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1.7 正切函數(shù)10種常見考法歸類
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解正切函數(shù)的定義，能畫出它的圖象，理解正切函數(shù)在上的性質(zhì)． 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會運(yùn)用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決與正切函數(shù)有關(guān)的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域等問題.
知識點(diǎn)01正切函數(shù)的定義
根據(jù)函數(shù)的定義，比值是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y＝tan x，其中定義域．
【即學(xué)即練1】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>所以由，解得，故選C．
【即學(xué)即練2】（2024高一課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：
（1）函數(shù)y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函數(shù)y＝tan(sinx)．
【解析】（1）要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足，∴，
∴，
∴kπ－≤x故函數(shù)y＝＋lg(1－tanx)的定義域?yàn)閇kπ－，kπ＋)k∈Z.
（2）∵對任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴函數(shù)y＝tan(sinx)總有意義，
故函數(shù)y＝tan(sinx)的定義域?yàn)镽．
知識點(diǎn)02　正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以用正、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式一樣的方法記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”．
(2)利用誘導(dǎo)公式求任意角的正切函數(shù)值的步驟與求任意角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的步驟相同，都是依據(jù)“負(fù)化正，大化小，化為銳角再求值”，即由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想．
【即學(xué)即練3】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正切的誘導(dǎo)公式計(jì)算．
【詳解】．
故選：C．
【即學(xué)即練4】（2023下·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)） ．
【答案】－1
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算即可.
【詳解】解：原式
故答案為：.
【即學(xué)即練5】（2023下·河北衡水·高一校考開學(xué)考試） .
【答案】
【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算.
【詳解】
；
故答案為： .
【即學(xué)即練6】（2023上·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）已知，求，的值.
【答案】，或，
【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系直接計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，
，則；
當(dāng)時(shí)，，
，則；
綜上所述，，或，
【即學(xué)即練7】（2024上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角函數(shù)的定義計(jì)算即可得；
（2）借助輔助角公式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）角終邊經(jīng)過點(diǎn)，，
；
（2）原式.
知識點(diǎn)03 正切函數(shù)的圖象
利用正切線作出函數(shù)的圖象（如圖）．作法如下：
(1)作直角坐標(biāo)系，并在y軸左側(cè)作單位圓．
(2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
(3)描點(diǎn)．（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線）
(4)連線．
根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)．
正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的．
注：如何作正切函數(shù)的圖象
(1)幾何法
就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數(shù)的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時(shí)較煩瑣．
(2)“三點(diǎn)兩線”法
“三點(diǎn)”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝. 在“三點(diǎn)”確定的情況下，類似于“五點(diǎn)法”作圖，可大致畫出正切函數(shù)在上的簡圖，然后向左、右平移(每次平移π個(gè)單位長度)即可得到正切曲線．
【即學(xué)即練8】（2024高一課堂練習(xí)）在內(nèi)，使成立的x的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，可得使成立的x的取值范圍．結(jié)合，可得使成立的x的取值范圍為，故選：D．
【即學(xué)即練9】（2024高一課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期 對稱中心；
（2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.
【答案】（1）最小正周期，對稱中心是；（2）答案見解析.
【分析】
（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心即可得到函數(shù)的對稱中心.
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式得到的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的、兩點(diǎn)，再找到兩側(cè)相鄰的漸近線方程，畫出函數(shù)的圖象即可.
【詳解】
（1），，
令，，解得，，
故對稱中心為.
（2）令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的點(diǎn)有、兩點(diǎn)，
在這個(gè)周期內(nèi)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖(如圖).
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正切函數(shù)的周期和對稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，關(guān)鍵點(diǎn)是找出圖象上的點(diǎn)用描點(diǎn)法畫圖象，屬于中檔題.
【即學(xué)即練10】（2024高一課堂練習(xí)）作出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象求其最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
【解析】y＝|tanx|＝，其圖象如圖所示．
由圖象可知，函數(shù)y＝|tan x|的最小正周期T＝π，
單調(diào)增區(qū)間的(k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)．
【名師點(diǎn)睛】要作出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，可先作出y＝tan x的圖象，然后將其在x軸上方的圖象保留，而將其在x軸下方的圖象翻到上方(即作出其關(guān)于x軸對稱的圖象)，就可得到y(tǒng)＝|tan x|的圖象．
知識點(diǎn)04 正切函數(shù)的性質(zhì)
1．周期性
由誘導(dǎo)公式可知，，因此是正切函數(shù)的一個(gè)周期.
