.通過對位移、速度、力的分析，了解平面向量的實際背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的幾何表示. 3.理解零向量和單位向量的概念. 4.理解平行向量、共線向量、相等向量的概念； 5. 能夠能夠掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.
知識點01 向量的相關(guān)概念
向量的概念 在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量．
有向線段 具有方向和長度的線段稱為有向線段．以A為起點，B為終點的有向線段記作 ，線段AB的長度稱為有向線段的長度，記作．
向量的模 向量a的大小，記作|a|，又稱作向量的模．
零向量 長度為0的向量稱為零向量，記作0.
單位向量 模等于1個單位長度的向量，稱為單位向量．
共線向量 兩個非零向量a，b的方向相同或相反稱這兩個向量為共線向量或平行向量，記作a∥b 規(guī)定：零向量與任一向量共線．
相等向量 長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．
相反向量 若兩個向量的長度相等、方向相反，則稱它們互為相反向量．
注：共線向量與平行向量
(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別．
(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．
(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．
【即學(xué)即練1】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列結(jié)論是否正確.
（1）若與都是單位向量，則；( )
（2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量；( )
（3）直角坐標(biāo)平面上的軸，軸都是向量；( )
（4）若與是平行向量，則；( )
（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合；( )
（6）海拔、溫度、角度都不是向量. ( )
（7）任何兩個向量均不可以比較大小.( )
【答案】 錯誤 正確 錯誤 錯誤 正確 正確 正確
【分析】依據(jù)向量定義及表示、相等向量及共線向量定義可判斷結(jié)果.
【詳解】若與都是單位向量，而單位向量方向不一定相同，故不能得到，故（1）錯誤
方向為南偏西的向量與北偏東的向量是方向相反的向量，因而是共線向量，故（2）正確；
（3）軸與軸有方向但是沒有長度，因而軸與軸都不是向量，故（3）錯誤；
（4）若與是平行向量，則與方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必須長度相等，
方向相同，故不能得到，故（4）錯誤；
（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則終點一定不相同，即點M與N不重合，故（5）正確；
（6）海拔，溫度，角度都是數(shù)量，只有大小沒有方向，不是向量，故（6）正確；
（7）向量有方向和長度兩個要素，所以向量不能比較大小，故（7）正確；
故答案為：（1）錯誤，（2）正確，（3）錯誤，（4）錯誤，（5）正確，（6）正確，（7）正確.
【即學(xué)即練2】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個正實數(shù)
B．若與不共線，則與都是非零向量
C．共線的單位向量必相等
D．兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同
【答案】B
【分析】利用平面向量的相關(guān)概念逐項分析判斷即得.
【詳解】向量的模是一個非負(fù)實數(shù)，如零向量的模是0，A錯誤；
零向量與任意向量共線，若與不共線，則與都是非零向量， B正確；
共線的單位向量方向可能相同，也可能相反，C錯誤；
兩個向量相等的條件是長度相等、方向相同，與起點無關(guān)，D錯誤．
故選：B
【即學(xué)即練3】（2024下·江蘇宿遷·高一校考開學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．
【答案】①③⑤
【分析】根據(jù)向量的定義及知識即可逐項判斷求解.
【詳解】對①：由定義知①正確；
對②：由于兩個零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個具體方向，故②不正確；
對③：根據(jù)定義可知單位向量的長度都為1，故③正確；
對④：單位向量方向可以不同，故④錯誤；
對⑤：任意向量與零向量都共線，故⑤正確；
故答案為：①③⑤.
【即學(xué)即練4】【多選】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）已知非零向量、，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BD
【分析】利用向量、共線向量、相等向量等概念逐項判斷.
【詳解】對于A，向量是具有方向的量，
若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯誤；
對于B，若，則一定有，故B正確；
對于C，若，則只能說明非零向量、共線，
當(dāng)、大小不同或方向相反時，都有，故C錯誤；
對于D，若，則、共線且方向相同，所以，故D正確．
故選：BD．
【即學(xué)即練5】（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）設(shè)點是正方形的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．與共線
【答案】B
【分析】畫出圖形，結(jié)合相等向量與共線向量的定義判斷即可.
