資源簡介

2.4 平面向量基本定理及坐標表示6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)理解平面向量基本定理及其意義．能推導平面向量基本定理和運用平面向量基本定理解決某些數學問題． (2)借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示． (3)會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算． (4)能用坐標表示平面向量的共線條件． 1.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量； 2.能夠靈活應用向量定理解決平面幾何問題. 3.掌握平面向量的坐標表示，理解點坐標與向量坐標的區別與聯系. 4.平面上向量的和、差及數乘運算，會用坐標表示中點坐標. 5.掌握向量平行的坐標表示.
知識點01平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如圖①所示)是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基，記為{e1，e2}．
2．正交分解：若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基，在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標準正交基．
【即學即練1】下列關于基底的說法正確的序號是(　　)
①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
【即學即練2】若是平面內向量的一組基，則下面的向量中不能作為一組基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【即學即練3】如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是(　　)
A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2
【即學即練4】在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，以b與c作為基底，則＝(　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
知識點02平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內的任意向量a，以坐標原點O為起點作＝a(通常稱為位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，記作a＝(x，y)．
注：1.對平面向量坐標的幾點認識
(1)設 ＝x＋y(O為坐標原點)，則向量 的坐標(x，y) 就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量的坐標(x，y).因此，在直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一個有序實數對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數對是一一對應的．
(2)兩向量相等的等價條件是它們對應的坐標相等．
(3)要把點的坐標與向量的坐標區別開來，相等的向量的坐標是相同的，但起點和終點的坐標卻可以不同．
2．符號(x，y)的意義
符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．
【即學即練5】下列說法正確的有(　　)
①向量的坐標即此向量終點的坐標；
②位置不同的向量其坐標可能相同；
③一個向量的坐標等于它的終點坐標減去它的起點坐標；
④相等向量的坐標一定相同．
A．1個　　B．2個 C．3個 D．4個
【即學即練6】如圖，向量a，b，c的坐標分別是________，________，________.
【即學即練7】已知，若的終點坐標為（3，-6），則的起點坐標為（ ）
A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）
【即學即練8】已知，，若，則點的坐標為（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
知識點03平面向量運算的坐標表示
文字敘述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數乘向量 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)
向量的坐標 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
注：(1)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關系，只與其相對位置有關系，即兩向量的坐標相同時，兩個向量相等，但它們的起點和終點的坐標卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則 ＝(3，3)， ＝(3，3)，顯然 ＝，但A，B，C，D各點的坐標都不相同．
(2)運算時，注意向量的起點與終點的順序不要顛倒．
【即學即練9】已知向量，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【即學即練10】設，，，，則（ ）.
A． B． C． D．
【即學即練11】已知向量，則____________
【即學即練12】已知平行四邊形ABCD的三個頂點，，的坐標分別是,,,，則向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
知識點04　中點坐標公式
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點，則
【即學即練13】已知，，M是線段的中點，那么向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練14】已知，則線段的中點坐標為_______.
知識點05　平面向量平行的坐標表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
注：已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)當≠0時，＝λ.
這是幾何運算，體現了向量與的長度及方向之間的關系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要引入參數“λ”，從而減少未知數個數，而且使問題的解決具有代數化的特點、程序化的特征．
(3)當x2y2≠0時，＝，即兩向量的對應坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．
【即學即練15】下列各組向量是平行向量的有________．(填序號)
①a＝，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝.
【即學即練16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，則k＝________.
【即學即練17】若點，，三點共線，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型一：對平面向量基本定理的理解
例1．（2024高一下·全國·專題練習）下列三種說法：①一個平面內只有一組不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②一個平面內有無數組不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
其中，說法正確的為（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
變式1．【多選】（2024高一·江蘇·專題練習）設，是不共線的兩個向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
變式2．【多選】（2024高一下·福建福州·階段練習）若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024高一下·福建福州·期末）如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
對基的理解
(1)兩個向量能否作為一組基，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．
(2)一個平面的基一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則
提醒：一個平面的基不是唯一的，同一個向量用不同的基表示，表達式不一樣．
題型二：用基表示平面向量
例2．（2024高三下·山東德州·開學考試）在中，點在直線上，且滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·廣東佛山·模擬預測）在中，，若，線段與交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·山西運城·一模）已知所在平面內一點，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·全國·模擬預測）在等腰梯形中，，，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
用基表示向量的兩種基本方法
用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．
題型三　平面向量基本定理的應用
（一）利用平面向量基本定理求參數
例3．（2024·湖南·模擬預測）在中，，點滿足，若，則的值為 .
變式1．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則 .

