資源簡介

1.3 弧度制4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性． 通過本節課的學習，要求掌握弧度制與角度制的互化，記住特殊角的弧度制，掌握與弧度制相關的弧長公式和面積公式的運用，為后面學習三角函數的相關內容奠定基礎.
知識點01度量角的兩種制度
角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的角 周角的為1度的角，記作1°
弧度制 定義 以弧度為單位來度量角的單位制
1弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad
注：正確理解弧度與角度的概念
區別 (1)定義不同； (2)單位不同：弧度制以“ 弧度”為單位，角度制以“ 度”為單位
聯系 (1)不管以“ 弧度”還是以“ 度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值； (2)“ 弧度”與“角度”之間可以相互轉化
【即學即練1】下列說法中，錯誤的是（ ）
A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關
知識點02　弧度數的計算
1．正角：正角的弧度數是一個正數．
2．負角：負角的弧度數是一個負數．
3．零角：零角的弧度數是0．
4．如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是|α|＝．
【即學即練2】時間經過4小時，分針轉的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練3】角為2弧度角的終邊在第_______象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
知識點03　角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度數×＝弧度數 弧度數×°＝度數
注：角度制與弧度制換算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．
(2)用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量度也不同．
(3)特殊角的度數與弧度數的對應表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
【即學即練4】把化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練5】（多選）下列轉化結果正確的是
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【即學即練6】將改寫成的形式是（ ）
A． B． C． D．
知識點04　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則
1．弧長公式：l＝α·R．
2．扇形面積公式：S＝lR＝α·R2
【即學即練7】若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即學即練8】半徑為10cm，弧長為20cm的扇形中，弧所對的圓心角為（ ）
A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度
【即學即練9】已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是（ ）
A． B．
C． D．
題型一：角度與弧度的換算
例1.（2023·江蘇·高一專題練習）將下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
變式1.（2023·全國·高一專題練習）把下列角度與弧度進行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【方法技巧與總結】
進行角度制與弧度制的互化的原則和方法
(1)原則：牢記180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°進行換算．
(2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．
(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數．
(3)度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度．
題型二：用弧度制表示角的集合
例2.與終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1.（2023下·江西贛州·高一校聯考期中）已知.
(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求與終邊相同的角，滿足．
變式2.（2023·全國·高三專題練習）終邊在直線上的角的集合為 ．
例3.（2023上·高一課時練習）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：
(1)
(2)
變式1.如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界).
（1）；
（2）
【方法技巧與總結】
(1)用弧度數表示與角α終邊相同的角連同角α在內的集合為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度數表示區域角時，先把角度換算成弧度，再寫出與區域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區域角的集合，對于能合并的應當合并．
題型三：弧長公式和扇形面積公式的應用
例4.已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為 .
變式2.（2023·全國·高一專題練習）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為 ，弧長為 .
變式3.（2023下·山東淄博·高一校聯考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（ ）
A． B． C． D．
變式4.（2023上·重慶·高三西南大學附中校考期中）已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式5.如圖所示，扇環的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環的面積為（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
變式6.（2023上·上海·高三上海市進才中學校考期中）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為 ．

【方法技巧與總結】
弧長公式和扇形面積公式的應用類問題的解決方法：①將角度轉化為弧度表示，弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，因此解決這些問題通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是(0，2π)；②利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式．
題型四：扇形中的最值問題
例5.（2023下·高一單元測試）若有一扇形的周長為60 cm，那么扇形的最大面積為 .
變式1.（2023·全國·高三專題練習）若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是 .