【詳解】如圖，

因為，方向相同，長度相等，故，故A正確；
因為，方向不同，故，故B錯誤；
因為，，三點共線，所以，故C正確；
因為，所以與共線，故D正確.
故選：B
知識點02 向量的表示
1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑體a，書寫用.
注：1.理解向量概念應(yīng)關(guān)注三點
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
(2)判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個因素．
(3)向量與向量之間不能比較大小．
2．相等向量的理解
任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定．
3．向量與有向線段的關(guān)系
如果有向線段表示一個向量，通常我們就說向量，但有向線段只是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．
4．向量與數(shù)量的區(qū)別
(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個代數(shù)量，沒有方向；
(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小．即使有||>||也不能說>，特殊地，若向量與是相等向量，記作＝；
(3)0與0不同，雖然|0|＝0，但0是向量，而0是數(shù)量．
【即學(xué)即練6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學(xué)校考階段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【分析】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，
（3）根據(jù)向量的模的定義求.
【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
【即學(xué)即練7】（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．
(1)，點A在點O北偏西45°方向；
(2)，點B在點O正南方向．
【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.
【分析】(1)根據(jù)描述找出終點A即可；
(2)根據(jù)描述找出終點B即可.
【詳解】(1)∵，點A在點O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：
(2)∵，點B在點O正南方向，∴以O(shè)為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：
知識點03　向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，在平面內(nèi)選一點O，作＝a，＝b，(如圖)．
則θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)稱為向量a與b的夾角．
當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；
當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；
當(dāng)θ＝90°時，a與b垂直，記作a⊥b．
規(guī)定：零向量可與任一向量垂直．
注：兩向量夾角概念的正確理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以與任一向量平行，零向量也可以與任一向量垂直．
(2)按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量與向量的夾角，∠BAD才是向量與向量的夾角．
【即學(xué)即練8】（2024下·高一課時練習(xí)）向量與的夾角的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩向量的夾角的定義，即可得到答案.
【詳解】根據(jù)兩向量的夾角的定義，可得向量與向量的夾角的范圍是，即.
故選：D.
【即學(xué)即練9】（2024·高一課時練習(xí)）若非零向量，互相垂直，則它們的夾角為．( )
【答案】正確
【分析】根據(jù)向量夾角的定義判斷即可.
【詳解】解：若非零向量，互相垂直，則它們的夾角為，故正確；
故答案為：正確
【即學(xué)即練10】（2024下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量夾角的定義可得結(jié)果.
【詳解】解：延長到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．

故選：C．
題型一：向量的相關(guān)概念
例1.（2024下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）下列各量中，向量有： ．（填寫序號）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.
【詳解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.
故答案為：③⑤⑥.
例2．（2024上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)校考開學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【答案】A
【分析】AB選項，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.
【詳解】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C選項，因為與都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時才成立，故C正確；
D選項，由向量相等的定義知D正確.
故選：A
變式1．（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）給出下列六個命題：
①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；
②若，則；
③在四邊形中，若，則四邊形是平行四邊形；
④平行四邊形中，一定有；
⑤若，，則；
⑥若，，則
其中不正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的概念可依次判斷各個選項.
【詳解】解：①兩個向量相等是指大小相等，方向相同，則它們的起點和終點不一定相同，故錯誤；
②若，方向不同，則 不一定成立；
③在四邊形中，若，則且，所以四邊形是平行四邊形，正確；
④平行四邊形中，一定有，正確；
⑤若，，則，正確；
⑥， ，則，取時，與不一定共線，錯誤．
其中不正確的命題的個數(shù)為3.
故選：B.
變式2．（2024上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個數(shù)是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）由向量的幾何表示判斷；（2）（3）（4）根據(jù)對零向量的規(guī)定判斷.