變式2．（2024高三下·全國·專題練習）已知平面四邊形滿足，平面內點E滿足，CD與AE交于點M，若，則 .
變式3．（2024高二下·湖南岳陽·開學考試）在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，連接、，交于點.若（），則 .
變式4．（2024高三上·河南·專題練習）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點，且，，CD與AE相交于點O，若，則 ．
（二）確定兩直線交點的位置問題
例4．（2024高一下·江蘇·專題練習）如圖，在中，點M是BC的中點，點N在AC上，且，AM與BN相交于點P，求與.
變式1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，若，，過點的直線交直線分別于兩點，且，探究之間的關系.

變式2．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，AD與BC相交于點M.設，.

(1)試用基底表示向量；
(2)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M，若，，求的值.
變式3．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，是上一點，是上一點，且，過點作直線分別交于點.
(1)用向量與表示；
(2)若，求和的值.
【方法技巧與總結】
1．利用平面向量基本定理求參數值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次然后利用系數相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有
2．充分利用平面幾何知識對圖中的有關點進行精確定位，往往可使問題更便于解決．
3.用向量解決平面幾何問題的一般步驟
(1)選取不共線的兩個平面向量作為基．
(2)將相關的向量用基向量表示，將幾何問題轉化為向量問題．
(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解．
(4)再將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解．
題型四　平面向量的坐標表示
例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，，分別為與兩個坐標軸正方向同向的單位向量，，是平面內的向量，且A點坐標為，則下列說法正確的是 ．(填序號)

①向量可以表示為；
②只有當的起點在原點時；
③若，則終點A的坐標就是向量的坐標．
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，若，，則向量的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計算出它們的坐標．
變式3．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
在向量的坐標表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點與終點的坐標，同時注意區分點的坐標與向量的坐標寫法的不同．
題型五　平面向量的坐標運算
例6．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）下列各式不正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）已知，若，，求的坐標．
變式3．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）已知平面內平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（　　）
A． B．
C． D．
變式4．（2024高一下·全國·課后作業）已知向量，，若滿足，則（　　）
A． B．
C． D．
變式5．（2024高一下·四川自貢·期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
【方法技巧與總結】
1．向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外，解題過程中要注意方程思想的運用．
2．利用向量的坐標運算解題，主要根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解．
題型六　平面向量共線的坐標表示
（一）向量共線的判定與證明
例7．（2024高三上·上海浦東新·階段練習）設，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件D．非充分非必要條件
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）下列各組向量中，共線的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
變式2．【多選】（2024高一·全國·課后作業）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中與共線的是（ ）
A． B．
C． D．
（二）利用向量共線的坐標表示求參數
例8．（2024高一下·河南洛陽·階段練習）已知向量，則“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若與平行，則（　　）
A． B．
C．7 D．
變式2．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若，則 ．
變式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
變式4．（2024高一·全國·專題練面內給定三個向量，且，求實數關于的表達式.
變式5．（2024高三上·江西贛州·階段練習）已知向量 ，若與共線且同向，則實數λ的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．或4
變式6．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設，向量，，且，則（ ）
A． B． C．10 D．
（三）三點共線問題
例9．（2024高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組三點是否共線：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
變式1．（2024高三上·上海黃浦·開學考試）若三點不能構成三角形，則 .
變式2．（2024高二上·北京豐臺·期中）已知，，三點共線，則 .
變式3．（2024高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（ ）
A．－16 B．16 C． D．
變式4．（2024高一下·江蘇無錫·期末）已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.
(1)若與共線，求的值；
(2)若，，且三點共線，求的值.
變式6．（2024高三上·天津河北·期中）設，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則 ，的最小值為 .
【方法技巧與總結】
1.向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．
2.根據向量共線的條件求參數問題的兩種思路
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解．
3.利用向量解決三點共線問題的一般思路：(1)利用三點構造出兩個向量，求出唯一確定的實數λ；(2)利用向量運算的坐標表示得出兩向量共線，再結合兩向量過同一點，可得兩向量所在的直線必重合，即三點共線．
一、單選題
1．（2024高一下·河南·期中）設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．與
C．與 D．與
2．（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
4．（2024高一·江蘇·專題練習）已知，，三點共線，且，，若點的縱坐標為，則點的橫坐標為（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點，若，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．2
7．（2024高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2024·全國·模擬預測）在中，，是的中線，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024高一上·湖南長沙·期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．（2024高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點E在線段AC上，AD與BE交于點F，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·浙江·期末）下列命題中錯誤的是（ ）
A．已知為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D．若，則存在唯一實數使得
12．（2024高一下·全國·專題練習）若，是平面內兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．可以表示平面內的所有向量
B．對于平面中的任一向量，使的實數，有無數多對
C．，，，均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使
D．若存在實數，，使，則
三、填空題
13．（2024高三·全國·專題練習）已知點，且，則點的坐標是 ．
14．（2024高一下·遼寧·期末）已知四邊形的對角線交于點為的中點，若，則 .
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
16．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量．若非零實數滿足，則 .
17．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量是一個基底，實數x，y滿足，則 .
四、解答題
18．（2024高二上·廣東·學業考試）已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
19．（2024高一·全國·單元測試）在平行四邊形中，．

