資源簡介

第二章平面向量及其應(yīng)用章末十六種常考題型歸類
向量的加減法與數(shù)乘
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】對于A：，故A不合題意；
對于B：，故B滿足題意；
對于C：，故C不合題意；
對于D：，故D不合題意.
故選：B
2．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）若，設(shè)，則的值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則，
又因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.
3．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若，，則 ， ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合和，利用向量的運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由向量，，
在中，可得；
在中，可得，
又因?yàn)椋傻?
故答案為：；.
4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）若，其中為已知向量，求未知向量．
【答案】
【分析】
將向量方程展開，合并同類向量，移項(xiàng)后將的系數(shù)化為1即得.
【詳解】
由可得：，
即，解得：．
5．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）在中，設(shè)，，，,則下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】可畫出圖形，從而得出，再結(jié)合模長逐項(xiàng)判斷.
【詳解】如圖，
；
由得，；
選項(xiàng)A，D都正確；
由得，；即
選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C不正確．
故選：ABD．
向量共線與三點(diǎn)共線問題
6．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)
C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)
【答案】C
【分析】利用向量的線性運(yùn)算及共線定理即可求解.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?br/>所以，
所以,所以A，C，D三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br/>所以,所以A，B，C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)?br/>所以，
所以，又是與的公共點(diǎn)，
所以A，B，D三點(diǎn)共線，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br/>所以,所以B，C，D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）已知向量，且，則下列一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的共線來證明三點(diǎn)共線的．
【詳解】，
則不存在任何，使得，所以不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
則不存在任何，使得，所以不共線，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由向量的加法原理知．
則有，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，C選項(xiàng)正確；
，則不存在任何，使得，所以不共線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
8．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則 .
【答案】/
【分析】設(shè)，，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)椤⑹莾蓚€(gè)不共線的單位向量，，，若與是共線向量，
設(shè)，，則，
所以，解得.
故答案為：.
9．（23-24高一下·河北承德·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，若與共線，則 ．
【答案】/
【分析】
根據(jù)給定條件，利用共線向量定理求出即得.
【詳解】由向量，不共線，得，由向量與共線，
得，則，所以.
故答案為：
10．（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）已知向量，，且，則 .
【答案】
【分析】
根據(jù)向量共線得到方程組，解出即可.
【詳解】
，所以，
即，，.
故答案為：.
向量的線性表示
11．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】由圖可知，
故選：C
12．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖，在中，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加減法運(yùn)算法則運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】由圖形可知：
.
故選：B.
13．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知.
故選：C.
14．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，中，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由題意： .
故選：B
15．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點(diǎn)E在線段AC上，AD與BE交于點(diǎn)F，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，判斷A；設(shè)，利用，，共線可求，進(jìn)而可判斷B；根據(jù)，利用三角形面積比可判斷D；根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷C．
【詳解】對于A：根據(jù)，
故，故A正確；
對于B：設(shè)，則
，又，
，，三點(diǎn)共線，，
且，，故，故B錯(cuò)誤；
對于D：由于，故，
，故D正確；
對于C，
，
，
，故C正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算與基底法，從而得解.
向量的線性表示與參數(shù)
16．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用和三點(diǎn)共線，分別得到和，列出方程組，求得的值，進(jìn)而求得的值，從而得解.
【詳解】由題意知，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
可得，解得，即，
因?yàn)椋?
故選：A.
17．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及得到，即可得到，再由平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出、，即可得解.
【詳解】如圖在銳角中，為邊上的高，
所以，，又，
所以，所以，則，
所以，
又，所以，所以.
故選：C

18．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為的重心，滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線段的比例關(guān)系，利用平面向量的運(yùn)算，可得答案.
【詳解】設(shè)相交于點(diǎn)，為的重心，

可得為中點(diǎn)，，
，
所以，
所以.
故選：C.
19．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在三角形ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，若則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量基本定理得到答案.
【詳解】因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以，
因?yàn)镈是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以，
所以.
故答案為：
20．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

