資源簡介

2.5 從力的做功到向量的數量積6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積． (2)通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義． (3)能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角． (4)能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件． 1.理解向量數量積的定義及投影向量； 2.掌握向量積的運算律和運算性質. 3.學會用坐標表示平面向量的數量積，掌握兩點之間的距離公式； 4..掌握平面向量的夾角公式； 5.能夠用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系. 6.能夠靈活運用向量數量積解決平面幾何問題，主要涉及向量長度的計算和向量夾角的計算.
知識點01向量的數量積
1.定義
已知兩個非零向量a與b，|a||b|cos θ稱為a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a與b的夾角．零向量與任一向量的數量積為0．
2.幾何意義
b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|cos θ的乘積；或a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積．
3.性質
(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.
(2)若a，b是非零向量，則a·b＝0 a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝．
(4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立．
4.運算律
交換律：a·b＝b·a
結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注：關于向量數量積應注意的問題
(1)若向量與的夾角為θ，θ＝0時，與同向；θ＝π時，與反向；θ＝時，⊥.
(2)求兩向量的夾角，應保證兩個向量有公共起點，若沒有，需平移．
(3)向量的數量積結果是一個數量，符號由cos θ的符號所決定，而向量的加減法和實數與向量的積的結果仍是向量．
(4)符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．
【即學即練1】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【即學即練2】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【即學即練3】若非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【即學即練4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則·＝________，·＝________，·＝________.
【即學即練5】在中，，點D在上，，，則（　?。?br/>A．8 B．10 C．12 D．16.
知識點02 平面向量數量積的坐標表示
　
若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．
注：對于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，兩者無本質區別，計算時根據已知條件選用即可．可用坐標運算的結果判斷cosθ的正負．
【即學即練6】已知，，則=___________.
【即學即練7】設a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(　　)
A．12　　　B．0 C．－3 D．－11
【即學即練8】已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，則a·b＝________.
【即學即練9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
知識點03　兩個向量垂直的坐標表示
設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b a·b＝0 ．
注：這個結論與∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以從平行與垂直的定義理解．設非零向量的起點均為原點O，的終點為A，的終點為B， ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不為0，則kOA ＝kOB，即 ＝，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直則是從數量積的角度理解，若⊥，則cos θ ＝0(θ為向量與的夾角)，· ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0.
【即學即練10】已知向量，且，則_______.
【即學即練11】已知向量，，若，則t的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【即學即練12】設向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數λ＝________.
知識點04　向量模的坐標表示
1．向量模的坐標表示
若a＝(x，y)，則|a|2＝x2+y2，或|a|＝．
在平面直角坐標系中，若＝a＝(x，y)，
則||＝|a|，即|a|為點A到原點的距離．
2．兩點間的距離公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
注：如何準確把握向量的模的坐標表示與兩點間的距離公式
(1)向量的長度(或模)是該向量與其自身的數量積的算術平方根，由數量積的坐標公式即可推出向量長度的坐標計算公式；
(2)||即為A，B兩點間的距離，||的計算公式與解析幾何中兩點間的距離公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐標或表示向量的有向線段的起點和終點的坐標，可分別利用上述兩個公式求向量的模，它們在本質上是一致的．
3．向量a的單位向量的坐標表示
因為向量a的單位向量a0＝±，
若a＝(x，y)，則|a|＝，所以a0＝±＝．
【即學即練13】已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.
【即學即練14】設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
【即學即練15】已知向量，且，，則（ ）
A．3 B． C． D．
知識點05 兩向量夾角余弦的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cos θ＝＝(|a||b|≠0)．
【即學即練16】已知向量，，則與夾角的大小為_________.
【即學即練17】已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練18】設向量，，則與夾角的余弦值為（ ）
A．0 B． C． D．1
【即學即練19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數λ的取值范圍，使得：
(1)a與b的夾角為直角；
(2)a與b的夾角為鈍角；
(3)a與b的夾角為銳角．
題型一：向量數量積的計算及其幾何意義
例1．（2024高一下·江西上饒·階段練習）在等腰梯形 中，，，則下列各組向量夾角為的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
變式1．（2024高一下·北京順義·階段練習）若均為非零向量，則是與共線的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
例2．（2024高一下·河南·階段練習）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
變式1．（2024高一下·湖北武漢·階段練習）在中，，，為的中點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
變式2．（2024高二上·四川成都·開學考試）在中，，M是邊的中點，O為的外心，則（ ）
A．8 B． C．16 D．17
變式3．（2024高三上·北京海淀·階段練習）在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
向量數量積的求法
(1)求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵．
(2)根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．
題型二：求向量的模
例3．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，若，，與的夾角為，則＝（　?。?br/>A．6 B．
C．3 D．
變式1．（2024高三下·安徽滁州·階段練習）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
變式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、滿足，，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024高三·陜西西安·階段練習）若向量與的夾角為，，則等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
變式4．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，滿足，，，則實數k的值為（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
變式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，點在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【方法技巧與總結】
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
題型三：向量的夾角與垂直問題
（一）求向量的夾角
例4．（2024高三上·山東煙臺·期末）已知，則向量與夾角的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量 ,滿足，且 則的夾角為（ ）
A．45° B．135°
C．60° D．120°
變式2．（2024高三下·重慶·開學考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024高三·全國·專題練習）已知向量，滿足，，，則（　　）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
（二）已知兩向量的夾角求相關參數的值
例5．（2024高三·全國·專題練習）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．
變式1．（2024高一下·陜西渭南·期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個單位向量，則“為銳角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件（ ）
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式3．（2024高三上·北京懷柔·階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為 ．
變式4．（2024高一下·山東泰安·階段練習）設兩個向量滿足．
(1)若，求的夾角；
(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．
變式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：
(1)與的夾角；
(2)；
(3)若與夾角為鈍角，求的取值范圍.
