資源簡介

第2章：平面向量及其應用章末綜合測試卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）已知：，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·山西大同·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．共線向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，則 D．單位向量的模都相等
4．（23-24高一下·廣西·階段練習）若是兩個單位向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）在中，，，，則角B的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）設，為直線l上的兩個不同的點，則，我們把與向量垂直的非零向量稱為直線l的法向量．如果直線l經過點P（1，2），且它的一個法向量是（3，-1），則點A（3，2）到直線l的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
7．（23-24高一下·重慶·階段練習）碧津塔是著名景點·某同學為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測得塔尖D的仰角為，再沿方向前進24.4米到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，塔底點E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
8．（23-24高一下·山東·階段練習）某課外興趣小組研究發現，人們曾用三角測量法對珠穆朗瑪峰高度進行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度．該興趣小組運用這一方法測量學校旗桿的高度，已知該旗桿（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點的距離為，測得，其中，在點處測得旗桿頂點的仰角為，則該旗桿的高度為（單位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一下·寧夏銀川·期末）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結論正確的有（ ）

A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）如圖，設是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標．若在坐標系中，，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．與的夾角的余弦值為
11．（23-24高一下·山東煙臺·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，則有.設是銳角內的一點，，，分別是的三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一下·上海·階段練習）已知等邊三角形ABC邊長為4，則在方向上的數量投影為 ．
13．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知向量，是平面內的一組基底，，，．若B，C，D三點共線，則λ＝
14．（21-22高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·山東臨沂·階段練習）已知向量與的夾角，且，．
(1)求，；
(2)求在方向上的投影向量的模．
16．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面積.
17．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）在平面四邊形中，，.
(1)求長度；
(2)求.
18．（23-24高一下·湖北·階段練習）如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），且．點C（與B不重合）為單位圓上的動點，線段AC交線段OB于點M．
(1)當，求的值；
(2)設（），（），
①用t來表示；
②已知的面積，記，求函數的值域．
19．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知函數① ②. 從這兩個函數中選擇一個、并完成以下問題.
(1)求的解：
(2)在x軸上取兩點和，設線段的中點為C，過點A，B，C分別作x軸的垂線，與函數的圖象交于，線段 中點為M.
（i）求
（ii）判斷 與的大小.并說明理由.
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（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）已知：，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意結合向量的坐標運算求解.
【詳解】因為，，且，
所以.
故選：D.
2．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據向量減法，將用表示，然后整理可得.
【詳解】因為，
所以，整理得.
故選：C
3．（23-24高一下·山西大同·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．共線向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，則 D．單位向量的模都相等
【答案】D
【分析】利用向量、零向量、單位向量及共線向量的定義，逐一對各個選項分析判斷，即可得出結果.
【詳解】對于選項A，由零向量的定義知，零向量方向任意，所以選項A錯誤，
對于選項B，當共線向量方向相反時，它們肯定不是相等向量，所以選項B錯誤，
對于選項C，向量不能比較大小，所以選項C錯誤，
對于選項D，單位向量的模長均為1個單位長，所以選項D正確，
故選：D.
4．（23-24高一下·廣西·階段練習）若是兩個單位向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據單位向量模為1，但方向不確定，夾角不確定，即可對選項一一判斷.
【詳解】對于A項，因是兩個單位向量，方向不確定，故A項錯誤；
對于B項，因，故，即，故B項錯誤；
對于C項，因的夾角不確定，故不能恒成立，故C項錯誤；
對于D項，由B項可知，D項正確.
故選：D.
5．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）在中，，，，則角B的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦定理即可求解.
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
6．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）設，為直線l上的兩個不同的點，則，我們把與向量垂直的非零向量稱為直線l的法向量．如果直線l經過點P（1，2），且它的一個法向量是（3，-1），則點A（3，2）到直線l的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，求得和直線的一個法向量為，結合距離公式，即可求解.
【詳解】由點和，可得，
又由直線的一個法向量為，
所以點到直線的距離為.
故選：B.
7．（23-24高一下·重慶·階段練習）碧津塔是著名景點·某同學為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測得塔尖D的仰角為，再沿方向前進24.4米到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，塔底點E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出，再結合直角三角形邊角關系求解即得.
【詳解】在中，，則，，
由正弦定理得，則，
在中，，則，
在中，，則，又，
因此，，
所以碧津塔高約為38.23米.
故選：B
8．（23-24高一下·山東·階段練習）某課外興趣小組研究發現，人們曾用三角測量法對珠穆朗瑪峰高度進行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度．該興趣小組運用這一方法測量學校旗桿的高度，已知該旗桿（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點的距離為，測得，其中，在點處測得旗桿頂點的仰角為，則該旗桿的高度為（單位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】作出示意圖，在中解出，在中解出.
【詳解】
在中，，，，
因為，
所以，
在中，.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（22-23高一下·寧夏銀川·期末）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結論正確的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據平面向量數量積的定義求解.
【詳解】由正八邊形的幾何性質知：每個中心角為，，D正確；
，A正確；
與是方向相反的向量，B錯誤；
，C正確；
故選：ACD.
10．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）如圖，設是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標．若在坐標系中，，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．與的夾角的余弦值為
【答案】ABD
【分析】
根據題意，利用向量的新定義，結合向量的數量積、向量的夾角公式和向量模的計算公式，逐項計算，即可求解.
【詳解】由向量分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量且，
可得，
因為，
對于A中，由，所以A正確；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由，所以C不正確；
對于D中，由，可得且，
所以，所以D正確.
故選：ABD.
11．（23-24高一下·山東煙臺·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，則有.設是銳角內的一點，，，分別是的三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
【答案】ABD
【分析】對于A，假設為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得C錯誤；選項D，由垂心的性質、向量數量積的運算律，得到，結合三角形面積公式及角的互補關系得結論.
【詳解】對于A：如下圖所示，
假設為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：由奔馳定理O是內的一點，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C錯誤；
對于D：由四邊形內角和可知，，
則，
同理，
因為O為的垂心，則，
所以，
同理得，，
則，
令，
由，
則，
同理：，
，
綜上，，
根據奔馳定理得，即D正確.
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：利用向量數量積定義、運算律和垂心性質得到向量模的比例，結合三角形面積公式和奔馳定理判斷結論即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一下·上海·階段練習）已知等邊三角形ABC邊長為4，則在方向上的數量投影為 ．
【答案】2
【分析】
根據題意結合數量投影的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：在方向上的數量投影為.
故答案為：2.
13．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知向量，是平面內的一組基底，，，．若B，C，D三點共線，則λ＝
【答案】4
【分析】根據向量共線即可求解.
【詳解】,
,
由于B，C，D三點共線，所以與共線，
因此,
故答案為：4
14．（21-22高一下·全國·期末）如圖，在梯形中，，點是的中點，點在線段上，若，則的值為 .