(1)如圖1，如果分別是的中點，試用分別表示.
(2)如圖2，如果是與的交點，是的中點，試用表示.
20．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形中，，為的中點，延長交于點，若，求的值.

21．（2024高三上·陜西銅川·期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
22．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知點是邊長為1的正三角形的中心，線段經過點，并繞點轉動，分別交邊于點，設，其中．
(1)求的值；
(2)求面積的最小值，并指出相應的的值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.4 平面向量基本定理及坐標表示6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)理解平面向量基本定理及其意義．能推導平面向量基本定理和運用平面向量基本定理解決某些數學問題． (2)借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示． (3)會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算． (4)能用坐標表示平面向量的共線條件． 1.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量； 2.能夠靈活應用向量定理解決平面幾何問題. 3.掌握平面向量的坐標表示，理解點坐標與向量坐標的區別與聯系. 4.平面上向量的和、差及數乘運算，會用坐標表示中點坐標. 5.掌握向量平行的坐標表示.
知識點01平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如圖①所示)是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基，記為{e1，e2}．
2．正交分解：若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基，在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標準正交基．
【即學即練1】下列關于基底的說法正確的序號是(　　)
①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】由基底的定義可知①③正確. 故選B.
【即學即練2】若是平面內向量的一組基，則下面的向量中不能作為一組基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【解析】對于A， ，能作為基底；
對于B，，不能作為基底；
對于C，，能作為基底；
對于D， ，能作為基底；
故選：B.
【即學即練3】如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是(　　)
A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2
【解析】由e1，e2為不共線向量，可知e1與e1＋e2，e1－2e2與e1＋2e2，e1＋e2與e1－e2必不共線，都可作為平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2與－e1＋2e2共線，不能作為該平面所有向量的基底．故選D.
【即學即練4】在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，以b與c作為基底，則＝(　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
【解析】∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.故選A.
知識點02平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內的任意向量a，以坐標原點O為起點作＝a(通常稱為位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，記作a＝(x，y)．
注：1.對平面向量坐標的幾點認識
(1)設 ＝x＋y(O為坐標原點)，則向量 的坐標(x，y) 就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量的坐標(x，y).因此，在直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一個有序實數對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數對是一一對應的．
(2)兩向量相等的等價條件是它們對應的坐標相等．
(3)要把點的坐標與向量的坐標區別開來，相等的向量的坐標是相同的，但起點和終點的坐標卻可以不同．
2．符號(x，y)的意義
符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．
【即學即練5】下列說法正確的有(　　)
①向量的坐標即此向量終點的坐標；
②位置不同的向量其坐標可能相同；
③一個向量的坐標等于它的終點坐標減去它的起點坐標；
④相等向量的坐標一定相同．
A．1個　　B．2個 C．3個 D．4個
【解析】向量的坐標是其終點坐標減去起點坐標，故①錯誤，②③④正確．故選C.
【即學即練6】如圖，向量a，b，c的坐標分別是________，________，________.
【解析】將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
【即學即練7】已知，若的終點坐標為（3，-6），則的起點坐標為（ ）
A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）
【解析】設的起點坐標為，
的終點坐標為（3，-6），
，
又，
，解得，
的起點坐標為，
故選：C.
【即學即練8】已知，，若，則點的坐標為（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【解析】設點的坐標為，則，，
因為，即，
所以，解得，所以.
故選：C.
知識點03平面向量運算的坐標表示
文字敘述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數乘向量 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)
向量的坐標 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
注：(1)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關系，只與其相對位置有關系，即兩向量的坐標相同時，兩個向量相等，但它們的起點和終點的坐標卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則 ＝(3，3)， ＝(3，3)，顯然 ＝，但A，B，C，D各點的坐標都不相同．
(2)運算時，注意向量的起點與終點的順序不要顛倒．
【即學即練9】已知向量，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為向量，，所以故選：A.
【即學即練10】設，，，，則（ ）.
A． B． C． D．
【解析】設，則，
因為，
所以，
所以，解得，即，
所以，
所以，
故選：B
【即學即練11】已知向量，則____________
【解析】由題意，
又因為，所以，
故答案為：
【即學即練12】已知平行四邊形ABCD的三個頂點，，的坐標分別是,,,，則向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解析】平行四邊形的三個頂點，，的坐標分別是,,,，
∴，
,,,，,,,．
,,,．
故選：B．
知識點04　中點坐標公式
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點，則
【即學即練13】已知，，M是線段的中點，那么向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由中點坐標公式得，即，所以.故選：A.
【即學即練14】已知，則線段的中點坐標為_______.
【解析】設，則，
所以，解得：，
所以點坐標為，
由中點坐標公式可得：線段的中點坐標為，即，
故答案為：
知識點05　平面向量平行的坐標表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
注：已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)當≠0時，＝λ.
這是幾何運算，體現了向量與的長度及方向之間的關系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要引入參數“λ”，從而減少未知數個數，而且使問題的解決具有代數化的特點、程序化的特征．
(3)當x2y2≠0時，＝，即兩向量的對應坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．
【即學即練15】下列各組向量是平行向量的有________．(填序號)
①a＝，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝.
【解析】①(－3)－(－2)＝－＋＝0，∴a∥b.
②0.5×64－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．
③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．
④2×2－3＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．
【即學即練16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，則k＝________.
【解析】a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
【即學即練17】若點，，三點共線，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】因為點，，，
所以，
因為點，，三點共線，
所以共線，
則，
解得，
故選：B
題型一：對平面向量基本定理的理解
例1．（2024高一下·全國·專題練習）下列三種說法：①一個平面內只有一組不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②一個平面內有無數組不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
其中，說法正確的為（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判斷即可.
【詳解】平面內只要不共線的向量均可作為表示該平面內所有向量的基底，有無數組，①錯誤，②正確；
由平面向量基本定理可得，平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的，③正確.
故選：B.
變式1．【多選】（2024高一·江蘇·專題練習）設，是不共線的兩個向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】ABD
【分析】
先判斷與，與，與不共線，即可判斷此三組向量可以分別作為一組基底；
與共線，故此組向量不能作為一組基底.
【詳解】
A．設，則無解，所以與不共線，即與能作為一組基底．
B．設，則無解，
所以與不共線，即與能作為一組基底．
C．因為，所以與共線，即與不能作為一組基底．
D．設，則無解，
所以與不共線，即與能作為一組基底．
故選：ABD
變式2．【多選】（2024高一下·福建福州·階段練習）若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根據平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.
【詳解】
對于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于D，明顯不存在實數使，則不共線，可以作為平面向量的基底.
故選：ABC.
變式3．（2024高一下·福建福州·期末）如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基底的定義求解.
【詳解】由題中圖形可知：與，與，與共線，不能作為基底向量，
與不共線，可作為基底向量．
故選：B.
【方法技巧與總結】
對基的理解
(1)兩個向量能否作為一組基，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．
(2)一個平面的基一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則
提醒：一個平面的基不是唯一的，同一個向量用不同的基表示，表達式不一樣．
題型二：用基表示平面向量
例2．（2024高三下·山東德州·開學考試）在中，點在直線上，且滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據畫出及點D的位置，再由向量的線性運算即可由表示出.
【詳解】因為，
所以