(1)用和表示；
(2)設(shè)，求的值；
(3)設(shè)，證明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量的加法運(yùn)算并根據(jù)線段的比例關(guān)系可得結(jié)論；
（2）由共線定理根據(jù)三點(diǎn)共線可得結(jié)果；
（3）根據(jù)向量等式得出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)性質(zhì)可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>，
.
（2）由（1）得，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
解得.
（3）由（1）得，設(shè)，
則
又不共線，所以，即.
由，得.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，故.
向量的線性表示與最值取值范圍問題
21. （23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立基底，，則，然后將設(shè)，最終表示為，然后得到，進(jìn)而求出范圍．
【詳解】矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足，

設(shè)，則，，
聯(lián)立，可解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則可設(shè)，
，
又，所以，
，
因?yàn)椋裕?br/>故選：B．
22. （23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，，根據(jù)平面向量基本定理，將用線性表示，根據(jù)兩個(gè)向量相等即可求出的值，即可得出答案.
【詳解】由題知點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，
所以
，
因?yàn)椴还簿€，所以，故.
故選：D.
23. （23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；
(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線，用表達(dá)，再用表達(dá)，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可由共線定理求得；
（2）用表達(dá)，再用表達(dá)，根據(jù)，待定系數(shù)求得關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【詳解】（1）由點(diǎn)共線可設(shè)，
則，即，
，，，
為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，
由點(diǎn)共線可設(shè)，即，
故，解得，故，.
（2） ，，，
故，又為中點(diǎn)，
則，
故，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
故的最小值為.
24. （23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的幾何運(yùn)算求解；②設(shè)，然后用表示，然通過，將也用表示，然后利用系數(shù)對應(yīng)相等列方程組求解；
（2）設(shè)，將用表示，然后利用系數(shù)對應(yīng)相等將用表示，然后利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）①因?yàn)椋裕?br/>故在中，；
②因?yàn)椋c(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>又由①及已知，，所以，
解得；
（2）因?yàn)椋郑c(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為.
25. （23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且.過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
（2）依題意可得，根據(jù)三點(diǎn)共線的推論得到，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因?yàn)椋郑?br/>依題意，，所以，，
所以，又，，三點(diǎn)共線，且在線外，
所以有，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
向量的坐標(biāo)表示
26. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)所求為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及列方程組即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
若，從而，解得，則.
故選：D.
27. （23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算直接構(gòu)造方程求解即可.
【詳解】設(shè)，則，解得：，，.
故選：C.
28. （23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）若向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由向量，可得.
故選：C.
29. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）已知向量，則與向量平行的單位向量為 .
【答案】或
【分析】利用與向量平行的單位向量為，求解即可
【詳解】因?yàn)椋裕耘c向量平行的單位向量為或.
故答案為：或
30. （23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，利用向量共線的關(guān)系，列出方程求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，解得：.
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.
故答案為：.
向量共線與坐標(biāo)
31. （23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）若向量，則（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】向量，所以，即.
故選：C
32. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>若，則，解得，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
33. （23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，向量，其中，若，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】先由題意求得，再利用向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
因?yàn)椋c(diǎn)共線，則共線，
所以，則.
故選：C.
34. （多選）（23-24高一下·全國·期中）下列各組向量中，能作為基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合基底的定義依次求解即可.
【詳解】對于A，零向量與任意向量共線，則向量與共線，不能作為基底，A不是；
對于B，由，得與不共線，能作為基底，B是；
對于C，由，得與不共線，能作為基底，C是；
D：由，得與不共線，能作為基底，D是.
故選：BCD
35. （23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍滿足的集合為
【答案】
【分析】根據(jù)不共線求解即可.
【詳解】，，由題不共線，即不共線，
則.
故答案為：
向量的數(shù)量積
36. （23-24高一下·海南海口·階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則（ ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化向量，再結(jié)合向量的運(yùn)算律，即可求解.
【詳解】由題可知，，，
.