【答案】/
【分析】利用向量運算得，然后利用三點共線列方程求解即可.
【詳解】由題意得，，
因為，D，F三點共線，所以，解得.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·山東臨沂·階段練習）已知向量與的夾角，且，．
(1)求，；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據數量積的運算公式即可求解，向量的模，結合數量積公式，可解得；(2)利用向量投影公式計算模.
【詳解】（1）由已知，得．
；
（2），
在方向上的投影向量的模為．
16．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面積.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，則A可求；
（2）利用正弦定理可直接求解出的值；
（3）利用三角形的面積公式運算求解.
【詳解】（1）在中，根據余弦定理得，，
且，所以.
（2）在中，根據正弦定理，
可得.
（3）由（1）可得：的面積為.
17．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）在平面四邊形中，，.
(1)求長度；
(2)求.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由數量積的定義求出，即可得到為等邊三角形，即可得解；
（2）設 ，在中由余弦定理求出，再由及數量積的定義求出，即可得到為等腰直角三角形且，最后由余弦定理計算可得.
【詳解】（1）由，，
所以，又，所以，所以為等邊三角形，
所以，即的長度為.
（2）設 ，
在中，由余弦定理知，，
即，所以，
由，解得或（舍去），
所以，即為等腰直角三角形且，所以，
在中，由余弦定理知，
，所以，
18．（23-24高一下·湖北·階段練習）如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），且．點C（與B不重合）為單位圓上的動點，線段AC交線段OB于點M．
(1)當，求的值；
(2)設（），（），
①用t來表示；
②已知的面積，記，求函數的值域．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）利用向量的數量積運算法則，結合轉化法即可求解；
（2）①利用向量的線性運算及向量的模公式即可求解；
②根據已知條件及①的結論，利用換元后借助于對勾函數的性質即可求解.
【詳解】（1）由題意知，，
，
．
（2）①設（），
則，
故，
由可得，，
即，
整理得；
②由，故，則
（），
令，則，
故，
由雙勾函數的性質知，在上是減函數，則，
則，故的值域為．
19．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知函數① ②. 從這兩個函數中選擇一個、并完成以下問題.
(1)求的解：
(2)在x軸上取兩點和，設線段的中點為C，過點A，B，C分別作x軸的垂線，與函數的圖象交于，線段 中點為M.
（i）求
（ii）判斷 與的大小.并說明理由.
【答案】(1)選擇函數 ；選擇函數 ；
(2)（i）選擇函數 ；選擇函數 ；（ii），理由見解析
【分析】（1）根據解析式代入運算求解；
（2）根據題意，求出的坐標，根據向量模的坐標公式運算判斷.
【詳解】（1）選擇①，.
選擇②，.
（2）選擇①，線段的中點為C為，分別為，，，線段中點M 為 ，
；

所以，
所以 即.
選擇②，線段的中點為C為，分別為，，,
線段中點M 為，
；
，又
，
所以 即.
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