【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯誤；
（2）根據(jù)對零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯誤；
（3）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；
（4）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．
故選：B
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對各個項逐個判斷即可求解．
【詳解】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，
對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，
對于（3），零向量的模可能為0，不一點是正數(shù)，故（3）錯誤，
對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，
故選：A．
33．（2024下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)概念，逐項判斷，即可得到本題答案.
【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.
故選：A
【方法技巧與總結(jié)】
與向量相關(guān)的概念比較多，為了不致混淆，應(yīng)牢記各概念的內(nèi)涵與外延，緊緊抓住各概念的本質(zhì)．向量的核心為方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．
題型二：向量的幾何表示
例3．（2024·高一課時練習(xí)）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案見解析.
【分析】根據(jù)方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【詳解】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標(biāo)系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，
為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向為東南方向．
變式1．（2024下·高一課時練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
【答案】（1）作圖見解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)以為正東方向，過A垂直于向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.
（2）由題設(shè)知，易知為平行四邊形，即可求.
【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量即為所求．
（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，
∴在中，，故為平行四邊形，
∴，則（海里）．
變式2．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；
（2），使＝4，點B在點A正東；
（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【解析】（1）由點A在點O北偏東45°處和||＝，可得出點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量；
（2）由點B在點A正東方向處，且＝4，得出在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量；
（3）由點C在點B北偏東30°處，且＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，作出向量．
【詳解】（1）由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
（2）由于點B在點A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
（3）由于點C在點B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．
【點睛】本題考查方位角和向量的幾何表示，關(guān)鍵在于明確方位角的含義和向量的模，得出向量在橫向和縱向的小方格的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.
（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作圖見解析（2）
【分析】（1）根據(jù)題意直接畫圖即可；
（2）根據(jù)（1）的作圖，可以通過平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理得到向量的模.
【詳解】解：（1）如圖，即為所求.
（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，
∴.
【點睛】本題考查了在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，屬于基礎(chǔ)題.
【方法技巧與總結(jié)】
用有向線段表示向量的步驟
題型三：相等向量、共線向量
例4．（2024·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.
【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.
（2）由于與長度相等且方向相同，所以.
（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.
變式1．（2024下·高一校考課時練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個
(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個
【答案】(1)11
(2)4
【分析】（1）根據(jù)平面向量的概念即可得出結(jié)論；
（2）由共線向量的概念即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因為ABCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點的距離相等，且均等于正六邊形的邊長.
因此題圖中所示的向量中與 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11個.
（2）由題知，圖中所示的向量中與 共線的向量有，、、，共4個.
變式2．（2024下·高一校考課時練習(xí)）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個單位正方形(邊長為1個單位長度).在以圖中各點為端點的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些 與平行且是單位向量的有哪些

【答案】答案見解析
【分析】結(jié)合圖形，由平行向量的定義及單位向量的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)平行向量的定義，由圖可知，
與平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，
其中的單位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， .
變式3．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
【答案】(1)有9個
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，
所以，
所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因為為平行四邊形，所以且，
所以與相等的向量為.
變式4．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，為正方形的兩條對角線的交點，四邊形和四邊形都是正方形，在圖中所示的向量中.
(1)分別寫出與、相等的向量；
(2)寫出與共線的向量；
(3)寫出與的模相等的向量；
(4)寫出與的夾角為的向量；
(5)向量與是否相等？
【答案】(1)，.
(2)，，.
(3)，，，，，，.
(4)，，，
(5)不相等
【分析】（1）根據(jù)相等向量的概念，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)共線向量的概念，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)向量模的概念，即可得出結(jié)果；
（4）根據(jù)向量垂直的概念，即可得出結(jié)果.
（5）根據(jù)相等向量的概念，即可得出結(jié)果；
【詳解】（1）解：依題意，因為是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，
所以，；
由題可得：，；
（2）解：與共線的向量有，，.
（3）解：與的模相等的向量有：，，，，，，.