故選：D
37. （23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.
【詳解】等邊的邊長為1，則，
，
所以.
故選：D
38. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）若向量，，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，
故選：A.
39. （23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在四邊形中，分別是邊的中點(diǎn)，，，，則 .
【答案】/
【分析】利用圖象，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則確定向量的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)由條件求.
【詳解】因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，
所以，，
又，，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，，，
所以，
所以，
故答案為：.
40. （23-24高一下·天津靜海·階段練習(xí)）在梯形ABCD中，AD∥BC，，，若，則的值為 ．
【答案】0
【分析】由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解．
【詳解】在梯形中，，，，
則，且，
即，
可得，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，，，，
由，可得，則，
所以．
故答案為：0．
向量的夾角
41. （2012高一·全國·競賽）若是非零向量，且滿足，則與的夾角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用得到，再利用平面向量的夾角公式求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，
故選：C
42. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，即與的夾角為.
故選：B.
43. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算公式，結(jié)合向量的夾角公式代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄繚M足，且向量在向量上的投影向量為，
可得，
解得，因?yàn)椋?
故選：C.
44. （2024高一·全國·專題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
【答案】
【分析】由，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】因?yàn)榍覟榉橇阆蛄浚O(shè)，則，
又，所以，則，
所以，
設(shè)向量的夾角為，則，
即向量夾角的余弦值為.
故答案為：.
45. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求，再結(jié)合關(guān)系求；
（2）根據(jù)向量的夾角余弦公式求向量與的夾角余弦，再求其夾角.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
解得，．
所以，
所以．
（2）．
設(shè)向量與的夾角為，則
．
因?yàn)椋裕?br/>向量的模長
46. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，，且，則為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】借助向量的線性運(yùn)算，可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題意計(jì)算即可得.
【詳解】
，
即，
故或（負(fù)值舍去）.
故選：B.
47. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）在平行四邊形中，是直線上的一點(diǎn)，且，若，則 .
【答案】3
【分析】將向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化得，從而得解.
【詳解】記，又，所以，所以，
解得.
故答案為：3
48. （23-24高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故答案為：
49. （2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，若，則 .
【答案】
【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.
【詳解】向量，，，則，解得，即，
所以.
故答案為：
50．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案為：
垂直問題
51. （23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用列方程求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
解得.
故選：A.
52. （21-22高一下·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知，是非零向量，且，不共線，，，若向量與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)互相垂直的向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由向量與互相垂直，且，，
則，解得．
故選：C．
53. （2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，列方程求解，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以．所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，
故選：B
54. （2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知.
(1)設(shè)的夾角為θ，求cos θ的值；
(2)若向量與互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用平面向量的夾角公式求解；
（2）根據(jù)向量與互相垂直，由求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>設(shè)的夾角為θ，
所以；
（2）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以，即，即，
解得.
55. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運(yùn)用平面向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
（2）運(yùn)用平面向量夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，解得.
故的值為3.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故與的夾角的余弦值為.
鈍角、銳角問題
56. （23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意當(dāng)且僅當(dāng)且與不反向才滿足題意，由此解不等式組即可求解.
【詳解】已知，與的夾角為，則，
由題意，
，又時(shí)，與反向，
，且
故選：C.
57. （23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】依題意可得且與不共線（同向），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示得到不等式組，解得即可.