故選：A.
變式1．（2024·廣東佛山·模擬預測）在中，，若，線段與交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據中線性質得出，再由平面向量線性運算即可求得結果.
【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點，
由中線性質可得，
又，所以，
因此.
故選：B
變式2．（2024·山西運城·一模）已知所在平面內一點，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知條件結合平面向量的加法可得出關于、的表達式.
【詳解】因為，即，即，
解得，
故選：B.
變式3．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據平面向量的線性運算法則進行運算即可.
【詳解】
，
故選：D．

變式4．（2024·全國·模擬預測）在等腰梯形中，，，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通過添設輔助線，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加減法將進行轉化，最終用來表示即得.
【詳解】
如圖等腰梯形中，取中點，連接，則,,
于是，
.
故選:D.
【方法技巧與總結】
用基表示向量的兩種基本方法
用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．
題型三　平面向量基本定理的應用
（一）利用平面向量基本定理求參數
例3．（2024·湖南·模擬預測）在中，，點滿足，若，則的值為 .
【答案】
【分析】根據向量的加減運算即可得出答案.
【詳解】由題意可得：
.
所以.
故答案為：.
變式1．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則 .

【答案】
【分析】利用向量的線性運算將用表示，然后根據系數相等求解即可.
【詳解】由題意可得，，
所以，所以.
故答案為：.
變式2．（2024高三下·全國·專題練習）已知平面四邊形滿足，平面內點E滿足，CD與AE交于點M，若，則 .
【答案】/
【分析】根據給定條件，利用向量表示結合平面向量基本定理不解即得.
【詳解】平面四邊形中，，則，又，則，
因此，即，
，
而不共線，所以，.
故答案為：

變式3．（2024高二下·湖南岳陽·開學考試）在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，連接、，交于點.若（），則 .
【答案】/
【分析】延長、相交于點，可得是的中點，由得，根據平面向量線性運算法則計算得到，可求得的值，即可得解.
【詳解】延長、相交于點，因為，，
所以是的中點，所以，
因為，所以，所以，
所以
，
又，
所以，故
故答案為：.
變式4．（2024高三上·河南·專題練習）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點，且，，CD與AE相交于點O，若，則 ．
【答案】/
【分析】取DB的中點F，連接EF，則，，然后利用平面向量基本定理將用表示，再結合可求出，從而可求得結果.
【詳解】由題意，為邊AB的靠近點的三等分點，為邊的中點，
如圖，取DB的中點F，連接EF，則，，
所以
，
因為，
所以，，
所以．
故答案為：
（二）確定兩直線交點的位置問題
例4．（2024高一下·江蘇·專題練習）如圖，在中，點M是BC的中點，點N在AC上，且，AM與BN相交于點P，求與.
【答案】，
【分析】設，，則，根據A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數使得，．根據．解出即可.
【詳解】設，
則，
∵，，和，，分別共線，
∴存在實數使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
變式1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，若，，過點的直線交直線分別于兩點，且，探究之間的關系.

【答案】
【分析】根據平面向量的運算可得，又有三點共線知，，根據平面向量的基本定理可得，消去即可求解.
【詳解】一方面，,
故.
另一方面，由三點共線知，.
所以，可變為.
消去，得，即.
變式2．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，AD與BC相交于點M.設，.

(1)試用基底表示向量；
(2)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M，若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三點共線，設，由C，M，B三點共線，可設，列出方程組，即可求解的值，得到結論；
（2）由E，M，F共線，設，由（1）可求得，化簡即可求解.
【詳解】（1）因為C，M，B三點共線，D，M，A三點共線，所以設，，
則，，
所以，解得，所以；
（2）因為E，M，F三點共線，所以設，
則，由（1）知，
所以，所以.
變式3．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，是上一點，是上一點，且，過點作直線分別交于點.
(1)用向量與表示；
(2)若，求和的值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）利用向量的線性運算求解；
（2）設，利用向量的線性運算和平面向量基本定理求解.
【詳解】（1）.
（2）因為，所以．設，
，
因為三點共線，
所以，解得，所以.
因為，
，
所以，即.
【方法技巧與總結】
1．利用平面向量基本定理求參數值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次然后利用系數相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有
2．充分利用平面幾何知識對圖中的有關點進行精確定位，往往可使問題更便于解決．
3.用向量解決平面幾何問題的一般步驟
(1)選取不共線的兩個平面向量作為基．
(2)將相關的向量用基向量表示，將幾何問題轉化為向量問題．
(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解．
(4)再將向量問題的解轉化為平面幾何問題的解．
題型四　平面向量的坐標表示
例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，，分別為與兩個坐標軸正方向同向的單位向量，，是平面內的向量，且A點坐標為，則下列說法正確的是 ．(填序號)