（三）向量垂直的問題
例6．（2024高一·江蘇·專題練習）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知，，，且與垂直，則 .
變式2．（2024高三上·陜西·階段練習）已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
變式3．（2024高一·江蘇·專題練習）已知是非零向量，當的模取最小值時，求證：．
變式4．（2024高一·江蘇·專題練習）已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t＝ ．
變式5．（2024高二上·全國·階段練習）已知向量、的夾角為．
(1)求·的值
(2)當時，對于任意的，證明，和都垂直．
【方法技巧與總結】
1、求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根據θ∈[0，π]確定θ.而求cos θ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|a|，|b|之間的關系分別代入公式計算．
2、向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關題目的依據是a⊥b a·b＝0，利用數量積的運算律代入，結合與向量的模、夾角相關的知識解題．
題型四：平面向量數量積的坐標運算
例7．（2024高一下·甘肅張掖·階段練習）已知，則等于（　?。?br/>A．10 B． C．3 D．
變式1．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）若向量，，，且滿足條件，則（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
變式3．（2024高一下·全國·課后作業）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，，則 .
變式4．（2024高一下·江蘇·階段練習）已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)記函數，若的最小值為，求實數的值.
變式5．（2024高三上·河南·專題練習）已知向量，函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)當時，求函數的最值．
【方法技巧與總結】
向量數量積運算的途徑及注意點
(1)進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知條件計算．
(2)對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產生建系的想法，并寫出相應點的坐標求解．
題型五：平面向量共線、垂直的坐標表示的應用
例8．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
變式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·福建漳州·模擬預測）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．【多選】（2024高一下·云南紅河·開學考試）已知向量，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
變式4．【多選】（2024高三上·浙江金華·期末）設平面向量，，（ ）
A．若，則 B．若，則
C．， D．，使
【方法技巧與總結】
根據向量共線、垂直求參數的值的基本思路
借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數的值，是向量坐標運算的重要應用之一，具體做法就是先借助a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0或a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關于某參數的方程(或方程組)，然后解之即可．
題型六：平面向量的模與夾角
（一）向量的模
例9．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，則 .
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，，且，則（　　）
A． B．5
C． D．
變式2．（2024高三上·全國·階段練習）已知且，則 ．
變式3．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設，向量，，且，則（ ）
A． B． C．10 D．
變式4．（2024高一下·全國·專題練習）設向量，且，則 ， .
變式5．（2024高三·全國·專題練習）在四邊形中，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C．2 D．15
（二）向量的夾角
例10．（2024高三上·遼寧·期中）已知向量，，，則 （ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，，則向量，的夾角為（　?。?br/>A． B．
C． D．
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）已知菱形中，，點為上一點，且，則的余弦值為 .
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則 .
變式4．（2024高三下·陜西安康·開學考試）已知向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024高一·江蘇·專題練習）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
（三）三角形形狀的判斷
例11．（2024高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形
變式1．（2024高一下·吉林長春·階段練習）在中，下列命題正確的個數是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“A為直角”的充要條件
B．“”是“A為銳角”的充要條件
C．“”是“是銳角三角形”的充分不必要條件
D．“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件
變式3．（2024高三上·山東濟南·期末）已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
【方法技巧與總結】
1.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題．
(2)坐標表示下的運算
若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
2.根據向量的夾角求參數：由于兩個非零向量a，b的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cos θ＝，故當θ＝0時，a·b＝|a|·|b|；當0<θ<時，a·b>0且<1；當θ＝時，a·b＝0；當<θ<π時，a·b<0且>－1；當θ＝π時，a·b＝－|a||b|.