變式2.（2023下·上海寶山·高一校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．
(1)若，，求扇形的弧長l；
(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．
變式3.（2023下·湖北宜昌·高一校聯考期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．
(1)求關于的函數解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大 并求出最大值．
一、單選題
1．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學校考階段練習）將化為弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全國·高一專題練習）若，則角的終邊所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命題中，正確的是（ ）
A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角
B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角
C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關
4．（2024上·陜西榆林·高一統考期末）如圖所示的時鐘顯示的時刻為，設150分鐘后時針與分針的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山西忻州·高一校聯考期末）已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數為（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（2024上·山東濟南·高一統考期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環，其中扇環的外圓半徑為，內圓半徑為，某同學準備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·福建廈門·高一廈門外國語學校校考階段練習）已知扇形的周長為4，圓心角為弧度數2，則扇形的面積為（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2024上·青海西寧·高一統考期末）我國古代數學著作《九章算術》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”譯成現代漢語其意思為：有一塊扇形田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，問這塊田的面積為多少？（ ）
A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步
9．（2024上·云南·高一統考期末）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子（如圖1），其平面圖為如圖2的扇形，已知，扇面（曲邊四邊形的面積是，則（ ）

A． B． C． D．
10．（2024上·湖南湘西·高一統考期末）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．圖（2）是根據一個磚雕（如圖（1））所作的扇環形，該扇環可視為將扇形OAB截去同心扇形OCD所得的圖形，若，，分別在OA，OB上，，的長度，則該扇環形磚雕的面積為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．（2024上·河南新鄉·高一統考期末）若某扇形的周長為18，面積為20，則該扇形的半徑可能為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
12．（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山東濟南·高一山東省實驗中學校考階段練習）下列各組角終邊相同的一組是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2024上·江蘇南京·高一統考期末）已知扇形的半徑為，弧長為.若其周長的數值為面積的數值的2倍，則下列說法正確的是（ ）
A．該扇形面積的最小值為8
B．當扇形周長最小時，其圓心角為2
C．的最小值為9
D．的最小值為
15．（2024上·吉林長春·高一吉林省實驗校考期末）中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，扇形的半徑，則
C．若扇面為“美觀扇面”，則
D．若扇面為“美觀扇面”，半徑，則扇形面積為
三、填空題
16．（2023下·遼寧撫順·高一校聯考期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應角的弧度數為 ．
17．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨， 紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形AOB，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是 ．
18．（2024上·陜西安康·高一校考期末）若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為 .
19．（2024上·山東煙臺·高一統考期末）已知某扇形的面積為，圓心角的弧度數為，則該扇形的周長為 ．
20．（2024上·重慶·高一重慶南開中學校考期末）南朝樂府民歌《子夜四時歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠風來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺”，中國傳統折扇有著極其深厚的文化底蘊．如圖所示，展開的折扇可看作是從一個扇形，某藝術節展示活動中，小李同學打算利用一條2米長的紫色絲帶圍成一個扇形展示框，則該展示框的面積最大值為 ．
四、解答題
21．（2023上·貴州黔東南·高一統考期末）某公園要設計一個扇環形狀的花壇（如圖所示），該扇環是以點為圓心的兩個同心圓，圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓心角．
(1)求弧長；
(2)求花壇的面積．
22．（2023上·廣西河池·高一校聯考階段練習）某時鐘的分針長，時間從12：00到12：25，求：
(1)分針轉過的角的弧度數；
(2)分針掃過的扇形面積；
(3)分針尖端所走過的弧長（取3.14，計算結果精確到0.01）．
23．（2021·高一課時練習）用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（包括邊界，如圖7-1-7所示）．
24．（2023上·江蘇宿遷·高一校考階段練習）已知扇形的半徑，周長為，
(1)求扇形的面積；
(2)在區間上求出與此扇形的圓心角終邊相同的角.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.3 弧度制4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性． 通過本節課的學習，要求掌握弧度制與角度制的互化，記住特殊角的弧度制，掌握與弧度制相關的弧長公式和面積公式的運用，為后面學習三角函數的相關內容奠定基礎.
知識點01度量角的兩種制度
角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的角 周角的為1度的角，記作1°
弧度制 定義 以弧度為單位來度量角的單位制
1弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad
注：正確理解弧度與角度的概念
區別 (1)定義不同； (2)單位不同：弧度制以“ 弧度”為單位，角度制以“ 度”為單位
聯系 (1)不管以“ 弧度”還是以“ 度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值； (2)“ 弧度”與“角度”之間可以相互轉化
【即學即練1】下列說法中，錯誤的是（ ）
A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關
【答案】D
【分析】
利用角度和弧度的定義及轉化關系分別進行判斷即可.
【詳解】
根據角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；
1rad的角是，故C正確；
無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關，只與角的始邊和終邊的位置有關，故D錯誤.
故選：D
知識點02　弧度數的計算
1．正角：正角的弧度數是一個正數．
2．負角：負角的弧度數是一個負數．
3．零角：零角的弧度數是0．
4．如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是|α|＝．
【即學即練2】時間經過4小時，分針轉的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據分針按順時針方向轉了4圈，求出分針轉過的弧度數即可
【詳解】
根據分針經過4小時，分針按順時針方向轉了4圈，
所以分針轉過的弧度數為
故選：D
【即學即練3】角為2弧度角的終邊在第_______象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】
根據題意得到2弧度，再判斷象限即可.