①向量可以表示為；
②只有當的起點在原點時；
③若，則終點A的坐標就是向量的坐標．
【答案】①③
【分析】根據向量基本定義和向量坐標化知識一一分析即可.
【詳解】由平面向量的基本定理知，有且只有一對實數，，使得，所以①正確．
此時為的坐標，記作，只有當時，，故②錯，③正確．
故答案為：①③.
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，若，，則向量的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐標即可.
【詳解】由題意得，.
故選：A
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計算出它們的坐標．
【答案】，，．
【分析】根據向量坐標的定義，以及向量的模和三角函數，即可求解向量的坐標.
【詳解】設，，，
則，，
，，
，，
因此，，．
變式3．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，則，求出，利用同角三角函數關系得到，，求出答案.
【詳解】令，則，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故選：B．
【方法技巧與總結】
在向量的坐標表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點與終點的坐標，同時注意區分點的坐標與向量的坐標寫法的不同．
題型五　平面向量的坐標運算
例6．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）下列各式不正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】ACD
【分析】
向量加、減法的坐標運算逐項排除可得答案．
【詳解】
對于A，若，，則，A錯誤；
對于B，若，，則，B正確；
對于C，若，，則，C錯誤；
對于D，若，，則，D錯誤.
故選：ACD
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據平面向量的坐標的線性運算可得.
【詳解】（1）
（2）
（3）
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）已知，若，，求的坐標．
【答案】
【分析】通過兩個向量等式求得兩點坐標，即得的坐標.
【詳解】設由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
變式3．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）已知平面內平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分類討論構成平行四邊形的對角線，根據平行四邊形對角線互相平分，設，利用線段的中點公式計算即可得的坐標．
【詳解】設，若構成的平行四邊形為，即為一條對角線，
則由中點也是中點，可得，解得，
所以；
同理可得，若構成以為對角線的平行四邊形，則，即；
若構成以為對角線的平行四邊形，則，即；
所以第四個頂點的坐標為可以為：或或．
故選：BC．
變式4．（2024高一下·全國·課后作業）已知向量，，若滿足，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據向量線性運算的坐標運算直接得解.
【詳解】
因為，，且滿足，
所以，
故選：A.
變式5．（2024高一下·四川自貢·期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
【答案】
【分析】根據題意轉化為，設，結合向量的坐標表示，列出方程組，即可求解.
【詳解】因為點，點在線段的延長線上，且，
可得，
設，則，即 ，
解得，即點的坐標為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
1．向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外，解題過程中要注意方程思想的運用．
2．利用向量的坐標運算解題，主要根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解．
題型六　平面向量共線的坐標表示
（一）向量共線的判定與證明
例7．（2024高三上·上海浦東新·階段練習）設，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】
先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.
【詳解】若，則，即，故，充分性成立，
不妨設，此時，但不滿足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要條件.
故選：A
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）下列各組向量中，共線的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根據向量共線的充要條件，即可判斷選項.
【詳解】若兩個向量共線，則，
其中只有B選項，滿足條件.
故選：B
變式2．【多選】（2024高一·全國·課后作業）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
判斷兩個平面向量能否構成平面的基底，只需判斷它們是否共線即可，不共線才能作為平面的基底.
【詳解】
能作為平面內的基底，須使兩向量與不平行，若，則，
故只需判斷選項中的兩向量的坐標是否滿足即得.
對于A選項，因，∴與不平行，故A項正確；
對于B選項，，∴與不平行，故B項正確；
對于C選項，，∴與不平行，故C項正確；
對于D選項，，∴，故D項錯誤.
故選：ABC.
變式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中與共線的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據共線向量定理判斷即可.
【詳解】因為，由共線向量定理可知向量與共線.
故選：C.
（二）利用向量共線的坐標表示求參數
例8．（2024高一下·河南洛陽·階段練習）已知向量，則“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用向量共線的坐標表示，結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】向量，，解得，
所以“ ”是 “”的充分不必要條件.
故選：A
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若與平行，則（　　）
A． B．
C．7 D．
【答案】D
【分析】
根據平面向量的坐標運算和向量共線的充要條件得到方程，解出即可.
【詳解】
，
由與平行，可得，解得.
故選：D.
變式2．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若，則 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的坐標運算和向量共線得到方程，解出即可.