3.判斷三角形的形狀要兩判
一判三角形三邊所在的向量兩兩數量積的大?。?br/>二判三角形三邊邊長的關系．
一、單選題
1．（2024高一下·湖南益陽·階段練習）已知，，，則向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知點是邊長為2的正三角形的重心，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024高一下·山東濱州·開學考試）已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
5．（2024高一·全國·專題練習）若O是所在平面內的一點，且滿足，則的形狀為（　?。?br/>A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024高一·江蘇·專題練習）已知平面向量與的夾角為60°，||＝2，||＝4，則|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
8．（2024高三下·重慶·階段練習）已知向量，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題
9．（2024高一上·浙江紹興·期末）下面給出的關系式中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·湖南長沙·開學考試）已知向量，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．與向量平行的單位向量僅有 D．向量在向量上的投影向量為
11．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量則下列說法正確的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，則
C．在上的投影向量為
D．若，則
12．（2024高三下·浙江·開學考試）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量是
三、填空題
13．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，若，則 .
14．（2024高一下·廣西南寧·開學考試）已知向量，滿足，，則 ．
15．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量,,若,則 ．
16．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知，是單位向量，，．若，則與的夾角為 ．
四、解答題
17．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知向量.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
18．（2024高一下·北京·期中）已知向量 和 ，則 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 與 的夾角θ的余弦值．
19．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）已知向量，，．
(1)求
(2)若，求實數的值．
20．（2024高一下·全國·專題練習）已知.
(1)設的夾角為θ，求cos θ的值；
(2)若向量與互相垂直，求k的值.
21．（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量，滿足，且.
(1)求；
(2)當時，求和向量與的夾角的值．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.5 從力的做功到向量的數量積6種常見考法歸類
課程標準 學習目標
(1)通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積． (2)通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義． (3)能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角． (4)能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件． 1.理解向量數量積的定義及投影向量； 2.掌握向量積的運算律和運算性質. 3.學會用坐標表示平面向量的數量積，掌握兩點之間的距離公式； 4..掌握平面向量的夾角公式； 5.能夠用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系. 6.能夠靈活運用向量數量積解決平面幾何問題，主要涉及向量長度的計算和向量夾角的計算.
知識點01向量的數量積
1.定義
已知兩個非零向量a與b，|a||b|cos θ稱為a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a與b的夾角．零向量與任一向量的數量積為0．
2.幾何意義
b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|cos θ的乘積；或a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積．
3.性質
(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.
(2)若a，b是非零向量，則a·b＝0 a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝．
(4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立．
4.運算律
交換律：a·b＝b·a
結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注：關于向量數量積應注意的問題
(1)若向量與的夾角為θ，θ＝0時，與同向；θ＝π時，與反向；θ＝時，⊥.
(2)求兩向量的夾角，應保證兩個向量有公共起點，若沒有，需平移．
(3)向量的數量積結果是一個數量，符號由cos θ的符號所決定，而向量的加減法和實數與向量的積的結果仍是向量．
(4)符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．
【即學即練1】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【解析】由條件可得，故選：D
【即學即練2】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解析】由題設，.
故選：B.
【即學即練3】若非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】因為非零向量，所以存在實數使得，
又因為，所以，
故選：D．
【即學即練4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則·＝________，·＝________，·＝________.
【解析】由題意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
【即學即練5】在中，，點D在上，，，則（　?。?br/>A．8 B．10 C．12 D．16.
【解析】在中，因為，
所以，
所以.
故選：C．
知識點02 平面向量數量積的坐標表示
　
若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．
注：對于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，兩者無本質區別，計算時根據已知條件選用即可．可用坐標運算的結果判斷cosθ的正負．
【即學即練6】已知，，則=___________.
【解析】由題意可知：
【即學即練7】設a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(　　)
A．12　　　B．0 C．－3 D．－11
【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
【即學即練8】已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，則a·b＝________.
【解析】因為a＝(－2，－6)，所以|a|＝ ＝2. 又|b|＝，向量a與b的夾角為60°，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.
答案：10
【即學即練9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
知識點03　兩個向量垂直的坐標表示
設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b a·b＝0 ．
注：這個結論與∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以從平行與垂直的定義理解．設非零向量的起點均為原點O，的終點為A，的終點為B， ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不為0，則kOA ＝kOB，即 ＝，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直則是從數量積的角度理解，若⊥，則cos θ ＝0(θ為向量與的夾角)，· ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0.
【即學即練10】已知向量，且，則_______.
【解析】因為，且，
所以，解得.
故答案為：
【即學即練11】已知向量，，若，則t的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【解析】因為向量，，所以，因為，所以，解得：，
故選：A.
【即學即練12】設向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數λ＝________.
【解析】(a＋λb)⊥(a－λb) (a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0 18－2λ2＝0 λ＝±3.
答案：±3
知識點04　向量模的坐標表示
1．向量模的坐標表示
若a＝(x，y)，則|a|2＝x2+y2，或|a|＝．
在平面直角坐標系中，若＝a＝(x，y)，
則||＝|a|，即|a|為點A到原點的距離．
2．兩點間的距離公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
注：如何準確把握向量的模的坐標表示與兩點間的距離公式
(1)向量的長度(或模)是該向量與其自身的數量積的算術平方根，由數量積的坐標公式即可推出向量長度的坐標計算公式；
(2)||即為A，B兩點間的距離，||的計算公式與解析幾何中兩點間的距離公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐標或表示向量的有向線段的起點和終點的坐標，可分別利用上述兩個公式求向量的模，它們在本質上是一致的．
3．向量a的單位向量的坐標表示
因為向量a的單位向量a0＝±，
若a＝(x，y)，則|a|＝，所以a0＝±＝．
【即學即練13】已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.