【詳解】
2弧度，為第二象限角.
故選：B
知識點03　角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度數×＝弧度數 弧度數×°＝度數
注：角度制與弧度制換算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．
(2)用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量度也不同．
(3)特殊角的度數與弧度數的對應表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
【即學即練4】把化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用弧度和角度的關系，即得解
【詳解】
由題意，
故選：B
【即學即練5】（多選）下列轉化結果正確的是
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】ABD
【分析】
根據弧度與角度的轉化,化簡即可判斷選項.
【詳解】
對于A,,正確;
對于B,,正確;
對于C,,錯誤;
對于D,,正確.
故選ABD
【點睛】
本題考查了弧度與角度的轉化,轉化過程中注意進制和單位,屬于基礎題.
【即學即練6】將改寫成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根據題意得到，再轉化為弧度即可.
【詳解】
因為，
所以轉化弧度為.
故選：C
知識點04　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則
1．弧長公式：l＝α·R．
2．扇形面積公式：S＝lR＝α·R2
【即學即練7】若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
首先設出半徑，然后利用扇形弧長公式求解即可.
【詳解】
設該扇形半徑為，
又∵圓心角，弧長，
∴扇形弧長公式可得，，解得，.
故選：B.
【即學即練8】半徑為10cm，弧長為20cm的扇形中，弧所對的圓心角為（ ）
A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度
【答案】C
【分析】
利用扇形圓心角的公式求解.
【詳解】
設弧所對的圓心角為，則弧度.
故選：C
【即學即練9】已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為扇形面積為，半徑是1，S=l·r，所以扇形的弧長為，因為l=|α|r ，所以扇形的圓心角為．故選C．
【名師點睛】在應用弧長公式l=|α|r 及扇形面積公式S=l·r時，要注意的單位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”為單位的，則必須先把它化成以“弧度”為單位后再代入計算．
題型一：角度與弧度的換算
例1.（2023·江蘇·高一專題練習）將下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
【答案】(1)-15°
(2)135°
(3)210°
(4)-171°54′
【分析】根據弧度制的定義，可得答案.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
變式1.（2023·全國·高一專題練習）把下列角度與弧度進行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉化公式解即可得出答案.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）
（10）.
【方法技巧與總結】
進行角度制與弧度制的互化的原則和方法
(1)原則：牢記180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°進行換算．
(2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．
(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數．
(3)度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度．
題型二：用弧度制表示角的集合
例2.與終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據角度的表示方法分析判斷AB，根據終邊相同的角的定義分析判斷CD.
【詳解】在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．
與終邊相同的角可以寫成的形式，
時，，315°換算成弧度制為，所以C錯誤，D正確．
故選：D．
變式1.（2023下·江西贛州·高一校聯考期中）已知.
(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求與終邊相同的角，滿足．
【答案】(1)，是第四象限角；
(2)或.
【分析】（1）利用，將角度值化為弧度制，并得到所在象限；
（2）由，根據的范圍求出的值，從而可求解.
【詳解】（1）因為,，
所以.
因為，所以是第四象限角.
（2），
所以與終邊相同的角可表示為,
令，解得，
所以.
當時， ；
當時， .
所以或.
變式2.（2023·全國·高三專題練習）終邊在直線上的角的集合為 ．
【答案】
【分析】由任意角與弧度制的定義求解，
【詳解】由題意得與軸的夾角為，
故終邊在直線上的角的集合為，
故答案為：
例3.（2023上·高一課時練習）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】首先找到對應邊界的終邊表示的角，再寫成集合形式.
【詳解】（1）邊界對應射線所在終邊的角分別為，，
所以終邊在陰影部分的角的集合為.
（2）邊界對應射線所在終邊的角分別為，，，，
所以終邊在陰影部分的角的集合為
變式1.如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界).
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【分析】
由圖①可知，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，由此可求出陰影部分內的角的集合；
由圖②可知，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z).
不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，由陰影部分內的角的集合為.
【詳解】
如題圖①，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，
所以陰影部分內的角的集合為
；
如題圖②，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z).
不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，
則M1=，M2=.
所以陰影部分內的角的集合為
或.
【方法技巧與總結】
(1)用弧度數表示與角α終邊相同的角連同角α在內的集合為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度數表示區域角時，先把角度換算成弧度，再寫出與區域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區域角的集合，對于能合并的應當合并．
題型三：弧長公式和扇形面積公式的應用
例4.已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據給定條件利用扇形面積公式直接計算即得.