（4）解：與的夾角為的向量有，，，；
（5）解：向量與不相等，因為它們的方向不相同．
【方法技巧與總結(jié)】
(1)尋找共線向量的技巧：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
(2)尋找相等向量的技巧：先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線向量．
題型四：向量的夾角
例5．（2024下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（ ）
A．與的夾角是銳角 B．與的夾角是銳角
C．與的夾角是銳角 D．與的夾角是鈍角
【答案】C
【分析】作出圖形，結(jié)合向量夾角的定義可得出合適的選項.
【詳解】如下圖所示：
對于A選項，與的夾角為，為鈍角，A錯；
對于B選項，與的夾角為，為鈍角，B錯；
對于CD選項，與的夾角等于，為銳角，C對D錯；
故選：C.
變式1．（2024·高一課時練習(xí)）已知 ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量的夾角定義直接得解.
【詳解】如圖，與的夾角為，
故選：C
變式2．（2024·河北廊坊·校聯(lián)考三模）在中，，，則向量與的夾角為
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】的夾角為的補角，計算出后可得其補角.
【詳解】因為，所以，則向量的夾角為，選B.
【點睛】平面向量中，兩個向量的夾角是按照“起點歸一”來刻畫的，這是正確計算向量數(shù)量積的關(guān)鍵步驟.
變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）在中，，，，D是AC的中點，則與的夾角為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的夾角的定義求解．
【詳解】如圖， 中，，所以，而，，，所以，是的中點，則，，
所以與的夾角等于．
故答案為：．
變式4．（2024上·安徽·高三校聯(lián)考期末）正八邊形在生活中是很常見的對稱圖形，如圖1中的正八邊形的U盤，圖2中的正八邊形窗花．在圖3的正八邊形中，向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)正八邊形形內(nèi)角公式，以及向量夾角公式在，直接求解.
【詳解】因為正八邊形的內(nèi)角和為，
所以與的夾角為．
故選：B
變式5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，請完成以下問題．
(1)分別寫出與、、相等的向量；
(2)分別寫出與、、共線的向量；
(3)分別寫出與，與的夾角；
(4)分別寫出與，與的夾角．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及相等向量的概念可得結(jié)果；
（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及共線向量的概念可得結(jié)果；
（3）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及向量夾角的概念可得結(jié)果.
（4）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及向量夾角的概念可得結(jié)果.
【詳解】（1）解：由正六邊形的性質(zhì)可知，與相等的向量有：、、，
與相等的向量有：、、，
與相等的向量有：、、.
（2）解：與共線的向量有：、、、、、、、、，
與共線的向量有、、、、、、、、，
與共線的向量有：、、、、、、、、.
（3）解：與的夾角，與的夾角.
（4）解：與的夾角為，與的夾角.
一、單選題
1．（2024上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
【答案】B
【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
2．（2024上·江蘇·高二專題練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可.
【詳解】對于①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，
故當(dāng)與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；
對于②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；
對于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；
對于④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題.
故選：B
3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根據(jù)共線向量及菱形知識可得解.
【詳解】因為，，
所以，即，
所以，
所以四邊形是平行四邊形，
因為，即，
所以四邊形是菱形.
故選：B
4．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．，是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動
【答案】C
【分析】利用向量的有關(guān)概念即可.
【詳解】對于A項，因為，所以，故A項正確；
對于B項，由單位向量的定義知，，故B項正確；
對于C項，兩個向量不能比較大小，故C項錯誤；
對于D項，因為非零向量是自由向量，可以自由平行移動，故D項正確．
故選：C．
5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的相關(guān)概念，逐項判斷即得.
【詳解】的大小不能確定，A錯誤；
兩個非零向量的方向不確定，B錯誤；
向量的模是一個非負(fù)實數(shù)，D錯誤；
非零向量的模是正實數(shù)，C正確．
故選：C
6．（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（ ）
A．共起點的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量
【答案】B
【分析】利用平面向量的相關(guān)概念判斷.
【詳解】因為點是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小與方向兩個要素，沒有起點之說；
這三個向量方向不同，不是共線向量；
這三個向量方向不同，不是相等向量.