【解析】因為a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
【即學即練14】設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，從而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
【即學即練15】已知向量，且，，則（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】向量，由得：，即，
由得：，即，于是得，，，
所以.
故選：B
知識點05 兩向量夾角余弦的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cos θ＝＝(|a||b|≠0)．
【即學即練16】已知向量，，則與夾角的大小為_________.
【解析】設與夾角為，則由已知得，
∵，∴.
故答案為：.
【即學即練17】已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為，所以，
又因為，設 與的夾角為 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故選：A.
【即學即練18】設向量，，則與夾角的余弦值為（ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】，則.
故選：B
【即學即練19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數λ的取值范圍，使得：
(1)a與b的夾角為直角；
(2)a與b的夾角為鈍角；
(3)a與b的夾角為銳角．
【解析】設a與b的夾角為θ，
則a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因為a與b的夾角為直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因為a與b的夾角為鈍角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a與b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．
所以λ的取值范圍為.
(3)因為a與b的夾角為銳角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a與b同向得λ＝2.
所以λ的取值范圍為∪(2，＋∞)．
題型一：向量數量積的計算及其幾何意義
例1．（2024高一下·江西上饒·階段練習）在等腰梯形 中，，，則下列各組向量夾角為的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【分析】
根據向量夾角的概念結合等腰梯形的幾何性質，即可判斷出答案.
【詳解】由題意可得與的夾角為，A錯誤；
如圖，作，交與于E，則，
故與的夾角，B正確；
由于，故與的夾角等于與的夾角，
即為，C錯誤；
與的夾角為，D錯誤；
故選：B
變式1．（2024高一下·北京順義·階段練習）若均為非零向量，則是與共線的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】由，可得，而與共線意味著或，由此即可得解.
【詳解】一方面：由，可得，此時與共線;
另一方面：由與共線，可得或，此時有或，
即此時不一定成立.
結合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.
故選：A.
例2．（2024高一下·河南·階段練習）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根據向量數量積公式，即可求解.
【詳解】.
故選：C
變式1．（2024高一下·湖北武漢·階段練習）在中，，，為的中點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】設，由，根據三角形的面積公式，求得，得，進而得到答案.
【詳解】如圖所示，因為點為的中點，可得，
設，可得，
解得，所以，所以，所以.
故選：D.

變式2．（2024高二上·四川成都·開學考試）在中，，M是邊的中點，O為的外心，則（ ）
A．8 B． C．16 D．17
【答案】B
【分析】
根據題意可將向量數量積轉化到向量上去，再代入數據即可計算得出結論.
【詳解】
由題意，取的中點為，連接，如下圖所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故選：B
變式3．（2024高三上·北京海淀·階段練習）在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設的中點分別為，連接，根據外心的性質可得，，結合三點共線設，進而運算求解即可.
【詳解】設的中點分別為，連接，則，
可得，
同理可得，
因為在線段上，設，
則
，
所以的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：1.對于外心的數量積問題，常借助于外心的性質結合中點分析求解；
2.對于三點共線常結合結論：若三點共線，則，且，分析求解.
【方法技巧與總結】
向量數量積的求法
(1)求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵．
(2)根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．
題型二：求向量的模
例3．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，若，，與的夾角為，則＝（　　）
A．6 B．
C．3 D．
【答案】A
【分析】由數量積公式結合得出答案.
【詳解】∵向量，，與的夾角為，
∴，
∴.
故選：A.
變式1．（2024高三下·安徽滁州·階段練習）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根據平面向量模的運算性質，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】∵向量滿足，
，
，
，
.
故選：B
變式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、滿足，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量數量積的運算性質可求得的值，再利用平面向量數量積的運算性質可求得的值.
【詳解】因為，，且，
則，可得，
所以，，故.
故選：B.
變式3．（2024高三·陜西西安·階段練習）若向量與的夾角為，，則等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】根據向量數量積運算化簡已知條件，從而求得.
【詳解】因為
，
，解得（負根舍去）.
故選：C
變式4．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，滿足，，，則實數k的值為（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用向量數量積的運算律求解即得.
【詳解】將兩邊同時平方，得，而，，，
因此，即依題意，又，所以.
故選：A
變式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，點在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由取得最小值得點為線段的中點，由得，
由配方可得答案.
【詳解】當時，取得最小值，因為，
所以此時點為線段的中點，
因為，所以，故，
則，
因為，
故．
故選：B.
【方法技巧與總結】
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
題型三：向量的夾角與垂直問題
（一）求向量的夾角
例4．（2024高三上·山東煙臺·期末）已知，則向量與夾角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的數量積公式，求解即可.