【詳解】因?yàn)椋遗c的夾角為銳角，
所以且與不共線（同向），
所以，解得且，
所以的取值范圍為.
故答案為：
58. （20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化為并去掉兩向量共線反方向的情況.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且與不共線（反向），
則，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)兩向量共線且方向相反，
所以，
所以的取值范圍是．
59. （23-24高一下·福建三明·階段練習(xí)）設(shè)是不共線的單位向量，且與的夾角的余弦值為.
(1)求；
(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長公式即可求解，
（2）根據(jù)數(shù)量積以及向量共線即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以
所以，
（2）因?yàn)榕c的夾角為銳角，
所以且與不共線，
當(dāng)與共線時(shí)，設(shè)，即，
因?yàn)榕c不共線，所以，解得，
因此當(dāng)與不共線時(shí)，，
由，得，
即，解得，
所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
60. （23-24高一下·河南三門峽·階段練習(xí)）已知向量，，，．
(1)求的最小值及相應(yīng)的t值；
(2)若與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1)最小值為，
(2)
【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，由二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值；
（2）若與夾角為鈍角，則數(shù)量積為負(fù)且向量不共線，解不等式即可.
【詳解】（1）∵，，，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為，此時(shí)；
（2）∵，，
若與共線，∴．
解之可得，此時(shí)二者反向.
若與夾角為鈍角，則，得且．
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍.
投影問題
61. （23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖，
又，所以為等邊三角形，
則，故，
所以向量在向量上的投影向量為
．
故選：D．
62. （23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，設(shè)與同向的單位向量為，則在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件，利用投影向量的定義，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，
所以在上的投影向量為，
故答案為：.
63. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，結(jié)合投影向量的公式即可求得答案.
【詳解】由題意知平面向量滿足，，
則，即，
可得，整理得，
所以在方向上的投影向量為.
故答案為：.
64. （23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）已知，為單位向量，它們的夾角為，則向量在向量上的投影向量為 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的定義計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得向量在向量上的投影向量為.
故答案為：
65. （21-22高一下·江蘇徐州·期中）已知向量，甲乙丙丁四位同學(xué)通過運(yùn)算得到如下結(jié)果：
甲：與反向的單位向量為；
乙：與垂直的單位向量為；
丙：在向量上的投影向量為；
丁：在向量上的投影向量為．
其中有且只有一個(gè)人計(jì)算錯(cuò)誤，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】依次分析甲乙丙丁中有且僅有一個(gè)人計(jì)算錯(cuò)的情況，可知丙錯(cuò)，甲乙丁正確符合要求，計(jì)算出，即可得解.
【詳解】若甲錯(cuò)誤，則乙丙丁正確，由垂直于單位向量，
解得，又由在向量上的投影向量為得到，
在向量上的投影向量為，得到，
此時(shí)，不滿足，所以不成立；
若乙錯(cuò)誤，則甲丙丁正確，與反向的單位向量為，可得，
此時(shí)垂直于單位向量，不滿足要求；
若丙錯(cuò)誤，則甲乙丁正確，由甲乙可得到，由丁：在向量上的投影向量為，可得，此時(shí)滿足要求，得，；
若丁錯(cuò)誤，則甲乙丙正確，由甲乙可得到，由丙可得，
不滿足要求.
故選：D
三角形的形狀問題
66. （23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算可得，兩邊平方后結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，即可推得答案.
【詳解】由，可得，
即，即，
將等式兩邊平方，化簡得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故選：B．
67. （22-23高一下·河北石家莊·期中）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運(yùn)算律計(jì)算判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故選：C
68. （22-23高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）在中，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
【答案】D
【分析】
由，可得，分析即得解.
【詳解】由題意，
，又，
為銳角，但另外兩角不能確定，故的形狀不能確定.
故選：D.
69. （22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）在中，若，則的形狀是 .
【答案】等腰三角形
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求解.
【詳解】，
，即，
為等腰三角形.
故答案為：等腰三角形
70. （21-22高一·全國·課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定
【答案】B
【分析】由相等向量，向量的減法運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋运倪呅蜛BCD是平行四邊形，
又因?yàn)椋矗?br/>所以平行四邊形ABCD是矩形.
故選：B.
四心問題
71. （23-24高一下·河南·階段練習(xí)）設(shè)是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
【答案】A
【分析】利用向量的加減法法則計(jì)算化簡，再運(yùn)用向量垂直的充要條件進(jìn)行判斷即得.
【詳解】由題意可得，則，故點(diǎn)是的垂心.
故選：A.
72. （多選）（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的外心，滿足，則是的垂心
C．若是所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則直線一定經(jīng)過的外心
D．若，則為的外心
【答案】ABD
【分析】對于A：設(shè)為中點(diǎn)，通過判斷；對于B；通過證明來判斷；對于C：通過來判斷；對于D：通過來判斷.
【詳解】對于A：設(shè)為中點(diǎn)，
則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在邊的中線上，同理，點(diǎn)也在邊的中線上，所以為的重心，A正確；