故選：B
7．（2024上·陜西·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因為，故，故B正確.
對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.
對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，
故選：D.
二、多選題
8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
B．若，則，不是共線向量；
C．若，則四邊形是平行四邊形；
D．有向線段就是向量，向量就是有向線段.
【答案】BCD
【詳解】對于A，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，故A正確；
對于B，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，故B錯誤；
對于C，若，則，可以方向不同，所以四邊形不一定是平行四邊形，故C錯誤；
對于D，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，故D錯誤.
故選：BCD.
9．（2024下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯誤的有（ ）
A．起點相同的單位向量，終點必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
【答案】AC
【分析】由單位向量的定義、向量共線和相等的條件，判斷各選項的結(jié)論.
【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點相同的，終點不一定相同，A選項錯誤；
四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項正確；
當(dāng)時，滿足，但不能得到，C選項錯誤；
由向量相等的條件可知，若，則，D選項正確.
故選：AC
10．（2024上·高二課時練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（ ）
A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點在一條直線上
B．若A，B，C，D四點在一條直線上，則向量與向量共線
C．若A，B，C，D四點不在一條直線上，則向量與向量不共線
D．若向量與向量共線，則A，B，C三點在一條直線上
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的意義逐項判斷作答.
【詳解】對于A，平行四邊形中，，滿足向量與共線，而四點不共線，A錯誤；
對于B，四點在一條直線上，則向量與方向相同或相反，即向量與共線，B正確；
對于C，平行四邊形中，滿足四點不共線，有，即向量與共線，C錯誤；
對于D，向量與共線，而向量與有公共點，因此三點在一條直線上，D正確.
故選：BD
三、填空題
11．（2024下·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯誤的是 （填序號）．
【答案】②③④
【分析】由零向量的定義、向量相等的條件、向量共線的條件、向量模的定義，判斷各說法是否正確.
【詳解】由零向量的定義可知，①正確；
時，不知道兩個向量的方向，不能得到或，②錯誤；
兩個向量共線，與模是否相等無關(guān)，③錯誤；
當(dāng)時，滿足，，但不能得到，④錯誤.
故答案為：②③④
12．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 與，與 與，與
【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.
【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，
顯然，因此的模相等.
故答案為：與，與；與，與；
13．（2024·高一課時練習(xí)）給出下列四個條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 .
【答案】①③④
【分析】運用向量共線的定義判斷即可.
【詳解】因為與為相等向量，所以，即①能夠使成立；
由于并沒有確定與的方向，即②不一定能使成立；
因為當(dāng)與方向相反時，則，即③能夠使成立；
因為零向量與任意向量共線，所以或時，能夠成立.
故使成立的條件是①③④.
故答案為：①③④.
14．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對.

【答案】2
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，可推得，即可得出答案.
【詳解】由題意∥AB可知，，所以，所以.
因為，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三點共線，
所以，，故相等向量有2對.
故答案為：2.
四、解答題
15．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設(shè)點集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個數(shù)．
【答案】12
【分析】集合T中的元素實質(zhì)上是S中任意兩點連成的有向線段，數(shù)出有向線段的條數(shù)減去相等向量的個數(shù)即為答案.
【詳解】由題可知，集合T中的元素實質(zhì)上是S中任意兩點連成的有向線段，共有20個，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互異性，故集合T中的元素共有12個．
16．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫出與向量相等的向量；
(2)寫出與向量共線的向量．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)向量相等的概念直接求解；
（2）根據(jù)共線向量的概念直接求解即可.
【詳解】（1）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∴，，
∴.
故與向量相等的向量是，.
（2）由共線向量的條件知，與共線的向量有，，，，，，.
17．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七點中的任一點為起點，以與起點不同的另一點為終點的所有向量中，設(shè)與向量相等的向量個數(shù)為m，與向量的模相等的向量個數(shù)為n，求m，n．
【答案】m=3，n=23.