【詳解】
，，
因為，所以，所以.
故答案為：.
變式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】首先求出、的坐標，再根據平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.
【詳解】因為，，
所以，，
因為，所以，解得.
故選：A
變式4．（2024高一·全國·專題練面內給定三個向量，且，求實數關于的表達式.
【答案】
【分析】
由向量坐標的線性運算以及向量平行的充要條件即可列式求解.
【詳解】
因為，,
所以，即.
變式5．（2024高三上·江西贛州·階段練習）已知向量 ，若與共線且同向，則實數λ的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．或4
【答案】C
【分析】
通過向量共線且同向，即可求出實數的值并檢驗即可得解.
【詳解】
因為，，且與共線且同向，
所以，解得或，
當時，，則，滿足題意；
當時，，則，不滿足題意；
綜上，.
故選：C．
變式6．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設，向量，，且，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根據題意，列出方程求得，結合向量的坐標運算，即可求解.
【詳解】由向量，，
因為，可得，解得，
所以，所以.
故選：D.
（三）三點共線問題
例9．（2024高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組三點是否共線：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
【答案】(1)A，B，C三點不共線.
(2)D，E，F三點共線
(3)G，H，L三點共線
【分析】
根據點的坐標確定向量的坐標，再根據向量共線定理即可判斷.
【詳解】（1）因為，
所以，所以與不共線，所以A，B，C三點不共線.
（2）因為，所以，
因為直線DE與DF有公共點D，所以D，E，F三點共線.
（3）因為，所以，
因為直線GH與GL有公共點G，所以G，H，L三點共線.
變式1．（2024高三上·上海黃浦·開學考試）若三點不能構成三角形，則 .
【答案】
【分析】
三點不能構成三角形轉化為三點共線，利用向量共線的坐標表示求解即可.
【詳解】當三點共線，即時，三點不能構成三角形.
由已知得，
，
由得，，解得.
故答案為：.
變式2．（2024高二上·北京豐臺·期中）已知，，三點共線，則 .
【答案】/
【分析】由平面向量基本定理可知，若三點共線，則存在唯一的實數使得，利用等量關系計算的值.
【詳解】若三點共線，則存在唯一的實數使得，
所以，則，即，則.
故答案為：
變式3．（2024高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】先求出和，根據B，C，D三點共線得到，進而列出方程求解.
【詳解】由題意得，，
因為B，C，D三點共線，
所以，
則，得.
故選：A.
變式4．（2024高一下·江蘇無錫·期末）已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據向量的線性運算的坐標關系即可求解.
【詳解】由題意可知 由于A，B，C三點共線，所以與共線，
所以，
所以,
故選：D
變式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.
(1)若與共線，求的值；
(2)若，，且三點共線，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據共線向量的坐標表示可構造方程求得結果；
（2）由三點共線可知共線，由此可構造方程求得結果.
【詳解】（1），，又與共線，
，解得：.
（2），，又三點共線，
，解得：.
變式6．（2024高三上·天津河北·期中）設，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則 ，的最小值為 .
【答案】 2
【分析】由題意求得，根據三點共線可得向量共線，利用向量共線的條件可得的值，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由，，可得，
由于，，三點共線，故共線，
所以，即，
則，
當且僅當，結合，即時取等號，
故答案為：2；
【方法技巧與總結】
1.向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．
2.根據向量共線的條件求參數問題的兩種思路
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解．
3.利用向量解決三點共線問題的一般思路：(1)利用三點構造出兩個向量，求出唯一確定的實數λ；(2)利用向量運算的坐標表示得出兩向量共線，再結合兩向量過同一點，可得兩向量所在的直線必重合，即三點共線．
一、單選題
1．（2024高一下·河南·期中）設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【分析】判斷出哪個選項的兩個向量共線即可.
【詳解】對于C，共線，不能作為基底，
對于ABD，兩組向量都不共線，
故選：C.
2．（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量共線的性質分別設，，結合條件依次表示出，，對應解出，即可求解.
【詳解】設，，
則，
而與不共線，∴，解得，∴.
故選：A.
3．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】
根據平面向量數量積的坐標表示及模的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：B
4．（2024高一·江蘇·專題練習）已知，，三點共線，且，，若點的縱坐標為，則點的橫坐標為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據向量共線定理可得解.
【詳解】
設，
因為，，三點共線，所以，
又，，
所以，
所以，
故選：A.
5．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據向量坐標的加減可得.
【詳解】
故選：A
6．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點，若，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
以為基底，根據平面向量線性運算即可求解.
【詳解】因為，，G為EF的中點，
所以
，
所以，所以.
故選：A
7．（2024高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根據向量的加減運算及數乘運算可得，從而得解.
【詳解】，
，
，
，
，
，，．
故選：D．
8．（2024·全國·模擬預測）在中，，是的中線，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的減法可得出關于、的表達式.
【詳解】如下圖所示：