對于B：由已知，即，因?yàn)椋裕袋c(diǎn)在邊的高上，同理點(diǎn)在邊的高上，所以是的垂心，B正確；

對于C：，，，分別是向量方向上的單位向量，設(shè)向量方向上的單位向量分別為，
則，即，又菱形的幾何特征可得直線一定經(jīng)過的內(nèi)心，C錯(cuò)誤；
對于D：由得，即點(diǎn)在邊的垂直平分線上，同理，點(diǎn)在邊的垂直平分線上，即點(diǎn)為的外心，D正確；

故選：ABD.
73. （23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿足，則是的 心.（填“重”或“垂”或“內(nèi)”或“外”）
【答案】垂
【分析】由條件等式移項(xiàng)后，逆用數(shù)量積的分配律將其化簡成，即得，同理可得另外兩個(gè)垂直關(guān)系，即得點(diǎn)為其垂心.
【詳解】因?yàn)椋恚蕿榈拇剐?
故答案為：垂.
74. （多選）（23-24高一下·山東臨沂·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，，則
C．點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，且，則為等腰三角形
D．，則為銳角三角形
【答案】BC
【分析】根據(jù)向量減法判斷A，根據(jù)向量的加法及中線的向量表示可得，即可判斷B，
根據(jù)向量的和差運(yùn)算化簡可得中線也為高線判斷C，根據(jù)向量判斷A為銳角判斷D選項(xiàng).
【詳解】由向量減法知，故A錯(cuò)誤；
設(shè)中點(diǎn)分別為，則，
即，如圖，

由，，所以，
所以，故B正確；
設(shè)為邊上的中點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>所以，所以，如圖，

所以，故為等腰三角形，故C正確；
在中，不共線，當(dāng)時(shí)，可得，即為銳角，但是不能保證三角形為銳角三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
75. （多選）（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且點(diǎn)分別為該三角形的重心 垂心 外心和內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若且，則；
B．；
C．若，則為等腰三角形；
D．若，則.
【答案】ACD
【分析】對A，化簡可得，再兩邊平方化簡即可；對B，取的中點(diǎn)，根據(jù)重心的性質(zhì)化簡判斷即可；對C，根據(jù)條件推導(dǎo)即可；對D，根據(jù)垂心的性質(zhì)推導(dǎo)可得，再設(shè)，根據(jù)可得，同理可得，再根據(jù)向量的夾角公式求解即可.
【詳解】對A，若且，則，
兩邊同時(shí)平方可得：，
所以，即，故A錯(cuò)誤；
對B，取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹匦模校?br/>所以，，，
又因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；
對C，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，，
故
，即，
故點(diǎn)的軌跡為過的垂線，即的中垂線，
則是以為底邊的等腰三角形，故C正確；
對D，因?yàn)闉榈拇剐模瑒t，即，
即，則，
同理，，所以，
設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>即，則，
，即，
則，
，，故D正確.
故選：ACD
正余弦定理的應(yīng)用
76. （23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用正弦定理求解.
【詳解】解：由正弦定理，
得，
故選：B
77. （23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則 ．
【答案】1
【分析】利用余弦定理即可求解.
【詳解】由余弦定理得.
故答案為：.
78. （23-24高一下·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知為的邊上一點(diǎn)，，，，則 ．

【答案】/
【分析】由已知可得，則，設(shè)，然后在中利用余弦定理可求出，再在中，利用正弦定理可求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以由，得，
所以．
設(shè)，則，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故答案為：
79. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知在中，角的對邊分別為且．
(1)求；
(2)求的大小及的面積．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊即可；
（2）利用余弦定理及面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）由正弦定理，又，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，
又，所以，
所以.
80. （23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形中，，

(1)求的值.
(2)若為銳角，，求角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理直接可求；
（2）由正弦定理求出，再根據(jù)為銳角，確定角即可.
【詳解】（1）在種，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角，所以
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第二章平面向量及其應(yīng)用章末十六種常考題型歸類
向量的加減法與數(shù)乘
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）若，設(shè)，則的值為 .
3．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若，，則 ， ．
4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）若，其中為已知向量，求未知向量．
5．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）在中，設(shè)，，，,則下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
向量共線與三點(diǎn)共線問題
6．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)
C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)
7．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）已知向量，且，則下列一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則 .
9．（23-24高一下·河北承德·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，若與共線，則 ．
10．（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）已知向量，，且，則 .
向量的線性表示
11．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
12．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖，在中，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，中，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
15．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點(diǎn)E在線段AC上，AD與BE交于點(diǎn)F，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
向量的線性表示與參數(shù)
16．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（ ）

A． B． C． D．
17．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為的重心，滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．
19．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在三角形ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，若則 .
20．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.