【分析】根據(jù)平面向量的幾何意義和相等向量、共線向量的概念即可得出結(jié)果.
【詳解】與方向相同的向量僅有，
又，故；
與向量的模相等的向量有兩類：
(1)以O(shè)為起點，以正六邊形的頂點為終點或是
以正六邊形頂點為起點，以O(shè)為終點的向量，有(個)；
(2)正六邊形的六條邊上的向量，有(個)
故.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.1從位移、速度、力到向量4種常見考法歸類
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
(1)通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義． (2)理解平面向量的幾何表示和基本要素． 1.通過對位移、速度、力的分析，了解平面向量的實際背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的幾何表示. 3.理解零向量和單位向量的概念. 4.理解平行向量、共線向量、相等向量的概念； 5. 能夠能夠掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.
知識點01 向量的相關(guān)概念
向量的概念 在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量．
有向線段 具有方向和長度的線段稱為有向線段．以A為起點，B為終點的有向線段記作 ，線段AB的長度稱為有向線段的長度，記作．
向量的模 向量a的大小，記作|a|，又稱作向量的模．
零向量 長度為0的向量稱為零向量，記作0.
單位向量 模等于1個單位長度的向量，稱為單位向量．
共線向量 兩個非零向量a，b的方向相同或相反稱這兩個向量為共線向量或平行向量，記作a∥b 規(guī)定：零向量與任一向量共線．
相等向量 長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．
相反向量 若兩個向量的長度相等、方向相反，則稱它們互為相反向量．
注：共線向量與平行向量
(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別．
(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．
(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．
【即學(xué)即練1】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列結(jié)論是否正確.
（1）若與都是單位向量，則；( )
（2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量；( )
（3）直角坐標(biāo)平面上的軸，軸都是向量；( )
（4）若與是平行向量，則；( )
（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合；( )
（6）海拔、溫度、角度都不是向量. ( )
（7）任何兩個向量均不可以比較大小.( )
【即學(xué)即練2】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個正實數(shù)
B．若與不共線，則與都是非零向量
C．共線的單位向量必相等
D．兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同
【即學(xué)即練3】（2024下·江蘇宿遷·高一校考開學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．
【即學(xué)即練4】【多選】（2024下·全國·高一專題練習(xí)）已知非零向量、，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【即學(xué)即練5】（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）設(shè)點是正方形的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．與共線
知識點02 向量的表示
1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑體a，書寫用.
注：1.理解向量概念應(yīng)關(guān)注三點
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
(2)判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個因素．
(3)向量與向量之間不能比較大小．
2．相等向量的理解
任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定．
3．向量與有向線段的關(guān)系
如果有向線段表示一個向量，通常我們就說向量，但有向線段只是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．
4．向量與數(shù)量的區(qū)別
(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個代數(shù)量，沒有方向；
(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小．即使有||>||也不能說>，特殊地，若向量與是相等向量，記作＝；
(3)0與0不同，雖然|0|＝0，但0是向量，而0是數(shù)量．
【即學(xué)即練6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學(xué)校考階段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【即學(xué)即練7】（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．
(1)，點A在點O北偏西45°方向；
(2)，點B在點O正南方向．
知識點03　向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，在平面內(nèi)選一點O，作＝a，＝b，(如圖)．
則θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)稱為向量a與b的夾角．
當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；
當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；
當(dāng)θ＝90°時，a與b垂直，記作a⊥b．
規(guī)定：零向量可與任一向量垂直．
注：兩向量夾角概念的正確理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以與任一向量平行，零向量也可以與任一向量垂直．
(2)按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量與向量的夾角，∠BAD才是向量與向量的夾角．
【即學(xué)即練8】（2024下·高一課時練習(xí)）向量與的夾角的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練9】（2024·高一課時練習(xí)）若非零向量，互相垂直，則它們的夾角為．( )
【即學(xué)即練10】（2024下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
題型一：向量的相關(guān)概念
例1.（2024下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）下列各量中，向量有： ．（填寫序號）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
例2．（2024上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)校考開學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
變式1．（2024下·廣東東莞·高一校考開學(xué)考試）給出下列六個命題：
①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；
②若，則；
③在四邊形中，若，則四邊形是平行四邊形；
④平行四邊形中，一定有；
⑤若，，則；
⑥若，，則
其中不正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
變式2．（2024上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個數(shù)是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
33．（2024下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧與總結(jié)】
與向量相關(guān)的概念比較多，為了不致混淆，應(yīng)牢記各概念的內(nèi)涵與外延，緊緊抓住各概念的本質(zhì)．向量的核心為方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．
題型二：向量的幾何表示
例3．（2024·高一課時練習(xí)）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
變式1．（2024下·高一課時練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
變式2．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；
（2），使＝4，點B在點A正東；
（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.