【詳解】結合題意：設向量與夾角為，
，
因為，所以，解得.
因為，所以.
故選：B.
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量 ,滿足，且 則的夾角為（ ）
A．45° B．135°
C．60° D．120°
【答案】B
【分析】
由向量垂直計算得，再利用夾角公式求解.
【詳解】根據題意，設的夾角為θ，因為，，
所以,
變形可得,則
.又，
所以θ＝135°.
故選:B.
變式2．（2024高三下·重慶·開學考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據投影向量、向量數量積等知識求得正確答案.
【詳解】設與的夾角為，
在上的投影向量為
所以，
所以，
所以為鈍角，且.
故選：A
變式3．（2024高三·全國·專題練習）已知向量，滿足，，，則（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
借助向量數量積的計算及夾角公式計算即可得.
【詳解】
，
，
故.
故選：D.
變式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將平方，求出的值，即可求得以及的值，根據向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知向量，滿足，，，
故，即，
則，
，
故，
故選：A
（二）已知兩向量的夾角求相關參數的值
例5．（2024高三·全國·專題練習）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．
【答案】
【分析】先求得，根據向量的夾角為銳角，得到且，不共線，由此列式來求得的取值范圍.
【詳解】由題意知，，
∵與的夾角為銳角，∴且，不共線，
假設，共線，則存在實數，使得，
由題知，，不共線，∴，∴，
∴若，不共線，則．
，即，∴，
即，得．
綜上，且，
∴的取值范圍為．
變式1．（2024高一下·陜西渭南·期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量夾角為銳角可知且不同向，由此可構造不等式組求得結果.
【詳解】的夾角為銳角，且不同向，
，解得：且，
實數的取值范圍為.
故選：B.
變式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個單位向量，則“為銳角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件（ ）
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據向量的夾角得出差向量的模長判斷充分條件,舉反例判斷必有條件即得.
【詳解】已知向量，是兩個單位向量，設，夾角為，所以，
，
，
“為銳角”是“”的充分條件成立；
時，即時，，，不為銳角，
所以“為銳角”是“”的不必要條件．故A正確．
故選：A.
變式3．（2024高三上·北京懷柔·階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為 ．
【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）
【分析】由題意可得且這兩個向量不共線，再結合數量積的運算律及平面向量共線定理即可得解.
【詳解】因為，與的夾角為，
所以，
因為與的夾角為鈍角，
所以且這兩個向量不共線，
，解得，
當時，
存在唯一實數，使得，
所以，所以，
又不共線，所以，
綜上所述，，
所以滿足條件的的值可以為.
故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）
變式4．（2024高一下·山東泰安·階段練習）設兩個向量滿足．
(1)若，求的夾角；
(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先由可求，再用向量夾角余弦的公式可得，則的夾角可求.
（2）由向量與的夾角為鈍角，可得且與不共線，再求解相應不等式即可.
【詳解】（1）
又
即
又
（2）的夾角為且
向量與的夾角為鈍角
且與不共線
即
解得：且
實數t的取值范圍且
變式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：
(1)與的夾角；
(2)；
(3)若與夾角為鈍角，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據向量的運算法則，列出方程，求得，即可求解；
（2）根據題意，求得，即可求得的值；
（3）由與夾角為鈍角，得到且與不共線，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）因為，
可得，
即，解得，
又因為的取值范圍為，可得.
（2）由，且，
可得
所以.
（3）若與夾角為鈍角，則滿足且與不共線
所以，即，解得，
令，可得，解得，
綜上可得且，即求的取值范圍.
（三）向量垂直的問題
例6．（2024高一·江蘇·專題練習）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】
根據向量垂直時數量積為0，結合數量積的運算律，列方程求解，即可求得答案.
【詳解】
因為向量與互相垂直，
所以．所以，
因為，所以，
所以，解得，
故選：B
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知，，，且與垂直，則 .
【答案】
【分析】由平面向量的數量積及向量垂直的充要條件即可求解.
【詳解】，
與垂直，
，
∴.
故答案為：.
變式2．（2024高三上·陜西·階段練習）已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
【答案】/
【分析】運用平面向量數量積公式計算即可.
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以.
因為，
所以，
解得.
故答案為：.
變式3．（2024高一·江蘇·專題練習）已知是非零向量，當的模取最小值時，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據題意，由平面向量的模長公式，代入計算，即可證明.
【詳解】
因為，
所以當時，有最小值．
此時，
所以．
變式4．（2024高一·江蘇·專題練習）已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t＝ ．
【答案】2
【分析】
結合，將向量等式兩邊與作數量積，再利用向量數量積的定義式展開就算即得.
【詳解】
將的兩邊分別與作數量積得：
化簡得：，即，解得：
故答案為：2.
變式5．（2024高二上·全國·階段練習）已知向量、的夾角為．
(1)求·的值
(2)當時，對于任意的，證明，和都垂直．
【答案】(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）根據數量積的定義運算求解；
（2）根據向量垂直結合數量積的運算律運算求解.