【詳解】
因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數是，設圓的半徑為r，
則由扇形面積公式得：，而，解得，
所以該扇形所在圓的半徑為2.
故選：B
變式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為 .
【答案】/
【分析】直接根據扇形的弧長公式求解即可．
【詳解】，，
故答案為：.
變式2.（2023·全國·高一專題練習）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為 ，弧長為 .
【答案】 /1.5
【分析】根據扇形的面積公式和弧長公式計算即可.
【詳解】設扇形的半徑為，
因為扇形AOB的面積為，圓心角為，
由扇形的面積，可得：，解得：，
可得扇形的弧長.
故答案為：；．
變式3.（2023下·山東淄博·高一校聯考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由扇形的面積公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】設扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，
則扇形的周長為.
故選：C
變式4.（2023上·重慶·高三西南大學附中校考期中）已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.
【詳解】因為扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.
故選：D.
變式5.如圖所示，扇環的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環的面積為（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
【答案】D
【分析】
設扇環的圓心角為，小圓弧的半徑為，依題意可得且，解得、，進而可得結果.
【詳解】
設扇環的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環面積.
故選：D．
變式6.（2023上·上海·高三上海市進才中學校考期中）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為 ．

【答案】
【分析】設扇形的半徑為，利用扇形的面積公式求出的值，然后利用扇形的面積減去三角形的面積可得出弧田的面積.
【詳解】設扇形的半徑為，則扇形的面積為，解得，
取的中點，連接，如下圖所示：

因為，則，
又因為，則，
所以，，，則，
所以，，
因此，弧田的面積為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
弧長公式和扇形面積公式的應用類問題的解決方法：①將角度轉化為弧度表示，弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，因此解決這些問題通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是(0，2π)；②利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式．
題型四：扇形中的最值問題
例5.（2023下·高一單元測試）若有一扇形的周長為60 cm，那么扇形的最大面積為 .
【答案】225
【分析】設扇形的半徑為，弧長為，根據扇形的周長、面積和半徑、弧長的關系建立二次函數關系，從而求出最大值即可.
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的面積為：
，
當時，取得最大值，最大值為，
所以扇形面積的最大值為.
故答案為：225.
變式1.（2023·全國·高三專題練習）若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是 .
【答案】2
【分析】設扇形的半徑為，則弧長為，結合面積公式計算面積取得最大值時的取值，再用圓心角公式即可得弧度數.
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，
所以扇形面積，
所以當時，取得最大值為，此時，
所以圓心角為（弧度）.
故答案為：2
變式2.（2023下·上海寶山·高一校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．
(1)若，，求扇形的弧長l；
(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．
【答案】(1)
(2)扇形周長的最小值為，此時
【分析】（1）先將圓心角化為弧度制，再根據弧長公式即可得解；
（2）根據扇形的面積公式求得的關系，再利用基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）因為，，
所以扇形的弧長；
（2）由扇形面積，得，
則扇形周長為，
當且僅當，即時，取等號，
此時，，所以，
所以扇形周長的最小值為，此時.
變式3.（2023下·湖北宜昌·高一校聯考期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．
(1)求關于的函數解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大 并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)當時，y的值最大，最大值為．
【分析】(1)根據弧長公式和周長列方程得出關于的函數解析式；
(2)根據面積公式求出關于的函數表達式，根據二次函數性質可得的最大值．
【詳解】（1）根據題意，弧的長度為米，弧的長度米，
，
．
（2）依據題意，可知，
化簡得：，，
當，．
∴當時，y的值最大，且最大值為．
一、單選題
1．（2023上·貴州黔南·高一貴州省甕安中學校考階段練習）將化為弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用弧度和角度的互化公式求出答案.
【詳解】.
故選：B
2．（2023上·全國·高一專題練習）若，則角的終邊所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
【答案】D
【分析】根據各個象限角的范圍，再結合條件即可判斷出結果.
【詳解】因為，所以是第一象限角，
故選：D.
3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命題中，正確的是（ ）
A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角
B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角
C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關
【答案】B
【分析】由角度制和弧度制的定義，象限角的概念，判斷各選項的正誤.
【詳解】1弧度的角就是長為半徑的弧所對的圓心角，A選項錯誤；
若是第一象限的角，則是第四象限的角，所以是第一象限的角，B選項正確；
當，時，與終邊重合，但兩個角不相等，C選項錯誤；
不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無關，D選項錯誤.