一般地，函數(shù)的最小正周期．
2．奇偶性
正切函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，由于
，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)．
3．單調(diào)性和值域
單位圓中的正切線如下圖所示．
利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表：
角x
正切線AT
增函數(shù) 增函數(shù)
由上表可知正切函數(shù)在，上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為
．此外由其變化趨勢可知正切函數(shù)的值域?yàn)榛颍虼苏泻瘮?shù)沒有最值．
【即學(xué)即練11】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的周期為__________．
【答案】
【解析】由題得函數(shù)的最小正周期為π，
函數(shù)就是把函數(shù)的圖像在x軸上的保持不變，把x軸下方的圖像對稱地翻折到x軸上方，如圖，
所以函數(shù)的周期為π．故答案為：π．
【即學(xué)即練12】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)y＝－tan的單調(diào)遞減區(qū)間為________________．
【答案】　(k∈Z)
【解析】　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋所以y＝－tan的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．
【即學(xué)即練13】（2024高一課堂練習(xí)）下列點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于函數(shù)的圖象，令，求得
可得該函數(shù)的圖象的對稱中心為．結(jié)合所給的選項(xiàng)，A、C、D都滿足.
【即學(xué)即練14】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)y=3tan．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）說明此函數(shù)的圖象是由y=tanx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？
【答案】（1）；（2）；（3）見解析
【解析】（1）由題意得，函數(shù)的最小正周期．
（2）由，得．
所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>（3）把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得函數(shù)y=tan的圖象，
再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)y=tan的圖象，
最后將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得函數(shù)y=3tan的圖象．
【即學(xué)即練15】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的定義域；
（2）求的周期；
（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）；（2）；（3），（）．
【解析】（1）由，可得：xkπ，即，
∴的定義域?yàn)椋?br/>（2）周期T，∴的周期為；
（3）由，可得：，．
∴單調(diào)增區(qū)間為，（）．
題型一：求函數(shù)的定義域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)有意義，則滿足，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
變式1．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，利用整體思想，建立不等式，可得答案.
【詳解】由題意可得：，解得，
函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：A.
變式2．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)校考期末）求函數(shù)的定義域 ．
【答案】
【分析】利用正切函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
變式3．（2022上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【分析】由題可得，即得.
【詳解】由題可得，解得，
∴函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：A.
變式4．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用正切函數(shù)圖像可以得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得：，且，
即，
∴，．
故選：C．
變式5．（2019下·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，解即可求解.
【詳解】由題意得：，故，
故，
即，.
故選：A
變式6．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)式中真數(shù)大于零，列出不等式，從而求解.
【詳解】由題意得，
即，
所以，，
所以，，故B項(xiàng)正確.
故選:B.
【方法技巧與總結(jié)】
求正切函數(shù)定義域的方法
求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．
題型二：利用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式求值
例2．（2022下·遼寧·高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】解：.
故選：A.
變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)） ．
【答案】/
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案.
【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：
．
故答案為：.
變式2．（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)的符號就可判斷出P點(diǎn)所在的象限.
【詳解】 ， ，
在第四象限；
故選：D.
變式3．（2022上·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)校考期末）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式， “負(fù)化正，大化小，小到銳角” 思想角度轉(zhuǎn)換，再確定對應(yīng)對應(yīng)三角函數(shù)值的符號即可.
【詳解】解：對于A，
，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
給角求值，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角，通常是特殊角的三角函數(shù)值．
給值求值時(shí)，要注意分析已知角與未知角之間的內(nèi)在關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式求值．
題型三：利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡
例3．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知，則 .
【答案】6
【分析】利用誘導(dǎo)公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以，可將所求分式轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)式，代值計(jì)算即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，因此，.
故答案為：6.
變式1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由的范圍及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得出，由兩角差的正切公式計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故選：A．
變式2．（2022下·上海長寧·高一華東政法大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）化簡： ．
【答案】
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角的商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡整理即可.
【詳解】
故答案為：.
變式3．（2023·高一單元測試）已知為第三象限角，且．
(1)化簡并求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡求得，再代入求值；
（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式求得的值，然后根據(jù)同角之間的關(guān)系求出的值，即可求解.
【詳解】（1），
（2）因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)槭堑谌笙藿牵裕?br/>所以.
變式4（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知．
(1)化簡,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)先根據(jù)誘導(dǎo)公對進(jìn)行化簡,再將代入進(jìn)算出結(jié)果即可;
(2)將代入可求,根據(jù)的正負(fù)及,可判斷正負(fù),從而判斷正負(fù),對平方再開方,代入即可得所求.