因為，則，可得，
因為為的中線，即點為的中點，
所以，.
故選：B.
二、多選題
9．（2024高一上·湖南長沙·期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】分別判斷四個選項中的兩個向量是否共線得到答案.
【詳解】對于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個向量不能作為基底；
對于B，因為，，所以，所以兩個向量不共線，可以作為基底；
對于C，因為，，所以，可知兩個向量共線，故不可以作為基底；
對于D，由，，得：，可知兩個向量共線，故不能作為基底；
故選：ACD
10．（2024高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點E在線段AC上，AD與BE交于點F，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
由已知可得，進而可得，判斷A；設，利用，，共線可求，進而可判斷B；根據，利用三角形面積比可判斷D；根據向量的線性運算可判斷C．
【詳解】
對于A：根據，
故，故A正確；
對于B：設，則
，又，
，，三點共線，，
且，，故，故B錯誤；
對于D：由于，故，
，故D正確；
對于C，
，
，
，故C正確．
故選：ACD．
【點睛】
關鍵點點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握平面向量的線性運算與基底法，從而得解.
11．（2024高一上·浙江·期末）下列命題中錯誤的是（ ）
A．已知為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D．若，則存在唯一實數使得
【答案】BCD
【分析】根據共線向量定理即基底的概念可判定A;根據向量的定義及向量共線的定義可判定B,C,D.
【詳解】對于A，因為為平面內兩個不共線的向量，
設，,
則，無解，
所以不共線，
則可作為平面的一組基底，故A正確；
對于B,根據共線向量的定義知，方向相反的向量一定是共線向量，
故B錯誤；
對于C,根據向量的定義知，向量不能比較大小，故C錯誤；
對于D，當時，滿足，
此時任意實數使得，故D錯誤，
故選：BCD.
12．（2024高一下·全國·專題練習）若，是平面內兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．可以表示平面內的所有向量
B．對于平面中的任一向量，使的實數，有無數多對
C．，，，均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使
D．若存在實數，，使，則
【答案】BC
【分析】根據平面向量基本定理結合線性運算分析判斷.
【詳解】由題意可知：，可以看成一組基底向量，
根據平面向量基本定理可知：A，D正確，B不正確；
對于C，當時，則，
此時任意實數均有，故C不正確；
故選：BC．
三、填空題
13．（2024高三·全國·專題練習）已知點，且，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算處理即可.
【詳解】如圖，連接，