故選：B
4．（2024上·陜西榆林·高一統考期末）如圖所示的時鐘顯示的時刻為，設150分鐘后時針與分針的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意，根據時鐘的特性，結合弧度制的寫法，可得答案.
【詳解】150分鐘后是7：00整，時針指向9，分針指向12，
所以．
故選：B．
5．（2024上·山西忻州·高一校聯考期末）已知某扇形的面積為12，半徑為4，則該扇形圓心角（正角）的弧度數為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面積公式計算可得答案.
【詳解】設該扇形的圓心角為，則，解得．
故選：C.
6．（2024上·山東濟南·高一統考期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環，其中扇環的外圓半徑為，內圓半徑為，某同學準備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面積公式可求出扇環的面積，即可得解.
【詳解】由題意可知，扇環的面積為.
故選：C.
7．（2024上·福建廈門·高一廈門外國語學校校考階段練習）已知扇形的周長為4，圓心角為弧度數2，則扇形的面積為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】設扇形的半徑為，弧長為，由扇形的弧長公式結合扇形的周長可求得的值，再利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積．
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的周長為，可得，所以，，故該扇形的面積為．
故選：A.
8．（2024上·青海西寧·高一統考期末）我國古代數學著作《九章算術》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”譯成現代漢語其意思為：有一塊扇形田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，問這塊田的面積為多少？（ ）
A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步
【答案】B
【分析】由已知利用扇形的面積公式即可計算得答案.
【詳解】因為扇形田的弧長30步，其所在圓的直徑是16步，根據扇形的面積公式可得這塊田的面積（平方步）.
故選：B
9．（2024上·云南·高一統考期末）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子（如圖1），其平面圖為如圖2的扇形，已知，扇面（曲邊四邊形的面積是，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面積公式計算即可.
【詳解】設，則扇面的面積.
故選：C
10．（2024上·湖南湘西·高一統考期末）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．圖（2）是根據一個磚雕（如圖（1））所作的扇環形，該扇環可視為將扇形OAB截去同心扇形OCD所得的圖形，若，，分別在OA，OB上，，的長度，則該扇環形磚雕的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據扇形的弧長公式及面積公式求解即可.
【詳解】因為，，
所以，所以,
由扇形面積公式可得扇環形磚雕的面積為：
，
故選：A
二、多選題
11．（2024上·河南新鄉·高一統考期末）若某扇形的周長為18，面積為20，則該扇形的半徑可能為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】BC
【分析】根據扇形的周長公式和面積公式求解即可.
【詳解】設該扇形的半徑為，弧長為，則，解得或5.
故選：BC
12．（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由，，得與終邊相同的角為，，逐一判斷各選項即可.
【詳解】對于A，，，故A正確；
對于B，與終邊相同的角為，，當時，，故B正確；
對于C，令，解得，故C錯誤；
對于D，令，解得，故D錯誤．
故選：AB.
13．（2023上·山東濟南·高一山東省實驗中學校考階段練習）下列各組角終邊相同的一組是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】根據終邊相同角的概念判斷即可.
【詳解】對于A：因為，所以與終邊相同，故A正確；
對于B：，，
所以與的終邊相同，故B正確；
對于C：，即的終邊與的終邊相同，
，，所以與的終邊不相同，
即與的終邊不相同，故C錯誤；
對于D：，所以與的終邊相同，故D正確；
故選：ABD
14．（2024上·江蘇南京·高一統考期末）已知扇形的半徑為，弧長為.若其周長的數值為面積的數值的2倍，則下列說法正確的是（ ）
A．該扇形面積的最小值為8
B．當扇形周長最小時，其圓心角為2
C．的最小值為9
D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】由題意，知，則，對于選項ABC利用基本不等式可判斷，對于選項D利用二次函數可解.
【詳解】由題意，知，則，
所以扇形面積
，
當且僅當，即時，等號成立，選項A錯誤；
扇形周長為
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時，圓心角為，選項B正確；
，
當且僅當，即時，等號成立，選項C正確；
,
當時，上式取得最小值為，選項D正確.
故選：BCD.
15．（2024上·吉林長春·高一吉林省實驗校考期末）中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，扇形的半徑，則
C．若扇面為“美觀扇面”，則
D．若扇面為“美觀扇面”，半徑，則扇形面積為
【答案】ACD
【分析】對于A,利用扇形面積計算公式進行計算即可；對于B，根據條件求得的值，利用公式計算即可；對于C，利用條件建立方程，解出即可；對于D，根據條件求得的值，利用公式計算即可.