【詳解】（1）解:由題知
,
;
（2）,,
,且,
,
故.
【方法技巧與總結(jié)】
用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡、證明的總體原則：
(1)“切化弦”，函數(shù)名稱盡可能化少．
(2)“大化小”，角盡可能化小．
題型四：正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）函數(shù)（）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除不符合的兩個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)的符號，即可得符合的函數(shù)圖象.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）
所以，則函數(shù)為偶函數(shù)，故排除A，C選項(xiàng)；
又，故排除D選項(xiàng)，故選B符合.
故選：B.
變式1．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入求值.
【詳解】函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)．
若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，
則，，,，
則的最小值為．
故選：C
變式2．（2023上·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】作出函數(shù)在上的圖象與在的圖象即可得解.
【詳解】作出函數(shù)在上的圖象與在的圖象，如圖，
觀察圖象，得函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
故選：C
變式3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是 ．
【答案】無數(shù)
【分析】作出函數(shù)與的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的方法即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>在每個(gè)區(qū)間是都單調(diào)遞增，并且函數(shù)值集合為R，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，

觀察圖象得，函數(shù)與的圖象有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，
方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè).
故答案為：無數(shù)
變式4．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）借助函數(shù)的圖象寫出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】結(jié)合的圖象，逐個(gè)分析不等式或方程的解即可.
【詳解】（1）
由圖象可知：不等式的解集為；
（2）
由圖象可知：的解集為；
（3）
由圖象可知：的解集為；
（4）
由圖象可知：的解集為.
變式5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和，的圖象，依據(jù)圖象回答以下問題：
(1)寫出這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)寫出使成立的x的取值范圍；
(3)寫出使成立的x的取值范圍；
(4)寫出使成立的x的取值范圍；
(5)寫出使這兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性的區(qū)間．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)，.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再依次求出對應(yīng)問題即可.
【詳解】（1）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)和，的圖象，如圖，

由圖象知，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）由圖象知，當(dāng)或時(shí)，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（3）由圖象知，當(dāng)或或時(shí)，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（4）由圖象知，當(dāng)或時(shí)，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（5）由圖象知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)都為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)都為增函數(shù)，
所以使這兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性的區(qū)間是，.
【方法技巧與總結(jié)】
解決與正切函數(shù)圖象有關(guān)的問題，必須熟練畫出正切函數(shù)y＝tan x，x∈的圖象，求自變量x的范圍時(shí)，要注意是否包含端點(diǎn)值，切記正切函數(shù)的最小正周期為π.
題型五：正切函數(shù)的周期性問題
例5．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函數(shù)的周期公式計(jì)算即得.
【詳解】函數(shù)的最小正周期.
故選：A
變式1．（2024上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期公式求解即可.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為.
故選：B
變式2．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由三角函數(shù)周期性，奇偶性逐一判斷每一選項(xiàng)即可求解.
【詳解】對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，首先定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，所以是偶函數(shù)，
又，所以是周期函數(shù)，故B正確；
對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
變式3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是曲線與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得的最小正周期為1，根據(jù)的周期與的周期相等即可求解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，
不妨設(shè)，
可知的最小正周期，
的周期與的周期相等，
所以，解得．
故選:A.
變式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué)校考期末）函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是 ．
【答案】8
【分析】由題知該函數(shù)的最小正周期為，利用正切函數(shù)的周期公式運(yùn)算得解.
【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期為，
∴．
故答案為：8.
變式5．（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的最小正周期為，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)正切函數(shù)周期公式求解即可.
【詳解】依題意，
整理得，解得.
故答案為：1.
變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預(yù)測）若，（），則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】是周期為3的周期函數(shù)，計(jì)算的值，由此能求出的值．
【詳解】是周期為3的周期函數(shù)，
，，，
．
故選：B．
題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題
例6．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)偶函數(shù)
(2)偶函數(shù)
(3)奇函數(shù)
(4)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>又，
所以是偶函數(shù).
（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>又，
所以是偶函數(shù).
（3）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br/>又，
所以是奇函數(shù).
（4）因?yàn)椋?br/>而
所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
變式1．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考期末）函數(shù)是（ ）
A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)
C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性確定正確答案.
【詳解】由解得,
的定義域是，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
，所以是偶函數(shù)，
由此排除BD選項(xiàng).
，所以的一個(gè)周期為，A選項(xiàng)正確.
，
所以不是的周期，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A
變式2．（2023上·河南鄭州·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】計(jì)算，，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則
.