(1)用和表示；
(2)設(shè)，求的值；
(3)設(shè)，證明：.
向量的線性表示與最值取值范圍問題
21. （23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
22. （23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
23. （23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；
(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.
24. （23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
25. （23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且.過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
向量的坐標(biāo)表示
26. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
27. （23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
28. （23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）若向量，則（ ）
A． B． C． D．
29. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）已知向量，則與向量平行的單位向量為 .
30. （23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
向量共線與坐標(biāo)
31. （23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）若向量，則（ ）
A．1 B． C． D．4
32. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
33. （23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，向量，其中，若，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．2
34. （多選）（23-24高一下·全國·期中）下列各組向量中，能作為基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35. （23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍滿足的集合為
向量的數(shù)量積
36. （23-24高一下·海南海口·階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則（ ）

A．1 B．3 C． D．
37. （23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長為，那么（ ）
A． B． C． D．
38. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）若向量，，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
39. （23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在四邊形中，分別是邊的中點(diǎn)，，，，則 .
40. （23-24高一下·天津靜海·階段練習(xí)）在梯形ABCD中，AD∥BC，，，若，則的值為 ．
向量的夾角
41. （2012高一·全國·競賽）若是非零向量，且滿足，則與的夾角是（ ）．
A． B． C． D．
42. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
43. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
44. （2024高一·全國·專題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .
45. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．
(1)求；
(2)求向量與的夾角．
向量的模長
46. （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，，且，則為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
47. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）在平行四邊形中，是直線上的一點(diǎn)，且，若，則 .
48. （23-24高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知向量，滿足，，則 ．
49. （2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，若，則 .
50．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則 .
垂直問題
51. （23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
52. （21-22高一下·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知，是非零向量，且，不共線，，，若向量與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．
53. （2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
54. （2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知.
(1)設(shè)的夾角為θ，求cos θ的值；
(2)若向量與互相垂直，求k的值.
55. （23-24高一下·甘肅武威·階段練習(xí)）已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
鈍角、銳角問題
56. （23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
57. （23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為 ．
58. （20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
59. （23-24高一下·福建三明·階段練習(xí)）設(shè)是不共線的單位向量，且與的夾角的余弦值為.
(1)求；
(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
60. （23-24高一下·河南三門峽·階段練習(xí)）已知向量，，，．
(1)求的最小值及相應(yīng)的t值；
(2)若與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
投影問題
61. （23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
62. （23-24高一下·四川綿陽·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，設(shè)與同向的單位向量為，則在上的投影向量為 .
63. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為 ．
64. （23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）已知，為單位向量，它們的夾角為，則向量在向量上的投影向量為 ．
65. （21-22高一下·江蘇徐州·期中）已知向量，甲乙丙丁四位同學(xué)通過運(yùn)算得到如下結(jié)果：
甲：與反向的單位向量為；
乙：與垂直的單位向量為；
丙：在向量上的投影向量為；
丁：在向量上的投影向量為．
其中有且只有一個(gè)人計(jì)算錯(cuò)誤，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
三角形的形狀問題
66. （23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
67. （22-23高一下·河北石家莊·期中）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
68. （22-23高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）在中，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
69. （22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）在中，若，則的形狀是 .
70. （21-22高一·全國·課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定
四心問題
71. （23-24高一下·河南·階段練習(xí)）設(shè)是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
72. （多選）（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的外心，滿足，則是的垂心
C．若是所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則直線一定經(jīng)過的外心
D．若，則為的外心
73. （23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿足，則是的 心.（填“重”或“垂”或“內(nèi)”或“外”）
74. （多選）（23-24高一下·山東臨沂·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，，則
C．點(diǎn)為內(nèi)的一點(diǎn)，且，則為等腰三角形
D．，則為銳角三角形
75. （多選）（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且點(diǎn)分別為該三角形的重心 垂心 外心和內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若且，則；
B．；
C．若，則為等腰三角形；
D．若，則.
正余弦定理的應(yīng)用
76. （23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．2
77. （23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則 ．
78. （23-24高一下·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知為的邊上一點(diǎn)，，，，則 ．

79. （23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知在中，角的對邊分別為且．
(1)求；
(2)求的大小及的面積．
80. （23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形中，，

(1)求的值.
(2)若為銳角，，求角.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