【詳解】（1）．
（2）當時，，
則，與實數的值無關，
即當時，對于任意的，和都垂直．
【方法技巧與總結】
1、求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根據θ∈[0，π]確定θ.而求cos θ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|a|，|b|之間的關系分別代入公式計算．
2、向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關題目的依據是a⊥b a·b＝0，利用數量積的運算律代入，結合與向量的模、夾角相關的知識解題．
題型四：平面向量數量積的坐標運算
例7．（2024高一下·甘肅張掖·階段練習）已知，則等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
根據題意，利用向量的數量積的坐標運算公式，準確計算即可求解.
【詳解】
由向量，可得，
所以.
故選：B.
變式1．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】
根據向量運算的坐標表示求得正確答案.
【詳解】.
故選：A
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）若向量，，，且滿足條件，則（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】C
【分析】
代入向量的運算公式，即可求解.
【詳解】
因為，，所以，，
則，解得：.
故選：C
變式3．（2024高一下·全國·課后作業）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，，則 .
【答案】
【分析】
建系，根據平面向量的坐標運算求解.
【詳解】
建立平面直角坐標系如圖所示，則，
因為，則，可得，
所以.
故答案為：.
變式4．（2024高一下·江蘇·階段練習）已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)記函數，若的最小值為，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用數量積結合兩角和的余弦公式求的值；
（2）平方再開方，結合角的范圍求的取值范圍；
（3）把前面的結果代入，換元后得二次函數，利用對稱軸和所得區間的關系討論得解.
【詳解】（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范圍為.
（3）由（1）（2）可知，函數，
令，則，
，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，
當，即時，最小值為，解得（舍去）；
當，即時，最小值為，解得或（舍去）；
當，即時，最小值為.
綜上可知，.
變式5．（2024高三上·河南·專題練習）已知向量，函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)當時，求函數的最值．
【答案】(1)
(2)最大值0，最小值
【分析】（1）根據數量積的定義，兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡函數解析式，再由正弦型函數周期公式求函數周期；
（2）利用不等式性質求的范圍，再由正弦函數和一次函數性質求函數的最值．
【詳解】（1）由已知得，
，
所以的最小正周期；
（2）當時，，，
則，
當，即時，函數有最大值；
當，即，函數有最小值．
【方法技巧與總結】
向量數量積運算的途徑及注意點
(1)進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知條件計算．
(2)對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產生建系的想法，并寫出相應點的坐標求解．
題型五：平面向量共線、垂直的坐標表示的應用
例8．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由，可得，計算即可得的值.
【詳解】由，故，故.
故選：D.
變式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得，即，代入即可求解．
【詳解】已知向量，，
若，則，即，
則的值為．
故選：D．
變式2．（2024·福建漳州·模擬預測）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據向量共線以及垂直的坐標表示，列出關于的方程組，求解即可.
【詳解】因為與共線，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故選：C.
變式3．【多選】（2024高一下·云南紅河·開學考試）已知向量，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用向量平行與垂直的坐標表示，對選項逐一分析判斷即可得解.
【詳解】
因為，
對于AB，，則，故A正確，B錯誤；
對于C，，，
則，則，故C正確；
對于D，，顯然，
則，故不成立，故D錯誤.
故選：AC.
變式4．【多選】（2024高三上·浙江金華·期末）設平面向量，，（ ）
A．若，則 B．若，則
C．， D．，使
【答案】ABC
【分析】
利用向量垂直，平行的充分必要條件得到ABD，利用向量的模長和二次函數得到C即可.
【詳解】A：當時，，故A正確；
B：若，，，所以，所以，故B正確；
C：，故C正確；
D：若，則，等式不成立，故D錯誤.
故選：ABC
【方法技巧與總結】
根據向量共線、垂直求參數的值的基本思路
借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數的值，是向量坐標運算的重要應用之一，具體做法就是先借助a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0或a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關于某參數的方程(或方程組)，然后解之即可．
題型六：平面向量的模與夾角
（一）向量的模
例9．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，則 .
【答案】
【分析】根據向量的坐標運算，求得，結合模的坐標運算，即可求解.
【詳解】由向量，，所以，
所以.
故答案為：.
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，，且，則（　?。?br/>A． B．5
C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量垂直的坐標運算求出，再根據向量加減的坐標運算和向量模的計算公式即可.
【詳解】
由，可得，代入坐標運算可得，解得，
所以，得，
故選：B．
變式2．（2024高三上·全國·階段練習）已知且，則 ．
【答案】
【分析】由數量積的坐標運算可求得，由此可計算得到所求模長．
【詳解】．
故答案為：
變式3．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設，向量，，且，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根據題意，列出方程求得，結合向量的坐標運算，即可求解.
【詳解】由向量，，
因為，可得，解得，
所以，所以.
故選：D.
變式4．（2024高一下·全國·專題練習）設向量，且，則 ， .