故.
故選：A
變式3．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，
則，故是奇函數(shù)，
從而，即，
即.
故選：A
變式4．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)解析式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，
則
.
故答案為：
變式5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；
若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
變式6．（2021上·河南開封·高三階段練習(xí)）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱所滿足的條件，和進(jìn)行比較
【詳解】關(guān)于軸對稱，則關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱是的必要不充分條件
故選：B
題型七：正切函數(shù)的對稱性問題
例7．（2023上·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數(shù)的對稱中心，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.
【詳解】由可得，，
所以，函數(shù)的對稱中心的是，.
對于A項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)，由，可得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)，由，可得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，由，可得，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
變式1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，以點(diǎn)為對稱中心的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)的對稱性可知，C正確.
【詳解】的對稱中心為，A錯(cuò)誤；
的對稱中心為，B錯(cuò)誤；
的對稱中心為，C正確；
令，，不恒等于，
的圖象不關(guān)于成中心對稱，D錯(cuò)誤，
故選：C．
變式2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可判斷充分性成立，必要性不成立，即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故充分性成立，
當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱時(shí)，
則，不一定成立，
則必要性不成立，
則“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱”的充分不必要條件，
故選：B.
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的 條件．
【答案】充分必要
【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱求得的值，再解方程求得的值，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.
【詳解】函數(shù)圖象的對稱中心為，
所以由“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于(x0,0)中心對稱”等價(jià)于“”．
因?yàn)榈葍r(jià)于，即．
所以“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的是充分必要條件．
故答案為：充分必要
變式4．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其最小正周期為，則的一個(gè)對稱中心的坐標(biāo)為 ．
【答案】，（答案不唯一，橫坐標(biāo)只需符合）
【分析】根據(jù)的性質(zhì)，求函數(shù)的對稱中心只需滿足求解即可.
【詳解】根據(jù)，得，則，
令，即，
所以．
故答案為：（答案不唯一，橫坐標(biāo)只需符合）
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，則的值為 ．
【答案】或
【分析】由正切函數(shù)圖象的對稱中心求得的表達(dá)式，再結(jié)合其范圍可得．
【詳解】由，得．又，則或．
故答案為：或．
變式6．（2023下·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱中心，結(jié)合的范圍，可得出，.代入，根據(jù)兩角差的正切公式，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以，
所以.
因?yàn)椋裕矗?br/>則.
故選：C.
題型八：正切函數(shù)的單調(diào)性問題
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例8．（2023下·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】單調(diào)區(qū)間滿足，解得答案.
【詳解】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間滿足：，
解得.
故選：D
變式1．（2023下·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.
【詳解】令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：C
變式2．（2023下·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：D.
變式3．（2022上·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．增區(qū)間為，
B．增區(qū)間為，
C．減區(qū)間為，
D．減區(qū)間為，
【答案】C
【分析】解，即可得出單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】由解得
.
因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.
故選：C.
變式4．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，可得，
由，可得，
則，所以.
故選：B.
變式5．（2022·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間的子集列式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
由，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
依題意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，又，所以，
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：.
故選：C.
比較大小
例9．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）三個(gè)數(shù)，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別借助三個(gè)函數(shù)、和的單調(diào)性思考問題，借助中間值判斷即可.
【詳解】函數(shù)中，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則；
函數(shù)中，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則；
所以.
故選：B.
變式1．（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）若 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可比較大小.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又，，
所以.
故選：A
變式2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：D.
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y＝A tan (ωx＋φ)轉(zhuǎn)化為y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．
題型九：正切函數(shù)的值域（最值）問題
例10．（2024上·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)校考期末）函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性可得在處取得最小值.
【詳解】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞增，
所以其最小值為.
故選：D
變式1．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)，的值域?yàn)? .
【答案】
【分析】求出的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】令，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)，的值域?yàn)?
故答案為：.
變式2．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)，的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】由的范圍求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
變式3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知在區(qū)間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根據(jù)解方程即可.
【詳解】因?yàn)椋矗?br/>又，所以，所以，
所以，．
故選：A．
變式4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）函數(shù)在的最大值為7，最小值為3，則ab為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及的有界性確定的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)性，再代入相應(yīng)端點(diǎn)值及對應(yīng)的最值得到相應(yīng)的方程，解出即可.
【詳解】，，，
根據(jù)函數(shù)在的最大值為7,最小值為3，
所以，即，根據(jù)正切函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)，
則，在上單調(diào)減函數(shù)，
，，
則，，，，
，
故選：B.