設為坐標原點，建立平面直角坐標系，，
整理得．
故答案為：
14．（2024高一下·遼寧·期末）已知四邊形的對角線交于點為的中點，若，則 .
【答案】/0.5
【分析】根據給定條件，利用向量線性運算及共線向量定理的推論求解即得.
【詳解】由為的中點，及，得，即，
又四邊形的對角線交于點，即點共線，因此，
所以.
故答案為：
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
【答案】
【分析】設，則，可得出關于實數、的等式，即可解得實數的值.
【詳解】因為、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，
設，則，則，
所以，，解得.
故答案為：.
16．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量．若非零實數滿足，則 .
【答案】3
【分析】利用平面向量的坐標運算、向量共線的充要條件列式計算即得.
【詳解】依題意，，，
而，則，整理得，
且不為0，所以.
故答案為：3
17．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量是一個基底，實數x，y滿足，則 .
【答案】3
【分析】利用平面的基底不共線得到關于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因是一個基底，故與不共線，
由平面向量基本定理得，解得，
則.
故答案為：3.
四、解答題
18．（2024高二上·廣東·學業考試）已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算，求得點的坐標，利用中點坐標公式，可得答案；
（2）由點的坐標表示出向量的坐標，利用共線向量的坐標公式建立方程，可得答案.
【詳解】（1）設，，，
，
，，
，同理可得，
設BD的中點，
則，，
.
（2），，
三點共線，，
，解得.
19．（2024高一·全國·單元測試）在平行四邊形中，．

(1)如圖1，如果分別是的中點，試用分別表示.
(2)如圖2，如果是與的交點，是的中點，試用表示.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據向量的線性運算結合圖形直接表示即可；
（2）根據向量的線性運算結合圖形直接表示即可.
【詳解】（1）因為分別是的中點，
所以，
.
（2）因為是與的交點，是的中點，
所以，
.
20．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形中，，為的中點，延長交于點，若，求的值.

【答案】
【分析】選為基底，根據三點共線結合向量的加減運算表示出，進而表示出以及，利用向量相等列出方程組，求得參數，即可推出，求得答案.
【詳解】選為基底，一方面，由三點共線得，，
另一方面，由三點共線得
，，
由三點共線知，
可得，解得，
所以，.
由
結合，得.
21．（2024高三上·陜西銅川·期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據已知條件可得，，再結合向量的加減法和平面向量基本定理可求得結果；
（2）由題意可得，再結合和三點共線，可求出，從而可證得結論.
【詳解】（1），
，
又為上靠近的三等分點，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三點共線，
，解得，
．
即
22．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知點是邊長為1的正三角形的中心，線段經過點，并繞點轉動，分別交邊于點，設，其中．
(1)求的值；
(2)求面積的最小值，并指出相應的的值．
【答案】(1)
(2)時，取得最小值．
【分析】
（1）由正三角形的中心的性質，有，又三點共線，所以；
（2）面積表示為的函數，通過換元和基本不等式，求最小值.
【詳解】（1）
延長交與，由是正三角形的中心，得為的中點，
則，
由，，得，
又三點共線，所以，即．
（2）
是邊長為1的正三角形，則，
．
由，則，
，，解得，
．
設，則，
則，當且僅當，即時取等號，
所以當，即時，取得最小值．
【點睛】方法點睛：
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．求算式的限值范圍，根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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