【答案】
【分析】由，化簡得到，列出方程求得，再由向量模的坐標運算公式，即可求解.
【詳解】由向量且，
可得，所以，
則，解得，所以，
所以，則.
故答案為：；.
變式5．（2024高三·全國·專題練習）在四邊形中，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C．2 D．15
【答案】D
【分析】設相交于點，首先證明四邊形對角線互相垂直，從而由即可得解.
【詳解】因為，
所以，即四邊形對角線互相垂直，
設相交于點，
則
．
故選：D．
（二）向量的夾角
例10．（2024高三上·遼寧·期中）已知向量，，，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量數量積的坐標表示及夾角公式求解即可.
【詳解】因為，
所以．
故選：A.
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，，則向量，的夾角為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量線性運算的坐標運算，結合向量夾角公式可得解.
【詳解】
由，，可知，
所以，，
且，
設，的夾角為，
則，
又因為，所以，
故選：B.
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）已知菱形中，，點為上一點，且，則的余弦值為 .
【答案】
【分析】建立如圖平面直角坐標系，利用平面向量的坐標表示和數量積的定義與坐標表示計算即可求解.
【詳解】設與交于點，以為坐標原點，
，所在直線分別為軸建立平面直角坐標系，
如圖所示，則，
所以，
有，
則.
故答案為：
變式3．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則 .
【答案】1或
【分析】利用數量積運算性質、向量的夾角公式即可得出.
【詳解】因為 ，，，
，顯然，
故有：，解得或
故答案為：1或.
變式4．（2024高三下·陜西安康·開學考試）已知向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量夾角的坐標運算可構造方程求得結果.
【詳解】，，，
由得：，，解得：.
故選：C.
變式5．（2024高一·江蘇·專題練習）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
【答案】
【分析】
轉化為并去掉兩向量共線反方向的情況.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不共線（反向），
則，解得，
當時，，解得，此時兩向量共線反向量，
又與不共線反向，所以，
所以的取值范圍是．
（三）三角形形狀的判斷
例11．（2024高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形
【答案】D
【分析】
根據數量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，
故可為任意三角形.
故選：D
變式1．（2024高一下·吉林長春·階段練習）在中，下列命題正確的個數是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據向量的運算公式，即可判斷選項.
【詳解】
①，故①錯誤；②.故②正確；
③，則，為等腰三角形，故③正確；
④若，只能說明中，角是銳角，不能說明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯誤.
故選：B
變式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“A為直角”的充要條件
B．“”是“A為銳角”的充要條件
C．“”是“是銳角三角形”的充分不必要條件
D．“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件
【答案】C
【分析】
根據向量的運算法則，以及向量的數量積的概念，結合充分條件、必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，可得，
平方可得，解得，
所以，所以為直角，即充分性成立；
若為直角，可得，所以，則，
即，所以必要性也成立，所以A正確；
對于B中，由，可得，可得，
所以為銳角，所以充分性成立，
當為銳角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正確；
對于C中，由，可得為銳角，但不一定為銳角三角形，所以充分性不成立，所以C錯誤；
對于D中，由，可得為鈍角，所以為鈍角三角形，即充分性成立，
當為鈍角三角形，不一定為鈍角，即必要性不一定成立，
所以是是鈍角三角形的充分不必要條件，所以D正確.
故選：C.
變式3．（2024高三上·山東濟南·期末）已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.
【詳解】，
，
，
，
為等腰三角形，
又，
，
，又，所以，
為等邊三角形，
故選：D.
【方法技巧與總結】
1.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題．
(2)坐標表示下的運算
若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
2.根據向量的夾角求參數：由于兩個非零向量a，b的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cos θ＝，故當θ＝0時，a·b＝|a|·|b|；當0<θ<時，a·b>0且<1；當θ＝時，a·b＝0；當<θ<π時，a·b<0且>－1；當θ＝π時，a·b＝－|a||b|.
3.判斷三角形的形狀要兩判
一判三角形三邊所在的向量兩兩數量積的大小．
二判三角形三邊邊長的關系．
一、單選題
1．（2024高一下·湖南益陽·階段練習）已知，，，則向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據投影向量定義直接求解即可.
【詳解】，，
向量在向量方向上的投影向量為.
故選：D.
2．（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知點是邊長為2的正三角形的重心，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】以線段的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，根據題意求得的坐標，結合向量的數量積的坐標運算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，以線段的中點為坐標原點，以線段所在的直線為軸，線段的垂直的平分線為軸，建立平面直角坐標系，
因為的邊長為，可得，
又因為為的重心，可得，所以，
則.
故選：C.
3．（2024高一下·山東濱州·開學考試）已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量在向量上的投影公式進行計算即可.
【詳解】因為向量在向量上的投影向量為：，
故選：C.
4．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】
根據平面向量數量積的坐標表示及模的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：B
5．（2024高一·全國·專題練習）若O是所在平面內的一點，且滿足，則的形狀為（　　）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】根據平面向量的線性運算可以得出，進而得到，由此可判斷出的形狀.