題型十：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例11．（2024上·湖北荊州·高一荊州中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)周期為 B．函數(shù)在上為增函數(shù)
C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對于A，由于，，因此，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對于C，由于，因此函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對于D，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D正確，
故選：D.
變式1．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)是奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對于A，由于，，因此，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對于C，，
因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
對于D，由于，因此函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：C
變式2．（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱 B．圖象關(guān)于直線成軸對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】A
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱性、定義域、單調(diào)性逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
所以是函數(shù)的對稱中心，故A正確，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義故D錯(cuò)誤，
故選：A.
變式3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于直線對稱 B．在上單調(diào)遞增
C．最小正周期為 D．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】依題意，，由，得，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>對于A，，即函數(shù)是奇函數(shù)，
不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線不對稱，A錯(cuò)誤；
對于B，0不在函數(shù)的定義域內(nèi)，則函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；
對于C，函數(shù)的最小正周期為，C錯(cuò)誤；
對于D，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，D正確.
故選：D
【方法技巧與總結(jié)】
解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
(1)對稱性：正切函數(shù)圖象的對稱中心是(k∈Z)，不存在對稱軸．
(2)單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)(k∈Z)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說其在定義域內(nèi)是遞增的．
一、單選題
1．（2024上·四川德陽·高一統(tǒng)考期末），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式特點(diǎn)，代入解析式求解即可.
【詳解】.
故選：C
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校聯(lián)考期末）對任意且，函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)確定的圖象所過定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合正切函數(shù)的定義，即可求得答案.
【詳解】對于函數(shù)，令，
故的圖象過定點(diǎn)，
由于點(diǎn)在角的終邊上，則，
故選：B
3．（2024上·河南商丘·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分別判斷充分性，必要性從而可求解.
【詳解】必要性：若，則，，故必要性不滿足；
充分性：若，則，故充分性滿足；
故“”是“”的充分不必要條件，故A正確.
故選：A.
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與0，1的大小關(guān)系，利用三角函數(shù)在各象限的符號依次判斷即得.
【詳解】，
由是減函數(shù)得，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以．
故選:B．
5．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）若對任意，方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】先求方程左側(cè)函數(shù)的值域，后解不等式求參數(shù)范圍即可.
【詳解】因?yàn)椋芍裕?br/>又方程有解，所以．
所以，，
故選：A．
6．（2024上·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正切型函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)即可得到解集.
【詳解】設(shè)，
令，且，解得，，
令，則，則在上單調(diào)遞增，
，則，
則當(dāng)時(shí)，，，則滿足，即，
當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞增，
則時(shí)，，即；時(shí)，，即；
綜上所述：的解集為，
故選；C.
7．（2024上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出各函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
A項(xiàng)，在中，，，最小正周期為，
當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，
解得：
∴在上不單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，在中， ，最小正周期為，
當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，
解得：
∴在上不單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，在中，，周期,
∴函數(shù)在即上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；
D項(xiàng)，在中，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合集合間的基本關(guān)系判定充分、必要條件即可.
【詳解】當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱時(shí)，
有，，得，，
易知 ，
所以“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的必要不充分條件．
故選：B．
9．（2024上·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）“的最小正周期為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可的解.
【詳解】當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí)，有，即充分性不成立；
當(dāng)時(shí)，的最小正周期為，即必要性成立；
所以“的最小正周期為”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
10．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)校考期末）有一個(gè)函數(shù)的圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，由函數(shù)定義域及函數(shù)值的情況判斷作答.
【詳解】由圖象知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>對于A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，無意義，故C錯(cuò)誤；
對于D，的定義域?yàn)椋?br/>且，則的圖象關(guān)于軸對稱，
所以符合題意.
故選：D.
11．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定直接得出結(jié)果.
【詳解】命題“”的否定為“”.
故選：C
12．（2024上·河北滄州·高一泊頭市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造，利用其奇偶性及單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由，得，
令，則，故為奇函數(shù)，
則等價(jià)于，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造，利用其單調(diào)性和奇偶性得到不等式組，解出即可.
二、多選題
13．（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域?yàn)?br/>C．是增函數(shù) D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)依次求出函數(shù)的最小正周期、定義域、單調(diào)區(qū)間即可求解．
【詳解】對A：由，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對B：由，，解得，，
所以的定義域?yàn)椋蔅正確；
對C：，，解得，，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對D：由C知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；
故選：ABD.