變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.
（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求向量的模.
【方法技巧與總結(jié)】
用有向線段表示向量的步驟
題型三：相等向量、共線向量
例4．（2024·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
變式1．（2024下·高一校考課時練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個
(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個
變式2．（2024下·高一校考課時練習(xí)）如圖，EF，CH將正方形ABCD分成四個單位正方形(邊長為1個單位長度).在以圖中各點為端點的所有向量中，除向量外，與平行的向量有哪些 與平行且是單位向量的有哪些

變式3．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
變式4．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，為正方形的兩條對角線的交點，四邊形和四邊形都是正方形，在圖中所示的向量中.
(1)分別寫出與、相等的向量；
(2)寫出與共線的向量；
(3)寫出與的模相等的向量；
(4)寫出與的夾角為的向量；
(5)向量與是否相等？
【方法技巧與總結(jié)】
(1)尋找共線向量的技巧：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再找同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
(2)尋找相等向量的技巧：先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線向量．
題型四：向量的夾角
例5．（2024下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（ ）
A．與的夾角是銳角 B．與的夾角是銳角
C．與的夾角是銳角 D．與的夾角是鈍角
變式1．（2024·高一課時練習(xí)）已知 ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
變式2．（2024·河北廊坊·校聯(lián)考三模）在中，，，則向量與的夾角為
A． B． C． D．
變式3．（2024下·高一課時練習(xí)）在中，，，，D是AC的中點，則與的夾角為 ．
變式4．（2024上·安徽·高三校聯(lián)考期末）正八邊形在生活中是很常見的對稱圖形，如圖1中的正八邊形的U盤，圖2中的正八邊形窗花．在圖3的正八邊形中，向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，請完成以下問題．
(1)分別寫出與、、相等的向量；
(2)分別寫出與、、共線的向量；
(3)分別寫出與，與的夾角；
(4)分別寫出與，與的夾角．
一、單選題
1．（2024上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
2．（2024上·江蘇·高二專題練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（2024下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．，是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動
5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（ ）
A．共起點的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量
7．（2024上·陜西·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
二、多選題
8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
B．若，則，不是共線向量；
C．若，則四邊形是平行四邊形；
D．有向線段就是向量，向量就是有向線段.
9．（2024下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯誤的有（ ）
A．起點相同的單位向量，終點必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
10．（2024上·高二課時練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（ ）
A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點在一條直線上
B．若A，B，C，D四點在一條直線上，則向量與向量共線
C．若A，B，C，D四點不在一條直線上，則向量與向量不共線
D．若向量與向量共線，則A，B，C三點在一條直線上
三、填空題11．（2024下·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯誤的是 （填序號）．
12．（2024·高一課時練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
13．（2024·高一課時練習(xí)）給出下列四個條件：①；②；③與方向相反；④或，其中能使成立的條件是 .
14．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對.

四、解答題
15．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設(shè)點集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個數(shù)．
16．（2024下·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫出與向量相等的向量；
(2)寫出與向量共線的向量．
17．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七點中的任一點為起點，以與起點不同的另一點為終點的所有向量中，設(shè)與向量相等的向量個數(shù)為m，與向量的模相等的向量個數(shù)為n，求m，n．
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