【詳解】∵，，
∴，兩邊平方，化簡得∴.
∴為直角三角形.
因為不一定等于，所以不一定為等腰直角三角形.
故選：D.
6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】
由向量減法以及模的運算公式平方可得，結合數量積的幾何意義即可得解.
【詳解】
“”等價于“”，
所以
從而，顯然A，B，C不共線，原條件等價于是鈍角.
故選：C．
7．（2024高一·江蘇·專題練習）已知平面向量與的夾角為60°，||＝2，||＝4，則|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
【答案】B
【分析】
利用展開計算即可.
【詳解】
.
故選：B.
8．（2024高三下·重慶·階段練習）已知向量，且，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的模及數量積的坐標運算及向量垂直的條件即可求解.
【詳解】因為，
所以.
因為，
所以，即，解得.
故選：C.
二、多選題
9．（2024高一上·浙江紹興·期末）下面給出的關系式中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根據向量數量積的運算性質求解.
【詳解】對A：由可得，而，故A說法正確；
對B：取，則成立，但不一定成立，故B說法錯誤；
對C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說法錯誤；
對D：，故，故D說法錯誤.
故選：BCD
10．（2024高一下·湖南長沙·開學考試）已知向量，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．與向量平行的單位向量僅有 D．向量在向量上的投影向量為
【答案】ABD
【分析】
對A：借助垂直定義計算數量積即可得；對B：借助模長定義計算即可得；對C：與向量平行的單位向量有、；對D：借助投影向量公式計算即可得.
【詳解】
對A：，，所以，故A正確；
對B：，所以，故B正確；
對C：，則有、，
即與向量平行的單位向量有、，故C錯誤；
對D：向量在向量上的投影向量為，
故D正確．
故選：ABD．
11．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量則下列說法正確的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，則
C．在上的投影向量為
D．若，則
【答案】AC
【分析】
根據相反向量定義以及投影向量的公式計算可以判斷AC，計算，由向量垂直以及向量共線的運算法則計算可求出的值，從而判斷BD.
【詳解】對于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；
對于B，因為，所以，
又，且，所以，解得，故B錯誤；
對于C，因為，所以，，
所以在上的投影向量為，故C正確；
對于D，因為，又，且，
所以，解得，故D錯誤．
故選：AC.
12．（2024高三下·浙江·開學考試）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量是
【答案】BCD
【分析】
根據平面向量數量積的坐標運算逐項判斷.
【詳解】對于A：，故A錯誤.
對于B：，因為，所以，故B正確；
對于C：，則，故C正確；
對于D：在上的投影向量是，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，若，則 .
【答案】
【分析】
利用共線向量的坐標表示及模的坐標表示計算即得.
【詳解】
向量，，，則，解得，即，
所以.
故答案為：
14．（2024高一下·廣西南寧·開學考試）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】
根據數量積的定義求出，再由數量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，，
所以，
所以.
故答案為：
15．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量,,若,則 ．
【答案】1
【分析】
先分別計算出和,利用向量的模的運算求出和,根據等式即可求出的值.
【詳解】
因為,,
則,
,
因為,所以,
解得：.
故答案為：.
16．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知，是單位向量，，．若，則與的夾角為 ．
【答案】
【分析】由，可得，化簡得到，利用向量夾角公式即可得到答案.
【詳解】因為，，
所以．
所以，設與的夾角為，則，
因為，所以
故答案為：
四、解答題
17．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知向量.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得到的坐標，再利用即可求得答案；
（2）根據，展開后可求得的值.
【詳解】（1）因為，則，
且，則，
可得即，
所以.
（2）因為，則，且，
可知，所以，
又因為，則，
所以.
18．（2024高一下·北京·期中）已知向量 和 ，則 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 與 的夾角θ的余弦值．
【答案】(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】
（1）（2）根據平面向量的數量積的定義即可求解；
（3）根據平面向量的夾角公式即可求解．
【詳解】（1）
∵ ,, .
∴ ；
（2）
∵,
∴ ；
（3）
∵,
∴
19．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）已知向量，，．
(1)求
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據向量坐標的線性運算，即可求解；
（2）根據向量垂直的坐標表示，即可求解.
【詳解】（1）因為，，,
所以
（2），，
因為，
所以，
解得.
20．（2024高一下·全國·專題練習）已知.
(1)設的夾角為θ，求cos θ的值；
(2)若向量與互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用平面向量的夾角公式求解；
（2）根據向量與互相垂直，由求解.
【詳解】（1）解：因為，，
設的夾角為θ，
所以；
（2）因為向量與互相垂直，
所以，即，即，
解得.
21．（2024高一下·全國·專題練習）已知非零向量，滿足，且.
(1)求；
(2)當時，求和向量與的夾角的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）直接利用平方差公式計算即可；
（2）利用展開求解，然后利用求角.
【詳解】（1）由已知得，即，
解得；
（2），
所以，
所以，
又
所以.
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