14．（2024上·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的定義域?yàn)?br/>C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
D．在上的值域?yàn)?br/>【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由圖象知，所以函數(shù)的最小正周期為，故A不正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，可得，所以，則，，即，，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則，
又因?yàn)椋裕瑒t，所以，
由，，可得，，
所以的定義域?yàn)椋訠正確；
因?yàn)椋傻命c(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，所以C正確；
當(dāng)時(shí)，，可得，所以D正確.
故選：BCD．
15．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得答案.
【詳解】做出函數(shù)的圖象，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由函數(shù)的圖象可知，最小正周期為π，A錯(cuò)誤；
又，所以是定義域上的偶函數(shù)，B正確；
根據(jù)函數(shù)的圖象知，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
根據(jù)的圖象知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確．
故選：BCD．
16．（2024上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定義域?yàn)?br/>C．的值域?yàn)?br/>D．是奇函數(shù)
【答案】BD
【分析】結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對A：由，故的最小正周期，故A錯(cuò)誤；
對B：由題意得：，即，
故的定義域?yàn)椋蔅正確；
對C：由，故的值域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；
對D：的定義域?yàn)椋?br/>，
故是奇函數(shù)，故D正確.
故選：BD.
17．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的定義域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象的對稱中心為
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】ABD
【分析】利用整體代入法，由三角函數(shù)的周期公式可判斷A；由正切函數(shù)的定義域可判斷B；由正切函數(shù)的對稱中心可判斷C；由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；
對于B，由，得,
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋珺正確；
對于C，由，得,
所以函數(shù)的對稱中心為，C錯(cuò)誤；
對于D，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.
故選：ABD
三、填空題
18．（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，列出滿足的條件，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，，解得，又，則；
當(dāng)，，
由題可得，解得；
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
19．（2024上·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時(shí)，使成立的的取值范圍為
【答案】
【分析】分類討論，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)在各象限的符號求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由單調(diào)遞增且可知，，
當(dāng)時(shí)，由知，滿足，
綜上，.
故答案為：
20．（2024下·上海·高一假期作業(yè)）若，且，則
【答案】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及正切函數(shù)的周期性即可求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
由于，所以取，得，
故答案為：
21．（2024上·湖北武漢·高三校聯(lián)考期末）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用命題為真命題由正切函數(shù)單調(diào)性即可求得，可知為假命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【詳解】若命題“，”是真命題，可得即可；
易知在上單調(diào)遞增，
所以，可得；
又因?yàn)樵撁}是假命題，所以可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數(shù)，若，則 .
【答案】
【分析】從函數(shù)解析式不難看出前兩項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)為奇函數(shù)，故可將其設(shè)成，證明其奇偶性，再利用奇函數(shù)特征代入計(jì)算即得.
【詳解】令，，由,可得函數(shù)為奇函數(shù)，
則由得，故.
故答案為：.
四、解答題
23．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角的終邊上.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)定義求得，進(jìn)而求出，再由即可得出答案；
（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.
【詳解】（1）點(diǎn)在角的終邊上，，
，，
所以，，
所以.
（2）.
24．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定義域；
（2）代入，結(jié)合誘導(dǎo)公式求值即可.
【詳解】（1）令 ，
解得：，
所以函數(shù)的定義域是；
（2）由題知，
所以.
25．（2024下·上海·高一假期作業(yè)）求滿足下列條件的的集合：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意畫出單位圓與臨界值的終邊，陰影部分即為滿足題意的角的終邊.
（2）由題意畫出單位圓與臨界值的終邊，陰影部分即為滿足題意的角的終邊.
【詳解】（1）由，所以，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，
所以，
所以滿足條件的的集合為：；
（2）由，所以，
所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，
所以，
所以，滿足條件的的集合為：.
26．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較與的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)解析式求解最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)解析式求解函數(shù)值比較大小值.
【詳解】（1）因?yàn)?br/>所以，
由，
，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減．
故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）,
，
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，
，
所以.
27．（2019下·廣東清遠(yuǎn)·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)(在指定區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)稱為該區(qū)間上的單調(diào)函數(shù))．
【答案】(1)最小值，最大值7
(2)
【分析】（1）配方函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象對稱軸可以直接得到函數(shù)的最值點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，解出即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，
當(dāng)時(shí)，的最大值為7.
（2）因?yàn)槭顷P(guān)于x的二次函數(shù)．
它的圖象開口向上，對稱軸為，
∵在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
∴，或者，
即，或者，
又∵，
∴θ的取值范圍是.