【詳解】對于A,所在的扇形的圓心角分別為,
所以，故A正確；
對于B，若，則，又，
則，故B錯誤；
對于C，若，
所以，故C正確；
對于D,若，，又，
所以，
故D正確，
故選：ACD.
三、填空題
16．（2023下·遼寧撫順·高一校聯考期中）“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，則350密位的對應角的弧度數為 ．
【答案】
【分析】根據已知條件，結合“密位制”的定義，即可求解．
【詳解】一個圓周角分6000等份，每一等份是一個密位，
則350密位的對應角的弧度數為．
故答案為：．
17．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨， 紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形AOB，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是 ．
【答案】
【分析】利用扇形面積公式求扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積即可.
【詳解】由題設，，則
扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積.
故答案為：
18．（2024上·陜西安康·高一校考期末）若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為 .
【答案】/
【分析】由條件求扇形的半徑，再由弧長公式求扇形的弧長.
【詳解】
由已知可得，，
連接圓心與弦的中點，則，
，即扇形的半徑為4，
所以圓心角所對的弧長為.
故答案為：.
19．（2024上·山東煙臺·高一統考期末）已知某扇形的面積為，圓心角的弧度數為，則該扇形的周長為 ．
【答案】
【分析】設扇形的半徑為，弧長為，面積為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得該扇形的面積.
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，面積為，
因為扇形的面積為，圓心角的弧度數為，則，解得，
因此，該扇形的周長為.
故答案為：.
20．（2024上·重慶·高一重慶南開中學校考期末）南朝樂府民歌《子夜四時歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠風來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺”，中國傳統折扇有著極其深厚的文化底蘊．如圖所示，展開的折扇可看作是從一個扇形，某藝術節展示活動中，小李同學打算利用一條2米長的紫色絲帶圍成一個扇形展示框，則該展示框的面積最大值為 ．
【答案】/
【分析】設該扇形的半徑為，弧長為，面積為，由已知可得，，利用扇形面積公式結合二次函數求最值即可.
【詳解】設該扇形的半徑為，弧長為，面積為，
由已知，則，，
所以，
所以當時，有最大值.
故答案為：.
四、解答題
21．（2023上·貴州黔東南·高一統考期末）某公園要設計一個扇環形狀的花壇（如圖所示），該扇環是以點為圓心的兩個同心圓，圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓弧所在圓的半徑（單位：米），圓心角．
(1)求弧長；
(2)求花壇的面積．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）根據弧長公式求解即可.
（2）根據扇形的面積公式，把花壇面積看成兩個扇形面積的差即可.
【詳解】（1）弧長米
（2）花壇面積 平方米
22．（2023上·廣西河池·高一校聯考階段練習）某時鐘的分針長，時間從12：00到12：25，求：
(1)分針轉過的角的弧度數；
(2)分針掃過的扇形面積；
(3)分針尖端所走過的弧長（取3.14，計算結果精確到0.01）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】時鐘的分針轉一周是60分鐘，轉過的弧度是，從12：00到12：25，分針轉過的角的弧度就求出來了，再利用扇形面積公式和弧長公式即可求解．
【詳解】（1）時鐘的分針從12：00到12：25，分針轉過的角的弧度是；
（2）分針掃過的扇形面積；
（3）分針尖端所走過的弧長是.
23．（2021·高一課時練習）用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合（包括邊界，如圖7-1-7所示）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】將角度化成弧度，結合任意角概念表示出來即可.
【詳解】對圖（1），可看作范圍內的角，結合任意角概念，可表示為；
對圖（2），可看作范圍內的角，結合任意角概念，可表示為；
對圖（3），可看作由的范圍角，經過旋轉半圈整數倍形成的角，故可表示為．
24．（2023上·江蘇宿遷·高一校考階段練習）已知扇形的半徑，周長為，
(1)求扇形的面積；
(2)在區間上求出與此扇形的圓心角終邊相同的角.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）根據扇形周長可求出弧長，利用面積公式即可求解；
（2）利用弧長公式求出圓心角，由終邊相同的角即可求.
【詳解】（1）設扇形的弧長為，因為，
由題意，扇形的周長為，
所以，
所以扇形的面積為.
（2）由（1）可知，圓心角，
故與終邊相同的角的集合為，
中適合的元素有
，，
故在區間[0,4π]上與此扇形的圓心角終邊相同的角為和.
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