28．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正切型函數(shù)的周期和定點(diǎn)求，即可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換可得，結(jié)合，分析可得，運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋遥獾茫?br/>又因?yàn)椋瑒t，
解得，
且，可得，
所以.
（2）由題意可知：，
因?yàn)椋?br/>由，即，
可知，解得，
且，所以的最小值為．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.7 正切函數(shù)10種常見考法歸類
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解正切函數(shù)的定義，能畫出它的圖象，理解正切函數(shù)在上的性質(zhì)． 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會運(yùn)用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決與正切函數(shù)有關(guān)的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域等問題.
知識點(diǎn)01正切函數(shù)的定義
根據(jù)函數(shù)的定義，比值是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y＝tan x，其中定義域．
【即學(xué)即練1】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【即學(xué)即練2】（2024高一課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：
（1）函數(shù)y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函數(shù)y＝tan(sinx)．
知識點(diǎn)02　正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以用正、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式一樣的方法記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”．
(2)利用誘導(dǎo)公式求任意角的正切函數(shù)值的步驟與求任意角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的步驟相同，都是依據(jù)“負(fù)化正，大化小，化為銳角再求值”，即由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想．
【即學(xué)即練3】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）（ ）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練4】（2023下·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)） ．
【即學(xué)即練5】（2023下·河北衡水·高一校考開學(xué)考試） .
【即學(xué)即練6】（2023上·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）已知，求，的值.
【即學(xué)即練7】（2024上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求的值.
知識點(diǎn)03 正切函數(shù)的圖象
利用正切線作出函數(shù)的圖象（如圖）．作法如下：
(1)作直角坐標(biāo)系，并在y軸左側(cè)作單位圓．
(2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
(3)描點(diǎn)．（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線）
(4)連線．
根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)．
正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的．
注：如何作正切函數(shù)的圖象
(1)幾何法
就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數(shù)的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時(shí)較煩瑣．
(2)“三點(diǎn)兩線”法
“三點(diǎn)”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝. 在“三點(diǎn)”確定的情況下，類似于“五點(diǎn)法”作圖，可大致畫出正切函數(shù)在上的簡圖，然后向左、右平移(每次平移π個(gè)單位長度)即可得到正切曲線．
【即學(xué)即練8】（2024高一課堂練習(xí)）在內(nèi)，使成立的x的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【即學(xué)即練9】（2024高一課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期 對稱中心；
（2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.
【即學(xué)即練10】（2024高一課堂練習(xí)）作出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象求其最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
知識點(diǎn)04正切函數(shù)的性質(zhì)
1．周期性
由誘導(dǎo)公式可知，，因此是正切函數(shù)的一個(gè)周期.
一般地，函數(shù)的最小正周期．
2．奇偶性
正切函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，由于
，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)．
3．單調(diào)性和值域
單位圓中的正切線如下圖所示．
利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表：
角x
正切線AT
增函數(shù) 增函數(shù)
由上表可知正切函數(shù)在，上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為
．此外由其變化趨勢可知正切函數(shù)的值域?yàn)榛颍虼苏泻瘮?shù)沒有最值．
【即學(xué)即練11】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)的周期為__________．
【即學(xué)即練12】（2024高一課堂練習(xí)）函數(shù)y＝－tan的單調(diào)遞減區(qū)間為________________．
【即學(xué)即練13】（2024高一課堂練習(xí)）下列點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的是（　　）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練14】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)y=3tan．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）說明此函數(shù)的圖象是由y=tanx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？
【即學(xué)即練15】（2024高一課堂練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的定義域；
（2）求的周期；
（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間．
題型一：求函數(shù)的定義域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ā　。?br/>A． B．
C． D．
變式1．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)校考期末）求函數(shù)的定義域 ．
變式3．（2022上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．且
變式4．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）．
A．， B．，
C．， D．，
變式5．（2019下·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
變式6．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
求正切函數(shù)定義域的方法
求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．
題型二：利用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式求值
例2．（2022下·遼寧·高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）的值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)） ．
變式2．（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
變式3．（2022上·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)校考期末）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
給角求值，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角，通常是特殊角的三角函數(shù)值．
給值求值時(shí)，要注意分析已知角與未知角之間的內(nèi)在關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式求值．
題型三：利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡
例3．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知，則 .
變式1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2022下·上海長寧·高一華東政法大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）化簡： ．
變式3．（2023·高一單元測試）已知為第三象限角，且．
(1)化簡并求；
(2)若，求的值．
變式4（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知．
(1)化簡,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【方法技巧與總結(jié)】
用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡、證明的總體原則：
(1)“切化弦”，函數(shù)名稱盡可能化少．
(2)“大化小”，角盡可能化小．
題型四：正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）函數(shù)（）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
變式2．（2023上·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
變式3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是 ．
變式4．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）借助函數(shù)的圖象寫出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
變式5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和，的圖象，依據(jù)圖象回答以下問題：
(1)寫出這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)寫出使成立的x的取值范圍；
(3)寫出使成立的x的取值范圍；
(4)寫出使成立的x的取值范圍；
(5)寫出使這兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性的區(qū)間．
【方法技巧與總結(jié)】
解決與正切函數(shù)圖象有關(guān)的問題，必須熟練畫出正切函數(shù)y＝tan x，x∈的圖象，求自變量x的范圍時(shí)，要注意是否包含端點(diǎn)值，切記正切函數(shù)的最小正周期為π.
題型五：正切函數(shù)的周期性問題
例5．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是曲線與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué)校考期末）函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是 ．
變式5．（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的最小正周期為，則 .
變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預(yù)測）若，（），則（ ）
A． B． C．0 D．
題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題
例6．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式1．（2022上·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考期末）函數(shù)是（ ）
A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)
C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)
變式2．（2023上·河南鄭州·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
變式3．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．1 D．4
變式4．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的值為 .
變式5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C．D．
變式6．（2021上·河南開封·高三階段練習(xí)）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型七：正切函數(shù)的對稱性問題
例7．（2023上·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，以點(diǎn)為對稱中心的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的 條件．
變式4．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其最小正周期為，則的一個(gè)對稱中心的坐標(biāo)為 ．
變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，則的值為 ．
變式6．（2023下·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（ ）
A． B． C． D．
題型八：正切函數(shù)的單調(diào)性問題
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例8．（2023下·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023下·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2023下·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2022上·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．增區(qū)間為，
B．增區(qū)間為，
C．減區(qū)間為，
D．減區(qū)間為，
變式4．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2022·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
比較大小
例9．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）三個(gè)數(shù)，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024上·河南開封·高一統(tǒng)考期末）若 則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y＝A tan (ωx＋φ)轉(zhuǎn)化為y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．
題型九：正切函數(shù)的值域（最值）問題
例10．（2024上·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)校考期末）函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式1．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)，的值域?yàn)? .
變式2．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)，的值域?yàn)? ．
變式3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知在區(qū)間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）函數(shù)在的最大值為7，最小值為3，則ab為（ ）
A． B． C． D．
題型十：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例11．（2024上·湖北荊州·高一荊州中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)周期為 B．函數(shù)在上為增函數(shù)
C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱
變式1．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)是奇函數(shù)
變式2．（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱 B．圖象關(guān)于直線成軸對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
變式3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于直線對稱 B．在上單調(diào)遞增
C．最小正周期為 D．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【方法技巧與總結(jié)】
解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
(1)對稱性：正切函數(shù)圖象的對稱中心是(k∈Z)，不存在對稱軸．
(2)單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)(k∈Z)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說其在定義域內(nèi)是遞增的．
一、單選題
1．（2024上·四川德陽·高一統(tǒng)考期末），則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校聯(lián)考期末）對任意且，函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·河南商丘·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）若對任意，方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024上·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2024上·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）“的最小正周期為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)校考期末）有一個(gè)函數(shù)的圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024上·河北滄州·高一泊頭市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域?yàn)?br/>C．是增函數(shù) D．
14．（2024上·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的定義域?yàn)?br/>C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
D．在上的值域?yàn)?br/>15．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
16．（2024上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定義域?yàn)?br/>C．的值域?yàn)?br/>D．是奇函數(shù)
17．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的定義域?yàn)?br/>C．函數(shù)的圖象的對稱中心為
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
三、填空題
18．（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .
19．（2024上·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時(shí)，使成立的的取值范圍為
20．（2024下·上海·高一假期作業(yè)）若，且，則
21．（2024上·湖北武漢·高三校聯(lián)考期末）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數(shù)，若，則 .
四、解答題
23．（2024上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角的終邊上.
(1)求的值；
(2)求的值.
24．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求的值.
25．（2024下·上海·高一假期作業(yè)）求滿足下列條件的的集合：
(1)；
(2)；
26．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較與的大小.
27．（2019下·廣東清遠(yuǎn)·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)(在指定區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)稱為該區(qū)間上的單調(diào)函數(shù))．
28．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，若，求的最小值．
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